新教材苏教版高中数学选择性必修第二册 练习 06 空间向量的坐标表示及运算

06空间向量的坐标表示及运算

目录

☆【题型一】空间向量的坐标表示..................................................................ɪ

☆【题型二】已知向量的起点和终点的坐标求向量的坐标.............................................1

☆【题型三】已知向量的坐标求向量的起点或终点的坐标.............................................3

☆【题型四】空间向量的加、减、数乘的坐标运算...................................................4

☆【题型五】空间向量平行的坐标表示.............................................................5

☆【题型六】空间向量平行的坐标表示的应用：线线平行............................................7

☆【题型七】空间向量平行的坐标表示的应用：线面平行............................................7

☆【题型八】空间向量平行的坐标表示的应用：面面平行............................................9

☆【题型一】空间向量的坐标表示

【例题】已知｛7JK｝是空间的一个单位正交基底，向量Z=-27+8]+31用坐标形式可表示为.

【答案】(一2,8,3).

【详解】0=-27+8y+3^=(-2,8,3).

【变式训练】

1.已知｛m｝是空间的一个单位正交基底，向量Z=37-2]+1用坐标形式可表示为.

【答案】(3,—2,1)

【详解】0=37-2；+Λ=(3,-2,1).

2.已知｛7,7,4是空间的一个单位正交基底，向量加=-57+2]用坐标形式可表示为.

【答案】(—5,0,2)

【详解】B=-57+22=(-5,0,2).

3.已知｛7,7,G｝为空间的一个单位正交基底，且向量Z=J+8]+3hh=Ii-Sj-2k,则向量。一28用

坐标形式表示为.

【答案】(一5,7,7)

【详解】因为“=(-l,1,3),6=(2,-3,-2),所以α-2b=(-5,7,7)∙

☆【题型二】已知向量的起点和终点的坐标求向量的坐标

【例题】已知空间三点/(一2,0,2),8(—1,1,2),C(-3,0,4)∙

⑴求法+充，AB-AC；

(2)是否存在实数X,y,使得北=X施+y就成立，若存在，求x,y的值；若不存在，请说明理由.

【详解】林=(-1,1,2)一(—2,0,2)=(1,1,0),Jc=(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2).

(l)^B+iC=(l,1,0)+(-1,0,2)=(0,1,2).AB~AC=(1,ɪ,0)-(-1,0,2)=(2,1,-2).

(2)假设存在X,R满足条件，

由已知可得病=(-2,-1,2).

由题意得(-1,0,2)=x(1,1,0)÷X—2,—1,2),

所以(一1,0,2)=(χ-2y,χ-y,2y)9

T=L27，&=[

所以∙0=χ-y,所以,

N=I,

2=2y,

所以存在实数x=l,y=l使得结论成立.

【总结】

1.求向量的坐标的步骤：

(1)先建立恰当的空间直角坐标系；

(2)然后得到起点和终点的坐标；

(3)最后得出向量的坐标.

2.向量的坐标表示：向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的

坐标.特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标.

【变式训练】

1.如图，在棱长为1的正方体力8。＞-小&GA中，瓦尸分别是的中点，点G在棱C。上，且CG

=1CR4是GG的中点.以。为坐标原点，C/,出所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角

4

【详解】由已知可得点J°'0，3，心?J,Cl(0,1,1),G(O'4,

f01η

因为，是CIG的中点，所以“点坐标为I'8'2).

fl1_11C_I31]

故M=H2'2J,FH=I2'8’2)

2.已知点力=(3,8,—5),5=(-2,0,8),则向量前的坐标为

【答案】(-5,-8,13)

【详解】∑δ=(-2,0,8)-(3,8,-5)=(-5,-8,13).

☆【题型三】已知向量的坐标求向量的起点或终点的坐标

【例题】已知。为坐标原点，A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),求点P的坐标,

【答案】6P°]

【详解】前=(2,6,-3),元=(一4,3,1),所以套一J∂=(6,3,-4).

设点P的坐标为(x,y,z),则力尸=(X-2)+1,2—2),

所以x=5,V=z=0,即点P的坐标为P'2,

【变式训练】

1.已知aZBC中，A(2,-5,3),/8=(4,1,2),SC=(3,-2,5),求顶点8,C的坐标及C4.

【答案】8(6,-4,5);C(9,-6,10),8=(—7,1,-7).

【详解】设8(x,y,z),C(xι,y↑tz∣),所以48=(χ-2,y+5,z—3),BC=(x↑~x9y∖'-y,z∖~z).

1—2=4,X=6,

因为45=(4,1,2),所以∙y+5=l,解得y=—4

z—3=2,z=5,

所以B的坐标为(6,—4,5).

Xi-6=3,11=9,

因为5C=(3,-2,5),所以平+4=—2,解得

y∖=-69

zi—5=5,zι=10,

所以C的坐标为(9,-6,10),CA=(-7,1,-7).

2.已知点/的坐标为(1,1,0),向量;法=(4,0,2),则点8的坐标为()

A.(7,-1,4)B.(9,1,4)

C.(3,1,1)D.(l,-1,1)

【答案】B

【详解】设点8的坐标为(x∕,z),则施=(x—lj-l,z—O),⅛=(ɪ,ɪɪ,j)=(4,0,2),

解得x=9,y=l,z=4.故选B.

3.已知点N(3,3,—5),8(2,-3,1),C为线段48上一点，且元=2盛，则点C的坐标为()

AC,^Γ11B(I)-3，2J

(1-1-]_2

,1p,n

c.IyJD.L2J

【答案】C

【详解】设点C的坐标为(XJ,Z),X=(X-3,^—3*+5)=(4,0,2),又

___2__27

AB=(-1,-6,6),∙j48=(一§,—4,4),解得x=§,y=—l,z=-1.故选C.

☆【题型四】空间向量的加、减、数乘的坐标运算

【例题】已知7=(1,—3,8),⅛=(3,10,-4),求£a-b，3a-

【详解】a+6=(1,-3,8)+(3,10,-4)=(1+3,-3+10,8-4)=(4,7,4),

α-6=(1,-3,8)-(3,10,-4)=(1-3,-3-10,8+4)=(-2,-13,12),

3a=3(1,-3,8)=(3X1,3X(-3),3×8)=(3,-9,24)•

【变式训练】

1.已知向量α=(l,2,3),6=(4,5,6),求a+b,。一440.

【答案】Q+6=(5,7,9).

a-b=(-3,-3,-3).

4α=(4,8,12).

【详解】α+⅛=(l,2,3)+(4,5,6)=(1+4,2+5,3+6)=(5,7,9).

a~b=(l,2,3)-(4,5,6)=(1-4,2-5,3-6)=(-3,一3,—3).

4α=4×(l,2,3)=(4,8,12).

2.已知a+6=(2,3，2√3),a-⅛=(0,√2,0),求α和A

【答案】α=(l,/，√3),*=(l,0,√3)∙

【详解】因为“+B=(2,S,2⅜,a-⅛=(0,√2,O),2a=(2,2√2,2√3),⅛=∣=(2,0,2\5)

所以α=(l,∕，√3),⅛=(l,0,√3).

3.已知向量α=(3,-2,1),3=(-2,4,0),c=(3,0,2),^.a-2h+4c-

【答案】(19,—10,9)

【详解】由己知4-25+40=(3,-2,1)-2(-2,4,0)+4(3,0,2)=(19,TO,9).

4.已知点/(1,-2,0)和向量4=(-3,4,12),且法=2α,则点8的坐标为()

A.(-7,10,24)B.(7,-10,-24)

C.(-6,8,24)D.(-5,6,24)

【答案】D

5.已知向量。=(1,-2,l),α+*=(-l,2,-1),则力的坐标为()

A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)

C.(-2,0,-2)D.(2,I,-3)

【答案】B

☆【题型五】空间向量平行的坐标表示

【例题】已知空间四点Z=(-2,3,1),8=(2,-5,3),C=(IO,0,10)和。=(8,4,9),求证：四边形NBCQ

梯形.

【详解】证明依题意方=(-2,3,1),丽=(2,-5,3),

所以^AB=OB-OA=[2-5,3)-(-2,3,1)=(4,-8,2).

同理5C=(2,-4,1),赤=(10,1,8),元=(8,5,7).

由方=2反，可知刘〃万^∙

考察向量而与就，

由于故不存在实数f,使得彳万=/工，

857

即而与及不共线，所以四边形/8C。是梯形•

【总结】判断空间向量平行的步骤

(1)向量化：将空间中的平行转化为向量的平行.

(2)向量关系代数化：写出向量的坐标.

(3)对于。=(Xy∖,Z∣),b=(X2,yi,Z2),根据Xl=Ar2,Vl=Ay2,Zl=AZ2(ieR)或&="="(》2,yι,Z2都不

Xly2Z2

为0)判断两向量是否平行.

【变式训练】

1.已知四边形/8C。的顶点坐标分别是4(3,-1,2),5(1,2,一1),C(-l,l,-3),D(3,-5,3),求证:

四边形ZBCD是一个梯形.

【详解】证明VJ5=(1,2,-1)-(3,—1,2)=(—2,3,—3),

CD=(3,-5,3)-(-1,1,—3)=(4,—6,6),

—23—3f-

：.——=—=——,,/B与CQ共线，UPAB//CD,

4—66

又・・・花=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1),

5C=(T,1,-3)-(1,2,—1)=(-2,—1,—2),

•・∙0-Br-.4Tc],

-2—1—2

石与曲不平行.

.∙.四边形48。为梯形.

2.已知点/(-2,3,1),8(2,-5,3),C(8,1,8),O(4,9,6),求证：四边形/88为平行四边形.

【详解】证明由点力(-2,3,1),8(2,-5,3),得施=(4,-8,2).

由点。(4,9,6),C(8,1,8),得虎=(4,-8,2),

所以法=庆

AB=DC,S.AB//DC.

所以四边形ABCD是平行四边形

3.已知空间三点/(—2,0,2),8(—1,1,2),C(-3,0,4),设“=次，b^AC.^(ka+b)//(a-3b),求实数％的值.

【答案】k=--

3

【详解】由题意得α=∕∙δ=(l,l,0),b=AC=(-↑,0,2),

∙9∙ka+b=(k-1,匕2),a—36=(4,1,—6),

k—1k7

V(ka-∖-b)//(a-3b),/.----=—=---,

41—6

解得％=一?.

3

4.已知向量a=(l,2,1),b=(3,2,2),S,(ka+b)∕∕(a-2b)f则实数『的值为()

ʌ25n25

A.------B.一

1212

C.--D-

22

【答案】C

5.(多选)已知向量α=Q+l,2,3"-1)与8=(6,2加0)共线，则实数%的值可能是()

A.-3B.2

C.-D.0

5

【答案】AB

6.判手下列各组中的两个向量是否平行：

(1)a-(1,3,—2),b-(-2,-6,4)；(2).=(-2,0,5),b—(8,0,20).

一一1

【答案】(1)。//6;(2)。与6不平行

13-21r

β.∙——=——=——=——/.a=——b-一

【详解】⑴一2—642,2,.∖a∕∕ba

-251

(2)T?H不；，二•不存在4，使Q=a=.∙.Q与-B不平行・

o2U

7.设。=(2,2加一3,〃+2),3=(4,2加+1,3〃-2)且£/力，求实数相，〃的值.

7

【答案】m=-1n=6.

2

【详解】(方法1)QaHb,则2=也二1=2I±Z,解得zw=N,"=6.

42m+l3〃-22

2m+l=2(2w-3)7

(方法2)由题意得，L°C,小，解得〃Z=二，/7=6.

[3〃-2=2(〃+2)2

8.已知点4=(2,—5,—1),5=(-1,-4,-2),C=(m+3,-3,〃)在同一直线上，求加+"的值.

【答案】m+n=-∖O

【详解】Zff=(-1,-4,-2)-(2,-5,-1)=(-3,1,-1),^C=(w+3,-3,w)-(2,-5,-l)=(W+1,2,M+1),

因为48,C在同一直线上，

UlUUUUl.一

所以AB〃AC，即存在实数E，使得力C=/48，

所以(加+1,2,〃+1)=/(—3,1,—1),

/??+1=-3t7=2

所以V2=t,解得＜〃=一3所以+w=-IO.

"+I=TIn=-7

☆【题型六】空间向量平行的坐标表示的应用：线线平行

【例题】已知棱长为1的正方体OABC-Ol4BC在空间直角坐标系中的位置如图所示，D,E,F,G分别为棱

OML小S.BCOC的中点，求证：DE//GF.

【详解】因为正方体的棱长为1,DEEG分别是棱OM乂囚.Be,OC的中点,

於「化。，n/，1，nʃɪ-1-θιj。，ɪ,。〕

所以知点从2J,42J,叱J,Gl2J,

flJLo]fl101

所以。E=L'2J,GF=b,2,J,所以DE=GF,所以DE〃GF

☆【题型七】空间向量平行的坐标表示的应用：线面平行

【例题】在正方体/8CD4山IGr)I中，M,N分别为48,Cel的中点，求证：MV〃平面/8CD

【详解】如图，以。为坐标原点，DCOA所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系.令

DA=2,则知点。(0,0,0),力(2,0,0),。(0,2,0),%(0,2,1),〃(2,1,1),所以扇=(2,0,0),DC=(0,2,0),MN=

(-2,1,0),所以荡√=一扇+；比，所以加与扇，虎共面.而MN。平面力8C。，所以仞V〃平面/8CD

B

【变式训练】

1.如图，已知正方形/8CO和矩形/CE尸所在的平面互相垂直，AB=S,/尸=1,M是线段E尸的中点.求

证：4M〃平面BaE：.

【详解】证明如图，建立空间直角坐标系，设/CCBO=N,

f√2也ɔ

连接NE,则点NE的坐标分别为12'2'J.(0,0,1),

一J也.也］

所以NE=I2`2'J

座

又因为点4〃的坐标分别是(W,√2,0),1261

一J亚—也]

所以/M=l2,2'