2024年中考数学复习：圆问题中的解题模型与方法及练习题汇编（含答案解析）

2024年中考数学复习：圆问题中的解题模型与方法及练习题汇编

【解题模型与方法】

转化的思想是数学中极其重要的思想方法，把未知量转化为已知量，把新问题转化为已经解决

的问题，把不规则图形转化为规则图形，把一般情况转化为特殊情况，把线段相等转化为角相等.初

中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现.

一、生疏问题向熟悉问题转化

生疏问题向熟悉问题转化是解题中常用的思考方法。运用过去所学的知识，将生疏问题转化为熟

悉问题。

二、化部分为整体

三、复杂问题转化为简单问题

一个复杂的问题分成简单的小问题，再分析说明这几个小问题之间的相互联系，以局部知识的掌握

为整体服务。复杂问题简化是数学解题中运用最普通的思考方法。一个难以直接解决的问题，通过

深入观察和研究，转化为简单问题迅速求解。

四、实际问题转化为数学问题

重视数学知识的应用，加强数学与实际的联系，是考试重要方向。教材在加强用数学的意识方面也

作了改进，理论联系实际是编写教材的重要原.

五、一般与特殊的转化

六、数与形的转化

常考经典试题同步强化训练

考试范围：圆；考试时间：100分钟；

一.选择题（共10小题）

1.已知。O的直径是5“小点O到同一平面内直线I的距离5cm,则直线/与。。的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

2.如图，某小区要绿化一扇形OAB空地，准备在小扇形OCD内种花，在其余区域内（阴影部分）

种草，测得NAOB=120°,OA=\5m,OC=\Om,则种草区域的面积为（）

第1页共38页

4.如图，正方形ABCQ中，AC,8。交于点。，点P为A8上一个动点，直线P0交CO于点Q,

过点8作垂足为点M,连接AM,若A8=4,则AM的最小值为（）

V10-V2C.2D.

5.如图，一块含30°角的三角板和一块量角器，点。为E尸的中点，AC经过点0,AC=EF,Z

FOC=120°,AC=4,点8恰在EC尸上，则图中阴影部分的面积为（）

E

第2页共38页

A-之父喜~B.71-V3C.271———D.冗—

32232

6.如图，正六边形48CAEF的外接圆。。的半径为2,过圆心。的两条直线/|、/2的夹角为60°,

则图中的阴影部分的面积为（）

A.An-V3B.&-近C.2TC-V3D.4—近

332332

7.如图，正方形ABC。的边长为2,。为对角线的交点，点E,尸分别为BC,AQ的中点.以C为

圆心，2为半径作砺，再分别以E,尸为圆心，1为半径作前，而，则图中阴影部分的面积为（）

AFD

A.K-1B.IT-3C.ir-2D.4-TT

8.某数学研究性学习小组制作了如图的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个

直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心。处，刻度尺可以绕点O旋转.图中所

示的图尺可读出sin/AOB的值是（）

0(0

9.如图，在△ABC中，CA=CB,ZACB=90°,AB=2,点。为A8的中点，以点。为圆心作圆

心角为90°的扇形OE凡点C恰在弧E尸上，则图中阴影部分的面积为（）

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*c.2L

-1）（x-9）与x轴交于A,B两点，对称轴与抛物线交于点C,与x

轴交于点。，OC的半径为2,G为OC上一动点，P为AG的中点，则。P的最大值为（）

c.年D.5

二.填空题（共6小题）

11.如图，直角△ABC中，NA=90°,ZB=30°，AC=4,以4为圆心，AC长为半径画四分之

一圆，则图中阴影部分的面积是（结果保留7T）.

12.如图，在△ABC中，AB=AC^2cm,/CBA=30°,以A为圆心，AB为半径作BEC，以BC为

2

直径作半圆BFC，则图中阴影部分面积等于

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，P（4,3）,。。经过点P.点A,点8在y轴上，PA=PB,

延长以，PB分别交。。于点C,点O,设直线8与x轴正方向所夹的锐角为a.

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(1)00的半径为;

(2)tana=____________________

14.如图，A,3都在CD的上方，AC=2,8。=8,C£>=8,E为CD的中点，若NAEB=120°,

则AB的最大值为.

15.如图所示，边长为3厘米的正方形A8CD与边长为4厘米的正方形8EFG并排放在一起，以点

B为圆心，8E为半径画弧GE,连结£>G,DE,则线段。G、OE与弧GE所围成的阴影部分的面

积是平方厘米.

16.如图，已知四边形ABC。是矩形，AB=8,AO=12,点E是线段OC上一个动点，分别以OE、

EC为边向线段。C的下方作正方形。EFG、正方形CE4/,连接G/,过点B作直线G/的垂线，

垂足是1/,连接4J,求点E运动过程中，线段AJ的最大值是.

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三.解答题(共6小题)

17.如图，△4BC中，NC=90°,乙4BC的平分线交AC于点。，点。在A8上，以点。为圆心,

以08为半径的圆经过点。，交BC于点E,交AB于点尸.

(1)求证：AC与。0相切;

（2）若8。=10,sin/DBC^_,求4尸的长.

5

18.如图，在△A8O中，AB=AD,以A8为直径的圆交A力于点M,交8。于点0,延长A0至点

C,使0C=A0,连结CD,BC.

(1)求证：四边形ABCQ是菱形；

(2)若AM=3,2。=遥，求cosNZMB.

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c,D

19.综合与实践：

数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其

他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.

(1)发现问题：如图1,在△ABC和△?!£■尸中，AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF=30°,连

接BE,CF,延长BE交CF于点D.则BE与CF的数量关系:，/BDC=°；

(2)类比探究：如图2,在△4BC和/中，AB=AC,AE=AF,/区4尸=120°,

连接BE,CF,延长BE,FC交于点O.请猜想BE与C尸的数量关系及NBOC的度数，并说明

理由；

(3)拓展延伸：如图3,AABC和△AEF均为等腰直角三角形，N2AC=NEA尸=90°,连接

BE,CF,且点8,E,尸在一条直线上，过点A作AM_L8F,垂足为点M.则8F,CF,AM之间

的数量关系：;

(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2,若平面内存在点P满足NBP£>=90°,PD=\,则S

20.(1)如图①，在aABC中，AB=AC,/BAC=120°,BC=12,求aABC外接圆的半径r；

(2)如图②，是一个半径为200米的圆形广场，弦AB是广场上一个长为200«米的纳凉

演绎舞台，现计划在广场上建一个长为200米的手工艺集市CD,并在舞台AB和集市CO之间修

建两个休闲长廊AO和8C,规划长廊、舞台、集市围成四边形A8CD为活动区域，那么能否在

优弧A8上确定两点C、。，使得长廊AD+8C最长？若能，请求出4O+BC的最大值，并计算此

时的度数及四边形ABC。的面积；若不能，请说明理由.

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图①

图②

21.如图①，已知线段AB与直线/,过A、8两点，作OO使其与直线/相切，切点为尸，易证/AP2

^ZAHB>ZAQB,可知点尸对线段4B的视角最大.

问题提出

(1)如图②，已知△ABP的外接圆为。O,PQ与。。相切于点尸，交AB的延长线于点Q.

①请判断/8PQ与NA的大小关系，并说明理由.

②若QB=2,AB=6,求PQ的长.

问题解决

(2)如图③，一大型游乐场入DAB设在道路。N边上，在“雪亮工程”中，为了加强安全管理,

结合现实情况，相关部门准备在与地面道路。N夹角为60°的射线方向上(位于垂直于地面

的平面内)确定一个位置C,并架设斜杆AC,在斜杆AC的中点P处安装一摄像头，对入口/LB

实施监控(其中点A、B、D、P、C、M,N在同一平面内)，已知。4=40米，AB=25米，调研

发现，当/AP8最大时监控效果最好，请问在射线DM上是否存在一点C,使得NAPB达到最大?

若存在，请确定点C在。M上的位置及斜杆AC的长度：若不存在，请说明理由.

图②

图③

22.如图，AB是。0的直径，AC是弦，点E在圆外，OELAC于点。，8E交。。于点F,连接BD、

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BC、CF,NBFC=NAED.

(1)求证：AE是。。的切线；

(2)求证：。炉=。。・。£；

(3)设ABA力的面积为Si,△BOE的面积为S2,若tan/OOB=Z,求三L的值.

3S2

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圆问题中的解题模型与方法

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.已知。0的直径是5cm,点。到同一平面内直线I的距离5cm,则直线I与。。的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

【答案】A

【解答】解：设圆的半径为，，点。到直线/的距离为d,

r=2.5cm,d—5cm,

直线/与圆相离.

故选：A.

2.如图，某小区要绿化一扇形OAB空地,准备在小扇形OCQ内种花，在其余区域内（阴影部分）

OC=\Qm,则种草区域的面积为（）

125兀2「250兀2

A•等m2B.D.1252

-3-m•-3-m

【答案】B

【解答】解：S阴影=S扇形AO5-S扇形COA=兀X15_12u兀八、10,=125兀（加2）.

3603603

故选：B.

3.下列几何体中，三视图都是圆的为（）

第10页共38页

c.D.

【答案】4

【解答】解：从圆柱、圆锥、正方体侧面看,看到的是矩形、三角形、正方形.

故选：A.

4.如图，正方形A8CO中，AC,8。交于点。,前P为AB上一个动点，直线P0交CD于点Q,

过点8作垂足为点M,连接AM,若A8=4,则AM的最小值为（)

B.A/10-V2C.2D.-|V2

【答案】B

【解答】解：如图，取0B的中点T,连接MT,AT,过点T作TGA.AB于G,

•..四边形ABC。是正方形,

：.BC^CD=AB=4,NBCD=90°,ZABD=45°,

：.BD=-J2AB=4-J2<B0=D0=2®

:.BT=TO=®,

•••△BG7是等腰直角三角形，

：.BT=GT=\,

：.AG=AB-BG=3,

•••AT=VAG2-K；T2=712+32='

.•.NBMO=90°,

,:BT=TO,

:.TM=、BO=®

2

J.AM^AT-TM=yflQ-V2，

第11页共38页

的最小值为：^/lO-V2,

故选：B.

5.如图，一块含30°角的三角板和一块量角器，点。为EF的中点，4c经过点0,AC=EF,Z

FOC=120°,AC=4,点8恰在ECF上，则图中阴影部分的面积为（）

E

A.之穴更~B.JI-A/3C.2冗

32232

【答案】D

【解答】解：如图，连接08,依题意NAC8=60°,OB=OC,

•••△O8C为等边三角形，

：.ZOBC=60°,

而乙钻C=90°,

AZABO=30°,

而NA=30°,

：.OA=OB=OC,

'：AC=EF,AC=4,

：.BC=OC=OB=2,AB=2M，

VZF0C=120°,

AZACB+ZFOC=180°,

・・.OF//BC,

：.OEA.AB,

・・・E为AB的中点，

第12页共38页

:・BE=M，OE=—BC=I,

2

2

，S阴影部分=S"形FOC-S四边形OEBC=12°XJT义°B_-工(OF+BC)XBE=An-—JQ.

360232

故选：D.

6.如图，正六边形A8CDE尸的外接圆OO的半径为2,过圆心。的两条直线八、/2的夹角为60°,

则图中的阴影部分的面积为（）

DF4

【答案】C

【解答】解：如图，连接AD,OC,

是正六边形的外接圆，

.♦.A。必过点O,ZCOD=^——=60°,

6

又.：OC=OD,

.,.△COZ）是等边三角形，0c=OD=CZ）=2,

；直线/1、/2的夹角为60°,

AACOD-NKOD=NKOH-NKOD,

即NCOK=N。。”，

又•：NDOH=NAOG,

：.ZCOK=ZAOG,

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9：ZOCK=ZOAG=60°，OC=OA,

A△OCK=/\OAG(ASA),S扇形COM=S扃形AON，

S扇形COM-S〉OCK=S扇形AON-SAOAG,

:.S阴影=SCOD-SGCOD,

・••S有C/6QX兀”2=2.

3603

•'.s阴影=2TT-M.

3

7.如图,正方形ABC。的边长为2,。为对角线的交点，点E,尸分别为8C,AO的中点.以C为

圆心，2为半径作BD再分别以£尸为圆心，1为半径作BO,0D，则图中阴影部分的面积为（

A.n-1B.11-3C.TT-2D.4-n

【答案】C

【解答】解：连接BO,EF,如图,

•.•正方形ABC。的边长为2,O为对角线的交点,

由题意可得：EF,8。经过点。，且£F_LAD,EFLCB.

第14页共38页

•.•点E,F分别为2C,AO的中点,

:.FD=FO=EO=EB=1,

•••OB=OD-OB=OD.

...弓形08=弓形OO.

,阴影部分的面积等于弓形8。的面积.

QAJTXp21

，S阴影=SmCBD-SACBD=---------X9X9=TT-2-

3602

故选：C.

8.某数学研究性学习小组制作了如图的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个

直径为1的圆，把刻度尺C4的0刻度固定在半圆的圆心。处，刻度尺可以绕点O旋转.图中所

示的图尺可读出sinNAO8的值是（）

A.AB.5C.工D.7

58810

【答案】A

【解答】解：如图，把刻度尺与圆的另一个交点记作。，连接AD

力是直径,

VZAOB+ZAOD=90°,NAOO+NAOO=90°,

NAOB=ZADO,

由刻度尺可知，04=0.8,

，sinZAOB=sinZADO=-^—=—.

105

故选：A.

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9.如图，在△ABC中，CA^CB,/AC8=90°,A8=2,点。为A8的中点，以点。为圆心作圆

心角为90°的扇形。ER点C恰在弧E尸上，则图中阴影部分的面积为（）

【答案】D

【解答】解：连接C。，作DNA.AC.

'：CA=CB,ZACB=9Q°，点。为AB的中点，

：.DC=1AB^\,四边形DWCN是正方形，

22

则扇形"）E的面积是：90兀X/=三.

3604

"：CA=CB,ZACB=90Q，点。为AB的中点，

.•.CD平分N8C4,

XVDM1BC,ON_LAC,

:.DM=DN,

；NGDH=NMDN=9O°,

NGDM=ZHDN,

则在△DWG和△£>%”中，

，ZGDM=ZHDN

<DM=DN，

ZDMG=ZDNH

:ADMG空/\DNH(ASA),

••SniiiKDGCH=SnaiKDMCN——.

2

则阴影部分的面积是：--X.

42

故选：D.

第16页共38页

10.已知抛物线y=-&（X-1）（x-9）与x轴交于A,B两点,对称轴与抛物线交于点C,与x

16

轴交于点力，0c的半径为2,G为（DC上一动点，P为4G的中点，则力P的最大值为（）

22

【答案】A

【解答】解：如图，连接8G.

P为AG中点，。为A3中点，所以是aAPG的中位线，则。尸=』BG,当BG最大时，则

2

DP最大.

由圆的性质可知，当G、C、B三点共线时，BG最大.

VC（5,3）,B（9,0）,

•*-BC=｛呼+42=5,

；.BG的最大值为2+5=7,

.•.£>P的最大值为二.

2

填空题（共6小题）

第17页共38页

11.如图，直角△ABC中，N4=90°,NB=30°,AC=4,以A为圆心，AC长为半径画四分之

一圆，则图中阴影部分的面积是_4y二媪_（结果保留皿）.

【解答】解：连接AD.

•.•直角△ABC中，ZA=90°,ZB=30°,AC=4,

AZC=60°,AB=4愿，

'：AD=AC,

...三角形AC。是等边三角形，

AZCAD=60°,

；.ND4E=30°,

•••图中阴影部分的面积=4X4百+2-4X2百+2-迎工212sA_=4百-In.

3603

故答案为：473--IT.

3

12.如图，在△A8C中，AB=AC=2cm,ZCBA=30°,以A为圆心，AB为半径作BEC，以8c为

直径作半圆氤，则图中阴影部分面积等于土通_07«2.

-6

【答案】见试题解答内容

7122

【解答】解：5端形ACB=12°X±=1AZLcnAsB/,__1KX(5/3)=^2L-cm,5AABC=—

3603222

第18页共38页

X2代X1=依的2；

=

所以商标图案面积=S.^[31CBF+SA4^C-S^ACB12L+百-"=(2L+北)必.

236

故答案为：A+Vs.

6

13.如图，在平面直角坐标系X。)，中，P(4,3),。。经过点P.点A,点B在y轴上，PA=PB,

延长附，PB分别交。0于点C,点£>,设直线CD与x轴正方向所夹的锐角为a.

(1)00的半径为5；

(2)tana=—.

(2)A

3

【解答】解：(1)连接0P.

VP(4,3),

°p=732+42=5'

故答案为：5.

(2)设CD交x轴于J,过点P作PTLAB交。。于T,交4B于E,连接CT,DT,0T.

'：P(4,3),

：.PE=4,0E=3,

在RdOPE中，tan/P0E=F^=2,

OE3

'：OEA.PT,OP=OT,

：.ZPOE=NTOE,

：.ZPDT=^ZPOT=APOE,

2

第19页共38页

'：PA=PB.PELAB,

・,./APT=/DPT,

•••TC=DT.

：.ZTDC=ZTCD,

：PT〃x轴，

：.ZCJO^ZCKP,

■:NCKP=NTCK+NCTK,NCTP=NCDP,NPDT=NTDC+NCDP,

：.ZTDP=ZCJO,

.\ZCJO=ZPOE,

AtanZCJO=tanZPOE=&.

3

补充方法：证明/C/O=NEO尸时，可以这样证明：：/CJO+/TOJ=90°,NTQ/+/EOT=90°,

:.NCJO=NEOT,

"：ZEOT=ZEOB,

：.ZCJO=ZEOP,可得结论.

故答案为：A.

3

14.如图，A,B都在C£>的上方，AC=2,BD=8,CD=8,E为CD的中点，若NAEB=120°,

【答案】14.

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【解答】解：如图，作点C关于AE的对称点C',点。关于BE的对称点。‘，连接C4、EC.

VZAEfi=120°,

.•.乙4EC+/OEB=60°,

:.NCEC'+ZDED1=60°,

r.ZCED'=60°,

,:EC'=ED',

:.XCED'为等边三角形

"：AB^AC'+C'D'+D1B=CA+CE+BD=2+4+8=14,

：.AB的最大值为14,

答案为：14.

15.如图所示，边长为3厘米的正方形A8CZ）与边长为4厘米的正方形8EFG并排放在一起，以点

B为圆心，BE为半径画弧GE,连结OG,DE,则线段DG、OE与弧GE所围成的阴影部分的面

积是4n平方厘米.

【解答】解：OE和BC交于点H,

稀形ABGD=』(AD+BG>AB=1X(3+4)X3,

22

Sg4E=Lo»E=」X3X(3+4),

22

第21页共38页

S梯形ABGD=SADAE，

:・SAEBH=S4DGH，

••S阴=S扇形BEG，

,:S扇形BEG=—TIXBE1=AxnX42=4n,

44

，S阴=4it.

故答案为：4n.

16.如图，己知四边形ABC。是矩形，AB=8,AZ)=12,点E是线段0c上一个动点，分别以OE、

EC为边向线段OC的下方作正方形OEFG、正方形CE”/,连接G/,过点B作直线G/的垂线，

垂足是J,连接AJ,求点E运动过程中，线段A/的最大值是10+2JF.

【答案】10+2^/17.

【解答】解：如图，取G/中点P,以PB为直径作。0,

连接AO并延长交。。于点J,

作。M_LAC于M,作PQ_LA8于Q,交,OM、DC于点N、K,

二PK是梯形DGIC中位线，

•.•OC=8,

：.PK=1.(C/+DG)=4,

2

是G/中点，

.♦.P到DG、Cl的距离均为4,

...尸一定是以。C为边的正方形的中心点，

：.J一定在以BP为直径的圆上运动，

.•.当AJ过点圆心。时，A/最大，

：AB=8,

第22页共38页

，QB=4,

VAD=12,

APQ=16f

•・・Q8=4,

V42+162=4，

・•・01=2^/17，

•・・PQ=16,

・・・QV=AM=8,

•：ON=^QB=2,

・・・0M=6,

：.AO=\Of

：.AJ=\0+2-/u.

故答案为：10+25/17.

三.解答题(共6小题)

17.如图，△ABC中，ZC=90°,NA3C的平分线交AC于点。，点。在AB上，以点。为圆心,

以0B为半径的圆经过点。，交BC于点E,交AB于点F.

(1)求证：AC与。0相切；

(2)若8。=10,sinZDBC=^_,求AF的长.

5

第23页共38页

A

【答案】（I）见解析：

（2）225一

14

【解答】（1）证明：连接。£>,

；。力是半径

：.OD=OB,

；./ODB=NOBD,

VZABC的平分线交AC于点D,

：.ZABD=ZCBD,

：.ZODB=ZCBD,

：.OD//BC,

.•.乙4E>O=NC=90°,

；.AC是。。的切线；

(2)解：连接。F,

第24页共38页

••./r.ryp_3—CD—CD

•sinZDBC-5而百

：.CD=6,

：.BC=S,

•.•尸8为直径，

：.ZBDF=90°,

:.NBDF=/C,

■:NCBD=NFBD,

:ACDBs丛DFB,

•BDBC

••丽司

2

；.OO=OE=OB=空，

4

"：OD//BC,

：.XADOsXACB,

.•&5,即______去=上

ABBC好会8

2

解得：4F=磔.

14

18.如图，在△ABO中，AB=AD,以AB为直径的圆交AO于点M,交BD于点、O,延长AO至点

C,使OC=AO,连结CD,BC.

(1)求证：四边形ABC。是菱形；

(2)若AM=3,BO=娓,求cosNZMB.

【答案】(1)证明见解析部分;

(2)3.

5

第25页共38页

【解答】(1)证明：是直径,

AZAOB=90°,

：.AC±BD,

"：AB=AD,

：.BO=DO,

在△COD和△AOB中，

，CO=AO

<ZC0D=ZA0B>

DO=BO

：./\COD^^AOB(SAS),

：.CD=AB,NDCO=/OAB,

：.CD//AB,

四边形ABC。是平行四边形，

'：AB=AD,

二四边形ABC。为菱形；

(2)解：♦；8。=遥，

:.BD=2疾,

连接8M,则/AMB=90°,

设菱形的边长为2r,则。例=A。-AM=2r-3,

VBD2-DM2=AB2-AM2,即(2遥)2-(2r-3)2=⑵)2-32

解得或r--1(舍去)，

2

：.AB=5,

19.综合与实践:

第26页共38页

数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其

他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.

(1)发现问题：如图1,在△4BC和/中，A8=AC,AE=AF,N54C=NE4F=30°,连

接BE,CF,延长BE交CF于点D.则BE与CF的数量关系：BE=CF,ZBDC=30°；

(2)类比探究：如图2,在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE^AF,/BAC=NEA尸=120°,

连接8E,CF,延长BE,FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及/BOC的度数，并说明

理由；

(3)拓展延伸：如图3,aABC和aAEF均为等腰直角三角形，ZBAC=ZEAF=90°,连接

BE,CF,且点3,E,F在一条直线上，过点A作垂足为点M.则8F,CF,AM之间

的数量关系：8F=CF+2AM；

(4)实践应用：正方形ABCO中，AB=2,若平面内存在点P满足/BP£>=90°,PD=\,则S

【答案】过叵或工77..

44

【解答】解：(1)BE=CF,ZBDC=30°,

理由如下：如图1所示：

•・•△A8C和都是等腰三角形，

：.AB=AC,AE=AFf

又・・・N3AC=NE4F=30°,

AAABE^AACF(SAS),

:.BE=CF,

：.NABE=ZACD,

*/ZAOEZABE+ZBAC,

ZAOE=ZACD+ZBDC,

：.ZBDC=ZBAC=30°；

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A

图1

(2)BE=CF,ZBDC=60Q,

理由如下：如图2所示：

证明：VZ^C=ZEAF=120°,

：.ZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,

即NA4E=NCAF,

又・・・AABC和都是等腰三角形，

：.AB=AC,AE=AF,

(SAS)

：.BE=CF,

：.ZAEB=ZAFC,

VZEAF=120°,AE=AF,

：.ZAEF=ZAFE=30°,

：.ZBDC=ZBEF-ZEFD=ZAEB+300-(ZAFC-30°)=60°；

(3)BF=CF+2AM,

理由如下：如图3所示：

,/AABC和△AM都是等腰三角形，

：.ZCAB=ZEAF=90°,AB=AC,AE=AF,

：./CAB-ZCAE=ZFAE-NCAE,

即：N8AE=NCAF,

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.♦.△BAE丝△CAE(SAS),

：.BE=CF,

"：AM±BF,AE=AF,EA尸=90°,

：.EF=2AM,

,:BF=BE+EF,

：.BF=CF+2AM-,

(4))如图4所示：

连接8D,以BO为直径作圆，

由题意，取满足条件的点P,P',则PO=P'0=1.ZBPD^ZBP'0=90°

:.BD=2®

B/>=VBD2-BP2=V(2V2)2-12=^7，

连接南，作AF_LPB于点F,在BP上截取BE=PD,

"：ZPDA=ABE,AD=AB,

：./\ADP^/\ABE(SAS),

：.AP=AE,NBAE=NDAP,

...NB4E=90°,

由(3)可得：PB-PD=2AF,

:.AF=P^PD=JT_±,

22

.'.S^PAB=—PB*AF=,

24

同理可得：SMAB=2正，

4_

故△A8P的面积为：立巨或上巨.

44

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20.(1)如图①，在△A8C中，AB=AC,NBAC=120°,BC=\2,求△ABC外接圆的半径r；

(2)如图②，。0是一个半径为200米的圆形广场，弦AB是广场上一个长为200如米的纳凉

演绎舞台，现计划在广场上建一个长为200米的手工艺集市CQ,并在舞台AB和集市C£＞之间修

建两个休闲长廊AO和8C,规划长廊、舞台、集市围成四边形AB8为活动区域，那么能否在

优弧AB上确定两点C、。，使得长廊4D+BC最长？若能，请求出AO+BC的最大值，并计算此

时NBA。的度数及四边形ABC。的面积；若不能，请说明理由.

【答案】(1)4、笈；(2)在优弧AB匕确定两点C、。，使得长廊AQ+BC最长，此时/84)=75°,

四边形ABC。的面积为(40000+2000073)米

【解答】解：(1)设AABC外接圆为。0,连接04,OB,OA交BC于点。,如图，

AB=AC-

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AODA.BC,BD=DC=LBC=6,

2

；AB=AC,NB4C=I20°,

AZBAD=^ZBAC=60°,

2

.'.^ABO为等边三角形.

AZAOB=60°,

在RtAAOD中，

・・

・s•in6z-n0o—_*BD•一——，6_,

OBOB

2

（2）在优弧AB上确定两点C、D,使得长廊AD+8c最长.

连接04,OB,OC,OD,过点。分别作OE_LAQ,OFLBC,OH±AB,垂足分别为E,F,H,

如图，

：。。的半径为200米，AB=200愿米，

;./M=LB=IOO代米，

2

.\sinZAOH=里正，

OA2

；.N4O”=60°,

AZAOB=2ZAOH=\20°.

'：OB=OCD=200^,

...△OC。为等边三角形，

AZDOC=60°,

AZAOB+ZDOC=\^0°.

：.ZAOD+ZBOC=180°.

vZAOE^^LZAOD,/BOF=LNBOC,

22

AZAOE+ZBOF=90°.

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'：BFLOF,

：.ZBOF+ZBFO=90°,

：.NAOE=NFBO.

在△AE。和△OFB中，

，ZAE0=Z0FB=90"

'ZA0E=Z0BF>

OA=OB

：./\AEO^^OFB(AAS).

：.OE=BF.

VOELAD,OFVBC,

:.AE=1AD,BF=LBC,

22

：.OE=^BC.

2

,：AE1+OE1=OA1,

(-|AD)2+(-1BC)2=2002-

AAD2+BC2=160000,

:.AD+BC^yj(AD+BC)2AD2+BC2+2AD'BC=V160000+2AD»BC.

VeA=XxAD'OE=^XADX^BC=^AD'BC,

AOAD2224

.•.当SAOAO最大时，AD+BC取最大值，

VSA0AD[OA•O»sinNAO£)=20000Xsin/A。。，

.•.当NAOQ=90°,sin/A。。，最大，即SAQID最大，最大值为20000,

...当NAO£)=/BOC=90°时，AO+BC的值最大.

工在优弧48上确定两点C、。，使得长廊AO+8C最长：

此时，如图,

；NOAD=NODA=45°,NOAB=NOBA=30°,

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：.ZBAD=ZOAD+ZOAB=15°.

四边形ABCD的面积=S/i0A4+Sa08C+Sz\0A£)+Sz\0C。

=2X20000+AX20073X100+AX200X100V3

22

=(4OOOO+2OOOO5/3)米2.

21.如图①，已知线段AB与直线/,过A、B两点，作。。使其与直线/相切，切点为P,易证/AP8

=NAH2>NAQ2,可知点P对线段AB的视角最大.

问题提出

(1)如图②，已知△ABP的外接圆为。0,PQ与相切于点P,交AB的延长线于点Q.

①请判断N8PQ与NA的大小关系，并说明理由.

②若08=2,AB=6,求PQ的长.

问题解决

(2)如图③，一大型游乐场入口48设在道路DN边上，在“雪亮工程”中，为了加强安全管理，

结合现实情况，相关部门准备在与地面道路DN夹角为60°的射线QM方向上(位于垂直于地面

的平面内)确定一个位置C,并架设斜杆AC,在斜杆AC的中点尸处安装一摄像头，对入口48

实施监控(其中点A、B、D、尸、C、M、N在同一平面内)，已知D4=40米，AB=25米，调研

发现，当NAPB最大时监控效果最好，请问在射线DM上是否存在一点C