数值分析实验期末真题及答案

本试卷适应范围信科本试卷适应范围信科南京农业大学试题纸2012-2013学年1学期课程类型：必修试卷类型：A课程数值分析实验班级：学号：姓名题号一二三四五六七八九总分签名装订线装订线装订线装订线注：测试时间为100分钟，测试结束将测试报告与M-文件打包命名为：学号姓名〔如2130213刘刚〕，监考老师分班级打包发至邮箱*********@126【问题】湖水中氯和磷的浓度之间有一定的关系，下面是一组不同湖水中的测量值。湖泊磷浓度〔P〕mg/m3氯浓度〔Cl〕mg/m314.50.828.02.035.51.2439.011.0519.54.4617.53.8721.05.5〔1〕试建立用磷浓度预报氯浓度的经验公式。〔2〕如果测得某一湖泊磷浓度为16mg/m3，试推测该湖泊氯的浓度。〔提示：插值、最小二乘法〕【解答】1、理论概述与算法描述〔25分〕1.拉格朗日插值法是基于基函数的插值方法，插值多项式可表示为其中称为i次基函数：2.利用均差的牛顿插值法函数f的零阶均差定义为，一阶定义均差为一般地，函数f的k阶均差定义为：利用均差的牛顿插值法多项式为3.数据多项式拟合的最小二乘法假设因此求最小二乘解转化为由多元函数取极值的必要条件得即即引入记号:那么由内积的概念可知显然内积满足交换律方程组(4)便可化为将其表示成矩阵形式并且其系数矩阵为对称阵所以法方程组的系数矩阵非奇异,即根据Cramer法那么,法方程组有唯一解即是因此2、计算过程与计算结果〔25分〕〔1〕试建立用磷浓度预报氯浓度的经验公式。实验数据如下：4.55.58.017.519.521.039.00.81.22.03.84.45.511.0编写对任意数据表求Lagrange插值多项式的程序。Lagrange.m>>X=[4.55.58.017.519.521.039.0];Y=[0.81.22.03.84.45.511.0];L=Lagrange(X,Y)L=>>编写对任意数据表求Newton插值多项式的程序。Newton.m>>X=[4.55.58.017.519.521.039.0];Y=[0.81.22.03.84.45.511.0];N=Newton(X,Y);N=>>4.数据多项式拟合的最小二乘法。nihe.m二次拟合图像如下：系数a=//a=polyfit(x,y,2)>>四次拟合图像如下,效果已经相当可观：系数a=//a=polyfit(x,y,4)Columns1through4Column5-3.895060114464974e+000〔2〕如果测得某一湖泊磷浓度为16mg/m3，试推测该湖泊氯的浓度。1．编写用Lagrange多项式插值法计算函数近似值的程序。Lagr.m>>u=16;z=Lagr(x,y,u)z=3.695495880082876e+000>>此即为该湖泊氯的浓度。〔编写用Newton插值法计算函数近似值的程序，可以用第一题中的程序结果，同上〕2．数据多项式拟合的最小二乘法,采用四次拟合的结果估计。Fnihe.m>>x=16;fnihe(x)ans=3.2249>>3、计算结果分析、讨论与结论〔20分〕1.经过编程计算问题一，得到了拉格朗日插值多项式也进一步掌握了拉格朗日插值的原理也会进一步分析误差。通过程序计算还得到了在插值点处的函数值解决的问题。2.编写出牛顿插值多项式的主程序，虽然此次并未要求用其解决问题但是通过编程掌握了牛顿插值的根本原理理论转变成实践。3.在实验的中用MATLAB中自带的最小二乘多项式拟合。由于数据本身的线性相关性很强，2次最小二乘多项式拟合的结果已经很不错了。对于4次最小二乘多项式拟合的结果更是对数据的描述很好了。4、源程序代码〔30分〕Lagrange.mfunctionL=Lagrange(X,Y)symstN=length(X);L=0;fori=1:NW=1;forj=[1:i-1,i+1:N]W=(t-X(j))/(X(i)-X(j))*W;endL=L+W*Y(i);endL=expand(L);Newton.mfunctionN=Newton(x,y)n=length(x);symst;f=zeros(n-1,n);f(1,1)=y(1);fori=2:nf(1,i)=(y(i)-y(1))/(x(i)-x(1));endfori=2:n-1forj=i+1:nf(i,j)=(f(i-1,j)-f(i-1,j-1))/(x(j)-x(i));endendN=f(1,1);fori=2:nl=f(i-1,i);forj=1:i-1l=l.*(t-x(j));endN=N+l;endN=expand(N)nihe.mx=[4.55.58.017.519.521.039.0];y=[0.81.22.03.84.45.511.0];formatlongea=polyfit(x,y,2)y=polyval(a,x);plot(x,y,'-')Lagr.mfunctionz=Lagr(x,y,u)n=length(x);z=0;fori=1:n;A=1;forj=1:(i-1);A=A*(u-x(j))/(x(i)-x(j));endfork=(i+1):n;A=A*(u-x(k)