2023-2024学年四川省泸县高二年级下册开学考试数学（理）模拟试题 (二)（含答案）

2023-2024学年四川省泸县高二下册开学考试数学（理）

模拟试题

一、单选题

1.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检

验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种

型号的产品中抽取件.

A.24B.18C.12D.6

【正确答案】B

【分析】根据分层抽样列比例式，解得结果.

【详解】根据分层抽样得应从丙种型号的产品中抽取60x=I8,选B.

…200+4A00+°3L00+1S0C0

在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的

个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即m：Ni=n：N.

2.某汽车制造厂分别从A,3两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个

轮胎行驶的最远里程（单位：10'km）.

A类轮胎:94,96,99,99,105,107.

B类轮胎:95,95,98,99,104,109.

根据以上数据，下列说法正确的是（）

A.A类轮胎行驶的最远里程的众数小于B类轮胎行驶的最远里程的众数

B.A类轮胎行驶的最远里程的极差等于B类轮胎行驶的最远里程的极差

C.A类轮胎行驶的最远里程的平均数大于B类轮胎行驶的最远里程的平均数

D.A类轮胎的性能更加稳定

【正确答案】D

【分析】根据众数、极差、平均数和方差的定义以及计算公式即可求解.

【详解】解：对A：A类轮胎行驶的最远里程的众数为99,B类轮胎行驶的最远里程的众数

为95,选项A错误；

对B：A类轮胎行驶的最远里程的极差为13,8类轮胎行驶的最远里程的极差为14,选项B

错误.

-6-4-1-1+5+7

对C：4类轮胎行驶的最远里程的平均数为100+-----------------------=100,8类轮胎行驶的

最远里程的平均数为100+---------------=100,选项C错误.

6

对D：A类轮胎行驶的最远里程的方差为

(94ToO)2+(96-IOo)2+(99-IOO),2+(105TOO)2+007700)2f§类轮胎行驶的最

63

远里程的方差为

(95-100)2x2+(98-IoO)2+(99700)2+(104-100)2+(109-100)2=76>64>类轮胎的

性能更加稳定，选项D正确.

故选：D.

3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至

2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折

线图，下列结论错误的是()

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

【正确答案】A

【分析】观察折线图，结合选项逐一判断即可

【详解】对于选项A,由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；

对于选项B,观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；

对于选项C,观察折线图，各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份，故C正确；

对于D选项，观察折线图，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小,

变化比较平稳，故D正确.

故选：A

4.若直线x+αy+2=0与直线x-2y-3=0平行，则”=()

A.—2B.—C.ɪD.2

22

【正确答案】A

【分析】根据给定条件列式计算，再进行验证即可作答.

【详解】因直线x+αy+2=0与直线x-2y-3=O平行，则lx(-2)-axl=0,解得。=—2,

当。=一2时，直线X-2y+2=0与直线x-2y-3=0平行，

所以α=-2.

故选：A

5.若正整数N除以正整数机后的余数为〃，则记为N≡"(modm),如10≡2(mod4).如图所

示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的“中国剩余定理”.执行该程序框图，则输出的i

等于()

(⅞)

w=l,/=1

n=n+i

/=/+3

/输出i/

'I'

(⅜¾

A.7B.10C.13D.16

【正确答案】C

【分析】根据“中国剩余定理”，进而依次执行循环体，最后求得答案.

【详解】由题意，第一步："=2,i=4,余数不为1；第二步：〃=6,i=7,余数不为1；

第三步：/7=13,/=10,余数为1,执行第二个判断框，余数不为2；

第四步：n=23,/=13,执行第一个判断框，余数为1,执行第二个判断框，余数为2.

输出的，•值为13.

故选：C.

6.下列关于抛物线y=V的图象描述正确的是（）

A.开口向上，焦点为（0,；）B.开口向右，焦点为（；,（））

C.开口向上，焦点为（0,£|D.开口向右，焦点为

【正确答案】A

【分析】把y=/化成抛物线标准方程∕=y,依据抛物线几何性质看开口方向，求其焦点

坐标即可解决.

【详解】y=/,即f=y.则2p=l,BIJp=I

故此抛物线开口向上，焦点为（0,；）

故选：A

7.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来

到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为

AɪB-C3Dɪ

108810

【正确答案】B

【详解】试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿

灯的概率为40"-1短5=5],故选B.

几何概型

【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与

形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的

求解方法.

8.圆G5+y2-4χ-16=0与圆C2：£+（y+l>=5的位置关系是（）

A.相交B.外切C.内切D.相离

【正确答案】C

【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解.

【详解】由G:/+/-416=0与圆C2：/+。+1)2=5,

可得圆心〈(2,0),C(O,-1),半径N=2√5,Λ2=√5,

则IeGl=√(2-0)2+(0+02=√5,

旦Ri-R1=2yβS底,

所以N-A2=∣GG∣,所以两圆相内切.

故选：C.

9.在直三棱柱ABC-ABe中，AAI=2AB1=2BIC,,且ABLBC,点"是AG的中点，则

异面直线MB与AA所成角的余弦值为()

A.ɪB.迈C3√21

D.-

332

【正确答案】B

【分析】以8为原点，54为X轴，BC为V轴，84为Z轴，建立空间直角坐标系，求得

=AAI=(0,?01,利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线M8与AA

所成角的余弦值.

【详解】在直三棱柱ABC-ABg中，ΛΛl=2Λ,βl=2B1C1,且ABIBe,点M是AG，

以8为原点，区4为X轴，BC为V轴，BBl为Z轴，建立空间直角坐标系，

设AAi=2A1B1=2B1C1=2,

则M8(0,0,0),A(l,0,0),A(1,0,2),

MB=(-；,T,-g),A41=(0,0,2),

设异面直线MB与AA所成角为Q,

∣MB∙Λ41∣

4-2√2

则S""阿叫辱F

异面直线M3与AA所成角的余弦值为刎1,故选B.

3

本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题.求异面直线所成的角主要方法有

两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向

向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线

等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.

10.直线(2m+2)x+(2m-3)y+5=0(∕n∈R)与圆C:(x-l>+(y+2)2=16相交于交B两点,

则IABl的最小值为()

A.6B.4C.3√2D.2√3

【正确答案】D

【分析】先求出直线经过的定点P,再由弦长公式IABl=2彳二7'可分析出当A8,PC时，

∣A8∣最小，从而可求得结果.

【详解】因为(2〃?+2)x+(2m-3)y+5=0可化为2(x+y)m+2x-3y+5=0,

令A2，(x+y)=0解得[x=-.∖.

2x-3y÷5=0[y=l

所以直线AB恒过定点AT」)，该点在圆内，

因为IABI=2，尸-屋,所以要求IABl的最小值，即求圆心C到直线AB的最大距离,，

显然当ABLPC时，"=|尸。最大，∣A8∣最小，

又因为圆C"x-iy+(y+2)2=16,所以圆心C(l,—2),r=16,则

IPq=7(-l-l)2+(l+2)2=√13,

故此时IABl=2√r2-∣PC∣2=2×√16-13=2√3.

故选：D.

H.已知椭圆和双曲线有共同的焦点K,K,P是它们的一个交点，且N7=JPB=T,记椭

圆和双曲线的离心率分别为G,6,则0仁的最小值为()

A.—B.—C.1D.-

222

【正确答案】B

【分析】利用椭圆和双曲线的定义及可以列出关于6,右的方程，再利用均值

定理即可得到的最小值

【详解】设椭圆长轴长为2α,双曲线实轴长为24',

∖PFt∖=m,∖PF2∖=n,(〃z>〃),∖FiF2∖=2c

,(ιn+n=2a,fm=a-^a,

则C,，解t之得，

[m-n=2a[n=a-a

▼π/H2+/t2-4C21

乂cos—=-----------------=—

32mn2

则(a+")?+(々一")2—4c2=(α+α)(α-

134

则〃2+3/_4/=0,则~e∖τ+~eιτ=4

则4=」+42小三=拽,贝立

el"e2"Nele2ele22

(当且仅当4=*,g=乎时等号成立)

则eγ的最小值为必

2

故选：B

12.已知抛物线C：V="的焦点为尸，准线与X轴的交点为κ,点A在。上且

∖AK∖^>∕2∖AF∖,则ΔAFK的面积为()

A.4B.8C.16D.32

【正确答案】B

【详解】F(2,0),K(-2,0),过A作AM_L准线，则IAMl=IAF|,

.∙.∣AK∣=&IAM三角形APM为等腰直角三角形，

设A(m2,20m)(m>0),

由IAMl=IMKl得2&=/+2,解得机=2

则^AFK的面积=4x20m∙g=4应m=8,

故选B.

二、填空题

13.一组样本数据为m,0,1,2,3,若该样本的平均数为1,则样本方差为.

【正确答案】2

【分析】根据样本平均数为1，得到'"+°+[2+3=I,求出Zn=t,再利用方差计算公式

解出方差即可.

【详解】因为m0,1,2,3的平均数为1,即旭+°+；岁+3=],

解得帆=-1,

故方差为ʃ2=∣[(-1-D2+(O-I)2+(I-I)2+(2-1)2+(3-1)2]

=∣(4+l+0+l+4)=2.

故2

14.若圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为9JT的扇形，则该圆锥的体积为.

【正确答案】巫

3

【分析】根据题意，求得圆锥的底面圆的半径和高，结合体积公式，即可求解.

【详解】由题意，圆锥侧面展开图的半径为3,所以圆锥的母线长为/=3,

设圆锥的底面半径为，高为心则2Q=3X等,解得r=l,

可得圆锥的高为∕z=庐彳=存彳=20，

所以圆锥的体积Y=J]xl2χ20=豆豆.

33

故迤E.

3

15.过抛物线V=2px(p>0)的焦点尸作直线交抛物线于AB两点，。为坐标原点，记直线

。4,。8的斜率分别为《义,则K"=.

【正确答案】-4

【分析】过焦点尸作直线要分为有斜率和斜率不存在两种情况进行分类讨论.

【详解】抛物线V=2px(p>0)的焦点尸(争0)

当过焦点尸的直线斜率不存在时，直线方程可设为X=S不妨令A(《，P),B(4，-P)

N22

k一旦一2&--2

则勺—3一’多一旦一:故人4=2x(-2)=-4

I2

当过焦点尸的直线斜率存在时，直线方程可设为y=%(x-g,令A(XQ),8*2,必)

由＜，'=心一耳)整理得4日_4〃(父+2次+&方=0

.V=2px

则xl+x2=，［+2),χlχ2=,

2

y∣y2=k∖xl-y)(x2-y)=kxlx2(xl+x2)+

222

pk'n-IVIip'k'pkp(k+2)p-k

S2"=八2JJ4——W——^-=-4

X

1x2X1X2XiX2P

T

综上，kl-k2=-4

故T

16.如图，在四棱锥P-ABCO中，一皿>是边长为4的等边三角形，四边形ABCD是等腰

梯形，AD//BC,ZABC=GOo,AB=AD,若四棱锥P-ABa）的体积为24,则四棱锥

P-ABCD外接球的表面积是.

P

【分析】根据球的截面圆圆心与球心的连线垂直截面可确定00'垂直平面ABCr>,构造直角

三角形求解球的半径即可得解.

【详解】如图，分别取BC,4。的中点O',E,连接PE,0'E,0'A>0'D.

P

因为一JRM>是边长为4的等边三角形，所以PE=2√L

因为四边形ABCo是等腰梯形，AB=AD=4,AD//BC,NABC=60。,

所以O'E=2jLBC=S.

因为四棱锥P-AfiCO的体积为24,

所以lχ(4+8)>2G力=24,所以∕Z=2√L

32

因为E是AO的中点，所以PElAZX

因为PE=II=26,所以PEl■平面ABCD

因为。A=。B=Oe=。。=4,

所以四边形ABCQ外接圆的圆心为O',半径r=4.

设四棱锥P-ABCe)外接球的球心为0,连接。0',OP,0B,过点。作O尸，PE,垂足为

F.

易证四边形EFOO'是矩形，则EF=OO',OF=O'E=2瓜

设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R,则

R2=OO'-+O1B2=OF2+PF2=O'E2+(PE-OO')2,即

R2=OO'-+42=(2√3)2+(2√3-OO/y,解得W号，

故四棱锥p-ABCD外接球的表面积是4万尸=4”.

三、解答题

17.设P：函数〃x)=∣gf0x2-x+⅛>∣的定义域为R；9：不等式x+->a对任意的x∈(0,+∞)

I36，X

恒成立.

(1)如果P是真命题，求实数α的取值范围；

(2)如果“P9”为真命题，“2八4”为假命题，求实数。的取值范围.

【正确答案】(1)(3,T8)

(2)(→o,2)u(3,+∞)

【分析】（1）由对数函数的性质，转化为奴2一》+三>0对任意的Nw/?恒成立，结合二次

36

函数的性质，即可求解；

（2）利用基本不等式，求得当命题4是真命题，得到“<2,结合“pvg”为真命题，，，PM、，

为假命题，分类讨论，即可求解.

【详解】（1）解：因为。是真命题，所以0χ2-x+C>0对任意的XeR恒成立，

36

当α=O时，不等式-χ>O,显然在XeR不能恒成立；

a>0,

当αwθ时，则满足L,a八解得a>3,

I-4a—<0,

I36

故实数。的取值范围为（3,—8）.

（2）解：因为x>0,所以x+L≥2JχJ=2,当且仅当x=l时，等号成立.

若4是真命题，则。<2；

因为“pv”为真命题，“P^4"为假命题，所以P与4一真一假.

a>3,

当P真9假时，、。所以。>3；

a≥2,

[a<3,

当。假4真时，∖C所以“<2,

∖a<2,

综上，实数α的取值范围为（e,2）u（3,M）.

18.某地区2013年至2019年农村居民家庭人均纯收入M单位：千元）的数据如下表:

年份2013201420152016201720182019

年份代号t1234567

人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9

（1）求y关于/的线性回归方程；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2013年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入的变

化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

z(ʃ-ŋ(ʃ,-ʃ)IyK-"了

B=J-------------=j≡⅛-------------,a=y-h-T

∑0,-η2»；-〃・〃

/=II=I

【正确答案】(1)y=O.5r+2.3;(2)2013年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入逐

年增加，平均每年增加0.5千元；6.8千元.

【分析】(1)根据所给的数据，计算出i和7的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式求

出〃和α的值，即可得出〉关于，的线性回归方程；

(2)根据回归直线方程可分析出2013年至2019年该地区居民家庭人均纯收入的变化情况,

将f=9代入回归直线方程可计算出该地区2021年居民家庭人均纯收入的估计值.

【详解】(1)由所给数据计算得i=1(l+2+3+4+5+6+7)=4,

y=y(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,

Egiy=9+4+1+0+1+4+9=28,

Z(f,∙—‘)(y—)')=(—3)×(―1∙4)+(―2)x(―1)+(-I)X(—0.7)+0χ0.l+lχ0.5

Z=I

+2×0.9+3×1.6=14,

所求线性回归方程为y=0,5r+2∙3;

(2)由(1)知，6=0.5>0,故2013年至2019年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，

平均每年增加0.5万元，

将2021年的年份代号f=9代入(1)中的线性回归方程，得y=0∙5χ9+2.3=6.8,

故预测该地区2021年居民家庭人均纯收入为6.8万元.

本题考查线性回归方程的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法计算出线性回归方程的系

数，考查计算能力，是一个基础题.

19.已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线小x+2y+7=0相切，过点B(-2,θ)的直线/与圆A

相交于M,N两点，。是MN的中点，∣M∕V∣=2√19.

(1)求圆A的标准方程;

(2)求直线/的方程.

【正确答案】(I)(X+1『+(y-2)?=20

⑵X=-2或3x-4y+6=0

【分析】(1)由圆与直线相切结合点线距离公式可得半径，即可求得标准方程；

(2)分别讨论直线/与X轴垂直与否，设出直线方程，结合垂径定理、点线距离公式列方

程即可解得参数.

由圆与直线小x+2y+7=0相切得R=日竿口=2后,

【详解】(1)设圆A半径为R,

√5

...圆A的标准方程为(x+1)2+(>-2)2=20.

(2)i.当直线/与X轴垂直时，即X=-2,此时IMNI=2-(-1+2)2=2√I?，符合题意;

ii.当直线/不与X轴垂直时，设方程为y=&(x+2),即京-y+2k=0,

L-i------八I-Λ-2÷2⅛∣3

。是MN的中点，IMNT=2晒,ΛAQ=√20-19=1,即月。=L=1，解得

.∙.直线/为.3x-4y+6=0

直线/的方程为x=-2或3x-4y+6=0.

20.某学校为了调查学校学生在一周零食方面的支出情况，抽出了一个容量为"的样本，分

成四组[20,30),[30,40),[40,50),[50,60],其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,

60]元的学生有180人.

t频率

组距

0.036

0.024

0.01

0

2030405060支出金额/元

(1)求〃的值；

(2)请以样本估计全校学生的平均支出为多少元(同一组的数据用该区间的中点值作代表);

(3)如果采用分层抽样的方法从［30,40),［40,50)共抽取5人，然后从中选取2人参

加学校进一步的座谈会，求在［30,40),［40,50)中正好各抽取一人的概率为多少.

3

【正确答案】(1)600人；(2)43.6元；(3)-.

【分析】(1)求出［50,60］的频率，利用人数为180人，求出总人数”；

(2)利用频率分布直方图求出样本平均数，即可估计全校的平均支出；

(3)结合分层抽样，先求出5人中选2人一共有多少种情况，再看满足题目要求的有几种

情况，就可得到概率.

【详解】(1)由图可知，支出在［50,60］元的学生频率为1T0∙01+0∙024+0.036)X10=0.3,

所以"=180÷0.3=600人；

(2)样本平均数为0.01χl0*25+0.024χl0χ35+0.036*10χ45+0.03*10χ55=43.6元，

那么估计全校学生的平均支出为43.6元；

(3)用分层抽样的方法从(30,40),［40,50)共抽取5人，

因为［30,40),［40,50)中人数比例为2:3,

那么［30,40)抽取2人记为α,b,［40,50)中抽取3人记为A,B,C,

5人中选取2人有ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC共10种情况，

［30,40),［40,50)中各抽取1人有OAMBMC,⅛4,6B,bC,共6种情况,

故概率为(=∣.

21.如图，在四棱锥尸—ABCD中，PAJ_底面ABC。，PA=AB,5是PC的中点,

B

(1)证明：PBA.AF；

(2)求直线PB与平面AFQ所成角的正弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵平

O

【分析】(1)建立空间直角坐标系，分别求出向量PB和AF，证明P8∙A尸=O即可；

(2)先求出P8和平面4D的法向量"，然后利用公式卜。S(P3,〃)=1#求出

I`/IIPBHq

卜。S(PB,n)∣,则直线总与平面AH)所成角的正弦值即为卜。S(PB,.

兀

【详解】(I)证明：VBC=CD,AACB=ΛACD=-,.∖ΛACBACD,：.AB=AD,

设AC=2BC=28=4α,

在4AC。中，由余弦定理得">2=442+16〃-8/=12«2,即A∑>=2√5α,

则A£>2+C£)2=AC2,即ABlBC,ADVDC,

连接8。交AC于点。，分别以04,OB为X轴、y轴，过。作Z轴〃PA,建立如图空间直

角坐标系,则。(0,0,0),A(3α,0,0),B(0,√3α,0),C(-α,0,0),D(0,-√3α,0),P(3α,0,2岛),

PC的中点F(4,O,岛),

P

z

则PB=(一3〃,Gd—2岛)，AF=(一2〃,(),√3t∕),

VPBAF=6a2÷0-6a2=0,ʌPBVAF.

(2)由(1)可知，Ao=(—3〃,—GdO),AF=(-2〃,0,6〃)，PB=(―3氏耳,一2岛)，

设平面AfP的法向量为〃=（尤,y,z）,

nlAD-3ax-∖[3ay=O

则，即

∏1AF-2ax+∖∣3az=0

令犬=百，则V=-3,z=2,β[Jn=(>∕3,-3,2),

∣Pβ∙n∣∣-3√3(a-3√3a-4√3o∣5夜

贝UCoS(P氏〃)卜

∣PB∣∙∣M∣^2√6α×4-8

记直线尸8与平面Am所成角为O,Sine=kos<P8,“∣=手

2

22/v

∙已知椭圆w：/+%=y>°）的左、右焦点分别是耳，F21点P为W的上顶点,

点。在W上，PF2=IF2Q,且「白PQ=-亍.

（1）求卬的方程;

（2）已知过原点的直线4与椭圆W交于c,O两点，垂直于4的直线4过「且与椭圆W交

于"，N两点，若Iaf=6∣MN求5然6.

2

【正确答案】（1）⅞+r=i;（2）&.

4

（8cb、

（1）设耳（一。,0）,乙（。,0）,由已知P