2023-2024学年山东省泰安市宁阳一中高一（下）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山东省泰安市宁阳一中高一（下）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列说法正确的个数是(

)

(1)温度、速度、位移、功这些物理量是向量；

(2)零向量没有方向；

(3)A.0 B.1 C.2 D.32.10(a+A.9a+9b B.9a+3.如图，在△ABC中，AD=13AB，点E是CD的中点.A.23a−16b

B.24.已知非零向量a,b满足|b|=23|aA.π6 B.π3 C.2π5.已知在四边形ABCD中，DB−DA.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形6.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m=−e1A.k=0 B.k=1 C.7.在△ABC中，∠C=90°，BCA.30° B.60° C.120°8.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB→−OC→A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题中错误的有(

)A.起点相同的单位向量，终点必相同

B.已知向量AB//CD，则四边形ABCD为平行四边形

C.若a10.下列各组向量中，一定能推出a//b的是A.a=−3e，b=2e

B.a=−13e11.下列说法正确的是(

)A.向量a在向量b上的投影向量可表示为a⋅b|b|⋅b|b|

B.若a⋅b<0，则a与b的夹角θ的范围是(π2,π12.已知向量a，b满足|a+2b|=|aA.|b|=8 B.a+b三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a，|a|=2，e为单位向量，则|a14.已知|a|=3，|b|=5，且a⋅15.已知在△ABC中，E为AC的中点，D是线段BE上的动点，若AD=16.已知在△ABC中，AB=3，AC=2，∠AB四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA=a，OB=b，OC=c.在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：18.(本小题12分)

设向量a，b满足|a|=|b|=1，且|a−2b|=19.(本小题12分)设a,(1)若OA(2)若8a+kb20.(本小题12分)

已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量.若a=3e1+2e2，b21.(本小题12分)已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°(1)求证：(2)若|ka+b+22.(本小题12分)

如图所示，在△OAB中，OC=14OA，OD=12OB，AD与BC交于点M.过M点的直线l与OA、OB分别交于点E，F．

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：(1)温度与功没有方向，不是向量，故(1)错误，

(2)零向量的方向是任意的，故(2)错误，

(3)零向量的模可能为0，不一点是正数，故(3)错误，

2.【答案】B

【解析】解：根据向量运算公式可知，10(a+b)−(a−3.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，AD=13AB，且E是CD的中点，

所以EA4.【答案】D

【解析】解：根据题意，设a与b的夹角为θ，

因为a⊥(3a+b)，所以a⋅(3a+b)=3|a|2+a⋅b=0，变形可得a⋅5.【答案】A

【解析】解：由DB−DA=AC−AD，可得AB=DC，

则AB/6.【答案】D

【解析】解：若向量m=−e1+ke2(k∈R)与向量n=e2−2e1共线，

则存在实数λ，使m=λ7.【答案】C

【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，BC=12AB，故有∠B=60°，

故AB与8.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，属于基础题．

根据平面向量的线性表示与数量积运算，结合题意可得出△ABC是等腰三角形．

【解答】

解：因为(OB−OC)·(OB+OC−2OA)=0，

即CB·9.【答案】AB【解析】解：单位向量的方向不确定，所以起点相同，终点不一定相同，故A错误；

四边形ABCD中，由AB//CD，可得AB/​/CD，但四边形ABCD不一定为平行四边形，故B错误；

当b=0时，满足a//b，10.【答案】AB【解析】解：A.因为a=−3e，b=2e，故b=−23a，即a//b，故A正确；

B.因为a=−13e，b=23e，故b=−2a，即a//b，故B正确；

C.

a=e11.【答案】AB【解析】解：A.根据投影向量的定义可知，向量a在向量b上的投影向量可表示为a⋅b|b|⋅b|b|，故A正确；

B.根据a⋅b<0，可知|a|⋅|b|cos<a，b><0，故cos<a，b><0，所以a与b的夹角θ的范围是(π2,π]，故B正确；12.【答案】BC【解析】解：因为|a+2b|=|a|，所以|a+2b|2=|a|2，

即a2+4a⋅b+4b2=a2，整理可得a⋅b+b2=0①，

再由a⋅b+a2=0，且|a|=2可得a213.【答案】3

【解析】解：设向量a、e夹角为θ，∵|a|=2，e为单位向量，

∴|a+e|=(a+e)2=5+4cosθ14.【答案】1225【解析】解：|a|=3，|b|=5，且a⋅b=12，

则向量a在向量15.【答案】8

【解析】解：如图，因为AD=xAB+yAC，E为AC的中点，

所以AD=xAB+2yAE，

因为B，E，D三点共线，

所以x+2y=1(x>0,16.【答案】[−【解析】解：设PC=mAC(0≤m≤1)，则PB=PA+AB=(m−1)AC+A17.【答案】解：(1)根据相等向量的定义及正六边形的性质，

可得与a相等的向量有DO，EF，CB；

(2)根据相反向量的定义及正六边形的性质．

可得b的相反向量有BO，OE，AF，CD；

(3)根据向量的模的定义及正六边形的性质

可得与c的模相等的向量有EF，FE，AF，FA，AB，BA，

BC，CB，CD，DC，DE，ED【解析】根据相等向量，相反向量，向量的模的定义即可求解．

本题考查相等向量，相反向量，向量模的定义，属基础题．18.【答案】解：(1)设a与b的夹角为θ(0≤θ≤π)，

|a−2b|=(a−2b)2=【解析】(1)平方|a−2b|=719.【答案】(1)证明：∵OA=2a−b，OB=3a+b，OC=a−3b，

∴AB=OB−OA=(3a+b)−(2a−b【解析】本题考查了向量的运算和共线定理、向量基本定理，属于中档题．

(1)利用向量的运算和共线定理即可得出；

20.【答案】解：因为a，b的夹角为锐角，所以a⋅b>0，且a，b不共线，

当a⋅b>0时，(3e1+2e2)⋅(te1+2e2)

=3te12+(6+2t)e【解析】由数量积的定义，转化为a⋅b>0，且a，21.【答案】解：(1)证明∵(a−b)⋅c=a⋅c−b⋅c

=|a|⋅|c|⋅cos120°−|b|【解析】本题考查向量垂直的充要条件、向量模的平方等于向量的平方、向量的数量积公式，属于中档题．

(1)利用向量的分配律及向量的数量积公式求出(a−b)⋅c；利用向量的数量积为0向量垂直得证2