正态分布指数分布对数正态分布和威布尔分布函数及其在工程分析中的应用样本

正态分布、指数分布、对数正态分布和威布尔分布函数及其在工程分析中应用 张洋洋目录TOC\o"1-9"\h\u22988正态分布函数 31412正态分布应用领域 41299正态分布案例分析 527443指数分布函数 5925指数分布应用领域 611888指数分布案例分析 75237对数正态分布函数 79949对数正态分布应用领域 931339对数正态分布案例分析 95852威布尔分布函数 105609威布尔分布应用领域 163732威布尔分布案例分析 1610834附录 1820553参照文献 21正态分布函数【1】正态分布概率密度函数f（t）蓝线：μ=-1σ=2红线：μ=1σ=2棕线：μ=-1σ=3绿线：μ=1σ=3均数μ决定正态曲线中心位置；原则差σ决定正态曲线陡峭或扁平限度。σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。正态分布函数F（t）蓝线：μ=-1σ=2红线：μ=1σ=2棕线：μ=-1σ=3均数μ变化，图像会进行平移，原则差σ变化，图形陡峭度发生变化。σ越小，图像越陡。正态分布可靠度函数R（t）蓝线：μ=-1σ=2红线：μ=1σ=2棕线：μ=-1σ=3均数μ变化，图像会进行平移，原则差σ变化，图形陡峭度发生变化。σ越小，图像越陡。正态分布失效率函数λ（t）蓝线：μ=-1σ=2红线：μ=1σ=2棕线：μ=-1σ=3均数μ变化，图像会进行平移，原则差σ变化，图形陡峭度发生变化。σ越小，图像越陡。正态分布应用领域【1】正态分布是一种最常用持续型随机变量分布,它在概率论和数理记录中无论在理论研究还是实际应用上都占有头等重要地位,这是由于它在误差理论、无线电噪声理论、自动控制、产品检查、质量控制、质量管理等领域均有广泛应用.数理记录中许多重要问题解决都是以正态分布为基本.某些医学现象，犹如质群体身高、红细胞数、血红蛋白量、胆固醇等，以及实验中随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些资料虽为偏态分布，但经数据变换后可成为正态或近似正态分布，故可按正态分布规律解决。正态分布案例分析【1】例1.10某地1993年抽样调查了100名18岁男大学生身高（cm），其均数=172.70cm，原则差s=4.01cm，①预计该地18岁男大学生身高在168cm如下者占该地18岁男大学生总数百分数；②分别求X+-1s、X+-1.96s、X+-2.58s范畴内18岁男大学生占该地18岁男大学生总数实际百分数，并与理论百分数比较。本例，μ、σ未知但样本含量n较大，按式（3.1）用样本均数X和原则差S分别代替μ和σ，求得u值，u=（168-172.70）/4.01=-1.17。查附表原则正态曲线下面积，在表左侧找到-1.1，表上方找到0.07，两者相交处为0.1210=12.10%。该地18岁男大学生身高在168cm如下者，约占总数12.10%。其他计算成果见表3。表3100名18岁男大学生身高实际分布与理论分布分布身高/cm实际分布人数实际分布百分数理论分布X+-1s168.69～176.71676768.27X+-1.96s164.84～180.56959595.00X+-2.58s162.35～183.05999999.00指数分布函数指数分布概率密度函数f（t）蓝线：θ=2红线：θ=3θ值变化，图像陡峭度变化，且θ值越小，图像越陡，上升越快。指数分布函数F（t）蓝线：θ=2红线：θ=3θ值变化，图像陡峭度变化，且θ值越小，图像越陡，上升越快。指数分布可靠度函数R（t）蓝线：θ=2红线：θ=3θ值变化，图像陡峭度变化，且θ值越小，图像越陡，下降越快。指数分布应用领域【1】在电子元器件可靠性研究中，通惯用于描述对发生缺陷数或系统故障数测量成果。这种分布体现为均值越小，分布偏斜越厉害。指数分布应用广泛，在日本工业原则和美国军用原则中，半导体器件抽验方案都是采用指数分布。此外，指数分布还用来描述大型复杂系统（如计算机）平均故障间隔时间MTBF失效分布。但是，由于指数分布具备缺少“记忆”特性．因而限制了它在机械可靠性研究中应用，所谓缺少“记忆”，是指某种产品或零件通过一段时间t0工作后,依然犹如新产品同样,不影响后来工作寿命值，或者说，通过一段时间t0工作之后，该产品寿命分布与本来尚未工作时寿命分布相似，显然，指数分布这种特性，与机械零件疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程实际状况是完全矛盾，它违背了产品损伤累积和老化这一过程。因此，指数分布不能作为机械零件功能参数分布形式。指数分布虽然不能作为机械零件功能参数分布规律，但是，它可以近似地作为高可靠性复杂部件、机器或系统失效分布模型，特别是在部件或机器整机实验中得到广泛应用。指数分布图形表面上看与幂律分布很相似，实际两者有极大不同，指数分布收敛速度远快过幂律分布。指数分布案例分析【2】对数正态分布函数对数正态分布概率密度函数f（t）蓝线：μ=0σ=0.5红线：μ=0.5σ=0.5棕线：μ=0.8σ=0.5图像随μ增大而变得陡峭，且向f（t）轴接近。（上图）蓝线：μ=0σ=0.5红线：μ=0σ=0.7棕线：μ=0σ=1绿线：μ=0σ=1.3图像随σ增大先下降再上升，且向f（t）轴接近。（下图）对数正态分布可靠度函数R（t）蓝线：μ=0σ=0.5红线：μ=0.8σ=0.5棕线：μ=0σ=1μ越大，图像越陡，下降越快；σ越小，图像越陡，下降越快。对数正态分布失效率函数λ（t）蓝线：μ=0σ=0.5红线：μ=0.8σ=0.5棕线：μ=0σ=1图像随μ增大而变得陡峭，且向λ（t）轴接近。图像随σ增大先下降再上升，且向λ（t）轴接近。对数正态分布应用领域【3】对数正态分布在实际中有着重要应用，如在经融市场理论研究中，知名期权定价公式以及许多实证研究都用对数正态分布来描述经融资产价格。在工程、医学和生物学领域里对数正态分布也有着广泛应用。对数正态分布案例分析【4】即此股票有效期为6个月一份欧式看涨期权价值为9.52元，如果发现此期权价格低于9.52元可以考虑买入，如果价格高于9.52元则考虑卖出此期权.威布尔分布函数图一图2图3对数正态分布概率密度函数f（t）图1：γ=1，η=1蓝线m=0.5红线m=1棕线m=2绿线m=3随m变大，图像由凹变缓再变凸。图2：m=1，γ=1蓝线η=0.5红线η=1棕线η=2绿线η=3随γ变大，图像由陡变缓。图3：m=1，η=1蓝线γ=0.5红线γ=1棕线γ=2绿线γ=3随γ变大，图像由缓变陡。图1图2图3对数正态分布函数F（t）图1：γ=0，η=1蓝线m=0.5红线m=1棕线m=2绿线m=3随m增大，图像越陡，上升越快。图2：m=1，γ=0蓝线η=0.5红线η=1棕线η=2绿线η=3随η增大，图像越缓，上升越慢。图3：m=1，η=1蓝线γ=0红线γ=1棕线γ=2绿线γ=3图像随γ变化而平移，γ变大，向右移。图1图2图3对数正态分布可靠度函数R（t）图1：γ=1，η=1蓝线m=0.5红线m=1棕线m=2绿线m=3随m增大，图像下降由先快后慢变成先慢后快。图2：m=1，γ=1蓝线η=0.5红线η=1棕线η=2绿线η=3随η增大，图像下降由陡变缓。图3：m=1，η=1蓝线γ=0.5红线γ=1棕线γ=1.5绿线γ=2随γ增大，图像下降由缓变陡。图1图2图3对数正态分布失效率函数λ（t）图1：γ=0，η=1蓝线m=0.5红线m=1棕线m=1.5绿线m=2随m增大，图像由下降到上升。图2：m=3，γ=0蓝线η=0.5红线η=1棕线η=2绿线η=3随η增大，图像上升变得缓慢。图3：m=3，η=1蓝线γ=0红线γ=1棕线γ=2绿线γ=3图像随γ变化而平移，γ增大向右平移。威布尔分布应用领域【1】1.生存分析2.工业制造：研究生产过程和运送时间关系3.极值理论4.预测天气5.可靠性和失效分析6.雷达系统：对接受到杂波信号依分布建模7.拟合度：无线通信技术中，相对指数衰减频道模型，威布尔衰减模型对衰减频道建模有较好拟合度8.量化寿险模型重复索赔9.预测技术变革10.风速：由于曲线形状与现状很匹配，被用来描述风速分布威布尔分布案例分析【5】以白云鄂博矿医风电场选址为例．该地区近年平均风速为v=5.5m/s(1972～)，在测风年(6月～5月)内测风塔上10m年平均风速v为6.1m/s．最大风速值为Vmax=16．7以．观测时间T=8760h．测风塔海拔高度为1612m。拟定风电场测风塔上10m月平均风速见表l： 依照所给资料．运用上述4种办法分别对威布尔分布参数k和c进行计算．计算成果见表2将表2中k和c值输人到威布尔分布函数曲线仿真系统图1中，通过计算机模仿仿真．得到拟合曲线如图3。图3白云鄂博矿区10m威布尔分布函数曲线图3白云鄂博矿区10m威布尔分布函数曲线由图3可知，上述4种办法拟合出来曲线基本重叠，且通过计算得到威布尔分布函数。可以拟定风速分布形式．风力发电机组设计各个参数．因而给实际使用带来了许多以便。依照拟合威布尔曲线可以较好地描述白云鄂博矿区10In风速分布状况．并能得出对该地区风能资源评价参数，如平均风功率密度，风能可运用小时数。附录：指数函数C语言程序：#include<stdio.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>floatE(floatt,floats){ if(t<0||s<0)return0; else {floatx=-t/s; floaty=1-exp(x); returny; }}voidmain(){floatt,floats;FILE*fp;charname[10];printf("pleaseinputthefilename:");gets(name);fp=fopen(name,"w");if(fp==NULL){printf("cannotopenfile");exit(1);}elsescanf("%f",&s);fprintf(fp,"%f\n",s);for(t=0;t<20;t++){fprintf(fp,"%f",t);fprintf(fp,"%f\n",E(t,s));}fclose(fp);}指数函数F（t）#include<stdio.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>floatE(floatt,floats){ if(t<0||s<0)return0; else {floatx=t/s; floaty=exp(x)/s; returny; }}voidmain(){floatt,floats;FILE*fp;charname[10];printf("pleaseinputthefilename:");gets(name);fp=fopen(name,"w");if(fp==NULL){printf("cannotopenfile");exit(1);}elsescanf("%f",&s);fprintf(fp,"%f\n",s);for(t=1;t<20;t++){fprintf(fp,"%f",t);fprintf(fp,"%f\n",E(t,s));}fclose(fp);}指数密度函数f（t）#include<stdio.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>floatE(floatt,floats){ if(t<0||s<0)return0; else {floatx=-t/s; floaty=exp(x); returny; }}voidmain(){floatt,floats;FILE*fp;charname[10];printf("pleaseinputthefilename:");gets(name);fp=fopen(name,"w");if(fp==NULL){printf("cannotopenfile");exit(1);}elsescanf("%f",&s);fprintf(fp,"%f\n",s);fo