2023-2024学年湖南省永州市石期市镇中学高三数学理月考试卷含解析

2023年湖南省永州市石期市镇中学高三数学理月考试

卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

2

1.在复平面内,复数17对应的点到直线，='-I的距离是:

3点0

A.2&B.圾C.2D.2

参考答案:

D

略

2.如图，正方形AfiCD的边长为6,点“分别在边4D,W上，且

"=如.如果对于常数4,在正方形碑&的四条边上，有且只有6个不同的点尸使得

由所-Z成立，那么4的取值范围是（）

(A)(°>7)(B)d，7)(C)(D)

参考答案:

C

3.一个三棱锥的侧棱长都相等，底面是正三角形，其正（主）视图如右图所示.该三棱锥

侧面积和体积分别是（）

8

炳-

•¥3

屈+1），竽&|

参考答案：

A.

试题分析：如图，由题意得三棱锥S-45C中，SA=SB=SC,高SD=2,AX5c是

S-M=—x2x2xsm600=-J3

边长为2的等边三角形，所以3-2,所以该三棱锥的体积

r=-xJ3x2=—

亍.又因为:优」平面所以。点是A45C的重心，所以

DE=-AE^—SE=^25+（—）a=—

33,SELBC,VI3J3,所以

y_弋_«_1乂：＞乂叵一遐L

3-3一3一3,所以该三棱锥侧面积,=趣.故应选A.

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积.

4.如图所示，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视

图，则该几何体的表面积为（）

A.2+2避+^B.4+273+76C.4+473+76D.2+V3+V6

参考答案：

A

【考点】由三视图求面积、体积.

【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P-ABC,其中侧面PABL底面ABC,在平面

PAB内，过点P作PDJ_AB,垂足为D,连接CD,CD1AD.进而得出.

【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P-ABC,

其中侧面PAB,底面ABC,在平面PAB内，过点P作PDLAB,垂足为D,连接CD,

CD1AD.

该几何体的表面积S=~2X1*2X2+^-X或也［万*2^2XV3

=2+2A/3+V6.

故选：A.

5.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（）

y=---------

3

A.y=cos2xB.y=log21x|C.2D.y=x+l

参考答案：

B

考点：奇偶性与单调性的综合.

专题：函数的性质及应用.

分析：利用函数奇偶性的定义及基本函数的单调性可作出判断.

解答：解：函数y=logz|x|的定义域为（-8,o）U（0,+8）,关于原点对称,

且logz|-x|=log2|x|,.,.函数y=log21x|为偶函数，

当x>0时，函数y=log2|x|=log2x为R上的增函数*

所以在（1,2）上也为增函数，

故选B.

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法.

6.已知函数〃力=成"+出＞0)图象的最高点与相邻最低点的距离是

1

、，行，若将/=/(9的图象向右平移％个单位得到y=g(9的图象，则函数/=夕(力

图象的一条对称轴方程是()

511

x=—x=—x=—

A.6B,3c.2D.

x=O

参考答案：

B

7.袋中共有8个球，其中3个红球、2个白球、3个黑球.若从袋中任取3个球，

则所取3个球中至多有1个红球的概率是

937395

(A)14(B)56(C)56(D)7

参考答案：

D

3bi

8.复数丁昌等于

A.l+2iB.1—2iC.2+iD.2—i

参考答案：

D【知识点】复数的基本概念与运算L4

3+i_(3+iXlT)4-2

==

i77(i+o(i-»)—=2-i

【思路点拨】两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共辆复数，再利用虚数单位i的

累运算性质进行准确化简运算.

9.在下列条件中，可判断平面a与B平行的是()

A.a、B都垂直于平面r.

B.a内存在不共线的三点到B的距离相等.

C.1,m是a内两条直线，且1〃8,m〃B.

D.1,m是两条异面直线，且l〃a,m〃a,l〃B,m〃B.

参考答案：

答案：D

10.已知两条直线y二以-2和%-(4+二》+：=°互相平行，则a等于()

A.1或-3B.T或3C.1或3D.T或-3

参考答案：

A

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x£R,都有f(x-2)=f(x+2),且当

a)x-i…

x£［-2,0］时，f(x)=2.若函数g(x)=f(x)-loga(x+2)(a>l)在

区间(-2,6］恰有3个不同的零点，则a的取值范围是.

参考答案：

(弧,2)

考点：根的存在性及根的个数判断；函数的周期性.

专题：计算题；压轴题；数形结合.

分析：由题意中f(x-2)=f(2+x),可得函数f(x)是一个周期函数，且周期为4,又

由函数为偶函数，则可得f(x)在区间(-2,6］上的图象，结合方程的解与函数的零点

之间的关系，可将方程f(x)-log,x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为两个函数图象

恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围.

解答：解：•.•对于任意的xGR,都有f(x-2)=f(2+x),

函数f(x)是一个周期函数，且T=4

(浸)-1

又•.•当xG［-2,0］时，f(x)=2，且函数f(x)是定义在R上的偶函数,

故函数f(x)在区间(-2,6］上的图象如下图所示：

若在区间(-2,6］内关于x的方程f(x)-log,(x+2)=0恰有3个不同的实数解

贝(1loga4<3,loga8>3,

解得：V4<a<2,

即a的取值范围是(狷，2)；

故答案为(北，2).

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，关键是根据方程的解与函数的零点之间的关

系，将方程根的问题转化为函数零点问题.

12.如图，已知“8C中，点。在边BC上，为都的平分线，且

苧贝晨的值为

，AASC的面积为

参考答案:

21

【分析】

AHRD

在AAB。和△AOC中，分别由正弦定理可得疝■乙4DAsinN/LW和

JCCD8DAR

a^ZJDC上N£11C,进而可求得。CAC,

设N&4D-a,分别表示出△ABD和AAOC的面积，再由二者面积之和为“BC的面积，可求得

a的值，进而可求出答案.

ABBD

【详解】在AAB。中，由正弦定理得:心»乙处A-曲1&«),

ACCD

在△AOC中，由正弦定理得:riaNJDCSBZZMC,

因为么切=ZZMC,AIZAD/=成乙切C,

BDAB\

所以而=衣=2

X='】x柜X-a=311a

设Z&山-a,则233

拽da=短成a

233

呈/.=£X】X2XCII2^Z=2Cnacosa

K

----sn<Z4--------sina=2an4Z(XK»<Zcosa=—aa=—

则33，解得2，即4

-xlx2xan-sl

22

故答案为：2；i.

【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的运用，考查了三角形面积公式的运用,考查了

学生的计算求解能力，属于中档题.

--<a.b>-—,（«+^）（。+与）=0（4€火）,

13.己知单位向量a»,且满足3，则4=

参考答案:

-1

略

14.在直角坐标系X0中，以原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线

®

2

VT2

经过曲线9=%cos6（4>0）的焦点，则实数4的值为

参考答案：

4【知识点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程.N3

由曲线Qsm2e=%c°$8（"明^y2=2ax,（a>0）,

・

囱

-2+

IX2

——

，

y-Y+

由.消去参数t可得x-y-2=0,

经过曲线曲线0力£-'=出868（4>0)

曲线的焦点,

.•.由2可得a=4,故答案为：4.

【思路点拨】将直线的参数方程和极坐标方程化为普通方程和直角坐标方程，即可得出结

论.

15.对于定义域为［0,1］的函数/（X）,如果同时满足以下三个条件：

①对任意的xe10R,总有/仁）>°②/⑴T

③若演之0.勺之0,Xi+与$1,都有了（可+马）之/（再）+/（叼）成立；

则称函数JCG为仃函数。下面有三个命题：

(1)若函数/(X)为。函数，则/(01=°；

(2)函数/⑴=?-15父0,中是圻函数；

(3)若函数/")是二函数，假定存在4父°刀，使得且“(%)J=/，则

/(用)=%；其中真命题是.(填上所有真命题的序号)

参考答案：

⑴⑵⑶

16.设全集口=0«23»….期，非空集合A,8满足以下条件：

①=Ar\i=0;

②若xwZ,则*且g'A

当7w/时，16(填丛或更),此时5中元素个数为.

参考答案：

AX18

【分析】

先假设1CA,推出与条件矛盾，得16B,然后根据条件以及进行讨论求解即可.

【详解】(1)因为4cB=0；所以，有且只有一个成立，

若Ie),对于任一个xw6,

l.x=xeJJ,

与若xcd,ycjj则矛盾，

所以，ItA不成立，只有leB；

(2)因为7e41eB,

所以，7+l=8wB.7*1二7七4,

若6wd,则6+l=7w4与7wZ矛盾，所以，6eB,

由76A6wB可得：7+6=13”,

同理7+13=20wB,

若2wA,因为8wB,所以，2+«=10eB.2xl0=20€A与矛盾，所以，

2EB,

因为2wB,所以，7+2=9eB,7+8=16EB.2X7=MWA,

7eA,10eB可推得：3eB,7+10=17eB

若由3WB,可得：4+3=7WB,与7wA矛盾，所以，4eB,

所以714-neB,7+lU18eB

若5w4,由2wB,可得：5+2=7e«,与7wA矛盾，所以，5eB,

所以7+5=12eB.7+12=19eB

所以，A=(U%

B^aX«，4,5AA-.19.201,共有18个。

【点睛】本题主要考查合情推理的应用，利用反证法结合分类讨论进行求解即可.

17.若函数/任)="*9"，)(4>02>0)的图象与直线股・的三个相邻交点的横

xK2n

坐标分别是丁至，丁，则实数0的值为.

参考答案：

4

函数.*“I的图象与直线1口的三个相邻交点的横坐标分别是

二；丁，故得到函数的周期为：L故得到。一，.

故答案为：4.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知抛物线C：y2=2px(p>0)焦点为F(1,0),过F作斜率为k的直线交抛物线C

于A、B两点，交其准线1于P点.

(I)求P的值;

(II)设|PA|+|PB|=A|PA|?|PB|?|PF|,若我号’“，求实数X的取值范围.

参考答案：

【考点】抛物线的简单性质.

【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】(I)运用抛物线的焦点坐标，计算即可得到所求方程；

(II)由题可知：直线AB的方程为y=k(x-1)(k#0),准线1的方程为x=-l,设A

(xi,yD,B(xz,y2),联立抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，运

用不等式的性质，即可得到所求范围.

【解答】解：(I)因为焦点F(1,0),

豆=1

所以2\解得p=2；

(II)由题可知：直线AB的方程为y=k(x-1)(kr0),

准线1的方程为x=-1.

设A(xi,yi),B(x2,y?),

22

则iPATl+k?(xi+1),|PB|=Vl+k(x2+l),|PF|=271+k

y=k(x-1)

2

由y-4x消去y得，k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

由|PA|+|PB|=A|PA|?|PB」？|PF|得,

2

(X]+1)+(x2+l)=2入(1+k)•(xj+l)•(x2+l)

解得

X=-----^-y—

2(1+k2).

因为匹自I〕，所以入ES,1].

【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达

定理，注意运用弦长公式和抛物线的定义，考查运算能力，属于中档题.

mrunr4

19已知4々°)＞联20),动点田满足〃《=加，I皿1皿卜一仇

(■UIBU

(1)求的值，并写出M的轨迹曲线C的方程；

(2)动直线=与曲线c交于尸，。两点，且"_LQ0,是否存在圆

/使得直线/恰好是该圆的切线，若存在，求出圆的方程；若不存在，说明理由.

参考答案：

(1)设|赤川战|=”，

wn"inr4

1“I,\AM\

且cos，6,mnca^0-4,

在MJM中，由余弦定理得

m1-4l=2wmcos2^0-I)=4W!COS5^-2WI

2mn-4WIC0S10+16=32,

；.f=m即1MAM1=85,

又所以”的轨迹是椭圆,

且"=26.c=2,...护=4,

⑵设汽车心㈤，将Ly=h+■代入«+4-得

Q***+4*»»+"-8=0

3W-8

•.A>0,.•./-nP+4>0,且：*、=]+减2巧巧二布产,

m?-8V

卬）++巧♦命9«♦巧）+/=

l+2i2

-OP1OQ.0巧.Ji为=0

3-8.-—即，0上,储-8

“8、c28

---------NO,e>-

由8和8妙_*2,4>0,得3即可,

,2/=问18

因为与圆，♦八，相切，i+?-3,

存在圆,一行符合题意.

20.（本小题满分12分）

y»-=2(。>0,

已知等比数列｛/；的各项为不等于1的正数，数列L：1满足】°geX*且

"1),设X=㈤乂=12.

（1）数列了J的前多少项和最大，最大值为多少？

(2)试判断是否存在自然数M,使得当何，入”恒成立，若存在，求出相

应的

M；若不存在，请说明理由.

(3)令%=%35>试比较％与%”的大小.

参考答案：

解：⑴乂=2喻小儿“=2】oga

乂“-乂=2[log<x"i-logaX」=21og.也

则x«.....2分

•••(X*｝为等比数列X*为定值(.八)为等差数列......3分

又乂一力=M=12-18,</=-2%=%-)=22

-S,=22/3-1)(-2)=+23«

2.....4分

...当n=ll或n=12时,Sn取得最大值；且最大值为132......5分

12-

(2)-22+(«-1)(-2)=2log4x./=产