2022-2023学年进才中学高三年级上册数学月考试卷及答案

进才中学2022学年第一学期高三年级数学月考

2022.12

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1・6题每题4分，第7・12题每题5分，请将

正确答案直按填写在答题纸相应空格上）

1.已知集合/==,B-|y|y=2V|,则.

2.已知lg2=Q,lg3=6,用a,6表示log/5=.

3.已知等差数列｛q｝的前〃项和为S〃，q=15,Ss=0,则当5,取最大值时〃的值为—.

4.[1+3]（1+》）6展开式中含一项的系数为.

5.已知集合2=（x2二q<-LawR],若集合/中所有整数元素之和为18,则实数〃的取

Ix-2J

值范围是.

6.甲、乙、丙等五人在某景点站成一排拍照留念，则甲不站两端且乙和丙相邻的概率是.

7.在锐角△NBC中，角8所对的边长b=6,ZX/BC的面积为15,外接圆半径灭=5,则△/BC

的周长为.

8.已知点尸是双曲线二—4=l（a〉0,b>0）左支上一点，耳，鸟是双曲线的左右焦点，

a-b

且双曲线的一条渐近线恰是线段产入的中垂线，则该双曲线的离心率是.

9.设函数〃x）=-4x?+ax+b,xeR,其中a,beR。若/（x）存在极值点玉；，且

/（xj=/（xo），其中X|WXo，则斗+2%=.

10.在复平面中，已知点N（—1,0）、8（0,3）,复数z「Z2对应的点分别为ZrZ2,且满

足㈤=卜|=2,,乙|=4,则花•豆的最大值为.

11.已知cos（a+夕）=cosa+cos尸，贝！Icosa的最大值为.

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12.己知数列{?}满足：对任意的”eN*均有4+|=左4+2左一2,其中人为不等于0与1

的常数，若qe{-272,-32,-2,8,88,888},六2、3、4、5,则满足条件的《所有可能值

的和为.

二、选择题(本大题共4题，第12,14题每题4分，第15,16题每题5分，满分18分，

每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填涂在答题纸对应位置)

13.已知夕：a=2,q：直线ox+2y+1=0与x+(q-l)y-2=0平行，则p是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

14.已知a>b>c,a+b+c^O,则下列不等式恒成立的是()

A.ac>beB.ab>acC.a\b\>c|Z?|D.--—

15.设点P是函数/(x)=x3-^/,(l)x+/,(2)图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为

a,则角a的取值范围是()

16.已知定义在集合上的函数/(x)满足对=(a,b)(l<a<6),记

/(x)的最小值为M最大值为MS={x|/(x)="},T={X|〃X)=N},则下列命题

正确的是()(注：|/|表示集合/中元素的个数.

A.若间=1,则S=(a,b)B.若?|=1,则T=

C.若则S=(a,b)D.若|7卜1,则7=

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三、解答题(本大题共5题，满分78分，解答要有详细的论证过程与运算步骤，请将解答

过程写在答题纸对应位置)

17.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)

如图，在直三棱柱Z6C—/4G中，CC｝=AC=BC=2,ZACB=9Q°,P是Z4的中点,

Q是4B的中点.

(1)求证：尸0，平面8。。；

(2)求直线与平面PCQ所成角的大小.

18.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)

已知数列｛4｝中,q=3,an+1+an=3-2",weN,.

(1)证明数列｛《,-2"｝是等比数列，并求数列｛4｝的通项公式；

(2)在数列｛风｝中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若

不存在，请说明理由.

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19.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)

2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级.路边一棵参天

大树在树干某点B处被台风折断且形成120。角，树尖C着地处与树根4相距10米，树根与

树尖着地处恰好在路的两侧，设NC/8=6(/,B,C三点所在平面与地面垂直，树干粗

度忽略不计)

(1)若。=45。，求折断前树的高度(结果保留一位小数)

(2)问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明

理由.

20.(本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分)

设厂为抛物线C：_/=4x的焦点，过点尸的直线/与抛物线C相交于4,8两点.

(1)若万；=2初，求此时直线/的方程；

(2)若与直线/垂直的直线4过点尸，且与抛物线C相交于点N,设线段的

中点分别为P,Q,如图1.求证：直线尸。过定点；

(3)设抛物线C上的点S,7在其准线上的射影分别为T、,若的面积是△STF

的面积的两倍，如图2.求线段ST中点的轨迹方程.

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21.(本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)

设函数/(x)在［1,+8)上有定义，实数a和6满足14a<6.若/(x)在区间(W可上不存在

最小值，则称/(x)在区间(。,可上具有性质尸.

(1)当=且/(x)在区间(1,2］上具有性质P,求常数C的取值范围；

(2)已知/(x+l)=/(x)+l(xNl),且当14x<2时，/(x)=l—x,判别/(x)在区间

(1,4］上是否具有性质P；

(3)若对于满足的任意实数a和方，/(x)在区间(a,可上具有性质尸，且对于任

意〃eN*,当xe(”,〃+l)时，W：|/(«)-/(X)|+|/(X)-/(M+1)|=\f(n)-/(«+1)|.

证明：当x21时，/(2x)>/(x).

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参考答案

一、填空题

1.(0,+oo);2.b~a+i;3.8;4.30;5.6<a<7;6.-;7.6(V6+1);8.75;

2b+a5''

9.4;10.2V10-4；11.V3-112.^^-

3

12.己知数列｛%｝满足：对任意的〃eN*均有47=总“+2左一2,其中々为不等于0与1

的常数，若qe{-272,—32,-2,8,88,888},i=2、3、4、5,则满足条件的q所有可能值

的和为.

【答案】——

3

【解析】•/an+x-kan+2k-2,a“+[+2=左(％+2),

(1)a,=—2,tz1+1+2=左伍]+2)=0,%=-2,

同理可得,。3=4=。5=-2,即q=-2复合题意;

⑵若力。-2,左为不等于0与1的常数，则数歹(j{a“+2}是以后为公比的等比数列，

qe{-272,-32,-2,8,88,888},i=2,3,4,5,a“+2可以取-270,-30,10,90,

.•.若公比|左|>1,贝1」左=一3,由4+2=10=—3(%+2)得:％=—?

若公比|眉<1,则左=一；，由%+2=—270=-；(巧+2)得:q=808.

综上所述，满足条件的q所有可能值为-2,告,808

•••%所有可能值的和为:―2—3+808=陋.故答案为:幽.

333

二、选择题

13.A14.B15.B16.B

16.已知定义在集合上的函数/(x)满足对/(x)>)"=(a,b)(l<a<6),记

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/(X)的最小值为"，最大值为N,S={x|/(x)=A/},T={X[/(X)=N},则下列命题

正确的是()(注：表示集合/中元素的个数.

A.若间=1,则S=(a,b)B.若『|=1,则T=(q,b)

C.若|S|H1,则S=D.若|7卜1,则r=

【答案】B

【解析】对A,若网=1,不妨设S={x|/(x)=M}中仅有1个元素r,即/(x)的最小值为

=M,若SQ(4,6),根据1=有a<t<b,故

与为最小值矛盾，故A错误；

若『|=1，不妨设T={xl/(x)=N}中仅有1个元素，，即/(x)的最大值为/(/)=N,若

『£(。力)，根据卜占)}=(2)(l<"b),将a<t<b,故/«)>/(=)，因

为/(。为最大值，且若/=含，则/T+I=O,无解，故/工亡，故不等式/«)>/(占]

必成立，故B正确；

对C,若⑹k若则网22,同A可得C错误;

对D,若|7艮1,则『|*2,不妨设/(x)=N有两根项双，S.a<Xi<x2<b,则若存在

项<X2使得/(%)=历，则由A可得玉)任(4,6),止匕时

卜/(X)>/(占)}=(。力)(1<a<b)不成立，故D错误；

故选：B

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三、解答题

17.(1)略(2)-

3

18.(1)/=2"+(-1广'(2)存在连续三项成等差数列，a2/a3/a4

19.(1)11.2(2)不能从此处通过

20.(1)y=±2亚(x-1)(2)略(3)/=2x-4

21.设函数/(x)在［1,+8)上有定义，实数。和。满足IE。<6.若/(x)在区间(a,可上不

存在最小值，则称/(x)在区间(见可上具有性质P.

(1)当=/+且/"(X)在区间(1,2］上具有性质尸，求常数C的取值范围；

(2)已知/(x+l)=/(x)+l(xNl),且当l〈x<2时，/(x)=l-x,判别/(x)在区

间(1,4］上是否具有性质产；

(3)若对于满足的任意实数0和6,4X)在区间(a,可上具有性质P,且对于任

意〃eN”,当xe(〃,〃+l)时,<：|/(M)-/(X)|+|/(X)-/(M+1)|=|/(M)-/(W+1)|,

证明：当时，

【答案】(DC..-2(2)见解析

【解析】⑴当—。e(1,2］时J(x)=V+或在(1,2］上存在最小值；

当一_|>2时J(x)在(1,2］上存在最小值/(2);

当-会c1时，/(x)在(1,2］上单调递增，所以不存在最小值.所以C..-2.

(2)因为乂.』时,f(x+1)=/(x)+1>/(%)，所以f(x)在区间(1,4］上如果有最小值，则

最小值必在区间(1,2］上取到另一方面,/Xx)=一’，

1x=2

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在区间(1,2］上不存在最小值，所以/(x)在区间(1,4］上具有性质尸.

(3)(1)首先证明对于任意〃eN*,/(〃)</(〃+1)

当x€(M,n+1)时，由|/(»)-/(%)|+|/(x)-f(n+1)|

=1/(〃)-/(〃+1)I可知/(X)介于/(〃)和/(〃+1)之间.

若/(〃).J(〃+1),则/(X)在区间5,〃+1］上存在最小值/(〃+1),矛盾.

利用归纳法和上面结论可得：对于任意人，〃GN",当"〈人时,/(〃)<f(k).

⑵其次证明当儿.』且x〉w时,/(x)>/(〃);当“...2且x<〃时，

/(球,/(〃).任取力>〃,设正整数无满足4,kk+1,

则/(«)„f(k\,f(x)”/伏+1)若存在左+1../>上..〃使得/(X0)„/(M),

则/(%)=/(%).由于当X€6,％+1)时,/(左),J(x),所以/(X)在区间(左,X。］有最小值

/(%),矛盾.类似可证，当〃...2且X<〃时,/(0)(〃).

(3)最后证明:当x..1时J(2x)>f(x).当x=1时J(2)>/(I)成立.

当x>1时，由2x-x=x>1可知，存在〃eN*使得x<〃<2x,所