2023-2024学年江西省上饶县联考九年级上册数学期末教学质量检测试题含解析

2023-2024学年江西省上饶县联考九上数学期末教学质量检测试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

An1

1.如图，在AABC中，DE//BC,--=一,S梯形BCED=8,则SAABC是（）

DB2

A.13B.12C.10D.9

2.若反比例函数尸&&邦）的图象经过点尸（-2,3）,则k的值为（）

X

A.-2B.12C.6D.-6

2

3.反比例函数y=--的图象在（）

x

A.第二、四象限B.第一、三象限C.第一、二象限D.第三、四象限

4.如图，正方形A5CD的面积为16,石是等边三角形，点上在正方形A5CZ）内，在对角线AC上有一点尸,

使QD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

5.下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容.

如图，已知A3与。相切于点A,点在。上.求证：ZCAB=ZD.

B

证明：连接A。并延长，交。于点E,连接EC.

•••A3与。相切于点A,

:.ZEAB=9Q°,

二ZE4C+ZC4fi=90°.

：@是)。的直径，

/.ZEC4=90°(直径所对的圆周角是90°),

ZE+NE4C=9O°,

/.ZE=©.

,:AC=AC>

.*.A=ZD(同弧所对的丞相等)，

:.NCAB=ZD.

下列选项中，回答正确的是()

A.@代表ADB.◎代表NC48C.▲代表NZMCD.※代表圆心角

6.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且第一季度的产值为175亿元.若设平均每月的增长率为x,

根据题意可列方程为()

A.50(1+x)2=175B.50+50(1+X)2=175

C.50(1+x)+50(l+x)2=175D.50+50(l+x)+50(l+x)2=175

7.如图，AABC中，AB=AC,ZABC=70°,点O是AABC的外心，则NBOC的度数为()

A.40°B.60°C.70°D.80°

8.在平面直角坐标系中，正方形Agen，纥，2c2。2，2片E4纭，483c303，，按如图所示的方式

放置，其中点在轴上，点，，…在*轴上，已知正方形耳的边长为

4yG&E2,C2,E3,E4,G4GAi,

NOBC=30°,B\C\/IB【C2HB3c3，…，则正方形从纥£,2的边长是(

9.下列事件中，属于必然事件的是（）

A.方程2/+3=0无实数解

B.在某交通灯路口，遇到红灯

C.若任取一个实数a,则（。+1）2>0

D.买一注福利彩票，没有中奖

10.对一批衬衣进行抽检，得到合格衬衣的频数表如下，若出售1200件衬衣，则其中次品的件数大约是（）

抽取件数（件）501001502005008001000

合格频数4898144193489784981

A.12B.24C.1188D.1176

11.下列方程式属于一元二次方程的是（）

3222

A.X+^-3=OB.X+-=2C.x+2xy=lD.x=2

x

12.国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2017年底有贫困人口25万人，通过社

会各界的努力，2019年底贫困人口减少至9万人.设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x,根

据题意可列方程（）

A.25(1-2x)=9B.25(1-x)2=9

C.9(l+2x)=25D.25(1+x)2=9

二、填空题（每题4分，共24分）

13.某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图所示，已知原阶梯式自动

扶梯长为10m，坡角NABO为30。；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角ZACB为15°,则改造后的斜坡式自动扶梯

AC的长度约为m.

)工二11.八八，"J一_一-，A..

.........................RI)

(结果精确到0.1加，温馨提示：sin15°«0.26,cos15°=0.97,tan15°=0.27)

14.如图，在平面直角坐标系X。)，中，直角三角形的直角顶点与原点O重合，顶点A,B恰好分别落在函数v=-1(xV0),

X

4

y=-(x>0)的图象上，则tanNABO的值为

X

15.方程(无一1)(3/+1)=0的实数根为.

16.若关于x的方程(x+a)(x—4)=0和x2-3x—4=0的解完全相同，则。的值为.

17.如图抛物线y=x?+2x-3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F

分别是BC、BP、PC的中点，连接DE,DF,则DE+DF的最小值为.

18.如图，将A3c绕顶点A顺时针旋转60°后得到△Aga，且G为BC的中点，A8与与G相交于。，若AC=2,

则线段与。的长度为.

三、解答题(共78分)

19.(8分)已知DABCD边AB、AD的长是关于x的方程f一阳+12=0的两个实数根.

(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？

(2)当AB=3时，求oABCD的周长.

20.（8分）如图，矩形ABC。中，AD=5,AB=1,点E为Z）C上一个动点，把沿AE折叠，当点。的对应点

O,落在N4BC的角平分线上时，OE的长为.

21.（8分）如图1,抛物线y=gv+7nx+4加与x轴交于点A（%,0）和点3（%,0）,与）'轴交于点C,且不,々满足

X；+无；=20,若对称轴在》轴的右侧.

（1）求抛物线的解析式.

（2）如图2,若点P为线段AB上的一动点（不与43重合），分别以AP、8P为斜边，在直线A3的同侧作等腰直

角三角形和ABPN,试确定&WPN面积最大时P点的坐标.

Q

（3）若Q（W，%）是抛物线上的两点，当/2耳时，均有％«%，求。的取值范围.

A\()BX

h\()BX

Cl

图1c

图2

22.（10分）如图，BC是路边坡角为30。，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边

缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角NDAN和NDBN分别是37。和60。（图中的点A、B、C、D、M、N均在

同一平面内，CM/7AN）.

（1）求灯杆CD的高度；

（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）.（参考数据：百=1.1.sin37°=060,cos370=0.80,tan37°=0.75）

23.（10分）如图，A,B,C为。。上的定点.连接A5,AC,M为A5上的一个动点，连接CM,将射线AfC绕点M

顺时针旋转90°,交。。于点Q,连接加D.若A8=6c»i,AC=2cm,记A,M两点间距离为xcm,B,。两点间的

距离为

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小东探究的过程，请补充完整：

(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表，补全表格：

x/cm00.250.47123456

ylem1.430.6601.312.592.76—1.660

(2)在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象;

(3)结合画出的函数图象，解决问题：当8O=4C时，AM的长度约为cm.

24.(10分)在数学活动课上，同学们用一根长为1米的细绳围矩形.

⑴小明围出了一个面积为600cm2的矩形，请你算一算，她围成的矩形的长和宽各是多少？

(2)小颖想用这根细绳围成一个面积尽可能大的矩形，请你用所学过的知识帮他分析应该怎么围，并求出最大面积.

25.(12分)如图，AB是二。的直径，点C在。上,AO平分NC48,BO是。的切线，AO与8c相交于点E,

与不3。相交于点尸，连接EE.

CD

(1)求证：BD=BE;

(2)若DE=4,BD=2y/5,求4E的长.

26.如图，抛物线y=a?+阮+，的图象过点A(-LO)、8(3,0)、C(0,3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得APAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及APAC的周长;

若不存在，请说明理由;

(3)在(2)的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合)，使得S“AM=SAPAC?若存在，请求

出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、D

【分析】由OE〃BC,可证根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求△AQE的面积，再加上

BCED的面积即可.

【详解】解：••,OE〃5C,

:.△ADEs/\ABC,

.SAPE_(ADY_<1Y_J_

''SABC~[AB)-9，

.§.AOE_J.

S四边形8CEO8

,.,S梯形BCED=8,

•C1

•,ADE=~l

：,SABC~SADE+S梯形scE£>=।+8=9

故选：D

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质.关键是利用平行线得相似，利用相似三角形的面积的性质求解.

2、D

【分析】直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解.

【详解】•.•反比例函数y=&(k#0)的图象经过点(-2,3),

X

・・k--2x3=-l.

故选：D.

【点睛】

k

此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握反比例函数y=±(k为常数，厚0)的图象是双曲线,

x

图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.

3、A

【解析】根据反比例函数y=勺(kWO)的图象，当k>0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x

X

的增大而减小；当kVO时图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大可得：

Vk=-2<0,

...函数图象在二、四象限.

故选B.

【点睛】反比例函数y=《(k#0)的图象：当k>0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增

X

大而减小；当kVO时图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随X的增大而增大.

4、B

【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接BE,与AC的交点即为F,此时，FD+FE=BE最小，而BE是等

边三角形ABE的边，BE=AB,由正方形面积可得AB的长，从而得出结果.

【详解】解：由题意可知当点P位于BE与AC的交点时，有最小值.设BE与AC的交点为F,连接BD,

D

•••点B与点D关于AC对称

，FD=FB

:.FD+FE=FB+FE=BE最小

又•••正方形ABCD的面积为16

/.AB=1

•.,△ABE是等边三角形

.•.BE=AB=1.

故选:B.

【点睛】

本题考查的知识点是轴对称中的最短路线问题，解题的关键是弄清题意，找出相对应的相等线段.

5、B

【分析】根据圆周角定理和切线的性质以及余角的性质判定即可.

【详解】解：由证明过程可知：

A：@代表AE,故选项错误；

B：由同角的余角相等可知：◎代表NC4B,故选项正确；

C和D：由同弧所对的圆周角相等可得▲代表NE,※代表圆周角，故选项错误；

故选B.

【点睛】

本题考查了切线的性质，圆周角定理，余角的性质等知识点，熟记知识点是解题的关键.

6、D

【分析】增长率问题，一般为：增长后的量=增长前的量x(1+增长率)，本题可先用x表示出二月份的产值，再根据

题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程.

【详解】解：二月份的产值为：50(1+x),

三月份的产值为：50(1+x)(1+x)=50(1+x)2,

故根据题意可列方程为：50+50(1+x)+50(1+x)2=1.

故选D.

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几年的产值，再根据题意列出方程即可.

7、D

【分析】首先根据等腰三角形的性质可得NA的度数，然后根据圆周角定理可得NO=2NA,进而可得答案.

【详解】解：VAB=AC,

.,.ZABC=ZACB=70°,

二ZA=180°-70°x2=40°,

,点O是△ABC的外心，

,o

..ZBOC=40x2=80°>

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了三角形的外接圆和外心，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的

一半.

8、D

【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形边长，进而即可找到规律得出答案.

【详解】1•正方形A4GR的边长为1,NOB£=30。，BCJ/B2C2//B3C3,...

/.D\E、=B2E0,=B3D4,=AC0B2E0=NC3B3E4=30°

=CQ・sin3()o=g

故正方形A,B,C、D”的边长为出严

3

故选：D.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质和锐角三角函数，利用正方形的性质和锐角三角函数找出规律是解题的关键.

9、A

【分析】根据必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件即可得出答案.

【详解】解：A、方程2x2+3=。的判别式△=（）-4x2x3=-24V0,因此方差2x2+3=。无实数解是必然事件，故本选

项正确；

B、在某交通灯路口，遇到红灯是随机事件，故本选项错误；

C、若任取一个实数a,则（a+D2＞。是随机事件，故本选项错误；

D、买一注福利彩票，没有中奖是随机事件，故本选项错误；

故选：A.

【点睛】

本题主要考察随机事件，解题关键是熟练掌握随机事件的定义.

10、B

【分析】由表中数据可判断合格衬衣的频率稳定在0.98,于是利于频率估计概率可判断任意抽取一件衬衣是合格品的

概率为0.98,从而得出结论.

【详解】解：根据表中数据可得任抽取一件衬衣是合格品的概率为0.98,次品的概率为0.02,

出售1200件衬衣，其中次品大约有1200X0.02=24（件），

故选：B.

【点睛】

此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之

比.

11、D

【解析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可.

【详解】A、是一元三次方程，故不符合题意；

B、是分式方程，故不符合题意；

C、是二元二次方程，故不符合题意；

D、是一元二次方程，符合题意.

故选：D.

【点睛】

本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握定义是关键.

12、B

【分析】根据2017年贫困人口数x（L平均下降率为）2=2019年贫困人口数列方程即可.

【详解】设年平均下降率为X,

•••2017年底有贫困人口25万人，2019年底贫困人口减少至9万人，

.,.25(1-X)2=9,

故选：B.

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题.对于平均增长率问题，在理解

的基础上，可归结为a(1+x)2=b(a<b)；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a(1-x)2=b(a>b).

二、填空题(每题4分，共24分)

13、19.1

【分析】先在R3ABD中，用三角函数求出AD,最后在RtAACD中用三角函数即可得出结论.

【详解】解：在RSABD中，NABD=30。，AB=10m,

AD=ABsinZ.ABD=10xsin30°=5(m),

AD

在RSACD中，ZACD=15°,sinZACD=——，

AC

AD55,、

..AC=---------------=-------------------~19.1(m),

sinZACDsin150.26

即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.1m.

故答案为：19.1.

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化

为数学问题.

1

14、-

2

【分析】根据反比例函数的几何意义可得直角三角形的面积；根据题意可得两个直角三角形相似，而相似比就是直角

三角形AAOB的两条直角边的比，从而得出答案.

【详解】过点A、B分另作ADlx轴，BEJ_x轴，垂足为D、E,

14

・・,顶点A,B恰好分别落在函数y=——(x(0),y=—(x>0)的图象上

xx

=3,SgOE=2

XvzAOB=90°

AZAOD=ZOBE

.・・AAOD\OBE

OA2__j_

「OB一二一4

OA_1

~OB~2

OA1

则nltanZABO=---=—

OB2

故本题答案为：—.

2

【点睛】

本题考查了反比例函数，相似三角形和三角函数的综合题型，连接辅助线是解题的关键.

15、x=l

【分析】原方程化成两个方程1=0和3/+1=0,分别计算即可求得其实数根.

【详解】(％-1)(3/+1)=0

即％-1=0或3%2+1=0，

当1=0时，x=l,

当3/+1=0时，

■：a=3,b=0,c=l,

:./=加—4ac=Tx3xl=-12<0,

...方程无实数根，

原方程的实数根为：x=l.

故答案为：x=l.

【点睛】

本题考查了利用因式分解法解方程、方程实数根的定义以及一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根

的判别式是解题的关键.

16、1

【分析】先分解因式，根据两方程的解相同即可得出答案.

【详解】解：X?—3x-4=(),

/.(x—4)(x+l)=0,

•.•关于X的方程（x+a）（x-4）=0和尤2一3x一4=0的解完全相同，

・♦3—1,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，能正确用因式分解法解方程是解此题的关键.

17、逑

2

【解析】连接AC,与对称轴交于点P,此时DE+DF最小，求解即可.

【详解】连接AC,与对称轴交于点P,

此时DE+DF最小，

点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，

：.DE=-PC,DF=-PB,

22

在二次函数y=x?+2x-3中，当x=0时，了=一3,

当y=0时，x=-3或x=l.

即A（—3,0）,B（l,0）,C（0,—3）.

QA=OC=3,

AC=\l?r+32=372,

点P是抛物线对称轴上任意一点，

贝!JPA=PB,

PA+PC=AC,

PB+PC=30,

DE+DF的最小值为：g(PB+PC)=¥.

故答案为逑.

2

【点睛】

考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点P的位置是解题的关键.

18、3

【分析】根据旋转的性质可知AACG为等边三角形，进而得出8G=CG=AG=2,ZVIOG是含20°的直角三角形，

得到。G的长，利用线段的和差即可得出结论.

【详解】根据旋转的性质可知：AC=4G,NC4G=60°,BxCx=BC,N%GA=NC,

...△ACCi为等边三角形，

/.ZAGC=ZC=60°,CCt=ACt.

是5c的中点，

：.BCi=CCi=ACi=2,

：.ZB=ZCiAB=20°.

TN3£A=NC=60°,

/.ZADCi=180°-(ZCiAB+ZBiCiA)=180°-(20°+60°)=90°,

1

：.DCi=-ACi=l,

2

ABiD=BiCi-DCi=4-l=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，得出△&£>©是含20°的直角三角形是解答本题的关键.

三、解答题(共78分)

19、(1)46;(2)1

【分析】(1)由菱形的四边相等知方程有两个相等的实数根，据此利用根的判别式求解可得，注意验根；

(2)由AB=3知方程的一个解为3,代入方程求出m的值，从而还原方程,再利用根与系数的关系得出AB+AD的值，从而

得出答案.

【详解】解：(1)若四边形ABCD是菱形，则AB=AD,

所以方程有两个相等的实数根，

则为=(-m)2-4x1x12=0,

解得m=±46,

检验：当111=4百时4=26，符合题意；当01=-46时4=-275,不符合题意,故舍去.

综上所述，当m为46时,四边形ABCD是菱形.

(2)VAB=3,

9-3m+12=0,

解得m=7,

二方程为x2-7x+12=0,

则AB+AD=7,

二平行四边形ABCD的周长为2(AB+AD)=1.

【点睛】

本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系,菱形和平行四边形的性质.

幡5T5

20、一或一.

23

【分析】连接BD，，过D，作MNLAB,交AB于点M,CD于点N,作D，P_LBC交BC于点P,先利用勾股定理求出

MDS再分两种情况利用勾股定理求出DE.

【详解】解：

如图，连接BD。过D，作MN_LAB,交AB于点M,CD于点N,作D，PJ_BC交BC于点P

:点D的对应点D，落在NABC的角平分线上，

.,.MDr=PD\

设MD，=x,贝I]PDr=BM=x,

/.AM=AB-BM=7-x,

又折叠图形可得AD=AD，=5,

"+(7-x)2=25,解得x=3或1,

即MD，=3或1.

在RtAEND，中,设ED，=a,

①当MD，=3时，AM=7-3=LD，N=5-3=2,EN=l-a,

/.a2=22+(1-a)2,

解得a=—,即DE=—,

22

②当MD'=1时，AM=7-1=3,D'N=5-1=LEN=3-a,

a2=l2+(3-a)2,

解得a=jBPDE=-.

33

故答案为：|■或

23

【点睛】

本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的.

21、(1)y=|x2-x-4；(2)P(1,O)；(3)-|<a<|

【分析】(1)由二次函数与一元二次方程的关系，根据根与系数的关系得x1+x2=-2m,X1•X2=8m再联立x：+后=20,

求解得m值，即可得出函数解析式；

(2)欲求aiVlNP的面积，确定△APM、aliNP是等腰直角三角形，即可求解；

95

(3)由(1)可知，函数的对称轴为：x=l,x=—与x=-二关于对称轴对称，故其函数值相等，即可求解.

22

【详解】解：(1)丁=；/+的+4加与》轴交于4马,0)和点8(和0),

Xp*2是方程;必+的+4加=0的两个根

%+々=-2m,%,%,-8m

X：+X；=20

(5+A2y-2X,X2=20

即(-2m)2-16m=20

解得叫=5,m2=-\

对称轴轴在>轴的右侧

m--\

12,

..y——x—x—4

2

(2)如图2,AAMP和43NP为等腰直角三角形

.:.ZAPM=/BPN=45°.

:"MPN=90。

；.AMPN为直角三角形

令5》2_%_4=0,解得：X,=-2,々=4

.-.A(-2,0),3(4,0),AB=6

设AP=/n,则8P=6-帆

V20,，、

22V7

ii55

SAM/W=-PN.PM=-x—wx^-(6-m)

...=」/+3机

42

...当加=3,即AP=3时，S、MPN最大，此时OP=1，所以P(l,0)

i9513

(3)由函数y=彳/一1一4可知，对称轴为x=1,则*=彳与x=-彳关于对称轴对称，故其函数值相等，都为y=《•

222o

9

又。<国<。+2,9N］时，均有M4%，

结合函数图象可得：

,5

a>——

\2C解得：一55

C/922

a+2<—

I2

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，并利用其性质来解决最大值的问题，利用一元二次方程和二次函数的关系确定函数关系

式是基础，根据对称性确定a的取值范围是难点.

22、(1)10米；(2)11.4米

【解析】(1)延长DC交AN于H.只要证明BC=CD即可；

(2)在RtABCH中，求出BH、CH,在RtAADH中求出AH即可解决问题.

【详解】(1)如图，延长DC交AN于H,

VZDBH=60°,ZDHB=90°,

:.ZBDH=30°,

VZCBH=30°,

:.ZCBD=ZBDC=30°,

.,.BC=CD=10(米)；

(2)在RtABCH中，CH=1BC=5,BH=5百=8.65,

.,.DH=15,

PH15

在RtAADH中，AH==20,

tan37°0.75

二AB=AH-BH=20-8.65=11.4(米).

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

23、(1)2.41；(2)详见解析；(3)1.38或4.1(本题答案不唯一).

【分析】(1)描出图象后，测量x=4时，y的值，即可求解；

(2)描点作图即可；

(3)当时，即：y=2,即图中点4、8的位置，即可求解.

【详解】(1)描出后图象后，x=4时，测得,=2.41(答案不唯一)，

故答案是2.41；

(2)图象如下图所示:

y.

4""T-r"-L-T.

当x=4时，测量得：j=2.41?

(3)当8O=4C时，y=2,

即图中点A、8的位置，

从图中测量可得：心=1.38,XB=4.1,

故：答案为：1.38或4.1.

【点睛】

此题考查圆的综合题，函数的作图，解题关键在于通过描点的方法作图，再根据题意测量出相应的长度.

24、(1)20cm,30cm；(2)用这根细绳围成一个边长为25cm的正方形时，其面积最大，最大面积是625,〃尸

【分析】(1)已知细绳长是1米，则已知围成的矩形的周长是1米，设她围成的矩形的一边长为xcm,则相邻的边长

是50-xcm.根据矩形的面积公式，即可列出方程，求解；

(2)设围成矩形的一边长为xcm,面积为yen?,根据矩形面积公式就可以表示成边长x的函数，根据函数的性质即

可求解.

【详解】解：(1)设矩形的长为xcm,则宽为翌上三=(5O.x)cm

2

根据题意，得x(50-x)=600

整理，得X2-50X+600=0

解得XI=20,X2=30

二他围成的矩形的长为30cm,宽为20cm.

(2)设围成的矩形的一边长为man时，矩形面积为ycm5则有

y=m(50-m)

=50m-m2

=-(m2-50m)

=-(m2-50m+252-252)

="(m-25)2+625

:.当m=25cm时,y有最大值625cm.

25、(1)见解析；(2)AE=6

【分析】(1)利用圆周角定理得到NACB=90。，再根据切线的性质得NABD=90。，则NBAD+ND=90°,然后利用等量

代换证明NBED=ND,从而判断BD=BE；

(2)利用圆周角定理得到NAFB=90。，则根据等腰三角形的性质DF=EF=2,再证明,列比例式求出

AD的长，然后计算AD-DE即可.

【详解】(1)证明：•••A3是。的直径，

：.ZACB=9Q°,

：.NC4£+NCE4=90°.

VZBED=ZCEA,

：.ZCAE+ZBED=90°.

,:BD是。的切线，

:.ZABD=90°,

二ZBAD+ZBDA=90°.

又；A。平分NC4B,

:.NCAE=4BAD,

二ZBED=ZBDA,

•••BD=BE;

(2)解：TAB是。。的直径，

'ZAFB=90°,

又BE=BD,

：.DF=EF=-DE=2.

2

在RtZ\BZm中，根据勾股定理得，BF=4.

,:ZD=ZD,ZBFD=ZABD=90°,

：.