图形的相似（解析版）-三年（2020-2022）中考数学真题汇编（湖北）

专题24图形的相似

一.选择题

1.（2022•十堰）如图，某零件的外径为IOCn1,用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）

可测量零件的内孔直径AB.如果0A：0C=0B:0D=3,且量得CD=3cm,则零件的厚度X

为（）

A.0.3cmB.0.5cmC.0.7cmD.Icm

【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长,再根据某零件的外径为10cm,

即可求得X的值.

【解答】解:VOA：OC=OB=0D=3,ZC0D=ZA0B,

ΛΔC0D<^ΔA0B,

ΛAB:CD=3,

VCD=3cm,

ΛAB=9cm,

：某零件的外径为10cm,

零件的厚度X为：（10-9）÷2=l÷2=0.5（cm）,

故选:B.

【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值.

2.（2021•恩施州）如图，在4X4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,E为BD

与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（）

1

A.CE≠⅛DB.ΔABC^ΔCBDC.AC=CDD.NABC=NCBD

【分析】根据勾股定理可以得到BC、CD、BD的长，再根据勾股定理的逆定理可以得到△

BCD的形状，利用相似三角形的判定与性质，可以得到EF的长，然后即可得到CE的长,

从而可以得到CE和BD的关系：根据图形，很容易判断AABC丝Z∖CBD和AC=CD不成立;

再根据锐角三角函数可以得到/ABC和/CBD的关系.

【解答】解：由图可得，

BC=√42+22=2√5,CD=√22+I2=√5,BD=√32+42=5,

ΛBC2+CD2=(2√5)2+(√5)2=25=BD"

ΛΔBCD是直角三角形，

；EF〃GD,

ΛΔBFE^ΔBGD,

.EFBF

"DC-BG,

EF2

α即——=一,

34

解得EF=I.5,

.∙.CE=CF-EF=4-1.5=2.5,

.CE2.51⅛>⅛γ≈/y⅛y

.=~=故选项Aλ错,庆；

BD52

由图可知，显然AABC和△0»不全等，故选项B错误：

VAC=2,CD=√5,

ΛAC≠CD,故选项C错误；

Vtan∠×ABC=—ɪ,tan/CBD=器==}

ΛZABC=ZCBD,故选项D正确；

故选：D.

【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理与勾股定理的逆定理、锐角三角

函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

二.填空题

3.（2022•襄阳）如图，在AABC中，D是Ae的中点，ZiABC的角平分线AE交BD于点F,若

BF：FD=3：1,AB+BE=3√3,则AABC的周长为56.

【分析】如图，过点F作FM,AB于点M,FN±AC于点N,过点D作DT〃AE交BC于点T.证

明AB=3AD,设AD=CD=a,证明ET=CT,设ET=CT=b,则BE=3b,求出a+b,可得结

论.

【解答】解：如图，过点F作FNUAB于点M,FNJ_AC于点N,过点D作DT〃AE交BC于

；AE平分NBAC,FM±AB,FN±AC,

ΛFM=FN,

.SAABF_BF_IABFM

••—―1-ð

SΔADFDFMADFN

ΛAB=3AD,

设AD=DC=a,贝IJAB=3a,

VAD=DC,DT√AE,

ΛET=CT,

BEBF

：.—=—=3,

ETDF

设ET=CT=b,贝IJBE=3b,

VAB+BE=3√3,

Λ3a+3b=3√3,

.*.a+b=√3>

ΛΔABC的周长=AB+AC+BC=5a+5b=5√^,

故答案为：5√3.

【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键

是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

√5-l

4∙(2021∙孝感)人们把七一这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618

法就应用了黄金分割数.设a=与ɪ,b=粤ɪ,得ab=l,记S1=⅛+1⅛-,S2=-⅛+

2.L1+al÷bl-t-az

1Il

,,

-----2…，SlO=-io+----io贝US1+S2+…+Sio=10.

l÷b21+a】。l+biu

【分析】利用分式的加减法则分别可求S∣=l,S2=I,S10=I,即可求解.

_11_1+b+l+a_2+a+b_2+a+b_〔0_1

11+a1+b(l+a)(l+b)1+a+b+ab2+a+b'`l+a2

221010

1_1+b+l+a_c_11_1+a+l+b_

+1

773=1+a2+b2+a2b2=1，…，"。=而TO=l+a10+b10+a10b10='

S1+S2+…+S10=l+l+∙∙∙+l=10,

故答案为10.

【点评】本题考查了分式的加减法，找出的规律是本题的关键.

5.(2022•仙桃)如图1,在aABC中，ZB=36o,动点P从点A出发，沿折线AfBfe匀

速运动至点C停止.若点P的运动速度为lcm∕s,设点P的运动时间为t(s),AP的长度

为y(cm),y与t的函数图象如图2所示.当AP恰好平分/BAC时t的值为-2√5+2_.

y/cm

A

图1图2

【分析】由图象可得AB=BC=4cm,通过证明aAPCs∕∖BAC,可求AP的长，即可求解.

【解答】解：如图，连接AP,

VZB=36o,AB=BC,

ΛZBAC=ZC=72o,

TAP平分NBAC,

,NBAP=NPAC=NB=36°,

ΛAP=BP,NAPC=72°=ZC,

AAP=AC=BP,

VZPAC=ZB,ZC=ZC,

ΛΔAPC<^∆BAC,

•AP__P_C_

••1―，

ABAC

.∙.Ap2=AB∙PC=4(4-AP),

ΛAP=2√5-2=BP,(负值舍去),

Λt=4-2^~2=2√5+2,

故答案为：2遥+2.

【点评】本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和

性质，证明三角形相似是解题的关键.

6.(2022•随州)如图1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,E,F分别为AB,AD的中点,连

接EF.如图2,将AAEF绕点A逆时针旋转角。(0o<θ<90°),使EFLAD,连接BE

并延长交DF于点H.则NBHD的度数为90o,DH的长为丝.

--------------5-

【分析】如图，设EF交AD于点J,AD交BH于点0,过点E作EKJ_AB于点K.证明ADAF

^ΔBAE,推出NADF=NABE,可得NDHO=NBAO=90°,解直角三角形求出EF,AJ,EJ,

DHAB

再利用平行线分线段成比例定理求出0J,再根据COSNODH=COSNAB0,可得==—，

ODBO

求出DlI.

【解答】解：如图，设EF交AD于点J,AD交BH于点0,过点E作EKLAB于点K.

ΛZDAF=ZBAE,

..AFAE1

*AD^AB-2,

AF_AD

•β•1—,

AEAB

Λ∆DAF^ΔBΛE,

ΛZADF=ZABE,

VZDOH=ZAOB,

ΛZDHO=ZBA0=90o,

ΛZBHD=90o,

AF=3,AE=4,ZEAF=90o，

ΛEF=√32+42=5,

VEF±AD,

11

.β.-AE∙AF=∣∙EF∙AJ,

2乙

.AT12

∙∙ΛJ=T,

AEJ=√AE2-AJ2=J-（第2=3

VEJ/7AB,

.21=旦

φ*OA一AB,

16

.QJT

,,OJ+y—8，

.∙.OJ=∣,

128

Λ0A=AJ+0J=^+≡=4,

Λ0B=√AB2+AO2=√42+82=4√5,OD=AD-A0=6-4=2,

*/cosZODH=cosZABO,

.DHAB

φ*0D—B0,

.DH8

2~4√5,

,DH=等.

故答案为：90o,ɪ.

【点评】本题考查矩形的性质，旋转变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等

知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

7.（2021•随州）如图，在RtZ∖ABC中,NACB=90°,0为AB的中点，OD平分NAoC交AC

OG1

于点G,OD=OA,BD分别与AC,OC交于点E,F,连接AD,CD,则/的值为若

BC2

CF

CE=CF,则二的值为_金_.

【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得到OA=OC,即三角形OAC

是等腰三角形，又由“三线合一”的性质得到点G是AC的中点，可得OG是aABC的中位

OG1

线，可得▽=；；由CE=CF,可得NCEF=NCFE,再根据“对顶角相等”，“直角三角形

BC2

两锐角互余”等可得N0FB+N0BD=90°,即aOBC是等腰直角三角形，再由OG〃BC,得

CFBCBC

ΔBCF<^ΔDOF,则rtl一=一=一=√r2.

OFODOB

【解答】解：①在RtZ∖ABC中，NACB=90°,0为AB的中点，

/.OA=OC=OB,

TOD平分NAOC,

ΛOG±AC,且点G为AC的中点，

1OG1

ΛOGZ/BC,且OG=押，BP-=-；

@VOD=OA,

ΛOD=OB,

ΛZODB=ZOBD,

VOG±AC,

ΛZDGE=90o,

ΛZGDE+ZDEG=90o,

VCE=CF,

ZCEF=ZCFE,

VZCEF=ZDEG,ZCFE=ZOFB,ZODB=ZOBD,

ΛZ0FB+Z0BD=90o,

ΛZF0B=90o,BPCO±AB,

ΛΔOBC是等腰直角三角形，

ΛBC:OB=√2:1；

由（1）知，OG〃BC

ΛΔBCF^ΔDOF,

CFBCBCr

：•—==—=^v2.

OFODOB

1

故答案为：-;√2.

2

【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质与

判定，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等内容，通过导角得到

∕F0B=90°是解题关键.也可得出点A,B,C,D四点共圆，借助圆证明4BCFS^D0F.也

可利用角平分线性质定理进行解答.

8.（2020•咸宁）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边BC上一动点（不与点

B,C重合），ZAEF=90o,且EF交正方形外角的平分线CF于点F,交CD于点G,连接

AF,有下列结论：

①AABEsZSECG；

②AE=EF；

③NDAF=NCFE；

@ACEF的面积的最大值为1.

【分析】①由NAEB+NCEG=NAEB+NBAE得NBAE=/CEG,再结合两直角相等得AABE

o0ΔECG;

②在BA上截取BM=BE,易得ABEM为等腰直角三角形，则NBME=45°,所以NAME=I35°,

再利用等角的余角相等得到NBAE=/FEC,于是根据“ASA”可判断AAME会4ECF,则根

据全等三角形的性质可对②进行判断；

③由∕MAE+∕DAF=45°,∕CEF+∕CFE=45°,可得出NDAF与/CFE的大小关系，便可

对③判断；

1

④设BE=x,则BM=X,AM=AB-BM=2-x,利用三角形面积公式得到SΔΛME=*∙X<2-x）,

则根据二次函数的性质可得SAAME的最大值，便可对④进行判断.

【解答】解：①Y四边形ABCD是正方形，

.∙.NB=NECG=90°,

VZAEF=90o,

・・.ZAEB+ZCEG=ZAEB+ZBAE,

ΛZBAE=ZCEG,

ΛΔABE^ΔECG,

故①正确；

②在BA上截取BM=BE,如图1,

图1

Y四边形ABCD为正方形，

ΛZB=90o,BA=BC,

为等腰直角三角形,

ΛZBME=45o,

ΛZAME=135°,

VBA-BM=BC-BE,

ΛAM=CE,

・・・CF为正方形外角平分线，

ΛZDCF=45o,

ΛZECF=135°,

VZAEF=90°,

ΛZAEB+ZFEC=90o,

而NAEB+NBAE=90°,

ΛZBAE=ZFEC,

在aAME⅛ΔECF中

[ZMAE=ZCEF

AM=EC,

LAME=ZECF

ΛΔAME^ΔECF(ASA),

ΛAE=EF,

故②正确；

(3)VAE=EF,ZAEF=90o,

ΛZEAF=45o,

ΛZBAE+ZDAF=45o,

∖∙NBAE+NCFE=NCEF+∕CFE=45°,

ΛZDAF=ZCFE,

故③正确；

④设BE=x,则BM=X,AM=AB-BM=2-X,

11O1

SAECF=SAAME=2*x*^∙2-X)——(X-I)+),

当X=I时，S谢有最大值之，

故④错误.

故答案为：①②③.

【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和二次函数的性质；能灵

活运用全等三角形的知识解决线段线段的问题.构建aAME与aEFC全等是关键.

9.(2020•随州)如图，已知矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点M,N分别在边AD,BC上，沿

着MN折叠矩形ABCD,使点A,B分别落在E,F处，且点F在线段CD上(不与两端点重

合)，过点M作MHLBC于点H,连接BF,给出下列判断：

①4MHNsZiBCF;

②折痕MN的长度的取值范围为3<MN<ɪ:

③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点；

④若DF=/DC,则折叠后重叠部分的面积为

其中正确的是①②③④.(写出所有正确判断的序号)

【分析】根据矩形的性质和三角形的内角和定理即可判定①正确;

根据MN最大值和最小值时F的位置可判定②正确；

根据四边形CDMH为正方形和勾股定理分别求出各边的长，可判定③正确；

根据相似三角形的性质和勾股定理可得MN,OF,MQ和DF的长，利用面积和可判定④正

确；从而求解.

【解答】解：①如图1,由折叠可知BFLMN,

图1

ΛZBOM=90°,

VMH±BC,

.∙.∕BHP=90°=ZBOM,

VZBPH=ZOPM,

ΛZCBF=ZNMII,

∙.NMHN=NC=90°,

ΛΔMHN∞ΔBCF,

故①正确；

②当F与C重合时，MN=3,此时MN最小,

当F与D重合时，如图2,此时MN最大，

图2

由勾股定理得：BD=5,

VOB=OD=I,

ONCDrON3

VtanZDBC=θg=θu,即丁=7

2

Λ0N=ɪ,

VAD/7BC,

ΛZMDO=ZOBN,

在4MOD和aNOBψ,

ZMDO=ZOBN

VjOD=OB，

ZDoM=ZBON

ΛΔDOM^ΔBON(ASA),

ΛOM=ON,

15

ΛMN=20N=ɪ,

•・・点F在线段CD上(不与两端点重合)，

.∙.折痕MN的长度的取值范围为3<MNV苧;

故②正确；

③如图3连接BM,FM,

当四边形CDMH为正方形时，MH=CH=CD=DM=3,

VAD=BC=4,

/.AM=BH=I,

由勾股定理得：BM=√32+I2=√10,

,FM=√10,

.∙.DF=√FM2-DM2=(√Tθ)2-32=1,

ΛCF=3-1=2,

设HN=x,贝IJBN=FN=X+1,

在RtZ∖CNF中，CN2+CF2=FN2,

(3-x)2+22=(x+l)2,

解得：X=|，

3

.∙.HN=热

∙.,CH=3,

3

ΛCN=HN=p

,N为HC的中点；

故③正确；

④如图4,连接FM,

VDF=∣DC,CD=3,

图4

ΛDF=1,CF=2,

.∙.BF=√22+42=2√5,

Λ0F=√5,

设FN=a,贝IJBN=a,CN=4-a,

由勾股定理得：FN2=CN2+CF2,

・・a=(4-a)+2,

∙.,a_-52,

53

ΛBN=FN=CN=≡

VZNFE=ZCFN+ZDFQ=90o,

ZCFN+ZCNF=90o,

∣∙MN∙OF+∣∙MQ∙DF=∣×^×√5+∣×

555

WXv1l=

12:

法二:

折叠后重叠部分的面积为:

S∆MNF÷S∆MQF

=S正方形CDMH-S∆QDF^SANFC-S∆MN∣∣

141313

=3义3—2×ɜ,×1—2×2×2—2×ɪ×3

55

F

故④正确；

所以本题正确的结论有：①②③④；

故答案为：①②③④.

【点评】本题主要考查了矩形的性质和判定，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，

勾股定理，翻折的性质，解答本题主要应用了矩形的性质、翻折的性质，熟记翻折前后

的两个图形能够完全重合得到相等的边和角是解题的关键.

≡.解答题

10.（2022∙仙桃）如图，。。是AABC的外接圆，AD是。。的直径，BC与过点A的切线EF

平行，BC,AD相交于点G.

（1）求证：AB=AC;

（2）若DG=BC=16,求AB的长.

【分析】（1）根据垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定定理解答即可;

（2）根据相似三角形的判定定理，勾股定理解答即可.

【解答】（1）证明：Y即是。。的切线，

ΛDA±EF,

VBC√EF,

ΛDA±BC,

ODA是直径,

ΛAB=AC,

：.ZACB=ZABC,

ΛAB=AC.

（2）解：连接DB,

VBG±AD,

ΛZBGD=ZBGA,

VZABG+ZDBG=90o,ZDBG+ZBDG=90o,

ΛZABG=ZBDG,

ΛΔABG^ΔBDG,

•_A_G_BG

•.—,

BGDG

即BG2=AGXDG,

VBC=16,BG=GC,

ΛBG=8,

Λ82=16×AG,

解得：AG=4,

在RtZiABG中,BG=8,AG=4,

ΛAB=4√5.

故答案为：4√5.

【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定定理，熟练掌握这

些性质定理是解答本题的关键.

11.(2022•襄阳)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆0上，点D为的中点，连接AC,

BC,AD,AD与BC相交于点G,过点D作直线DE〃BC,交AC的延长线于点E.

(1)求证：DE是。O的切线；

(2)若配=gβ,CG=2√5,求阴影部分的面积.

【分析】(1)连接0D,证明ODLDE即可；

(2)根据戢=的相等，再由(1)中E=的可得，AC=CD=βD,从而得到NCAD=

ZBAD=ZABC=30o,在RtAACG中，利用锐角三角函数求出AC、AG的长，从而求出4

CAG的面积，在RtaABD中利用锐角三角函数求出AD的长，根据DE〃BC可得aACGs4

AED,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出阴影部分的面积.

【解答】(1)证明：连接OD,如图所示,

：点D为沅的中点，

Λ0D±BC

VDE/7BC,

ΛODIDE.

...DE是。。的切线.

(2)解：连接BD,如图所示,

VAC=BD,

ΛBD=AC

：点D为资的中点，

ΛCD=BD,

ΛAC=CD=BD,

，&的度数=E的度数=而的度数=60°,

ΛZCAD=ZBΛD=30o.

：AB是半圆0的直径，

ΛZACB=ZADB=90o,

Γ,Γ,Γ,Γ,

在RtZXACG中，tan∕CAD=等，sinzCAD=

"A=AG=^∏303

VCG=2√3,

ΛCA=2√3×√3=6,ΛG=4√3.

.∙.BD=CA=6,

ΛSΔACG=∣CG∙ΛC=6√3.

DΓ)

在RtZ∖ABD中，tanNBAD=器

.*.AD=：吗八6=-≡=6V3.

tan30o√3

T

VDE/7BC,

ΛΔCAG<-ΔEAD,

.S-CAG_,AG.

s∆EADAD

6√34

n即π-----―—,

s∆EAD9

・c_27√3

•∙^ΔEAD-2,

∙*∙S网影部分=SAEAD-S∆ΛCG=1.3.

【点评】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性

质，其中利用过圆心，平分弧然后根据垂径定理证明半径垂直于弦是解题的关键.

12.(2021•鄂州)如图，在QABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且NABE=NCDF.

(1)探究四边形BEDF的形状，并说明理由；

AG2

(2)连接AC,分别交BE、DF于点G、H,连接BD交Ae于点0.若二=QAE=4,求

OG3

BC的长.

B

【分析】(1)利用NABE=/CDF以及平行四边形的性质，求证BE〃DF,ΛD√BC即可判断

四边形BEDF的形状；

AG

(2)设ΛG=2a,通过已知条件即可推出T7的值，再通过求证aAGEsz∖CGB,利用相似

比即可求出BC的长.

【解答】解：(1)四边形BEDF为平行四边形，理由如下：

・・・四边形ABCD为平行四边形,

ΛZABC=ZADC,

VZABE=ZCDF,

ΛZEBF=ZEDF,

Y四边形ABCD为平行四边形,

ΛAD/7BC,

・・・NEDF=NDFC=NEBF,

ΛBE/7DF,

VAD√BC,

・・・四边形BEDF为平行四边形;

••AG2

(2)设AG=2a,•——，

OG3

∖0G=3a,A0=5a,

••四边形ABCD为平行四边形，

AO=CO=5a,AC=IOa,CG=8a,

.,ΛD√BC,

∙.ΔAGE^ΔCGB,

βAE_AG_1

*BC一GC-4’

,*AE=4,

∖BC=16.

【点评】本题考查平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，根据题干条件熟练

应用平行四边形的判定定理以及利用相似三角形的相似比去求线段的长是解题的关键.

13.(2021•武汉)如图，AB是。。的直径，C,D是。0上两点，C是的的中点，过点C作

AD的垂线，垂足是E.连接AC交BD于点F.

(1)求证：CE是。。的切线；

DCL

(2)若而=√6,求cos/ABD的值.

E

C

【分析】（1）连接OC交BD于点G,可证明四边形EDGC是矩形，可求得NECG=90°,进

而可求CE是。。的切线；

DCr-L

（2）连接BC,设FG=x,0B=r,利用一=√6,设DF=t,DC=√6t,利用RtZkBCGs

DF

RtaBFC的性质求出CG,0G,利用勾股定理求出半径，进而求解.

【解答】（1）证明：连接OC交BD于点G,

:点C是的的中点，

二由圆的对称性得OC垂直平分BD,

ΛZDGC=90°,

：AB是OO的直径，

ΛZADB=90°,

.∙.∕EDB=90°,

VCE±AE,

ΛZE=90o,

.∙.四边形EDGC是矩形，

ΛZECG=90°,

ΛCE±OC,

.∙.CE是。。的切线；

（2）解：连接BC,设FG=x,OB=r,

..DCr-

・二7=76,

DF

设DF=t,DC=√6t,

由（1）得，BC=CD=Vβt,BG=GD=x+t,

TAB是。0的直径，

ΛZACB=90°,

ΛZBCG+ZFCG=90o,

VZDGC=90o,

ΛZCFB+ZFCG=90o,

ΛZBCG=ZCFB,

ΛRtΔBCG^RtΔBFC,

ΛBC2=BG∙BF,

/.(√6t)2=(x+t)(2x+t)

解得x∣=t,X2=-∣t(不符合题意，舍去)，

ΛCG=√BC2-BG2=J(√6t)2-(2t)2=√2t,

∙*∙OG=r-V2t1

在RtAOBG中，由勾股定理得OG'BG'MOB?,

(r-√2t)2+(2t)2=r2,

解得r=挈t,

AMBG2t2√2

∙..coSN/ABD=而=西=丁.

-t

方法二、设CF=n,

由aCBFs∕∖CAB,可得CB2=CF∙CA,

26t2—ɪɔ2

则AF=-——n=~~~—,

nn

VBF=√BC2+CF2=√6t2÷n2,

VΔFDA^ΔFCB,

•FD__F_C_

FAFB

.t____________n

F2—B2=,6t2+n2'

n

ʌn=√3t或VTUt(舍去)，

ΛBF=3t,

ΛBD=4t,

VΔFDA^ΔFCB,

.BCCF

**AD一DF

/.AD=∙√2t,

ΛAB=3√2t,

..,DB4t2近

∙∙c°sNzABrtD=而=痛=..

【点评】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质等知识，解决本题的关键

是能够利用圆的对称性，得到垂直平分，利用相似与勾股定理的性质求出边，即可解答.

14.(2021•仙桃)如图,在aABC和aDEC中,NA=ND,ZBCE=ZACD.

(1)求证：4ABCs∕χDEC;

(2)若SAΛBC：S△诋=4：9>BC=6,求EC的长.

【分析】（I）由两角相等的两个三角形相似可判断AABCSADEC;

（2）由相似三角形的性质可得:AABe⅛CBA44∙-即可求解•

S∆DEC

【解答】证明：（1）VZBCE-ZACD.

・・・ZBCE+ZACE=ZACD+ZACE,

ΛZDCE=ZACB,

又YZA=ZD,

ΛΔABC<^ΔDEC;

(2)VΔABC^ΔDEC:

CB

24

.S-ABC--=

CE9-

S∆DEC

又∙.,BC=6,

ΛCE=9.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明aABCs^DEC是本题的关键.

15.(2020•仙桃)如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交BC于点D,过点D的

直线EF交AC于点F,交AB的延长线于点E,且NBAC=2/BDE.

(1)求证：DF是。。的切线；

(2)当CF=2,BE=3时，求AF的长.

【分析】（1）连接0D,AD,根据切线的判定即可求证.

（2）先证明4E0DS∕∖EAF,设OD=X,根据相似三角形的性质列出关于X的方程从而可

求出答案.

【解答】（1）证明：连接OD,AD,

YAB是直径，

.∙.ZADB=90°,

ΛAD±BC,

VAB=AC,

ΛZBAC=2ZBAD,

VZBAC=2ZBDE,

ΛZBDE=ZBAD,

VOA=OD,

ΛZBAD=ZADO,

VZAD0+Z0DB=90o,

ΛZBDE+Z0DB=90o,

ΛZ0DE=90o，

即DF±OD,

・・・0D是。0的半径,

・・・DF是。。的切线.

(2)解：VAB=AC,AD±BC,

ΛBD=CD,

VBO=AO,

ΛOD/7AC,

Λ∆E0D^ΔEΛF,

ODEO

•∙~~,

AFEA

设OD=x,

VCF=2,BE=3,

∙'∙OA=OB=x,

AF=AC-CF=2x-2,

E0=x+3,EA=2x+3,

Xx+3

•∙=,

2x—22x+3

解得x=6,

经检验，x=6是分式方程的解,

【点评】本题考查了圆的综合问题，涉及切线的判定，相似三角形的性质与判定，解方

程等知识，需要学生灵活运用所学知识.

16.(2020•黄冈)已知：如图，AB是。0的直径，点E为OO上一点，点D是磋上一点，连

接AE并延长至点C,使NCBE=∕BDE,BD与AE交于点F.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)若BD平分NABE,求证：AD2=DF∙DB.

E

D

Bγ9δJA

【分析】（1）根据圆周角定理即可得出NEAB+NEBA=90°,再由已知得出NABE+NCBE

=90°,则CBLAB,从而证得BC是。0的切线；

（2）通过证得aADFsaBDA,得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论.

【解答】证明：（1）∙.∙AB是OO的直径，

ΛZAEB=90°,

ΛZEAB+ZEBA=90°,

VZCBE=ZBDE,ZBDE=ZEAB,

ΛZEAB=ZCBE,

ΛZEBA+ZCBE=90o,即NABC=90°,

ΛCB±AB,

YAB是OO的直径，

・・・BC是。O的切线；

（2）证明：YBD平分NABE,

ΛZABD=ZDBE,

VZDAF=ZDBE,

ΛZDAF=ZABD,

∙.∙ZADB=ZADF,

Λ∆ADF^>ΔBDA,

•_A__D__D__F_

••—,

BDAD

ΛAD2=DF∙DB.

【点评】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质；要证某线是圆的切线，已

知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.

17.（2020•荆州）如图，在矩形ABCD中，AB=20,点E是BC边上的一点，将AABE沿着AE

折叠，点B刚好落在Q）边上点G处；点F在DG上，将AADF沿着AF折叠，点D刚好落

在AG上点H处，此时SΔGFH:SA∙FH=2:3,

(1)求证:∆EGC^∆GFH;

(2)求AD的长；

(3)求tanNGFH的值.

【分析】(1)由矩形的性质得出NB=ND=NC=90°,由折叠的性质得出NAGE=NB=

90o,ZAHF=ZD=90o,证得NEGC=NGFH,则可得出结论；

(2)由面积关系可得出GH：AH=2：3,由折叠的性质得出AG=AB=GH+AH=20,求出GH

=8,AH=12,则可得出答案；

(3)由勾股定理求出DG=16,设DF=FH=X,则GF=16-x,由勾股定理得出方程铲+x?

=(16-χ)2,解出x=6,由锐角三角函数的定义可得出答案.

【解答】(1)证明：•••四边形ABCD是矩形，

二/B=/D=NC=90°,

由折叠对称知：ZAGE=ZB=90o,ZAHF=ZD=90o,

ΛZGHF=ZC=90°,NEGC+/HGF=90°,ZGFll+ZHGF=90o,

ΛZEGC=ZGEH,

ΛΔEGC<×>ΔGFH.

(2)解：VSΔCΠ∣:SΔAΠ∣=2:3,且4GFH和aAFH等高，

/.GH：AH=2：3,

VAABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，

.∙.AG=AB=GH+AH=20,

ΛGH=8,AH=12,

ΛAD=AH=12.

(3)解：在RtAADG中，DG=√AG2-AD2=√202-122=16,

由折叠的对称性可设DF=FH=x,则GF=16-x,

VGH2+HF2=GF2,

Λ82+X2=(16-X)2,

解得：x=6,

ΛHF=6,

rHPA

在RtΔGFH中,tanZGFH=器=看=全

【点评】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数，相似

三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

18.(2020•武汉)问题背景如图(1),已知aABCs∕∖ADE,求证：ZkABDs∕∖ACE;

尝试应用如图(2),在AABC和aADE中，NBAC=∕DAE=90°,NABC=NADE=30°,

AC与DE相交于点F,点D在BC边上，—=√3,求77的值；

拓展创新如图(3),D是AABC内一点，NBAD=∕CBD=30°,∕BDC=90°,AB=4,

AC=2√3,直接写出AD的长.

【分析】问题背景

由题意得出一=—,ZBAC=ZDAE,则NBAD=NCAE,可证得结论;

尝试应用

AE

连接EC,证明4ABCSZ∖ADE,由(1)知4ABDS^ACE,由相似三角形的性质得出77=

2EC

ADLDFAD

—=√3,NACE=NABD=NADE,可证明AADFS∕∖ECF,得出一=—=3,则可求出

BDCFCE

答案.

拓展创新

过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M,连接BM,证明ABDCsaMDA,

BDDCBMDML.

由相似三角形的性质得出77二=—,证明ABDMS∕∖CDA,得出二二=二Tr=v3＞求出

MDDACAAD

BM=6,由勾股定理求出AM,最后由直角三角形的性质可求出AD的长.

【解答】问题背景

证明：VΔABCc-ΔADE,

ABAC

一,ZBAC=ZDAE,

ADAE

ABAD

ΛZBAD=ZCAE,

AC^AE

/.ΔΛBD^ΔACE;

尝试应用

解：如图1,连接EC,

TNBAC=NDAE=90°,ZABC=ZADE=30o,

Λ∆ABC^ΔADE,

由（1）知4ABDS2^ACE,

AEAD/—

・・・一=—=√3,NACE=NABD=NADE,

CEBD

在RtZ∖ADE中，ZADE=30o,

・・•ZADF=ZECF,ZAFD=ZEFC,

ΛΔADF^ΔECF,

DFAD

•・∙_____________-QO•

CFCE

拓展创新

解：如图2,过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M,连接BM,

图2

VZBAD=30o,

ΛZDAM=60o,

ΛZAMD=3Oσ,

：・ZAMD=ZDBC,

又YNADM=NBDC=90°,

ΛΔBDC^ΔMDA,

.BDDC

"MD-DA,

又NBDC=NMDA,

：.NBDC+NCDM=ZADM+ZCDM,

BPZBDM=ZCDA,

Λ∆BDM^ΔCDA,

BMDMr

：•—=—=√3,

CADAv

VAC=2√3,

ΛBM=2√3×√3=6,

.β.⅛RtΔABMφ,AM=√BM2-AB2=√62-42=2√5,

I

.'.AD=^AM=V5.

【点评】此题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判

定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

19.(2021•荆州)在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,F是对角线AC上不与点A,C重合的一

点，过F作FE,AD于E,将AAEF沿EF翻折得到aGEF,点G在射线AD上，连接CG.

(1)如图1,若点A的对称点G落在AD上，ZFGC=90o,延长GF交AB于H,连接CH.

①求证：ACDGSAGAH;

②求tanZGHC.

(2)如图2,若点A的对称点G落在AD延长线上，ZGCF=90o,判断AGCF与aAEF

是否全等，并说明理由.

EGDAEDG

BBC

图1图2

【分析】(1)①由矩形的性质和同角的余角相等证明aCDG与aGAH的两组对应角相等,

从而证明ACDGS∕∖GAH;

②由翻折得NAGB=NDAC=NDCG,而tanZDAC=会可求出DG的长，进而求出GA的长，

由tanZGHC即NGHC的对边与邻边的比恰好等于相似三角形ACDG与AGAH的一组对应边

的比，由此可求出tan/GHC的值；

(2)Z∖GCF与AAEF都是直角三角形，由tanNDAC=扣分别求出CG、AG、AE、EF、AF、

CF的长，再由直角边的比不相等判断AGCF与aAEF不全等.

【解答】(1)如图1,

①证明：Y四边形ABCD是矩形，

ΛZD=ZGAH=90o,

ΛZDCG+ZDGC=90o,

VZFGC=90o,

ΛZAGH+ZDGC=90o,

ΛZDCG=ZAGH,

ΛΔCDG^ΔGAH.

②由翻折得NEGF=NEAF,

ΛZAGH=ZDAC=ZDCG,

VCD=AB=2,AD=4,

DGAHCD21

/.—=—=—=tanZDAC=彳=亍

CDAGAD42

ΛDG=∣CD=∣×2=1,

ΛGA=4-1=3,

V∆CDG^∆GAH,

•_C_G__C_D_

•∙--,

GHGA

：,tanNGHC=黑=黑=半

(2)不全等，理由如下：

VAD=4,CD=2,

ΛAC=√42+22=2√5,

VZGCF=90o,

CG]

.∙.—=tanZDAC=ɔ,

AC2

ΛCG=^AC=*×2√5=√r5,

ΛAG=J(2√5)2+(√5)2=5,

15

ΛEA=WAG=当

ΛEF=EA∙tanZDAC=∣×ɪ=∣,

ΛAF=J⅛2+Φ2=T

.∙.CF=2√5一苧=誓

VZGCF=ZAEF=90°,而CG≠EA,CF≠EF,

AGCF与aAEF不全等.

图1

【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定、勾

股定理、二次根式的化简等知识与方法，特别是第（2）题，使用计算说理的方法判定三

角形不全等，内容和方法新颖独到，是很好的考题.

20.（2022•仙桃）问题背景：

一次数学综合实践活动课上,小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1,

ABBD

已知AD是aABC的角平分线，可证肃=左.小