2024年中考数学复习：不等式（组）中的解题模型与思想练习题汇编（含答案解析）

2024年中考数学复习：不等式（组）中的解题模型与思想练习题汇编

考试范围：不等式（组）；考试时间：90分钟；

一.选择题（共8小题）

1.若a<6,则下列不等式一定成立的是（）

A.a+c<b+cB.ac>bcC.ac<beD.—^>—

cc

2.已知关于x的不等式三<6的解也是不等式生且_>曳-1的解，则a的取值范围是（）

a32

C.D.以上都不正确

11

3.设x,y,z是实数，则下列结论正确的是()

A.若x>y,则xz>yzB.若xVy,贝ijz-x<z-y

C.若xVy,则三《工D.若贝ljx-z>y-z

ZZ

4.若x>y,则()

A.xz>yzB.x-3>六3C.A.<AD.2%+1>2J+1

22

5.由能得到则（）

A.心0B.后0C.a>0D.aVO

6.若不等式组（X<1的解集为x<3a+l,

则a的取值范围是（）

,x<3a+l

A.WOB.aVOC.心0D.a>l

7.若关于x的一元一次不等式组12（2x+3）-l>3x+6的解集为x>i,且关于了的分式方程

（3x+4）-a

工+1—Z1的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）

y-22-y

A.-15B.-14C.-8D.-7

8.在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|广11的儿何意义是数轴上表示数x的

点与表示数-1的点的距离，|矛-2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离.当

|x+l|+|x-2|取得最小值时，x的取值范围是（）

A.x^-1B.xW-1或x22C.-KW2D.在2

二.填空题（共7小题）

9.七年级某班部分同学参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生.如果每人

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分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后一名学生能分到的粽子不少于2个

但少于4个，则参加端午节包粽子活动的学生有人.

°的所有整数解的和为-9,勿的取值范围

10.已知关于*的不等式组.

x>-5

是.

11.若函数尸12x-31-2a始终大于y=|广a|,则a的取值范围为.

12.对于实数p,q,我们用符号max(p,q}表示p,°两数中较大的数.如：max{1,2}=2.若max{2x+\,

(-x+1)2-2]=7,贝Ix的值为.

13.不等式x-3<|2户1|<1-x的解集为.

14.平面直角坐标系中，点/(-加，0)、B(4-m,0)、C(///,2)、〃(的6,2),若线段必上存在

点E,过点£作EFVAB,垂足为点尸，点?恰好是线段AB的中点，则实数m的取值范围

是.

15.已知关于x的不等式组：(卜二^<、+2恰有两个整数解，则加的取值范围是___________.

x<m

三.解答题(共7小题)

16.例：解不等式(x-2)(肝3)>0

解：由实数的运算法则：”两数相乘，同号得正”

田G(X-2>0TG(X-2<0

得①、，或②，,,

x+3>0x+3<0

解不等式组①得，x>2,

解不等式组②得，x<-3,

所以原不等式的解集为》>2或-3.

阅读例题，尝试解决下列问题：

(1)平行运用：解不等式V-9>0；

(2)类比运用：若分式坦的值为负数，求x的取值范围.

x~2

17.阅读下列材料：

根据绝对值的定义，31表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点R。表

示的数为为，及时，点一与点0之间的距离为闾=|为-即1.

根据上述材料，解决下列问题：

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如图，在数轴上，点46表示的数分别是-4,8(46两点的距离用46表示)，点M是数轴上

一个动点，表示数加

(1)AB=个单位长度；

(2)若|研4|+|/-8|=20,求勿的值；(写过程)

(3)若关于x的方程|x-l|+|xH|+|x-5|=a无解，则a的取值范围是.

18.对于实数a、b,我们定义符号加〃{a,6}的意义为：当a26时，加〃{a,b}-b-,当a<6时，

min{a,6}=a；如：min{4,0}=0；min{2,2}=2；min[-3,-1}=-3.根据该定义运算完成

下列问题：

(1)加〃{3,-2}=,当2内1<2时，min{x,2}=；

(2)若加〃{3x-l,•■户3}=3x-l,求x的取值范围；

(3)对于实数a、b,我们定义符号max{a,⑸的意义为：当a26时，/»ax{a,6}=a；当a<b

时，max{a,=b；如：max{4,-2]=4,/z?ax{3,3}=3,若关于x的函数为y=m4*{户3,-A+1},

求该函数的最小值.

19.解关于x的不等式a『+(a-1)x-1>0.

20.先阅读理解下列例题，再按要求完成作业.

例题：解一元二次不等式(3x-6)(2卢4)>0.

QY—Af)Qv-A0

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①J或②J

2x+4>02x+4<0

解不等式组①得x>2,解不等式组②得x<-2.

所以一元二次不等式(3A--6)(2户4)>0的解集是x>2或x<-2.

(1)求不等式(2广8)(3-x)<0的解集：

(2)求不等式5x+15>o的解集.

4-2x

21.在平面直角坐标系中，任取点](%!，71),6(X2,然)，若满足(1^1-1^1)(1/11-Ij^D>0,

则称点4与点6相关.

(1)判断下面各组中两点是否相关：

①-2,1),6(3,2),点{与点2?(填“相关”或“不相关”)：

②C(4,-3),D(2,4),点。与点D(填“相关”或“不相关”)；

(2)如图，已知正方形柳沟，其四个顶点坐标分别为"(-3,1),/V(-1,1),P(-1,3),

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0(-3,3).

①称横纵坐标均为整数的点为整点，则此正方形的边上，共有个整点与点4(2,1)相

关；

②设点/(23，加，若正方形网制边上的任意一点都与点/相关，求卬的取值范围.

'--I—▼——T—'--L

•I•I•'•

II

22.某公司推出一款桔子味饮料和一款荔枝味饮料，桔子味饮料每瓶售价是荔枝味饮料每瓶售价的5

4

倍.4月份桔子味饮料和荔枝味饮料总销售60000瓶，桔子味饮料销售额为250000元，荔枝味饮

料销售额为280000元.

(1)求每瓶桔子味饮料和每瓶荔枝味饮料的售价；

(2)五一期间，该公司提供这两款饮料12000瓶促销活动，考虑荔枝味饮料比较受欢迎，因此

要求荔枝味饮料的销量不少于桔子味饮料销量的3；不多于桔子味饮料的2倍.桔子味饮料每瓶

2

7折销售，荔枝味饮料每瓶降价2元销售，问：该公司销售多少瓶荔枝味饮料使得总销售额最大？

最大销售额是多少元？

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参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

1.若a<6,则下列不等式一定成立的是（）

A.a+c<t^cB.ac>bcC.ac<beD.—^>—

cc

【答案】A

【解答】解：对于力选项，根据不等式的基本性质1,两边同时加C,不等号的方向不变，故力

选项符合题意.

对于5选项，两边同时乘c,但不知道c的正负及是否为0,因此不等号的方向不确定是否改变，

故8选项不符合题意.

对于C选项，两边同时乘o',但不知道o,是正数还是0,当1是o时，有。。2=/2,故。选项不

符合题意.

对于〃选项，两边同时除以c,但不知道c的正负及，因此不等号的方向不确定是否改变，故〃

选项不符合题意.

故选：A.

2.已知关于x的不等式三<6的解也是不等式红龙亘〉里-1的解，则a的取值范围是（)

a32

A.a》--Ji­B.a>-

ll11

C.--Lwa<0D.以上都不正确

11

【答案】C

【解答】解：由红电_>旦-1,

32

解得心⑶看,

4

对于不等式上<6,

a

当a>0时，x<6a,则x<6a的解不全是尤>1?虹目的解，不合题意,

4

当a<0时，x>6a,则6a213a~~",

4

解得a》-&,

11

故--§-Wa<0.

故选：C.

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3.设x,y,z是实数，则下列结论正确的是（）

A.若x>y,则xz>yzB.若xVy,贝!Jz-x<z-y

C.若x<y,则—<^X.D.若x>y,则x-z>y-z

ZZ

【答案】D

【解答】解：对于/选项，x>y时，不知z的正负，无法判断，因此/选项不符合题意.

对于6选项，时，根据不等式基本性质3,两边同时乘以-1,可得再根

据不等式基本性质1,两边同时加z,可得：z-x>z-y,因此8选项不符合题意.

对于。选项，时，不知z的正负，无法判断，因此C选项不符合题意.

对于〃选项，时;根据不等式基本性质1,两边同时减z,可得：x-z>y-z,因此

。选项符合题意.

故选：D.

4.若x>y,则（）

A.xz>yzB.x-3>T+3C.—<T—D.2j（+l>2y+l

22

【答案】D

【解答】解：

...仅当z>0时，xz>yz成立,

选项/不符合题意；

x>y,

：.x-3>x-3,

二选项6符合题意；

*.*x>y,

.•.三>工，

22

...选项C不符合题意；

*/x>y,

A2A+1>2JH-1,

・,・选项〃符合题意，

故选：D.

5.由能得到孙，则（）

A.心0B.aWOC.a>0D.a<0

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【答案】C

【解答】解：若X>y,

当,a>0时，ax>ay；

当a<0时，ax<ay,

故选：C.

rx<i

6.若不等式组的解集为xV3a+l,则a的取值范围是（）

x<3a+l

A.aWOB.a<0C.心0D.a>l

【答案】A

【解答】解:由题意可得：3/1W1,

解得：

故选：A.

7.若关于X的一元一次不等式组|2（2乂+3）-1>3乂+6的解集为*>1,且关于了的分式方程

3x+4）-a

工+1—11的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）

y-22-y

A.-15B.-14C.-8D.-7

【答案】B

【解答】解：解不等式2（2广3）-l>3x+6得,

%>1,

解不等式3户4>-a得,

3

•••该不等式组的解集为X>1,

3

解得a》-7,

解分式方程△-亡1得,

+1=,

y-22-y

2

•••该方程的解是正整数，且a2-7,

解得a=-7,或a=-5,或a=-3,或a=-l,或a=l,

•：y-2#2,

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即-且Ww2,

2

解得aW-1,

Z.-7-5-3+1=-14,

故选：B.

8.在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|911的几何意义是数轴上表示数x的

点与表示数-1的点的距离，|x-21的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离.当

|户l|+|x-2|取得最小值时，x的取值范围是（）

A.-1B.-1或x22C.-1WXW2D.42

【答案】C

【解答】解：如图，

-J___I___1J।1J।_____L_>

—4—3—2—101234

当xV-1时，x+l<0,X-2V0,

|x+1，|x-21

=-（户1）-（x-2）

=-x-1-A+2

=-2户1>3；

当x>2时，x+l>0,2>0,

IA+1|+|x-2|

=（户1）+Cx-2）

=户1+尤-2

=2x-1>3；

当时，2120,X-2W0,

|A+1|+|x-2|

=（x+1）-（x-2）

=x+l-x+2=3；

综上所述，当-1WXW2时，|K4|+|x-2|取得最小值,

所以当|卢l|+|x-2］取得最小值时，x的取值范围是-1WXW2.

故选C

填空题（共7小题）

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9.七年级某班部分同学参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生.如果每人

分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后一名学生能分到的粽子不少于2个

但少于4个，则参加端午节包粽子活动的学生有8或9人.

【答案】8或9.

【解答】解：设参加端午节包粽子活动的学生有x人，

由题意得，

2W(4x+6)-5(x-1)<4,

解得，7<xW9,

为正整数，

.♦.X可取8或9,

答：参加端午节包粽子活动的学生有8或9人.

故答案为：8或9.

10.已知关于x的不等式组°的所有整数解的和为-9,1的取值范围是3W加<6或-6

,x>-5

<ni<-3・

【答案】3—或--3.

【解答】解：解不等式3田加<0,得：

3

Vx>-5,

不等式组的解集为-5<x<-吗

3

•••不等式的所有整数解的和为-9,

.•.不等式组的整数解为-4、-3、-2或-4、-3、-2,-1,0,1,

则-2V-皿W-1或1<-典W2,

33

解得3<卬<6或-6WmV-3,

故答案为：3W/V6或-6Wm<-3.

11.若函数尸|2x-3|-2a始终大于y=1户ai,则a的取值范围为aV-■_.

2~

【答案】a<-X.

2

【解答】解：函数尸|2x-3|-2a,当|2x-3|=0时，

即x=W■时，y„i„=0-2a=-2a>0,

2

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xWO,

此时大于y=l户H，就能始终大于，

y=|户H=I—+a\,

2

①当3+a2O,

2

a2--,-2a>—+a,a<-A,

222

则-Swa<-1,

22

②当S+a<0,

2

a<-—,-2a>---a,a<—,

222

则a<-W,

2

综上，a<-A.

2

12.对于实数ng,我们用符号wax（p,0}表示p,。两数中较大的数.如：侬x{l,2}=2.若/ax{2x+l,

（-x+1）2-2]=7,则x的值为3或-2.

【答案】3或-2.

【解答】解：：侬*{2卢1,（-卢1）2-2}=7,

当2户1>（-广1）2时，2户1=7,

解得：*=3,

将*=3代入（-A+1）2-2得：（-3+1）-2=2,符合题意；

当2广1<（-广1）J2时，（-A+1）J2=7,

解得：x=4或-2,

将x的值分别代入2/1得：

2X4+1=9,不符合题意；

2X（-2）+1=-3,符合题意，

综上所述：x的值为3或-2.

故答案为：3或-2.

13.不等式X-3<|2A+1|<1-x的解集为-或-2Vx<-2.

22-

【答案】-工Wx<0或-2<xV-工

22

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【解答】解：当2户120,即x2-工时，

2

得x-3<2广1<1-x,

解得-4Vx<0,

2

当2A+1<0,即X<-JL时，

2

得x-3<-(2x+l)<1-xf

解得-2VA1<2,

3

-2<x<-A,

2

•••该不等式的解集是-工Wx<0或-2<x<-1,

22

故答案为：-L〈xVO或-2<x<-上.

22

14.平面直角坐标系中，点A(-加0)、B(4-/11,0)、C(ffl,2)、D(附6,2),若线段切上存在

点£,过点£作身二四，垂足为点凡点尸恰好是线段力6的中点，则实数m的取值范围是-2

W"忘］.

【答案】-2<勿<1.

【解答】解：•••点/恰好是线段48的中点，Am,0),B(A-m,0),

：.F(2-m,0)；

•.•线段缪上存在点笈过点£作配L48,垂足为点R

：.m^2-m&m6,即-2W/»W1；

故答案为：-2Wzz<l.

15.已知关于x的不等式组：F：i<x+2恰有两个整数解，则加的取值范围是1<辰2.

x<m

【答案】IV勿<2.

【解答】解：当x-IWO,即：W1时，

1-XVA+2,

解得X>--1,

2

1;

2

当x-l>0,即M>1时，x-lVx+2恒成立，

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x>1,

...不等式的解集为X>-1,

2

•.•不等式组有两个整数解，

辰2,

故答案为：1〈小W2.

三.解答题（共7小题）

16.例：解不等式（x-2）（户3）>0

解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”

汨G/X-2〉0

得①《，或②《，，

x+3>0x+3<0

解不等式组①得，x>2,

解不等式组②得，x<-3,

所以原不等式的解集为x>2或x<-3.

阅读例题，尝试解决下列问题：

（1）平行运用：解不等式岁-9>0；

（2）类比运用：若分式包的值为负数，求x的取值范围.

x-2

【答案】（1）不等式的解集为x>3或-3；

（2）不等式的解集为-l<x<2.

【解答】解：（1）根据题意可知，•••9=9,x=±3,

•••不等式的解集为x>3或xV-3；

（2）由实数的运算法则：“两数相除，异号得负”，

得①卜+11°，x+l<0

或②<

x-2<0x-2>0,

解不等式组①得，-1V*<2,

解不等式组②得，无解，

所以若分式值为负数，则x应满足-lVx<2,

所以原不等式的解集为-l<x<2.

17.阅读下列材料：

根据绝对值的定义，表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点只0表

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示的数为X”X2时，点户与点0之间的距离为PQ=\X\-x2\.

根据上述材料，解决下列问题：

如图，在数轴上，点/、8表示的数分别是-4,8（力、8两点的距离用4?表示），点"是数轴上

一个动点，表示数加

（1）A312个单位长度;

（2）若|加"4|+|m-81=20,求加的值；（写过程）

（3）若关于x的方程|x-1+|x+l|+|x-5|=a无解，则a的取值范围是a<6

A。B

----•--------•------------------・------A

【答案】（1）12；

（2）-8或12；

（3）a<6.

【解答】解：（1）I-4-81=12,

所以/8=12,

故答案为：12；

（2）分三种情况：

当m<-4时，

|研41+|/0-8|=20,

-勿-4+（8-勿）=20,

解得：加=-8,

当-4WmW8时，

|〃升4|+|%-81=20,

加4+（8-勿）=20,

此方程无解，

当m>8时；

|研41+|6-8|=20,

研4+勿-8=20,

解得:勿=12,

答：加的值为-8或12；

（3）分四种情况：

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当xV-1时，

|x-11+|MlI+|x-51=a,

1-x-x-1+5-x=a,

解得：了=至二，

3

-1,

3

解得：a>8,

当-IWxVl时，

\x-1|+l户11+1x-51=a,

1-x+x+1+5-x=a,

解得:x=7-a,

：.-1W7-a<l,

解得：6VaW8,

当l〈xV5时，

\x-1|+|广l|+|x-5|=d,

x-1+户1+5-x=a,

解得：x=a-5,

，-5<5,

解得：6WaV10,

当x25时，

\x-11+|A+1I+|x-51=a,

x-1+x+l+x-5=a,

解得：*=史$,

3

豆也，5,

3

解得：43，10,

综上所述：&26时方程有解，

所以：a<6时方程无解，

故答案为：aV6.

18.对于实数a、b,我们定义符号加〃{a,6}的意义为：当时、min{a,b}=b；当aVb时,

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min{a,6}=a；如：加/〃{4,0}=0；min{292]=2；min{-3,-1}=-3.根据该定义运算完成

下列问题：

(1)〃〃力{3,-2}=-2,当2x4<2时，min{x92}=x；

(2)若加〃{3彳-1,-A+3)=3X-1,求x的取值范围；

(3)对于实数a、b,我们定义符号max{a,6}的意义为：当时，max\a,6}=a；当a<b

时，max{a.b}=b；如：max{4,-2}=4,max{3,3}=3,若关于x的函数为尸〃出x{x+3,-x+1},

求该函数的最小值.

【答案】(1)-2,x；

(2)后1；

(3)函数尸侬X{户3,-x+1}的最小值为2・

【解答】解：⑴V3>-2,

min{3,-2)=-2,

当2xHV2时,

解得：X<工，

2

，xV2,

：.n】inkx,2}=x,

故答案为：-2,x；

(2)由题意得，3%--广3,

解得：1；

(3)当x+32-x+1时，

解得：-1,

即当42-1时,尸户3,

*.*k=1,

随x的减小而减小，

・••当x=-1时，y破小=-1+3=2,

当广3V-A+1时，

解得：x<-1,

即当x<-1时，y=-x+1,

'：k=-1,

第15页共19页

随才的增大而减小,

•・"v-1,

-x>1,

:.-户1>2,

Ay>2,

综上所述，函数尸〃出x{x+3,-户1}的最小值为2.

19.解关于x的不等式（a-1）x-l>0.

【答案】当a=0时;原不等式的解集为：x<-1；

当a>0时，原不等式的解集为：x>l^%<-1；

a

当a=-1,无解；

当a<-l,原不等式的解集为：

a

当-lVa<0,原不等式的解集为：l<x<-1.

a

【解答】解：当a=0时，原不等式即为户1V0,

解得x<-1；

当a>0时，原不等式化为（x-工）（A+1）>0,

a

解得或X<-1；

a

当aVO时，原不等式化为（才-工）（A+1）<0,

a

①若a=-1,可得（户1）2<0,无解；

②若aV-1,1>-1,可得解集为-1<%<1；

aa

③若-1VaVO,A<-1,可得解集为JLVXV-1.

aa

20.先阅读理解下列例题，再按要求完成作业.

例题：解一元二次不等式（3x-6）（2户4）>0.

‘3x-6>03x-6<0

由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”有①或②.

2x+4>02x+4<0'

解不等式组①得了>2,解不等式组②得x<-2.

所以一元二次不等式（3x-6）（2户4）>0的解集是x>2或x<-2.

（1）求不等式（2x+8）（3-x）<0的解集；

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(2)求不等式5x+15>。的解集.

4-2x

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”

7G(2x+8〉0法'f2x+8<0

有①4,或②《、，

3-x<03-x>0

解不等式组①得了>3,

解不等式组②得x<-4,

所以一元二次不等式(2x+8)(3-x)<0的解集是x>3或x<-4；

(2)由有理数的除法法则”两数相除，同号得正”

天G(5X+15>0_»公(5x+15<0

有①《或②4,

4-2x>0(4-2x<0

解不等式组①得：-3<x<2,

解不等式组②无解，

所以不等式织叵>0的解集是-3<xV2.

4-2x

21.在平面直角坐标系中，任取点1(小，力)，B(x»儿),若满足(IxJ-|x2|)(|71|-|^|)>0,

则称点4与点8相关.

(1)判断下面各组中两点是否相关：

①/(-2,1),6(3,2),点力与点B相关(填“相关”或“不相关”):

②C(4,-3),D(2,4),点。与点D不相关(填“相关”或“不相关”)；

(2)如图，已知正方形必知，其四个顶点坐标分别为材(-3,1),-1,1),尸(-1,3),

0(-3,3).

①称横纵坐标均为整数的点为整点，则此正方形的边上，共有3个整点与点力(2,1)相关;

②设点4(20,加，若正方形加倒边上的任意一点都与点4相关，求m的取值范围.

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IIIII

「十十—2.

IIIII

«---J—,—»■--3-

【答案】1、①故点力与点6是相关点：②故点，与点〃不相关.

2、①有3个点与点A是相关点：点M与点A是相关点；点不与点A是相关点；点0与点A是相

关点.故有3个点与点/是相关点；②故：勿的取值范围是故小的取值范围是解之得：0<x<方

或加23或—^<x《0或_3.

【解答】解：(1)①因(I-2|-|3|)(1-⑵)=1>0,故点4与点6是相关点；

②因(|4|-|2|)(|-3|-|4|)=-2<0,故点。与点〃不相关.

2、①