七年级数学上学期期末考试真题汇编（人教版）一元一次方程的应用（12大知识点） （解析版）

专题07一元一次方程的应用（12大考点）专题讲练

一元一次方程的应用题属于人教版七年级上期期末必考题，需要完全掌握各个类型的应

用题，该专题将应用题分为分段计费、行程问题、工程问题、方案优化选择、商品销售问题、

比赛积分问题、日历问题（数字问题）、配套问题、调配问题、和差倍分问题（比例问题）、

几何图形问题、动态问题等共进行方法总结与经典题型进行分类。

礴专题导觥

1、知识储备

2、经典基础题

考点1.分段计费问题

考点2.行程问题

考点3.工程问题

考点4.方案优化问题

考点5.商品销售问题

考点6.比赛积分问题

考点7.配套问题

考点8.调配问题

考点9.数字与日历问题

考点10∙和、差、倍、分（比例）问题

考点11.几何问题（等积问题）

考点12.动态问题

3、优选提升题

⅛⅜知拥储备

1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：问题卑心方程一勰→解答.由此可得解决此类

题的一般步骤为：审、设、歹U、解、检验、答.

2.建立书写模型常见的数量关系

D公式形数量关系：生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这

类问题时,必须通过情景中的信息,准确联想有关的公式,利用有关公式直接建立等式方程。

长方形面积=长X宽长方形周长=2（长+宽）正方形面积=边长X边长正方形周长=4

边长

2）约定型数量关系：利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，

像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。

3）基本数量关系：在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用

情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。

单价X数量=总价速度X时间=路程工作效率X时间=总工作量等。

3.分析数量关系的常用方法

1）直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找

出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。

2）列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知

量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量"对号入座"，便于

正确理解各数量之间的关系。

3）图解法分析数量关系：用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解

题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。

考点1分段计费问题

【解题技巧】总费用=未超标部分的费用+超标部分的费用。

已知费用求X需判定X的所属范围；若无法知道费用对应的具体范围时，需对其进行不同范

围的分类讨论。

注：需审题仔细，看清计费标准是否有“超过部分

常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等

例L（2022•四川广安•七年级期末）国家提倡节能减排，创造节约型社会，某城市提出实施

居民生活用水年度阶梯水价，具体水价标准见下表：

类别水费价格（元/立方米）污水处理费（元/立方米）综合水价（元/立方米）

第一阶梯≤12°（含）立方米3.51.55

第二阶梯120~180（含）立方米5.251.56.75

第三阶梯>18。立方米10.51.512

例如，某户家庭年用水128立方米，应缴纳水费：120x5+（128-120）x6.75=654（元）.

⑴小明家2019年共用水160立方米，则应缴纳水费多少元？

⑵小敏家2019年共用水。立方米（α>180）,请用含。的代数式表示应缴纳的水费.

⑶小慧家2019年，2020年两年共用水360立方米，已知2020年的年用水量少于2019年的

年用水量，且2020年的年用水量高于120立方米，两年共缴纳水费2220元，求小慧家这

两年的年用水量分别是多少？（列一元一次方程求解）

【答案】⑴870元⑵（12α-l155）元⑶小慧家2019年用水220立方米，2020年用水140

立方米

【分析】(1)根据表格中规定的分段计算方法列式计算可得；(2)利用总价=单价X数量，结

合阶梯水价，即可得出结论；(3)设2019年用水X立方米，则2020年用水(360-x)立方

米.根据两年共缴纳水费2220元即可得出关于X的一元一次方程，解之即可得出结论

(1)解：小明家2019年应缴纳水费为：120x5+(160—120)x6.75=870(元)；

(2)解：小敏家2019年共用水。立方米(α>180),则应缴纳的水费为：

120×5+(180-120)×6.75+12(α-180)=(12o-1155)π;

(3)解：设小慧家2019年用水X立方米，则2020年用水(360-x)立方米，

f360-x<x

则，”，解得18°<X<240,120<360-Λ<180,

[360-Λ>120

根据题意得：120x5+(180-120)x6.75+12(x-180)+120x5+(360-x-120)x6.75=2220.

解得：X=220.2020年用水量：360-220=140(立方米).

答：小慧家2019年用水220立方米，2020年用水140立方米.

【点睛】本题考查一元一次方程的应用及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出

一元一次方程.

变式1.(2022・四川德阳•七年级期末)保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具

体赔偿细则如下表.某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的

汽车修理费是()元.

汽车修理费九元赔偿率

0<x≤50060%

500<Λ≤100070%

1000<x≤300080%

A.2687B.2687.5C.2688D.2688.5

【答案】B

【分析】根据表可以首先确定此人的修理费应该大于1000元，并且小于3000元，则赔偿

率是80%,则若修理费是X元，则在保险公司得到的赔偿金额是(X-IOe)O)XO.8+300+350元，

就可以列出方程，求出X的值.

【详解】解：05OO×6O%=300(元)，

(1000-500)x70%=500x70%=350(元)，

(3000-1000)×80%=2000×80%=1600(元),

且300<2000,300+350=650<2000,300+350+1600=2350>2000,

团此人的汽车修理费X的范围是：1000<x≤3000,

可得,300+350+（X-1000）×80%=2000,解得x=2687.5,

13此人的汽车修理费是2687.5元，故选：B.

【点睛】解决问题的关键是读懂题意，确定修理费的范围，正确表示出赔偿金额是解决本题

的关键.

变式2.（2022•湖北恩施•七年级期末）某城市出租车收费标准如下：3下米以内（含3千米）

收费5元，超过3千米的部分每千米加收2元（不足一千米按一千米计算）.

（1）若乘坐出租车行驶X千米（X为整数），完成下列表格.

行驶里程（千米）应付车费（元）

0<x≤3

x>3

⑵周末小华的爷爷准备乘坐出租车到12千米外小华的姑姑家去，但他只有20元钱，爷爷

能够全程乘坐出租车吗？如果能够，他要付多少元车费？如果不能，他至少还要步行几千

米？

【答案】（1）见解析（2）爷爷至少还要步行2千米

【分析】（1）根据3下米以内（含3千米）收费5元，超过3千米的部分每千米加收2元,

分段列式计算；

（2）根据当x=12时，2x7=2x12-1=23>20,得到爷爷不能够全程乘坐出租车，根据

2xT=20,X为整数，得到X=I0,爷爷至少还要步行2千米.

⑴

行驶里程（千米）应付车费（元）

0<x≤35

x>35+2(x-3)或2]_1

（2）解：当x=12时，2x—1=2x12—1=23>20,所以，爷爷不能够全程乘坐出租车.

2x-l=20,则X=IO.5,因为X为整数，所以X=I0,所以爷爷至少还要步行2千米.

【点睛】本题主要考查了分段计费，解决问题的关键是熟练掌握每段路程中车费与路程的关

系列式计算，进行判断.

考点2.行程问题

解题技巧：行程问题总公式为：路程=速度X时间。

解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图

来分析.

行程问题可分为四大类，不同类型的问题，在求解速度时有所不同，具体如下：

①相遇问题（或相向问题）：

φ§

%・r+吃・r=（幅+%）・，=43=>速度和X时间=总路程

②追及问题：

同时不同地：

A会

甲------>

%・/一吃・仁（%—%）∙f=ABn速度差X时间=起点间的距离

同地不同时：

¾—tft≥-----i~tə

甲1--------⅛-------->

%,・r一吃・r=（唳-匕J・，=吃・％=AB=>速度差X时间=先行路程

不同时不同地：

A∣I⅛CNA¾⅛CN

甲，-------V------------rφ∙-----------k----------

%・7—吃・，=（%—%）∙r=A5+吃•麋=4?+5。=速度差、时间=起点间的距离+

先行路程

③航行问题：（1）顺流速度=静水速度+水流速度；（2）逆流速度=静水速度-水流速度。

④火车过桥问题：火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意的是从车头至桥起，到车

尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速X过桥

时间二车长+桥长。

例1.（2022•广东郁南•初一期末）某中学学生步行到郊外旅行，七年级（1）班学生组成前队，

步行速度为4千米/小时，七（2）班的学生组成后队，速度为6千米/小时；前队出发1小

时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车

的速度为10千米/小时.

（1）后队追上前队需要多长时间？（2）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？

（3）七年级（1）班出发多少小时后两队相距2千米？

【答案】（1）后队追上.前队需要2小时；（2）联络员走的路程是20千米；（3）七年级（1）班

出发L小时或2小时或4小时后，两队相距2千米

2

【分析】（1）设后队追上前队需要X小时，由后队走的路程=前队先走的路程+前队后来走的

路程，列出方程，求解即可：（2）由路程=速度X时间可求联络员走的路程；⑶分三种情况讨

论，列出方程求解即可.

【解析】（1）设后队追上前队需要X小时，根据题意得：（6-4）x=4χl.∙.χ=2,

答：后队追上前队需要2小时；

（2）10x2=2（）千米，答：联络员走的路程是20千米；

（3）设七年级（1）班出发t小时后，两队相距2千米，

当七年级（2）班没有出发时，t=a=5，

当七年级（2）班出发，但没有追上七年级（1）班时，4t=6（t-l）+2,.∙,t=2,

当七年级（2）班追上七年级（1）班后，6（t-l）=4t+2,.∙.t=4,

答：七年级（1）班出发1∙小时或2小时或4小时后，两队相距2千米.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分类讨论的思想，找准等量关系，正确列出一元

一次方程是解题的关键.

变式L（2022•湖北七年级期末）轮船沿江从A港顺流行驶到8港，比从B港返回A港少用

2h,船在静水中的速度为26km∕h,水速为2km∕h.设A港和8港相距Xkm.根据题意，列

出的方程是（)

x+2x-2Cx+2x-2C

B-=C.------=---------2D.-------=-------+2

26262626

【答案】B

【分析】设4港和8港相距X千米，根据行船问题公式可知，顺水速度较快，所用时间较

少，所以利用行程问题公式，列方程为：‘变形为：或=2,据此

选择.

Yγ

【详解】解：设A港和B港相距X千米，^÷2-

变形对或勺一2二方程为：⅛=⅛-2≡θ∙

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解

决问题的关键.顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度.

变式2.（2022•四川广元•七年级期末）己知某铁路桥长1600米.现有一列火车从桥上通过，

测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒.则这列火

车长米.

【答案】200

【分析】设这列火车的长为X米，利用速度=路程÷时间，结合火车的速度不变，即可得出

关于X的一元一次方程，此题得解.

【详解】解：设这列火车的长为X米，

1600+xl600-x

根据题意得,

~90—-—70~

解得x=200,

回这列火车的长为200米.

故答案为：200

【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程

是解题的关键.

变式3.（2022•山西浑源•初一期末）综合与实践：

甲乙两地相距900千米，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为120千米/时；快车开

出30分钟时，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为90千米/时.设慢车行驶的时间

为X小时，快车到达乙地后停止行驶，根据题意解答下列问题：（1）当快车与慢车相遇时,

求慢车行驶的时间；

（2）当两车之间的距离为315千米时，求快车所行的路程；

（3）①在慢车从乙地开往甲地的过程中，直接写出快慢两车之间的距离；（用含X的代数式

表示）

②若第二列快车也从甲地出发匀速驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车

相遇后30分钟时，第二列快车与慢车相遇，直接写出第二列快车比第一列快车晚出发多少

小时.

【答案】（I）4小时（2）360千米或720千米（3）①0Wx<4时，840-210x；4Wx<

7

7时，210×-840；7WxW10时,90×②一小时

8

【分析】（1）设慢车行驶的时间为X小时，根据相遇时，快车行驶的路程+慢车行驶的路程

=900,依此列出方程，求解即可；（2）当两车之间的距离为315千米时，分三种情况：①

两车相遇前相距315千米，快车行驶的路程+慢车行驶的路程=900-315；②两车相遇后相距

315千米，快车行驶的路程+慢车行驶的路程=900+315；③当快车到达乙地时，快车行驶了

7.5小时,慢车行驶了7小时,7×90=630>315,此种情况不存在；（3）①分三种情况：慢

车与快车相遇前；慢车与快车相遇后；快车到达乙地时；

19

②在第一列快车与慢车相遇后30分钟时，慢车行驶的时间为4+；=一小时，快车慢车行驶

22

的时间为4+g+g=5小时.设第二列快车行驶y小时与慢车相遇，根据相遇时，快车行驶

的路程+慢车行驶的路程=900,求出y的值，进而求解即可.

【解析】解：（1）设慢车行驶的时间为X小时，由题意得120（x+；）+90x=900,解得

x=4.

答：当快车与慢车相遇时，慢车行驶了4小时.

（2）当两车之间的距离为315千米时，有两种情况：

①两车相遇前相距315千米，此时120（x+工）+90x=900-315,解得x=2.5.

2

120（x+ɪ）=360（千米）；

2

②两车相遇后相距315千米，此时120（x+l）+90x=900+315,解得x=5.5.

2

120（x+工）=720（千米）；

2

③当快车到达乙地时，快车行驶了7.5小时，慢车行驶了7小时，

7×90=630>315,此种情况不存在.

答：当两车之间的距离为315千米时，快车所行的路程为360千米或720千米；

（3）①当慢车与快车相遇前，即0≤x<4时，

两车的距离为900-120（×+-）-90x=840-210x；

2

当慢车与快车相遇后，快车到达乙地前，即4WxV7时，

两车的距离为120（x+—）+90x-900=2IOx-840；

2

当快车到达乙地时，即7WxW10时，两车的距离为90x；

7

②第二列快车比第一列快车晚出发《小时.

O

在第一列快车与慢车相遇后30分钟时，慢车行驶的时间为4+：1=—9小时，

22

快车行驶的时间为4+!+!=5小时.

22

9I

设第二列快车行驶y小时与慢车相遇，由题意，得120y+-X90=900,解得y=4—.

28

177

5-4-=-（小时）.答:第二列快车比第一列快车晚出发丁小时.

8OO

【点睛】本题考查了一元•次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的

条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.

考点3.工程问题

【解题技巧】我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题

中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。

工程问题关键是把“一项工程”看成单位uI",工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。

复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以

约掉的。

例L（2022•河南信阳•七年级期末）为推进我国"碳达峰、碳中和"双碳目标的实现，各地大

力推广分布式光伏发电项目.某公司计划建设一座光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要

3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元.

⑴若甲、乙两工程队合作施工，需要几周完成?共需耗资多少万元？

⑵若需要最迟4周完成工程，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省

资金.（时间按整周计算）

【答案】⑴甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共耗资22万元

（2）选择先由甲和乙两工程队合作施工1周，剩下的由乙单独施工3周最节省资金

【分析】（1）设甲、乙两工程队合作施工，需要X周完成，根据"甲工程队单独施工需要3

周"、"由乙工程队单独施工需要6周”可列方程求解；

（2）设先由甲和乙两工程队合作施工y周，剩下的由乙单独完成，根据“甲的工作量+乙的

工作量=1"列出方程并解答；然后根据甲、乙两队的每周耗资作出方案的选择.

（1）解：设甲、乙两工程队合作施工，需要X周完成.根据题意，得（g+，）X=L解得x=2.所

36

以（8+3）×2=22（万元）.答：甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共耗资22万元：

（2）解：设先由甲和乙两工程队合作施工），周，剩下的由乙单独完成.根据题意，得

（→7∣y+⅛2=l,解得V=L所以4-1=3,所以（8+3）×l+3×3=20（万元）.所以选择先

o√6

由甲和乙两工程队合作施工1周，剩下的由乙单独施工3周最节省资金.

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据工作量=工作时间X工作效率列方程求解.

变式L（2022∙广东江门•七年级期末）有一项城市绿化整治任务交甲、乙两个工程队完成,

已知甲单独做10天完成，乙单独做8天完成，若甲先做1天，然后甲、乙合作X天后，共

同完成任务，则可列方程为（）

x+1X.x+1X.x-1X,x-1X,

A.----------=1B.——+-=1C.----------=1D.——+-=1

108108108108

【答案】B

【分析】据甲完成的工程量+乙完成的工程量=总工程量，即可得出关于X的一元一次方程,

此题得解.

Y+1X

【详解】解：依题意得：μi+9=l,故选：B.

【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程

是解题的关键.

变式.（2022•浙江台州•一模）新农村建设中，某镇成立了新型农业合作社，扩大了油菜种植

面积，今年2000亩油菜喜获丰收.该合作社计划租赁5台油菜收割机机械化收割，一台收

割机每天大约能收割40亩油菜.

⑴求该合作社按计划几天可收割完这些油菜；

（2）该合作社在完成了一半收割任务时，从气象部门得知三天后有降雨，于是该合作社决定

再租赁3台油菜收割机加入抢收，并把每天的工作时间延长10%,请判断该合作社能否完成

抢收任务，并说明理由.

【答案】（1）该合作社按计划10天可收割完这些油菜

（2）该合作社能完成抢收任务，理由见解析

【分析】（1）设该合作社按计划X天可收割完这些油菜，再根据“工作效率X工作时间=工作

总量"列一元一次方程并解答即可；（2）先求出增加3台油菜收割机后一天的收割量，再求

出三天的收割量，然后和IOOo亩进行比较即可.

⑴解：设该合作社按计划X天可收割完这些油菜

5×40x=20∞解得：X=Io

答：该合作社按计划10天可收割完这些油菜；

（2）解:原来一天的收割量:5×40=2∞（亩），

现在•天的收割量：（5+3）χ40χ（l+10%）=352（亩），

现在三天可完成的收割量:352x3=1056（亩）＞1000亩.

答：该合作社能完成抢收任务.

【点睛】本题考查了一元一次方程应用中的工程问题，找到等量关系是解答本题的关键.

考点4.方案优化问题

解题技巧：此类题型，一般会提供多种方案供选择，要求我们选出最合算的方案。解此类题

型有2种思路。

思路L分别求解出每种方案的最终费用，在比较优劣

思路2：求解出每种方案费用相同时的临界点，在根据临界点进行讨论分析。

例L（2022∙湖南•永顺县教育科学研究所七年级期末）葡萄加工厂现收购10吨葡萄，该葡

萄的出原汁率80%（原汁含皮带籽）.若在市场上直接销售原汁，每吨可获利润500元；制

成葡萄汁（葡萄汁不含皮不带籽）销售，每加工1吨原汁可获利润1200元；制成葡萄饮料

销售，每加工1吨原汁可获利润2000元.该厂的生产能力是：若制葡萄汁，每天可加工3吨

原汁；若制葡萄饮料，每天可加工1吨原汁；受人员和设备限制，两种加工方式不可同时进

行，受气温条件限制，这批葡萄必须在4天内全部销售或加工完毕.为此，该厂设计了两种

可行方案：（将葡萄榨成原汁时间忽略不计）

方案一：尽可能多的制成葡萄饮料，其余直接销售原汁；

方案二：将一部分制成葡萄饮料，其余制成葡萄汁销售，并恰好4天完成.

⑴方案一获利情况.⑵方案二如何安排原汁的使用.（3）请你帮葡萄加工厂选一种方案，使这

10吨葡萄既能在4天内全部销售或加工完毕，又能获得你认为最多的利润.

【答案】⑴100∞（元）；

（2）2吨做制葡萄饮料，6吨做葡萄汁：

⑶选择第二种方案

【分析】（1）方案一是尽可能多的葡萄饮料，也就是四天都制葡萄饮料，每天加工一吨，可

加工4吨，剩下的4吨原汁直接销售；

（2）设X天制葡萄饮料，则（4-x）天制成葡萄汁销售，由此列出方程解答即司I

（3）比较两种方案的利润得出答案即可.

（1）10x80%=8吨，方案一获利4x2000+（8—4）x500=10000（元）；

（2）设X天制葡萄饮料，则4-x天制成葡萄汁销售，

由题意得x+3（4-x）=8,

解得：x=1,

4-x=2,

2×1=2（吨），3χ2=6（∏'li）

答：2吨做制葡萄饮料，6吨做葡萄汁.

（3）方案二获利2x2000+6x1200=11200元，

10000<11200,

所以选择第二种方案.

【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，方案的选择问题，理解方案的含义，找出题目

蕴含的数量关系解决问题.

变式1.（2022•山东烟台•七年级期末）22年冬奥会开幕式上，烟台莱州武校的健儿们参演

的立春节目让全世界人民惊艳和动容，小明想知道这震撼人心的队伍的总人数.张老师说你

可以自己算算：若调配55座大巴若干辆接送他们，则有8人没有座位；若调配44座大巴接

送，则用车数量将增加两辆，并空出3个座位，你能帮小明算出一共去了名健儿参

演节目吗？

【答案】393

【分析】设有55座大巴X辆，则44座大巴（X+2）,据人数相等列出一元一次方程，解方程，

进而即可求解.

【详解】解：设有55座大巴X辆，则44座大巴（x+2）,根据题意得，

55X+8=44（X+2）-3,解得χ=7,

则总人数为55x7+8=393（人），故答案为：393.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键.

变式2.（2022・海南・海口中学七年级期末）某学校组织七年级同学参加社会实践活动，计划

前往博物馆参观；若博物馆的门票只能当日有效，且价格规定如表：

购票张数1~49张50-99张100张以上

每张门票的价格15元12元9元

现有七年级三个班共129人参观，其中每个班都不足50人；

⑴若学校为七年级集体购票，共需购票款多少元？⑵因七年一班需要在校参加另外一项活

动，参观时间另外安排，这样学校两次购票共花费1674元，求七年一班有多少学生？

⑶当七年一班去博物馆参观时，班长同学采取了新的购票方案，结果比（2）中方案省钱，

你知道班长是如何购票的吗？请计算班长同学节约了多少钱.

【答案】⑴1161元（2）42人（3）30元

【分析】（1）根据题意得出七年级集体购票每张单价为9元，然后用人数乘以单价即可；

（2）根据题意得出其余两班的人数大于129-50=79（人），两班的人数少于100人，设七一

班有X人，则其余两班的人数是（129-x）人，列出方程求解即可：

（3）根据表格数据知购买50张票的总价小于42人的购票总价，然后计算差即为节约的钱

数.

（1）解：七年级集体购票每张单价为9元，则共需购票款为129x9=1161（元）；

（2）因为每个班不足50人，则其余两班的人数大于129-50=79（人），两班的人数少于100

人，

设七一班有X人，则其余两班的人数是（129㈤人，

则有15x+12x（129-x）=1674,解得x=42则七一班人数有42人;

（3）42x15=630（元）,50x12=600（元）,

班长按每人12元的票价购买了50张花了600元，

这样班长节约了630-600=30（元）.

【点睛】题目主要考查有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用，理解题意，列出相

应式子及方程是解题关键.

考点5.商品销售问题

【解题技巧】此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。

实际售价=标价X打折率利润=售价一成本（或进价）=成本X利润率

利润率=粤Xlo0%标价=成本（或进价）x（1+利润率）

进价

注意："商品利润=售价一成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几

折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.

在解决复杂商品销售问题时，通常会多设原价为α这个未知数，虽然在解题过程中，这个未

知数会被消掉。但是，若不设这个未知数，许多关系就不好表达了。

例1.（2022•福建•福州七年级期末）某社区超市第一次用6000元购进一批甲乙两种商品，

其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，两件商品的进价和售价如下图所示：

⑴超市购进的这批货中甲乙两种商品各有多少件？

（2）该超市第二次分别以第一次同样的进价购进第二批甲乙两种商品，其中乙商品的件数是

第一批乙商品件数的3倍，甲商品件数不变，甲商品按照原售价销售，乙商品在原价的基础

上打折销售，第二批商品全部售出后获得的总利润比第一批获得的总利润多720元，求第二

批乙商品在原价基础上打几折销售？

1I1乙

进价（元/件）2230

售价（元/件）2940

【答案】⑴甲种商品150件，乙种商品90件；（2）9折.

【分析】（1）设第一次购进乙种商品，”件，则购进甲种商品（2,"-30）件，根据总价=单

价X数量，即可得出关于的一元一次方程，解方程后计算2,疗30,可得两种商品第一次购

进数量；

（2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据总利润=每件的利润X销售数量，即可得

出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论.

（1）解：设第一次购进乙种商品加件，则购进甲种商品（2〃L30）件，

依题意,得:30w+22×（2m-30）=6000,

解得：m=90,02ZM-30=150,

答：超市购进的这批货中甲种商品150件，乙种商品90件.

（2）设第二次乙种商品是按原价打），折销售，

由（1）可知，第一次两种商品全部卖完可获得利润为：

（29-22）×150+（40-30）×90=1950（元）.

依题意得：（29-22）×150+（40×-j^-30）×90×3=1950+720,解得：y=9∙

答：第二次乙种商品是按原价打9折销售.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的

关键.

变式1.（2022•河南郑州•七年级期末）某种商品每件的进价为80元，标价为120元.为了

拓展销路，商店准备打折销售，若使利润率为20%,设商店打X折销售，则依题意得到的方

程是（）

X

A.120×一一80=120×20%B.120x-80=120×20%

10

X

C.120×——80=80×20%D.120Λ-80-80×20%

10

【答案】C

【分析】利用售价减去进价等于利润即可得到方程.

【详解】解：根据题意可列一元一次方程：

Y

I20×-i-80=80×20%.故选：C.

【点睛】本题主要考查列一元一次方程，理解题意是解题的关键.

变式2.（2022・重庆江津•七年级期末）在六一儿童节期间，某商家推出零食大礼包，包含薯

片、辣条、果冻三种零食.礼包的成本是三种零食成本之和.每个礼包中薯片、辣条、果冻

成本之比为7：5：3,其中薯片的利润率为30%,果冻的利润率为40%,且每个礼包的总

利润率为34%,则辣条的利润率为.

【答案】36%

【分析】设辣条的利润率为X,每个礼包中薯片成本为7m、辣条成本为5〃八果冻成本为3m,

则每个礼包的成本是15m,根据每个礼包的总利润率为34%,列方程即可解得答案.

【详解】解：设辣条的利润率为X,每个礼包中薯片成本为7机、辣条成本为5m、果冻成本

为3%，则每个礼包的成本是7〃2+5〃2+3机=15/??,

根据题意得：（l+30%）*7m+（l+x）χ5“z+（l+40%）*3m=（l+34%）χl5m,

解得X=O.36=36%,答：辣条的利润率为36%,故答案为：36%.

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程.

考点6.比赛积分问题

解题技巧：此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；

有的比赛结果又胜负和平局。

比赛总场数=胜场数+负场数+平场数比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分

例1.（2022•山东滨州•七年级期末）某年全国男子篮球联赛某赛区有圣奥（山西）、香港、

悦达（南京军区）、济源（河南）、三沟（辽宁）、广西、丰绅（黑龙江）等球队参加，积分

情况如下：

球队名称比赛场次胜场负场积分

悦达1211123

21

香港1293

20

济源1284

圣奥126618

丰绅125717

广西123915

三沟1201212

⑴观察上面表格，请直接写出篮球联赛胜一场积多少分，负一场积多少分；

（2）若设负场数为m,请用含的式子表示某一个队的总积分；

⑶某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的4倍吗？说明理由.

【答案】⑴胜一场2分，负一场1分（2）24—〃?（3）能，理由见解析

【分析】（1）由三勾队可求得负-场积分为1分，再由悦达队可求胜•场的积分为2分；

（2）根据总积分=胜场的积分+负场的积分即可求解：

（3）可设这个队胜了X场，根据题意列出相应的方程求解即可.

（1）解：由三勾队的积分为12分，负了12场，则负一场的积分为：12÷12=1（分），

再由悦达队积分为23分，负了1场,胜了11场，则其胜场的总积分为：23-1-22（分），

则胜一场的积分为：22÷11=2（分）；答：胜一场积2分，负一场积1分.

（2）解:若设负场数为〃?，则胜场数为（12-m）,负场积分为m,胜场积分为2（12-m）,因

此总积分为：m+2（12-∕n）=24-m.

⑶解：设这个队胜了X场，则负了（12-x）场，如果这个队的胜场总积分等于负场总积分的

4倍，则得方程为：2x=4（12-x）,解得：x=8,12-x=4,

团这个队的胜场总积分能等于负场总积分的4倍，此时，胜场数为8,负场数为4.

【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，列代数式，解答的关键是理解清楚题意找到相

应的等量关系.

变式1.（2022•山西•古县七年级期末）小明与他的爸爸一起做"投篮球"游戏.两人商定游戏

规则为：小明投中1个得2分，小明爸爸投中1个得1分，两人共投中了25个.经计算，

发现小明比爸爸多得2分，你知道小明投中几个吗？设小明投中X个，根据题意，列方程正

确的是（）

A.2x—（25—x）=2B.x—2（25—x）=2

C.2x+（2+x）=25D.（25-x）-2x=2

【答案】A

【分析】设小明投中数为X个，根据投中总数25个，可知小明爸爸投中数为25-x个，由题

可知小明比爸爸多得2分，根据得分的数量关系列方程求解.

【详解】解：设小明投中数为X个，可知小明爸爸投中数为25-x个，由题可知小明比爸爸

多得2分，根据题意列方程：

2x—（25—x）=2；故选：A

【点睛】本题主要考查-元一次方程的应用，解题的关键是理解实际应用中已知条件和未知

数的数量关系.

变式2.（2022•贵州铜仁•中考真题）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委

举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答

错或不答一个扣1分.小红一共得70分，则小红答对的个数为（）

A.14B.15C.16D.17

【答案】B

【分析】设小红答对的个数为X个，根据抢答题•共20个，记分规则如下：每答对一个得

5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可.

【详解】解：设小红答对的个数为X个，

由题意得5x-（20τ）=70,解得χ=15,故选B.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键.

考点7.配套问题

【解题技巧】因工艺上的特点，某几个工序之间存在比例关系，需这几道工序的成对应比例

才能完全配套完成,这类题型为配套问题。配套问题,主要利用配套的比例来列写等式方程。

“配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的

零件数；（3）不同零件的配套比。利用（3）得到等量关系，先构造分式方程，再利用比例

的性质交叉相乘积相等得到一元一次方程。

例1.（2022•四川广安•七年级期末）某车间有94个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天

平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个.已知每1个甲种零件和2个乙种零件配成一套，

问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配

套？每天能生产成多少套？（列一元一次方程求解）

【答案】46人生产甲种零件，48人生产乙种零件，每天生产552套

【分析】设应分配X人生产甲种零件，（94-X）人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件

和乙种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个，可列方程

求解.

【详解】解：设应分配X人生产甲种零件，（94-X）人生产乙种零件，

IZrX2=23（94-x）×1,

解得x=46,

94-46=48（A）,

每天生产12x48=552（套）.

故应分配46人生产甲种零件，48人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚

好配套，每天能生产成552套.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用.关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列

方程求解.

变式1.（2022•宁夏•七年级期末）新冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中

必不可少的物品.某口罩厂有50名工人，每人每天可以生产800个口罩面或IoOo个口罩

耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排X名工人生产口

罩面，则下面所列方程正确的是（）

A.2×1000(50-x)=800xB.IOOo(25-X)=800X

C.IOOO(50-X)=2χ80OXD.1000(50-x)=800x

【答案】C

【分析】题目已经设出安排X名工人生产口罩面，则（50-x）人生产耳绳，由一个口罩面需

要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程.

【详解】解：设安排X名工人生产口罩面，则（50-x）人生产耳绳，

由题意得Ie）Oo（50-Λ）=2x800x.故选：C.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未

知数，找出合适的等量关系，列方程.

变式2.（2022•山东威海・期末）一张方桌由一个桌面、四条桌腿组成，如果lm3木料可以做

方桌的桌面40个或做桌腿240条，现有6m3木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立

方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配套？设用X立方米木料做桌面，由题意列方程,

得.

【答案】4×40x=240(6-x)

【分析】设用X立方米木料做桌面，则用(6T)立方米木料作桌腿，根据一个桌面配四个桌

腿列出方程即可.

【详解】解：设用X立方米木料做桌面，则用(6-勾立方米木料作桌腿，

由题意得：4×Ox=240(6-%),故答案为：4×40x=240(6-x).

【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意是解题的关键.

考点8.调配问题

【解题技巧】调配问题中，调配前后总量始终保持不变，可利用这个关系列写等式方程，有

时又在调配前后的变化中找等量关系。

调出者的数量=原有的数量一调出的数量

调进者的数量=原有的数量+调入的数量

例1.(2022•杭州市七年级期末)A、B两地果园分别有苹果20吨和30吨，C、D两地分别

需要苹果15吨和35吨；已知从4、B到C、D的运价如表：

A果园S果园

至UC地每吨15元每吨10元

至IJD地每吨12元每吨9吨

(1)若从A果园运到C地的苹果为X吨，则从4果园运到。地的苹果为吨，从B

果园将苹果运往C地的苹果为吨，从8果园将苹果运往D地的苹果为吨.

(2)若从A果园运到C地的苹果为X吨，用含X的代数式表示从A果园到C、。两地的总

运费是元；用含X的代数式表示从B果园到C、D两地的总运费是元.

(3)若从A果园运到C地的苹果为X吨，从A果园到C、D两地的总运费和B果园到C、D

两地的总运费之和是545元，若从A果园运到C地的苹果为多少吨？

【答案】(I)(20-x),C15-x),(x+15)；(2)(3x+240),(285-x)；(3)Io吨

【分析】(1)由A果园的苹果吨数结合从A果园运到C地的苹果吨数即可得出从A果园运

到。地的苹果重量，再根据C、D两地需要的苹果重量即可得出从B果园运到C、。两地苹

果的重量；

(2)根据运费=重量X每吨运费即可得出从A果园到C、。两地的总运费，再根据运费=重量

X单吨运费即可得出从8果园到C、。两地的总运费；

(3)根据(2)的结论结合总运费即可得出关于X的一元一次方程，解之即可得出结论.

【详解】解：(1):A果园有苹果20吨，从A果园运到C地的苹果为X吨，

，从A果园运到。地的苹果为(20-x)吨，从8果园将苹果运往C地的苹果为(15-x)吨,

二从B果园将苹果运往。地的苹果为35-(20-x)=(x+15)吨.

故答案为：(20-x),(15-x),(x+15)；

(2)从A果园到C、D两地的总运费是15x+12(20-x)=(3x+240)元；

从B果园到C、D两地的总运费是10(15-x)+9(x+15)=(285-x)元.

故答案为:(3x+240),(285-x)；

(3)根据题意得：3x+240+285-x=545,解得：X=IO.

答：从A果园运到C地的苹果为10吨.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数，解题的关键是：(1)根据数量关系:

A果园苹果总重量=A果园运往C地苹果重量+A果园运往D地苹果重量，B果园苹果总重量

=B果园运往C地苹果重