初中数学图形的相似易错题汇编

（易错题精选）初中数学图形的相似难题汇编

一、选择题

1.已知正方形ABCD的边长为5,E在BC边上运动，DE的中点G,EG绕E顺时针旋转

90。得EF,问CE为多少时A、C、F在一条直线上（）

3453

A-5B-3C-3D-4

【答案】C

【解析】

【分析】

首先延长BC,做FNLBC,构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出RSFNEs

RtAECD,再利用相似比得出NE=；CO=2.5,运用正方形性质，得出ACNF是等腰直角三

角形，从而求出CE.

【详解】

解：过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，

；NDCE=NENF=90°,ZDEC+ZNEF=90°,ZNEF+ZEFN=90°,

NDEC=NEFN,

RtAFNE^RtAECD,

：DE的中点G,EG绕E顺时针旋转90。得EF,

.••两三角形相似比为L2,

.,.可以得至IJCE=2NF,NE=gcD=2.5

：AC平分正方形直角，

，NNFC=45°,

...△CNF是等腰直角三角形,

；.CN=NF,

丁2“255

二.CE=—NE=—x—=—.

3323

故选C.

【点睛】

此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度

经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.

2.如果两个相似正五边形的边长比为1：10,则它们的面积比为（）

A.1：2B.1：5C.1：100D.1：10

【答案】C

【解析】

根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10,可

知它们的面积为1：100.

故选：C.

点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.

3.如图，四边形A8C。内接于e。，AB为直径，AD=CD,过点。作。E,AB于点

3

E,连接AC交OE于点F.若sin/C4B=m，DF=5,则A8的长为（）

A.10B.12C.16D.20

【答案】D

【解析】

【分析】

连接8。，如图，先利用圆周角定理证明NAOE=NZMC得到尸。=必=5,再根据正

弦的定义计算出EF=3,则AE=4,OE=8,接着证明AAOESADBE,利用相似比得

到BE=16,所以A8=20.

【详解】

解：连接8D,如图，

。43为直径，

ZADB^ZACB^9Q0,

QAD=CD,

:.^DAC=ZDCA,

而ZDCA=ZABD,

:.ZDAC=ZABD,

DEIAB,

：.ZABD+ZBDE=W°,

而ZADE+NBDE=90°,

:.ZABD=ZADE,

：.ZADE=ZDAC,

FD=FA=5,

EF3

在RtAAEF中，OsinNCAB=—=-,

AF5

:.EF=3,

=32=4,DE=5+3=8,

QZADE=NDBE,ZAED=ABED,

:.\ADE^\DBE,

DE:BE=AE:DE,即8:8E=4:8,

:.BE=16,

A8=4+16=20.

故选：D.

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧

所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的

弦是直径.也考查了解直角三角形.

4.如图，在x轴的上方，直角/BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若NBOA的两边分别与

12

函数y=——、y=-的图象交于B、A两点，则NOAB大小的变化趋势为（）

A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变

【答案】D

【解析】

【分析】

BEOE1

如图，作辅助线；首先证明ABEOs/\OFA,,得到x=:六；设B为（a,一一），A为

7OrFAFa

717

（b,-）,得到OE=-a,EB=--,OF=b,AF=-,进而得到a2b2=2,此为解决问题的关

bab

/2

键性结论；运用三角函数的定义证明知tan/OAB=Y为定值，即可解决问题.

2

【详解】

解：分别过B和A作BE_Lx轴于点E,AF_Lx轴于点F,

则ZlBEOsZ^OFA,

.BE_OE

'''OF~~AF'

1?

设点B为（a,——），A为（b,士），

ab

12

贝l」OE=a,EB=--,OF=b,AF=",

ab

2

可代入比例式求得成从=2,即。"加

根据勾股定理可得：0B=JOE2+E82=Ja2+一，OA=J。尸2+AF2=」从+—,

Va2Vb2

2b2也占⑹厂

一+一

b222b20

AtanZOAB=

,4r_r-2

枕+—胆+一

b?\h2

，ZOAB大小是一个定值，因此/OAB的大小保持不变.

故选D

【点睛】

该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问

题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判

定等知识点来分析、判断、推理或解答.

5.如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E

点，对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为（）

C.10D.12

【答案】D

【解析】

分析：根据正方形的性质可得出AB〃CD,进而可得出AABFsaGDF,根据相似三角形的性

AFAB

质可得出KK=KK=2,结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG〃AB、AB=2CG可得出

Gr(JD

CG为AEAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解.

详解：•.•四边形ABCD为正方形，

；.AB=CD,AB〃CD,

.\ZABF=ZGDF,ZBAF=ZDGF,

.".△ABF^AGDF,

AFAB

-G---F--=GD=2,

；.AF=2GF=4,

AAG=6.

；CG〃AB,AB=2CG,

.'.CG为AEAB的中位线，

；.AE=2AG=12.

故选D.

点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相

似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键.

k

6.如图，正方形OABC的边长为6,D为AB中点，OB交CD于点Q,(1是丫=一上一点,

x

C.16D.24

【答案】C

【解析】

【分析】

延长根据相似三角形得到80:0。=1:2,再过点。作垂线，利用相似三角形的性质求出

QF.0F,进而确定点。的坐标，确定k的值.

【详解】

解：过点。作。尸，垂足为尸，

。。48c是正方形，

0A=AB=BC=0C=6,ZABC=Z0AB=90°=NDAE,

。。是AB的中点，

2

QBD//0C,

:.\0CQ^\BDQ,

BQBD1

"'0Q~'0C~2'

又。QF//AB,

:.\OFQ^\OAB,

,QFOF0Q22

QAB=6,

22

/.QF=6x—=4,OF=6x-=4,

33

/.2(4,4),

Q点。在反比例函数的图象上，

％=4x4=16,

故选：C.

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求

出点。的坐标是解决问题的关键.

k

7.如图，点A在双曲线y-------(x>0)上，过点A作AB，x轴，垂足为点B,分别以点。

X

1

和点A为圆心，大于爹0A的长为半径作弧，两弧相交于D,E两点，作直线DE交X轴于

点C,交y轴于点F(0,2),连接AC.若AC=1,则k的值为()

小

。刊X

A.2BTC.326+2

2555

【答案】B

【解析】

分析：如图，设OA交CF于K.利用面积法求出OA的长,再利用相似三角形的性质求出

AB、OB即可解决问题；

详解：如图，设OA交CF于K.

L

。飞X

由作图可知，CF垂直平分线段OA,

AOC=CA=1,OK=AK,

在R3OFC中，CF=，0/2+0。2=有，

1x22^5

AAK=OK=—=r=,

x/55

45

.-.OA=—i—,

5

由△FOCS/\OBA,可得

OF_OC_CF

~OB~~AB~'dA，

2_1_75

，7)B~AB~475，

丁

84

32

"k"25,

故选B.

点睛：本题考查作图-复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的

性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

8.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板。EF测量树的高度4B,他调整自己的位

置，设法使斜边。尸保持水平，并且边与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边

DE=40cm,EF=20cm,测得边。尸离地面的高度AC=15〃，CD=Sm,则树高

AB是（）

A.4米B.4.5米C.5米D.5.5米

【答案】D

【解析】

【分析】

利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高

AB.

【详解】

解：ZDEF=ZBCD-900ZD=ZD

AAADEF^ADCB

.BCDC

"'~EF~~DE

DE=40cm=0.4m,EF-20cm=0.2m,AC-1.5m,CD=8m

=-解得：BC=4

0.20.4

.e.AB=AC+BC=1.5+4=5.5米

故答案为：5.5.

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型。

9.如图，A3为e。的直径，C为e0上一点,弦AO平分N8AC,交弦8c于点E,

则AE的长为()

B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

根据角平分线的定义得到NCAD=NBAD,根据圆周角定理得到/DCB=NBAD,证明ADCES

△DAC,根据相似三角形的性质求出AD,结合图形计算，得到答案.

【详解】

解：：AD平分/BAC,

.\ZCAD=ZBAD,

由圆周角定理得,ZDCB=ZBAD,

；./CAD=/DCB,又/D=/D,

/.△DCE^ADAC,

DEDC24

：'DC=DA,即/加

解得，AD=8,

；.AE=AD-DE=8-2=6,

故选：C.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质

定理是解题的关键.

10.在RtAABC中，NBAC=90。，AD是△A8C的中线，Z4DC=45°,把△AOC沿对折，

BQ

使点C落在U的位置，CD交A8于点Q,则7万的值为()

A.右B.V?C.—D.—

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可

得出AD=DC=BD,AC=AC',NADC=NADC'=45°,CD=CD,进而求出NC、NB的度

BQBQ

数，求出其他角的度数，可得AQ=AC,将7K转化为:A，再由相似三角形和等腰直角

AC

三角形的边角关系得出答案.

【详解】

解：如图，过点A作AELBC,垂足为E,

,/NADC=45°,

/2

.♦.△ADE是等腰直角三角形，即AE=DE="AD,

2

在R3ABC中，

VZB4C=90°,AD是AABC的中线，

：.AD=CD=BD,

由折叠得：AC=AC,ZADC=ZADC=45),,CD=CD,

.•.NCDU=45°+45°=90°,

：.ZDAC=ZDCA=(180°-45°)+2=67.5°=NCAD,

：.ZB=90°-ZC=ZCAE=22.5°,Z6QD=900-ZB=ZCQA=67.5°,

：.AC=AQ=AC,

BQBD

由△AECs/iBDQ得：,

ACAE

.BQBQAD0AE_

【点睛】

考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定

等知识，合理的转化是解决问题的关键.

11.如图，己知一组平行线a〃b〃c,被直线机、”所截，交点分别为A、B、C和

D、E、F,且A3=1.5,BC=2,£>£=1.8,则£7^=()

a

A.4.4B.4C.3.4D.2.4

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平行线等分线段定理列出比例式，然后代入求解即可.

【详解】

解：：a//b〃c

ABDE1.51.8

-TTTr=即~右U

BCEF2EF

解得：EF=2.4

故答案为D.

【点睛】

本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，利用定理正确列出比例式是解答本题的关

键.

12.如图，。是AC的中点，将面积为16cm2的菱形ABC。沿AC方向平移A。长度得

到菱形则图中阴影部分的面积是（）

C.4cm2D.2cm2

【答案】C

【解析】

【分析】

"ABCDsnOECF,且AO=OC=；AC,故四边形OECF的面积是。ABCD面积的

根据题意得,

1

4

【详解】

解：如图,

DD'

由平移的性质得，。ABCDsoOECF,且AO=OC=]AC

1

故四边形OECF的面积是。ABCD面积了

4

即图中阴影部分的面积为4cm2.

故选：C

【点睛】

此题主要考查了相似多边形的性质以及菱形的性质和平移性质的综合运用.关键是应用相

似多边形的性质解答问题.

13.如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的

顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小

明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（）

A.9B.12C.14D.18

【答案】A

【解析】

【分析】

如图，BC=2m,CE=12m,AB=1.5m,利用题意得NACB=NDCE,则可判断AACBs4

DCE,然后利用相似比计算出DE的长.

【详解】

解：如图，BC=2m,CE=12m,AB=l.Sm,

由题意得/ACB=/DCE,

ADEC,

：.”CBs

ABBC1.5DE

"DE^CE'即三=正’

：.DE=9.

即旗杆的高度为9m.

故选A.

D

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度.利用杆或直尺测量物体

的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性

质求物体的高度.

14.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）.

A.平移变换B.相似变换C.旋转变换D.对称变换

【答案】B

【解析】

【分析】

根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案.

【详解】

解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同,

所以属于相似变换.

故选:B.

【点睛】

本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出.

15.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G,F分别为A。、BC边上的点，若

AG=1,BF=2,ZGEF=90°,则GF的长为（）

【答案】B

【解析】

:四边形ABCD是正方形，

Z.ZA=ZB=90°,

NAGE+NAEG=90",ZBFE+ZFEB=90°,

；/GEF=90°,

ZGEA+ZFEB=90°,

，NAGE=NFEB,NAEG=NEFB,

.•.△AEG^ABFE,

.AE_AG

又；AE=BE,

；.AE2=AG・BF=2,

:(舍负)，

，GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=l+2+2+4=9,

AGF的长为3,

故选B.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证

明AAEGs/^BFE.

16.已知线段MN=4cm,P是线段MN的黄金分割点，MP>NP,那么线段A4P的长度等

于()

A.(2>/5+2)cmB.(2>/5-2)cmC.(y/5+1)cmD.(y/5-1)cm

【答案】B

【解析】

【分析】

根据黄金分割的定义进行作答.

【详解】

由黄金分割的定义知，竺=近二1,又MN=4,所以，(\^=2"-2.所以答案选8

MN2

【点睛】

本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是本题解题关键

17.如图，正方形48DC中，AB=6,E在CD上，DE=2,将AADE沿AE折叠至AAFE,延

长EF交8c于G,连AG、CF,下列结论：①AABG出ZXAFG；②8G=CG；③AG〃CF；

④S^CG=3,其中正确的有()•

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】

利用折叠性质和HL定理证明RtAABG丝RtAAFG,从而判断①；设BG=FG=x,则CG=6-x,

GE=x+2,根据勾股定理列方程求解，从而判断②；由②求得AFGC为等腰三角形，由此推

出NFCG=I"—",由①可得NAGB=弛二，从而判断③；过点F作

FM1CE,用平行线分线段成比例定理求得FM的长，然后求得AECF和AEGC的面积，从而

求出AFCG的面积，判断④.

【详解】

解：在正方形ABCD中，由折叠性质可知DE=EF=2,AF=AD=AB=BC=CD=6,ZB=ZD=ZAFG=

ZBCD=90"

又：AG=AG

.♦.RtZkABG丝RtZkAFG,故①正确；

由R3ABG出RSAFG

，设BG=FG=x,则CG=6-x,GE=GF+EF=x+2,CE=CD-DE=4

...在RtAEGC中,(6-X)2+42=(x+2”

解得：x=3

；.BG=3,CG=6-3=3

/.BG=CG,故②正确;

又BG=CG,

.•.N"GJ80"GC

2

又：R3ABG丝RtaAFG

IS^-ZFGC

：.Z.AGB=-------------

2

；./FCG=NAGB

；.AG〃CF,故③正确;

过点F作FM±CE,

，FM〃CG

.•.△EFM^AEGC

FMEFFM2

•*,----=即=-

GCEG35

解得FM=三

：'S^CG=S~S=^x3x4-lx4x1=3.6,故④错误

正确的共3个

故选：C.

【点睛】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角

形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键.

18.如图，某河的同侧有A,8两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为

AC=2km,BD=3km,这两条小路相距5公”.现要在河边建立一个抽水站，把水送到

A,8两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（）

B

A

clD

A.距。点1攵相处B.距C点2%相处C.距C点3七%处D.。的中点处

【答案】B

【解析】

【分析】

作出点A关于江边的对称点E,连接交CD于尸，则

PA+PB=PE+PB=EB,根据两点之间线段最短，可知当供水站在点尸处时，供水管

路最短.再利用三角形相似即可解决问题.

【详解】

作出点A关于江边的对称点E,连接交于P,则尸4+尸8=25+尸8=后8.根

据两点之间线段最短，可知当供水站在点P处时，供水管路最短.

根据APCE:APOB,设PC=x,则尸。=5—x,

根据相似三角形的性质，得

PCCEX2

--------=---------