河南省漯河市2024届高三上学期期末质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省漯河市2024届高三上学期期末质量监测数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.2.己知是不重合的三条直线，是不重合的三个平面，则（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，，则〖答案〗C〖解析〗对于A，若，，则或，A错误；对于B，若，，，则与可能平行或相交，B错误；对于C，当，时，则存在，，使得，，，又，，，又，，，，C正确；对于D，若，，，，则与可能平行或相交，D错误.故选：C.3.已知，则（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，整理得，解得，所以.故选：D.4.将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（）A.，的最小值为 B.，的最小值为C.，的最小值为 D.，的最小值为〖答案〗A〖解析〗由函数图像过点，得，所以，又因为向左平移个单位长度得到点，代入得，，或，，因为，所以的最小值为，故选：A.5.设正实数、、满足，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为正实数、、满足，则，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.故选：D.6.已知，是椭圆的两个焦点，双曲线的一条渐近线与交于，两点.若，则的离心率为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示，由已知，则一条渐近线，即，又，即，且四边形为矩形，所以，则，又根据椭圆定义可知，所以离心率，故选：D.7.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过4次飞行后，停在位于数轴上实数3的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有（）A.22 B.24 C.26 D.28〖答案〗B〖解析〗经过4次飞行，停在位于数轴上实数3的点处，设向右飞行1个单位为事件，向右飞行2个单位为事件，情况一，满足要求，此时只需安排好，故不同的飞行方式为种，情况二，满足要求，此时只需安排好，故不同的飞行方式为种，综上，小蜜蜂不同的飞行方式有种.故选：B8.已知，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，连接和,得割线方程,因为在上是下凸函数，所以在上，割线在正切曲线上方，即,所以当时，,令，，，当时，因为,即，所以在单调增，即,因为，所以，即，故，即.故选：A.二、多项选择题9.某同学用搜集到的六组数据绘制了如下散点图，在这六个点中去掉点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（）A.决定系数变小 B.相关系数的绝对值越趋于1C.残差平方和变小 D.解释变量与预报变量相关性变弱〖答案〗BC〖解析〗从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好，决定系数越接近于1，所拟合的回归方程越优，故去掉点后，变大，越趋于1，A错误；相关系数越趋于1，拟合的回归方程越优，故去掉点后，故相关系数的绝对值越趋于1，B正确；残差平方和变小拟合效果越好，故C正确；解释变量与预报变量相关性增强，D错误.故选：BC10.如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点为侧面内（不含边界）的动点，则（）A.B.存在一点，使得C.三棱锥的体积为D.若，则面积的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、，设点，其中，对于A选项，，，则，所以，，A对；对于B选项，，若，则，解得，不合乎题意，所以，不存在点，使得，B错；对于C选项，，点到平面的距离为，所以，，C对；对于D选项，，若，则，可得，由可得，，当且仅当时，等号成立，因为平面，平面，，，D对.故选：ACD.11.已知抛物线与圆交于，两点，且，直线过的焦点，且与交于，两点，则下列说法中正确的有（）A.若直线斜率为1，则B.若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为C.若点，则周长的最小值为D.的最小值为〖答案〗ABC〖解析〗由题意，由抛物线和圆都关于轴对称，得点在抛物线上，所以，解得，所以C：，则，对于A选项，设直线：，与联立得，设，，所以，，所以，当直线的斜率为时，，，故A项正确；对于B选项，如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点为，过点作轴的垂线，垂足为，则，是梯形的中位线，由抛物线的定义可得，所以，所以以为直径的圆与轴相切，所以为圆与轴的切点，所以点的纵坐标为，又因为为的中点，所以点的纵坐标为，又点在抛物线上，所以点的横坐标为，故B项正确；对于C选项，过作垂直于准线，垂足为，所以的周长为，当且仅当点的坐标为时取等号，故C项正确；对于D选项，由抛物线的定义，结合选项A，，所以，当且仅当，时等号成立，故D项错误.12.已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由为奇函数可得，即，，即，即，所以函数的图像关于直线对称，由是偶函数可得为奇函数，，即，所以函数的图像关于点对称；将代入，得，将代入，得，B选项正确；将代入得，得，A选项错误；，C选项正确；将代入，得，故，，D选项错误.故选：BC.三、填空题13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为______.〖答案〗〖解析〗由题意得的渐近线方程为，故，解得，故，焦距为.故〖答案〗为：14.数列满足，若为数列的前项和，则______.〖答案〗〖解析〗，.故〖答案〗为：.15.如图是构造无理数的一种方法：线段；第一步，以线段为直角边作直角三角形，其中；第二步，以为直角边作直角三角形，其中；第三步，以为直角边作直角三角形，其中；．．．，如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段，如，，．．．，则____________．〖答案〗〖解析〗由题可知所以，，，，所以，所以.故〖答案〗为：.16.已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗当时，，所以，所以在单调递增，由，易得故函数的图象如下图所示：由得，当时，显然不成立；当时，解得，要使得不等式只有唯一整数解，则，此时整数解；当时，解得，要使得不等式只有唯一整数解，则，此时整数解；综上所述：实数的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题17.如图所示，在平面四边形中，的面积为．（1）求；（2）求．解：（1），，由余弦定理知，，．（2）由（1）知，，所以如图所示，作，垂足分别为，则．，，．．18.已知数列的前项和为，，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．解：（1）当时，∵，∴，两式相减得，.∵，，所以，∴，∵，∴，∴数列是以首项，公比为等比数列．∴（2）∵，∴，∴，∴，∴∴，∵对任意恒成立，∴，∴，∴恒成立，∵，∴，∴的取值范围是．19.如图，三棱柱的底面是等边三角形，，，D，E，F分别为，，的中点.（1）在线段上找一点，使平面，并说明理由；（2）若平面平面，求平面与平面所成二面角的正弦值.解：（1）如图所示：当点为的中点时，平面，证明如下：设为中点，连接.因为在三棱柱中，，分别为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形.所以，又因平面，平面，所以平面.（2）如图所示：取中点，连接.因为，，所以为正三角形，所以.又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为为等边三角形，所以.以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，依题意得，所以，.设平面的法向量，则由，得，令，得.取平面的法向量，设平面与平面所成二面角的大小为，则.所以，所以平面与平面所成二面角的正弦值为.20.已知圆和定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）直线与曲线交于不同两点，，直线，分别交轴于，两点.求证：.（1）解：由题意得所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.设其方程为，则，，所以，，所以，所以动点的轨迹方程为.（2）证明：设，，（且），由，得，依题意，即，则，因为所以直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，即.因为，所以.21.为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量（度）538690124214215220225420430（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电450度时应交电费多少元？（2）现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，记取到第一阶梯电量的户数为，当时对应的概率为，求取得最大值时的值.解：（1）（元）.（2）设取到第二阶梯电量的户数为，可知第二阶梯电量的用户有4户，则可取0，1，2，3，4，，，故的分布列为0123.（3）据题意，从全市中抽取的10户中用电量为第一阶梯的有户，则服从二项分布，可知，（注：两个不等式写出一个即可.）解得，，.当时用电量为第一阶梯的可能性最大.22.已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围；（