2024年高考第一次模拟考试数学试题（新高考Ⅰ卷01）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12024年高考第一次模拟考试（新高考Ⅰ卷01）数学第I卷（选择题）一、单项选择题1．已知全集，集合，，则等于（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因为，，或，所以故选：D．2．已知复数z满足，则（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗由，得，所以，故选：A.3．函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

〖答案〗C〖解析〗由，可知是奇函数，且定义域为，排除BD；当时，，排除A.故选：C4．已知是公差为（）的无穷等差数列的前项和，设甲：数列是递增数列，乙：对任意，均有，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件〖答案〗B〖解析〗充分性：因为数列是递增数列，取数列为：，，，符合数列为无穷等差数列，且是递增数列，但，故充分性不满足；必要性：因为对于任意的，均有，所以得，又因为数列为无穷等差数列，所以公差大于零，所以可得数列为递增数列，故必要性满足.综上所述：甲是乙的必要不充分条件，故B项正确.故选：B.5．己知函数在上有个零点，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由，令，解得，，或，或，，又，所以函数的零点从小到大依次为，，，，，，又函数在上有个零点，所以，即的最大值为，故选：A.6．已知为坐标原点，分别是椭圆的左顶点､上顶点和右焦点点在椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为（

）A． B．1 C． D．〖答案〗D〖解析〗令中，则，所以．因为，所以，则，即，所以．故选：D.

7．已知，是方程的两个实数根，则（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因为，是方程的两个实数根，所以，，因为.故选：D8．已知，则（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗设函数，因为上，上，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以，当且仅当时，等号成立．令，则．设函数，因为上，上，所以在上单调递增，在上单调递减，则，所以，即，所以．综上可得：．故选：A.二、多项选择题9．已知一组样本数据，其中为正实数.满足，下列说法正确的是（

）A．样本数据的第50百分位数为B．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变C．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数D．样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于80〖答案〗BCD〖解析〗A：，故第50百分位数为，错；B：若去掉的数据为，则数据的极差不变，对；C：数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图，由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，同理，向“左拖”时最高峰偏右，那么平均数小于中位数，对；D：由，则，所以，故这组样本数据的总和等于，对.故选：BCD.10．如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（

）A．圆的圆心都在直线上B．圆的方程为C．若圆与轴有交点，则D．设直线与圆在第二象限的交点为，则〖答案〗ABD〖解析〗圆的圆心，直线的方程为，即，由两圆内切连心线必过切点，得圆的圆心都在直线上，即圆的圆心都在直线上，A正确；显然，设点，则，而，解得，因此圆的圆心，半径为，圆的方程为，则圆的方程为，B正确；圆的圆心到y轴距离为，若圆与轴有交点，则，解得，而，因此，C错误；在中，令，得点的纵坐标为，因此，D正确．故选：ABD11．已知函数的定义域为是奇函数，分别是函数的导函数，在上单调递减，则（

）A． B．C．的图象关于直线对称 D．〖答案〗ACD〖解析〗对于A选项，因是奇函数，故有则，故A项正确；对于B选项，因故，从而，而，则，故B项错误；对于C选项，因，故的图象关于直线对称，故C项正确；对于D选项，因的图象关于直线对称，故设则又设则有从而在上递增，则即在上递增，，故有恒成立，则，又因在上单调递减，则在上单调递增，又，故即：故D项正确.故选：ACD.12．已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列四个结论正确的有（

）A．B．C．图2中，D．图2中，是及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于〖答案〗AC〖解析〗函数的最小正周期为，在图2中，以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设点，则点、，，因为，解得，故A正确；所以，，则，可得，又因为函数在附近单调递减，且，所以，，故B错误；因为，可得，又因为点是函数的图象在轴左侧距离轴最近的最高点，则，可得，所以，，因为点是函数在轴右侧的第一个对称中心，所以，，可得，翻折后，则有、、、，所以，，，所以，在图2中，，故C正确；在图2中，设点，，可得，，，，易知为锐角，则，所以，区域是坐标平面内以点为圆心，半径为，且圆心角为的扇形及其内部，故区域的面积，故D错误.故选：AC第II卷（非选择题）三、填空题13．若将5名志愿者安排到三个学校进行志愿服务，每人只去一个学校，每个学校至少去一人，则不同的分配方案共有种．（用数字作答）〖答案〗150〖解析〗由题意得，三个学校可分得的志愿者人数分别为或，当三个学校可分得的志愿者人数分别为时，分配方案有种，当三个学校可分得的志愿者人数分别为时，分配方案有种，综上，不同的分配方案有种.故〖答案〗为：15014．等差数列中的是函数的极值点，则.〖答案〗〖解析〗函数的定义域为，，因为是函数的极值点，所以是方程的两根，所以，因为是等差数列，所以，所以.故〖答案〗为：.15．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面，若P，A，B，C四点都在表面积为的球的球面上，则三棱锥的体积为．〖答案〗〖解析〗设为正的中心，M为的中点，过点作平面的垂线l，由于平面，故，在确定的平面内作，垂足为O，则四边形为矩形，连接，则，故，则O即为三棱锥外接球的球心，因为P，A，B，C四点都在表面积为的球的球面上，设外接球半径为R，故，是边长为2的等边三角形，故,故，所以三棱锥的体积，故〖答案〗为：16．如图，在中，，，CD与BE交于点P，，，，则的值为；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为.〖答案〗2〖解析〗在中，，，设，则，由三点共线，得，解得，因此，因为，，，于是，解得；因为，，，则有，而三点共线，因此，则，当且仅当，即取等号，所以当时，取得最小值.故〖答案〗为：；四、解答题17．在中，内角，，所对的边分别为，，，满足.(1)求角的大小；(2)若，边上的中线的长为，求的面积.解：(1)由已知及正弦定理得，则，在中，故，又，故.(2)由，得，由题意，则，即，解得，故的面积为.

18．在数列中，．(1)证明：数列为常数列．(2)若，求数列的前项和．(1)证明：令，得，则．因为①，所以②．①-②得，即．因为，所以数列为常数列．(2)解：由(1)可得，所以是公差为1的等差数列，所以．因为，所以③，④．③-④得，所以．19．某单位组织“乡村振兴”知识竞赛，有甲、乙两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该选手比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.甲类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分.已知选手张某能正确回答甲类问题的概率为0.9，能正确回答乙类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若选甲、乙两类问题是等可能的，求张某至少答对一道问题的概率；(2)如果答题顺序由张某选择，以累计得分多为决策依据，说明张某应选择先回答哪类问题.解：(1)设“张某选择甲类问题”，“张某答对所选问题”，“张某至少答对一道问题”，“张某选择乙类问题”，“张某未答对所选问题”“张某一道问题都没答对”由题意得，，，，，，由全概率公式，得∴.(2)根据条件可知：若张某先回答甲类问题，则张某的累计得分X的可能值为0，30，80，∵张某能正确回答甲类问题的概率为0.9，能正确回答乙类问题的概率为0.7，∴；；，则的分布列为030800.10.270.63当张某先回答甲类问题时，累计得分的期望为：，若张某先回答乙类问题，则张某的累计得分的可能值为，同理可求；；，则此时累计得分的期望为，因为.所以，以累计得分多为决策依据，张某应选择先回答甲类问题．20．已知抛物线的焦点为，且经过点.(1)求抛物线C方程及其准线方程；(2)过作斜率不为0的直线交抛物线于两点，直线分别交于两点，求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点.(1)解：因为点在上，所以，解得，所以的方程为，准线方程为.(2)证明：易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，得，设点，则.直线的方程为，令，得，所以，同理得，设以线段为直径的圆与轴的交点为，则，因为，则，即，所以，解得或.故以线段为直径的圆经过轴上的两个定点和.21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)记的中点为，若在线段上，且直线与平面所成的角的正弦值为，求线段的长.(1)证明：连接，则，因为，所以四边形为平行四边形；所以，因为且为的中点，所以，所以，所以，即，又因为，所以平面；(2)解：以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则,所以,设平面的法向量为，则，即，取，设平面的法向量为，则，即，取，所以，所以二面角的正弦值为；(3)解：设，则，而，所以，由（Ⅱ）知平面的法向量为，设直线与平面所成的角为，则，化简得，解得：或，故线段的长度为或.22．已知函数.(1)求曲线在处切线的斜率