数列求和方法(带例题和练习题)

数列的求和数列求和主要思路：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；3．转化思想的运用；数列求和的常用方法一、利用常用求和公式求和利用以下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法.等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：4、公式法求和考前须知〔1〕弄准求和项数的值；〔2〕等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类。例1．求和()二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.例2．求和：例3．求数列前n项的和.三、倒序相加法如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n项和就是此法推导的例4．求的值例4变式训练1：求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.例4变式训练2：数列{an}：，求S2002.例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中，假设的值.四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例5．数列的通项公式，求数列的前n项和。例5变式训练1：求之和.例5变式训练2：求数列的前n项和：；例6．求数列的前n项和：，…五、裂项相消法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的.通项分解〔裂项〕如：〔1〕〔2〕〔3〕假设为等差数列，公差为d，那么；〔4〕〔5〕(6)(7)例7．求数列的前n项和.例8．在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.例8变式训练1：求数列的前n项和：；参考答案：例2解：时………①设……….②〔设制错位〕①－②得〔错位相减〕∴时略例3解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积设…………………①………………②〔设制错位〕①－②得〔错位相减〕∴例4．解：设………….①将①式右边反序得…………..②〔倒序〕又因为①+②得〔反序相加〕＝89∴S＝44.5 例4变式训练1：解：设Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵〔找特殊性质项〕∴Sn＝〔cos1°+cos179°〕+〔cos2°+cos178°〕+〔cos3°+cos177°〕+···+〔cos89°+cos91°〕+cos90°〔合并求和〕＝0例4变式训练2：解：设S2002＝由可得……∵〔找特殊性质项〕∴S2002＝〔合并求和〕＝＝＝＝5例4变式训练3：解：设由等比数列的性质〔找特殊性质项〕和对数的运算性质得〔合并求和〕＝＝＝10例5．略例5变式训练1：解：由于〔找通项及特征〕∴＝〔分组求和〕＝＝＝例5变式训练2：∵，∴……例6．解：设将其每一项拆开再重新组合得〔分组〕当a＝1时，＝〔分组求和〕当时，＝例7．解：设〔裂项〕那么〔裂项求和〕＝＝例8．解：∵∴〔裂项〕∴数列{bn}的前n项和〔裂项求和〕＝＝例8变式训练1：∵，∴．数列求和练习一、选择题1．设是公差不为0的等差数列,且成等比数列,那么的前项和= 〔〕A． B． C． D．2．等比数列的前n项和为,且4,2,成等差数列｡假设=1,那么= 〔〕A．7 B．8 C．15 D．163．数列，……的前n项和为 〔〕A． B． C． D．4．等差数列中,,记,那么的值为 〔〕A．130 B．260 C．156 D．1685．等差数列的前n项和为,,,那么 〔〕A．38 B．20 C．10 D．96．等差数列是5,中,第n项到n+6项的和为,那么当最小时,n的值为 〔〕A．6 B．4 C．5 D．37．等差数列中，是其前项和，，，那么的值为8．将二进制数转换成十进制是 〔〕A． B． C． D．9．设等比数列的前n项和为,且,那么以下等式成立的是 〔〕A． B． C．D．10．二次函数，当n依次取时，其图像在x轴上所截得的线段的长度的总和为 〔〕A．1 B． C． D．11．数列的前项和 〔〕A． B． C． D．12．等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为Sn与Ｔn，对一切自然数n，都有=，那么等于()A． B． C． D．13．数列的通项公式是，假设前n项的和为10，那么项数n为 〔〕A．11 B．99 C．120 D．12114．三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，那么q的取值范围是 〔〕A． B． C． D．15．数列{}的前n项和为 〔〕A． B． C． D．二、填空题16．等差数列{}前n项和为｡+-=0,=38,那么m=_______17．，且对任意正整数假设，那么，那么_____________。18．数列中，=__________.19．列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,那么数列{}的11项和为_____20．数列的前n项和，那么．21．等差数列的前次和为，且，那么过点和〔〕的直线方向向量的坐标可以是_____________．22．数列的前项和，那么数列的前项和23．在数列那么数列{bn}的前n项和为；24．在等差数列中,是其前项的和,且,,那么数列的前项的和是__________｡25．在小时候，我们就用手指练习过数数.一个小朋友按如下图的规那么练习数数，数到2008时对应的指头是。(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指).三、解答题26．设等差数列的前项和为,假设,且它的前项的平均值是.(1)求等差数列的公差;(2)求使成立的最小正整数.27．数列是等差数列，且，是数列的前项和．(Ⅰ)求数列的通项公式及前项和；(Ⅱ)假设数列满足，且是数列的前项和，求与．28．正项数列中，前项和。〔1〕求证：数列是等差数列；〔2〕假设，求数列的前项和的最小值。29．在等比数列{an}中，，公比，且，a3与a5的等比中项为2。〔1〕求数列{an}的通项公式；〔2〕设，数列{bn}的前n项和为Sn，当最大时，求n的值。30．等差数列，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕设使得对任意的；假设不存在，请说明理由.专题24数列求和参考答案一、选择题1．A2．C3．C4．A5．C6．C7．C8．C9．D10．B11．D12．B13．C14．D15．C二、填空题16．1017．100018．260019．-6620．6621．222．23．24．25．食指三、解答题26．解:(1)(2)∵∴且,∴使成立的最小正整数为727．解：(Ⅰ)设数列的公差为，由