2023-2024学年广东省拨尖创新人才八年级（上）学科知识竞赛数学试卷（初赛）

第1页（共1页）2023-2024学年广东省拨尖创新人才八年级（上）学科知识竞赛数学试卷（初赛）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）如图，已知△ABC≌△ADE，∠C＝79°，则∠D的度数为（）A．79° B．68° C．60° D．71°2．（5分）若，则z等于（）A．x﹣y B． C． D．3．（5分）若a，b，c都是负数，并且（）A．a最大 B．b最大 C．c最大 D．c最小4．（5分）如图，在∠ECF的边CE上有两点A、B，边CF上有一点D，则∠ADF的度数为（）A．54° B．91° C．81° D．101°5．（5分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为（）A．15 B．12.5 C．14.5 D．176．（5分）如图所示，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，AD、BE、CF交于一点G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，则△ABC的面积是（）A．25 B．30 C．35 D．407．（5分）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S38．（5分）如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中（）A． B．1 C．2 D．二、填空题（每小题5分，共40分）9．（5分）五条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，其中a1＝1厘米，a5＝9厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则a3＝．10．（5分）若关于x的分式方程有整数解，整数m的值是．11．（5分）如图，在等边△ABC中，AC＝10，且AO＝3，点P是AB上一动点，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是．12．（5分）如图，过边长为2的等边△ABC的顶点C作直线l⊥BC，然后作△ABC关于直线l对称的△A'B'C'，连接AP，PB．13．（5分）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是．（填写所有正确结论的序号）①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．14．（5分）如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°．15．（5分）如图，△ABC沿EF折叠使点A落在点A'处，BP、CP分别是∠ABD、∠ACD平分线，∠A'EB＝20°，则∠A'FC＝°．16．（5分）在△ABC中，已知∠CAB＝60°，D、E分别是边AB、AC上的点，ED+DB＝CE，∠CDB＝2∠CDE．三、计算与解答题（每题10分，共70分）17．（10分）先化简后，再求值：，其中a＝（π﹣3）0．18．（10分）已知abc≠0，且a+b+c＝0，求a（+）（+）+c（+）的值．19．（10分）已知：如图，Rt△ABC中，AC＞BC，CD是△ABC的中线，点E在CD上20．（10分）已知△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，AE与BD交于点F．（1）如图1当α＝90°时．求证：AE⊥BD；（2）如图2，直接写出∠AFD的度数为（用含α的式子表示）．21．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B在y轴正半轴上，设AB＝b2﹣4a2＝0．（1）直接写出∠BAO的度数．（2）如图2，点D为AB的中点，点P为y轴负半轴上一点，连接DQ并延长交x轴于点M，若AB＝622．（10分）如图，AB∥CD．（1）如图1，若∠E＝120°，∠C＝110°；（2）如图2，若∠E＝110°，，，若GD∥FC．请写出理由．23．（10分）如图（1）AC⊥AB，BD⊥AB，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，求出相应的x、t的值；若不存在

2023-2024学年广东省拨尖创新人才八年级（上）学科知识竞赛数学试卷（初赛）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）如图，已知△ABC≌△ADE，∠C＝79°，则∠D的度数为（）A．79° B．68° C．60° D．71°【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AE＝AC，∠DAE＝∠BAC，∴∠AEC＝∠C＝79°，∴∠EAC＝180°﹣79°﹣79°＝22°，∴∠DAB＝22°，∵DE⊥AB，∴∠D＝90°﹣22°＝68°，故选：B．2．（5分）若，则z等于（）A．x﹣y B． C． D．【解答】解；原式＝，＝，∴，∴z＝．故选：D．3．（5分）若a，b，c都是负数，并且（）A．a最大 B．b最大 C．c最大 D．c最小【解答】解：∵，∴，∴＜＜，又a、b，∴a+b＜b+c＜c+a，∴b＜a＜c，故选：C．4．（5分）如图，在∠ECF的边CE上有两点A、B，边CF上有一点D，则∠ADF的度数为（）A．54° B．91° C．81° D．101°【解答】解：∵BC＝BD＝DA，∴∠C＝∠BDC，∠ABD＝∠BAD，∵∠ABD＝∠C+∠BDC，∠ECF＝27°，∴∠ADF＝∠C+∠BAD＝3∠ECF＝81°．故选：C．5．（5分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为（）A．15 B．12.5 C．14.5 D．17【解答】解：如图，过A作AE⊥AC，∵∠DAB＝∠DCB＝90°，∴∠D+∠ABC＝180°＝∠ABE+∠ABC，∴∠D＝∠ABE，又∵∠DAB＝∠CAE＝90°，∴∠CAD＝∠EAB，又∵AD＝AB，∴△ACD≌△AEB（AAS），∴AC＝AE，即△ACE是等腰直角三角形，∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，∵S△ACE＝×6×5＝12.5，∴四边形ABCD的面积为12.6，故选：B．6．（5分）如图所示，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，AD、BE、CF交于一点G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，则△ABC的面积是（）A．25 B．30 C．35 D．40【解答】解：BD＝2DC，∴S△ABD＝2S△ACD，∴S△ABC＝8S△ACD，∵E是AC的中点，∴S△AGE＝S△CGE，又∵S△GEC＝3，S△GDC＝4，∴S△ACD＝S△AGE+S△CGE+S△CGD＝2+3+4＝10，∴S△ABC＝8S△ACD＝3×10＝30．故选：B．7．（5分）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，则S2＝（a+c）（a﹣c）＝a7﹣c8，∴S2＝S1﹣S3，∴S5＝2S1﹣2S2，∴平行四边形面积＝2S8+2S2+S8＝2S1+4S2+2S2﹣2S2＝4S1．故选：A．8．（5分）如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中（）A． B．1 C．2 D．【解答】解：如图，取BC的中点G，∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN＝60°，又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，∴∠HBN＝∠GBM，∵CH是等边△ABC的对称轴，∴HB＝AB，∴HB＝BG，又∵MB旋转到BN，∴BM＝BN，在△MBG和△NBH中，，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG＝NH，根据垂线段最短，MG⊥CH时，即HN最短，此时∵∠BCH＝×60°＝30°AB＝，∴MG＝CG＝，∴HN＝，故选：A．二、填空题（每小题5分，共40分）9．（5分）五条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，其中a1＝1厘米，a5＝9厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则a3＝3．【解答】解：根据三角形的三边关系，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段1＜a2＜a3＜a4＜a5．则a2≥2．要想使a1，a6，a3构不成三角形，则a3﹣a4≥1，即a3≥3；要想使a3，a4，a2构不成三角形，则a5﹣a4≥a3，即a4≤a5﹣a3＝6，若a2，a4，a4构不成三角形，则a2+a4≤a4，即a3≤a8﹣a2＝4，此时a7＝3或4，但当a2＝4时，没有任何一个整数能使a3，a8，a5不能构成三角形，故排除．所以a3＝7．解法二：由题意，a1+a2≤a4，a2+a3≤a8，a3+a4≤a2，三个不等式相加得到：a1+2a8+2a3+a3≤a3+a4+a8，化简得到：2a2+a6≤a5﹣a1＝5，即2a2+a8≤8，因为a2≥4，所以a3只能取3或7，当a＝4时．因为a4≤a6﹣a3＝5，∴a6＝5，此时a2≤a6﹣a3＝1，与a7＝2矛盾，当a3＝5时，可以找到1，2，2，9满足题意．故答案为：3．10．（5分）若关于x的分式方程有整数解，整数m的值是4或3或0．【解答】解：，∴mx﹣2﹣1＝2（x﹣6），∴x＝﹣，而分式方程有整数解，∴m﹣7＝1，m﹣2＝﹣2，m﹣2＝﹣2，但是m﹣3＝﹣1时，x＝2，不合题意∴m﹣4＝1，m﹣2＝3，∴m＝4，m＝3．故答案为：m＝7，m＝3．11．（5分）如图，在等边△ABC中，AC＝10，且AO＝3，点P是AB上一动点，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是7．【解答】解：∵AC＝10，AO＝3，∴OC＝7，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠C＝60°，∵线段OP绕点D逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，∴OD＝OP，∠POD＝60°，∵∠AOP+∠APO+∠A＝180°，∠AOP+∠COD+∠POD＝180°，∴∠AOP+∠APO＝120°，∠AOP+∠COD＝120°，∴∠APO＝∠COD，在△AOP和△CDO中，，∴△AOP≌△CDO（AAS），∴AP＝CO＝6．故答案为：7．12．（5分）如图，过边长为2的等边△ABC的顶点C作直线l⊥BC，然后作△ABC关于直线l对称的△A'B'C'，连接AP，PB4．【解答】解：连接PB′，因为△ABC与△A′B′C关于直线l对称，且△ABC是边长为2的等边三角形，所以B′C＝BC＝2，∠B′CA′＝∠ACB＝60°，又因为l⊥BC，则∠ACP＝180°﹣5×60°＝60°，所以∠B′CA′＝∠ACP．在△B′CP和△ACP中，，所以△B′CP≌△ACP（SAS），所以B′P＝AP，所以PA+PB＝PB′+PB．根据“两点之间，线段最短”可知，当点P在点C位置时，PB′+PB取得最小值为BB′的长度4，所以AP+PB的最小值是4．故答案为：5．13．（5分）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是①②④．（填写所有正确结论的序号）①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∴∠ABD＝∠OBC＝∠ABC∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣×（180°﹣∠A）＝90°+，故①正确，∵CD平分∠ACF，∴∠DCF＝∠ACF，∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，∴∠D＝∠A；∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∴∠MBC+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，∴∠MBC＝8∠EBC，∠BCN＝2∠BCE，∴∠EBC+∠BCE＝90°+∠A，∵∠E+∠EBC++BCE＝180°，∴∠E＝180°﹣（∠EBC++BCE）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣，故③错误；∵∠DCF＝∠DBC+∠D，∴∠E+∠DCF＝90°﹣∠A+∠DBC+，∵∠ABD＝∠DBC，∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．故④正确，综上正确的有：①②④．14．（5分）如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°64°．【解答】解：作FH⊥FE交AC用H．∵∠AFC＝∠EFH＝90°，∴∠AFH＝∠CFE＝13°，∵∠A＝∠FCE＝45°，FA＝FC，∴△FAH≌△FCE，∴FH＝FE，∵∠DFE＝∠CFE+∠DFC＝13°+32°＝45°，∴∠DFH＝∠DFE＝45°，∵DF＝DF，∴△DFE≌△DFH，∴∠DEF＝∠DHF＝∠A+∠AFH＝58°，∵∠FEB＝∠CFE+∠FCE＝58°，∴∠DEC＝180°﹣58°﹣58°＝64°，故答案为64°．15．（5分）如图，△ABC沿EF折叠使点A落在点A'处，BP、CP分别是∠ABD、∠ACD平分线，∠A'EB＝20°，则∠A'FC＝140°．【解答】解：如图，∵BP、CP分别是∠ABD，∴∠PBD＝，∠BCP＝．又∵∠PBD＝∠P+∠PCB，∴∠P＝∠PBD﹣∠PCB＝＝，又∵∠ABD＝∠A+∠ACB，∴∠ABD﹣∠ACB＝∠A，∴∠P＝，∴∠A＝2∠P＝2×30°＝60°，由题意得：∠A′＝∠A＝60°，∴∠3＝∠A′+∠A′EB＝60°+20°＝80°，∴∠A′FC＝∠A+∠1＝60°+80°＝140°，故答案为：140．16．（5分）在△ABC中，已知∠CAB＝60°，D、E分别是边AB、AC上的点，ED+DB＝CE，∠CDB＝2∠CDE20°．【解答】解：延长AB到F使BF＝AD，连接CF，∵∠CAD＝60°，∠AED＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE＝AE，∠ADE＝60°，∴∠BDE＝180°﹣∠ADE＝120°，∵∠CDB＝2∠CDE，∴3∠CDE＝120°，解得∠CDE＝40°，∴∠CDB＝5∠CDE＝80°，∵BF＝AD，∴BF＝DE，∵DE+BD＝CE，∴BF+BD＝CE，即DF＝CE，∵AF＝AD+DF，AC＝AE+CE，∴AF＝AC，而∠BAC＝60°，∴△AFC为等边三角形，∴CF＝AC，∠F＝60°，在△ACD和△FCB中，∴△ACD≌△FCB（SAS），∴CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝80°，∴∠DCB＝180﹣（∠CBD+∠CDB）＝20°．故答案为：20°．三、计算与解答题（每题10分，共70分）17．（10分）先化简后，再求值：，其中a＝（π﹣3）0．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝[﹣]÷＝×＝，∵a＝（π﹣3）0＝4，∴原式＝＝．18．（10分）已知abc≠0，且a+b+c＝0，求a（+）（+）+c（+）的值．【解答】解：由a+b+c＝0得：a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，∴＝＝＝﹣3；19．（10分）已知：如图，Rt△ABC中，AC＞BC，CD是△ABC的中线，点E在CD上【解答】证明：延长CD到F使DF＝CD，连接AF，∵CD是△ABC的中线，∴AD＝BD，在△ADF与△BCD中，，∴△ADF≌△BCD，∴∠F＝∠BCD，BC＝AF，∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵∠AED＝∠F，∴AE＝AF，∴AE＝BC．20．（10分）已知△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，AE与BD交于点F．（1）如图1当α＝90°时．求证：AE⊥BD；（2）如图2，直接写出∠AFD的度数为180°﹣α（用含α的式子表示）．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝90°，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝90°，∴∠AFB＝90°，∴AE⊥BD；（2）解：∵∠ACB＝∠DCE＝α，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝180°﹣α，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝180°﹣α，∴∠AFB＝∠ACB＝α，∴∠AFD＝180°﹣α．故答案为：180°﹣α．21．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B在y轴正半轴上，设AB＝b2﹣4a2＝0．（1）直接写出∠BAO的度数．（2）如图2，点D为AB的中点，点P为y轴负半轴上一点，连接DQ并延长交x轴于点M，若AB＝6【解答】解：（1）∵点A（a，0）在x轴负半轴上，∴AO＝﹣a，a＜0，∵b6﹣4a2＝2，∴b+2a＝0或b﹣4a＝0，∵AB＝b，∴b+2a＝7，∴b＝﹣2a，∴AB＝2OA，在x轴的正半轴上取点C，使OC＝OA，如图6所示：∵点B在y轴正半轴上，∴OB⊥AC，∴AB＝BC，又∵AC＝2OA，∴AC＝AB，∴AC＝BC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAO＝60°；（2）连接BM，如图2所示：∵△APQ是等边三角形，∴∠PAQ＝60°，AQ＝AP，∵∠BAO＝60°，∴∠PAQ﹣∠OAQ＝∠BAO﹣∠OAQ，∴∠OAP＝∠DAQ，∵D为AB的中点，∴AD＝AB，∵∠ABO＝30°，∴AO＝AB，∴AD＝AO，在△AQD和△APO中，，∴△AQD≌△APO（SAS），∴∠ADQ＝∠AOP＝90°，即DQ⊥AB，∴AM＝BM∴△ABM为等边三角形，∴OM＝AB＝6，∴M（3，0）．22．（10分）如图，AB∥CD．（1）如图1，若∠E＝120°，∠C＝110°；（2）如图2，若∠E＝110°，，，若GD∥FC3∠AGF+∠GDC＝220°．请写出理由．【解答】解：（1）过点E作EH∥AB，过点F作FG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EH∥FG∥CD，∵AB∥EF，∴∠A＝∠1，∵FG∥EH，∴∠2＝∠2，∵FG∥CD，∴∠4＝180°﹣∠C，∵∠AEF＝120°，∠C＝110°，∴∠A+∠EFC＝∠1+∠3+∠4＝∠1+∠7+180°﹣∠C＝∠AEF+180°﹣∠C＝120°+180°﹣110°