中考数学解题技巧 28二次函数与等腰三角形存在性问题

等腰三角形的存在性问题一、方法突破【问题描述】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．同理可求，下求．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：而对于本题的，或许代数法更好用一些．

【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），（2）表示线段：，（3）分类讨论：根据，可得：，（4）求解得答案：解得：，故坐标为．【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；（3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；（4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．二、典例精析例一：如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接．（1）求二次函数的表达式；（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由．【分析】（1）；（2）可用铅垂法，当点D坐标为时，△ADE面积最大，最大值为14；（3）这个问题只涉及到A、E两点及直线x=-1（对称轴）①当AE=AP时，以A为圆心，AE为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点．∵AE=，∴，又AH=3，∴，故、．②当EA=EP时，以E点为圆心，EA为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点．过点E作EM垂直对称轴于M点，则EM=1，，故、．③当PA=PE时，作AE的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P点．设，，∴，解得：m=1．故．综上所述，P点坐标为、、、、．【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．例二：如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点作轴，垂足为点，交于点．试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由；【分析】（1）；（2）①当CA=CQ时，∵CA=5，∴CQ=5，考虑到CB与y轴夹角为45°，故过点Q作y轴的垂线，垂足记为H，则，故Q点坐标为．②当AC=AQ时，考虑直线BC解析式为y=-x+4，可设Q点坐标为（m，-m+4），，即，解得：m=1或0（舍），故Q点坐标为（1，3）．③当QA=QC时，作AC的垂直平分线，显然与线段BC无交点，故不存在．综上所述，Q点坐标为或（1，3）．三、中考真题对决1．（2021•宿迁）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．连接，，点在抛物线上运动．（1）求抛物线的表达式；（3）如图②，若点在第一象限，直线交于点，过点作轴的垂线交于点，当为等腰三角形时，求线段的长．解：（1），是抛物线与轴的两个交点，且二次项系数，根据抛物线的两点式知，．（3）设与轴的交点为，，则，，若，则，，，即，解得舍去），此时．若，过点作轴于点，，，，，又，，，在中，，，，，将上式和抛物线解析式联立并解得舍去），此时．若，过点作交于点（见上图），，，，，即平分，，，，，联立抛物线解析式，解得舍去）．此时．当时，；当时，；当时，；2．（2021•绥化）如图，已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点，连接．直线经过点，且与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）点是抛物线上的一点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标；解：（1）将，代入抛物线得：，解得：，抛物线的解析式为：；（2），，点是抛物线上的一点且是以为腰的等腰三角形，此题有两种情形：①当时，根据抛物线的对称性得：与重合，，②方法一：当时（如图，在的垂直平分线上，的垂直平分线交于，交轴于点，与轴交点为，，，，在中，，，是的中点，，，，，，设，代入得：，解得：，，联立得：，解得：，，，，，，方法二：如图2，过点作交于点，设，，，，，，，解得：，把代入，，，，，综上所述，，，，，；3．（2021•随州）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为．（1）直接写出抛物线的解析式；（3）如图2，是直线上一个动点，过点作轴交抛物线于点，是直线上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点及其对应点的坐标．解：（1）顶点的坐标为，设抛物线的解析式为，将点代入，得，解得：，，该抛物线的解析式为；（3）设直线解析式为，直线解析式为，，，，解得：，直线解析式为，，，，解得：，直线解析式为，设，则，，①当是以为斜边的等腰直角三角形时，此时，，如图2，轴，，，，，解得：（舍或或，，，，；，，，；②当是以为斜边的等腰直角三角形时，此时，，如图3，轴，，，，，解得：（舍或或，，；，；③当是以为斜边的等腰直角三角形时，此时，，如图4，过点作于，则，，，，，，，，解得：或1，，；，；综上所述，点及其对应点的坐标为：，，，；，，，；，；，；，；，．4．（2021•怀化）如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，，，抛物线的对称轴与直线交于点，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（4）点是抛物线上位于轴上方的一点，点在轴上，是否存在以点为直角顶点的等腰？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得，点、、的坐标分别为、、，设抛物线的表达式为，则，解得，故抛物线的表达式为；（4）存在，理由：①当点在轴的右侧时，设点的坐标为，故点作轴的平行线交轴于点，交过点与轴的平行线于点，，，，，，，，即，解得（不合题意的值已舍去），故点的坐标为，；②当点在轴的左侧时，同理可得，点的坐标为，．综上，点的坐标为，或，．5．（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．（1）求、的值．（3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三