【初中数学】相交线与平行线单元综合复习课件 2023-2023学年人教版七年级数学下学期

第五章相交线与平行线人教版初中七年级数学下学期单元综合复习1.平面内有4条直线，这4条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a＋b的值是()A．5B．6C．7D．8一相交线C2．如图，D是∠ABC的边BC上一点，DE∥BA，∠CBE和∠CDE的平分线交于点F，若∠F＝α，则∠ABE的大小为()A．α

B．α

C．2α

D．αC解：∵∠BOD和∠AON互余，∴∠BOD＋∠AON＝90°，∵∠AON＝∠COM，∴∠BOD＋∠COM＝90°.∴∠MOB＝180°－(∠BOD＋∠COM)＝90°；3．如图，直线CD，AB相交于点O，∠BOD和∠AON互余，∠AON＝∠COM.(1)求∠MOB的度数；解：设∠COM＝x，则∠BOC＝5x，∴∠BOM＝4x，∵∠BOM＝90°，∴4x＝90°，∴x＝22.5°.∴∠BOD＝90°－22.5°＝67.5°.(2)若∠COM＝∠BOC，求∠BOD的度数．

解：∵OE⊥CD，∴∠DOE＝90°，即∠BOD＋∠BOE＝90°，∵∠BOD＝∠BOE＋10°，∴∠BOE＝40°，∵OE平分∠BOF，∴∠EOF＝∠BOE＝40°，∴∠COF＝90°－∠EOF＝50°；4．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥CD且OE平分∠BOF.(1)若∠BOD比∠BOE大10°，求∠COF的度数；

证明：∵OE平分∠BOF，∴∠EOF＝∠BOE，∵OE⊥CD，∴∠BOD＋∠BOE＝∠EOF＋∠COF＝90°，∴∠BOD＝∠COF，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝∠COF，∴OC为∠AOF的平分线．(2)求证：OC是∠AOF的平分线．5.如图，O是直线AB上的一点，CO⊥DO，OE平分∠BOC.(1)如图1，若∠AOC＝50°，求∠DOE的度数；解：∵∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－50°＝130°.又∵OE平分∠BOC，∴∠EOC＝∠BOC＝×130°＝65°.又∵CO⊥DO，∴∠DOC＝90°，∴∠DOE＝∠DOC－∠EOC＝90°－65°＝25°；解：设∠COE＝x，则∠DOB＝3x，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE＝x，又∵CO⊥DO，∴∠DOC＝90°，∴x＋x＋3x＝90°，∴x＝18°，∴∠BOE＝∠COE＝18°，∴∠AOC＝180°－∠BOE－∠COE＝180°－18°－18°＝144°.(2)如图2，若∠COE＝∠DOB，求∠AOC的度数．6．如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．(1)当点E，F在直线AB的同侧：①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求

∠EOF的度数；解：∵OF⊥CD于点O，∴∠COF＝90°，∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，∴∠COE＝180°－∠BOE－∠BOD＝180°－120°－15°＝45°，∴∠EOF＝∠COF－∠COE＝90°－∠COE＝90°－45°＝45°.∴∠EOF的度数为45°；解：OC平分∠AOE.理由如下：∵OF平分∠BOE，∴∠EOF＝∠FOB＝∠EOB，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠COE＋∠EOF＝∠AOC＋∠BOF＝90°，∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE；②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分

∠AOE，并说明理由；(2)若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC

之间的数量关系．设∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠EOF＝90°－α，∠AOC＝∠AOF－∠COF＝2α－90°，①解：当点E，F在直线AB的同侧时，如图3，∴∠BOE＝180°－∠AOC－∠COE＝180°－(2α－90°)－α＝270°－3α，②①×3＋②×2，得3∠AOC＋2∠BOE＝270°；设∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，当点E，F在直线AB的异侧时，如图4，∴∠AOC＝∠COF－∠AOF＝90°－2α，①∴∠BOE＝180°－∠AOC－∠COE＝180°－(90°－2α)－α＝90°＋α.②①＋2×②，得∠AOC＋2∠BOE＝270°.综上可知，3∠AOC＋2∠BOE＝270°或∠AOC＋2∠BOE＝270°.7．如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC＋∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”．解：∵射线OC平分∠BOD，∴∠BOC＝∠COD.∵∠AOC＋∠COD＝180°，∴∠AOC＋∠BOC＝180°.∴射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；(1)如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB，OC

在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD.试说明：射

线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；解：∵射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，∴∠BOC＋∠BOE＝180°.又∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴∠AOC＝∠BOE.∵∠AOC＋∠DOA＝180°且∠AOD＝136°，(2)如图3，已知直线AB，CD相交于点O，射线OE为

∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，

求∠DOE的度数；∴∠AOC＝180°－∠DOA＝180°－136°＝44°.∴∠BOC＝136°.∴∠COE＝180°－∠AOC－∠BOE＝180°－44°－44°

＝92°.∴∠DOE＝180°－∠COE＝180°－92°＝88°；解：∵OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，∴∠BOC＋∠AOC＝180°.又∵射线OE，OF分别平分∠AOC，∠BOC，∴∠AOE＝∠EOC，∠BOF＝∠FOC.∵∠BOC＋∠AOC＝180°，(3)如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，

且射线OE，OF分别平分∠AOC，∠BOC，试判断

∠BOC＋∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求

出定值的度数；若不为定值，请说明理由．∴∠BOF＋∠FOC＋∠AOE＋∠EOC＝180°.∴2∠BOF＋2∠EOC＝180°.∴∠BOF＋∠EOC＝90°.又∵∠EOC＝∠EOB＋∠BOF＋∠FOC，∴∠BOF＋∠EOB＋∠BOF＋∠FOC＝90°.∴∠BOF＋∠EOB＋∠BOF＋∠BOF＝90°，2∠BOF＋∠EOB＋∠BOF＝90°.∵2∠BOF＝∠BOC，∠EOB＋∠BOF＝∠EOF，∴∠BOC＋∠EOF＝90°.故∠BOC＋∠EOF的度数为定值，等于90°.8.(2023·山西)如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点，若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为()A．45°B．50°C．55°D．60°二平行线的性质与判定C9．(2023·苏州)如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下列四个结论中，正确的是()A．连接AB，则AB∥PQ

B．连接BC，则BC∥PQC．连接BD，则BD⊥PQ

D．连接AD，则AD⊥PQB10．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于()A．50°B．65°C．75°D．80°B11．(2023·香洲区校级期中)如图表示钉在一起的木条a，b，c.若测得∠1＝50°，∠2＝75°，要使木条a∥b，木条a至少要旋转______．25°12．(2023·东莞月考)下列说法正确的是()A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥cB．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥cD．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥cA13．如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，OG⊥CD，∠CDO＝50°，则下列结论：①OG⊥AB；②OF平分∠BOD；③∠AOE＝65°；④∠GOE＝∠DOF，其中正确结论的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个D14．如图，AB∥CD，图中α，β，γ三角之间的关系是()A．α＋β＋γ＝180°B．α－β＋γ＝180°C．α＋β－γ＝180°D．α＋β＋γ＝360°C

证明：∵AE平分∠CAM，∴∠CAM＝2∠EAM.∵AM∥BN，∴∠CAM＝∠ACB,∠EAM＝∠AEB.∴∠ACB＝2∠AEB；15．如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点C是射线BN上的一个动点(与点B不重合)，AD，AE分别平分∠BAC和∠CAM，交射线BN于点D，E.(1)求证：∠ACB＝2∠AEB；

解：∵AM∥BN，∴∠CAM＝∠ACB，∠ADB＝∠DAM.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵∠ADB－∠BAD＝45°，∴∠DAM－∠CAD＝45°.∴∠CAM＝∠ACB＝45°.由(1)知∠ACB＝2∠AEB，∴∠AEB＝22.5°.(2)若∠ADB－∠BAD＝45°，求∠AEB的度数．

解：AB∥DE.理由如下：∵MN∥BC，∴∠ABC＝∠1＝60°.又∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠2.∴AB∥DE；16．如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1＝∠2＝60°，DC是∠NDE的平分线．(1)AB与DE平行吗？请说明理由；

证明：∵MN∥BC，∴∠NDE＋∠2＝180°，∴∠NDE＝180°－∠2＝180°－60°＝120°.∵DC是∠NDE的平分线，∴∠EDC＝∠NDC＝∠NDE＝60°.∵MN∥BC，∴∠C＝∠NDC＝60°.∴∠ABC＝∠C；(2)试说明∠ABC＝∠C；

证明：∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°.∴∠ADB＝∠ADC－∠BDC＝120°－90°

＝30°.(3)试说明BD是∠ABC的平分线．∠ADC＝180°－∠NDC＝180°－60°

＝120°，∵MN∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝30°.∴∠ABD＝∠DBC

＝∠ABC.∴BD是∠ABC的平分线．∴∠AEO＝∠EOG＝40°，∵AB∥CD,AB∥OG，∴CD∥OG，∴∠GOF＝∠CFO＝60°，∴∠EOF＝∠EOG＋∠GOF＝40°＋60°＝100°；17．如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间．(1)若∠AEO＝40°，∠CFO＝60°，求∠EOF的度数；解：如图1，过点O向右侧作OG∥AB，(2)若∠AEO＝α，∠CFO＝β，直接写出∠EOF的度数

为________；(3)如图2，∠BEO，∠DFO的平分线交于点M，

∠EOF的平分线交EM于点N，试探索∠NOF，

∠NMF之间的数量关系，并说明理由．α＋β解：(3)∠NOF＋∠NMF＝180°.理由：设∠AEO＝a,∠CFO＝b，由(2)得∠EOF＝a＋b，∵ON平分∠EOF，∴∠NOF＝，∵∠AEO＝a,EM平分∠BEO，∴∠BEM＝＝90°－，∵∠CFO＝b,FM平分∠DFO，∴∠DFM＝＝90°－，∴∠NMF＝90°－＋90°－＝180°－.∴∠NOF＋∠NMF＝180°.18.如图，某公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路(两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m)，剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为_______m2.三平移4819．(2023·增城区期中)如图，∠1＝70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3＝()A．70°B．180°C．110°D．80°C20．(2023·丰顺县校级开学)如图1，将三角形ABD平移，使点D沿BD的延长线移至点C得到三角形A′B′D′，A′B′交AC于点E，AD平分∠BAC.(1)猜想∠B′EC与∠A′之间的关系，并写出理由.解：∠B′EC＝2∠A′.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC.∵△ABD平移得到△A′B′D′，∴∠A′＝∠BAD，A′B′∥AB.∴∠B′EC＝∠BAC.∴∠B′EC＝2∠A′.理由如下：如图1，(2)将三角形ABD平移至如图2所示位置，得到三角形

A′B′D′，A′D′平分∠B′A′C吗？为什么？解：A′D′平分∠B′A′C.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC.∵△ABD平移得到△A′B′D′，∴∠B′A′D′＝∠BAD，A′B′∥AB.∴∠B′A′C＝∠BAC.∴∠B′A′D′＝∠B′A′C，即A′D′平分∠B′A′C.理由如下：如图2，四重点压轴题解：AB与DF平行．理由如下：由翻折，得∠DFC＝∠C.又∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DFC，∴AB∥DF；21.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C.(1)如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平

行？请说明理由；∴∠1＝∠DGC＋∠DCG，∠2＝∠EGC＋∠ECG，∴∠1＋∠2＝∠DGC＋∠DCG＋∠EGC＋∠ECG＝(∠DGC＋∠EGC)＋(∠DCG＋∠ECG)＝∠DGE＋∠DCE

＝2∠ACB.∵∠B＝∠ACB，∴∠1＋∠2＝2∠B.(2)如图2，点C落在四边形ABED内部的点G处，探索

∠B与∠1＋∠2之间的数量关系，并说明理由．解：如图2，连接GC.由翻折，得∠DGE＝∠ACB.解：∵OC⊥OE，∴∠COE＝90°.又∵∠COA＝34°，∴∠BOE＝180°－∠COE－∠COA＝180°－90°－34°

＝56°.∴∠BOE的度数为56°；22．已知，O是直线AB上的一点，OC⊥OE.(1)如图1，若∠COA＝34°，求∠BOE的度数；解：∵OF平分∠AOE,∠BOE＝130°，∴∠EOF＝∠AOF＝∠AOE＝(180°－∠BOE)＝×(180°－130°)＝25°.(2)如图2，当射线OC在直线AB下方时，OF平分

∠AOE，∠BOE＝130°，求∠COF的度数；∴∠COF＝∠COE－∠EOF＝90°－25°＝65°.∴∠COF的度数为65°；解：设∠BOM＝x，∴∠FOM＝180°－∠AOF－∠BOM

＝155°－x，∵∠AOE＝180°－∠BOE

＝50°，(3)在(2)的条件下，如图3，在∠BOE内部作射线OM，

使∠COM＋∠AOE＝2∠BOM＋∠FOM，求

∠BOM的度数．∴∠AOC＝90°－∠AOE

＝40°.∴∠COM＝180°＋∠AOC－∠BOM

＝220°－x，依题意，得220°－x＋×50°＝2x＋155°－x，∴x＝75°，∴∠BOM的度数为75°.解：成立．∴EF∥CD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE；∴∠AEC＝∠1＋∠2

＝∠BAE＋∠DCE；23．(1)如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE＋

∠DCE成立吗？请说明理由；理由：如图1，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD,∠FAD＝60°，∴∠FAD＝∠ADC＝60°.∵DE平分∠ADC,∠ADC＝60°，∴∠EDC＝∠ADC＝30°.(2)如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分

∠ADC，BE，DE所在直线交于点E，若∠FAD＝

60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；解：如图2，过点E作EH∥AB，∵BE平分∠ABC,∠ABC＝40°，∴∠ABE＝∠ABC＝20°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°.∴∠BED＝∠BEH＋∠DEH＝50°；∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC，∠ABC＝β，∠ADC＝∠FAD＝α，∴∠ABE＝∠ABC＝β，∠CDE＝∠ADC＝α，(3)如图3，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分