2021年流体力学题库

第1章绪论1基本概念及方程【1－1】底面积A＝0.2m×0.2m水容器，水面上有一块无重密封盖板，板上面放置一种重量为G1＝3000N铁块，测得水深h＝0.5m，如图所示。如果将铁块加重为G2＝8000N，试求盖板下降高度Δh。【解】:运用体积弹性系数计算体积压缩率：p为绝对压强。本地大气压未知，用原则大气压代替。因和不是很大，可选用其中任何一种，例如，选用来计算体积弹性系数：在工程实际中，当压强不太高时，可取【2－2】用如图所示气压式液面计测量封闭油箱中液面高程h。打开阀门1，调节压缩空气压强，使气泡开始在油箱中逸出，记下U形水银压差计读数Δh1＝150mm，然后关闭阀门1，打开阀门2，同样操作，测得Δh2＝210mm。已知a＝1m，求深度h及油密度ρ。【解】水银密度记为ρ1。打开阀门1时，设压缩空气压强为p1，考虑水银压差计两边液面压差，以及油箱液面和排气口压差，有同样，打开阀门2时，两式相减并化简得代入已知数据，得因此有2基本概念及参数【1－3】测压管用玻璃管制成。水表面张力系数σ＝0.0728N/m，接触角θ＝8º，如果规定毛细水柱高度不超过5mm，玻璃管内径应为多少？【解】由于

因而【1－4】高速水流压强很低，水容易汽化成气泡，对水工建筑物产气愤蚀。拟将小气泡合并在一起，减少气泡危害。现将10个半径R1＝0.1mm气泡合成一种较大气泡。已知气泡周边水压强po＝6000Pa，水表面张力系数σ＝0.072N/m。试求合成后气泡半径R。【解】小泡和大泡满足拉普拉斯方程分别是设大、小气泡密度、体积分别为ρ、V和ρ1、V1。大气泡质量等于小气泡质量和，即合成过程是一种等温过程，T=T1。球体积为V＝4/3πR3，因而令x＝R/R1，将已知数据代入上式，化简得上式为高次方程，可用迭代法求解，例如，以xo=2作为初值，三次迭代后得x＝2.2372846，误差不大于10－5，因而，合成气泡半径为还可以算得大、小气泡压强分布为，。【1－5】一重W＝500N飞轮，其回转半径ρ＝30cm，由于轴套间流体粘性影响，当飞轮以速度ω＝600转/分旋转时，它减速度ε＝0.02m/s2。已知轴套长L＝5cm，轴直径d＝2cm，其间隙t=0.05mm，求流体粘度。【解】：由物理学中转动定律知，导致飞轮减速力矩M＝Jε,飞轮转动惯量J因此力矩另一方面，从摩擦阻力F等效力系看，导致飞轮减速力矩为：为线性分布。则

摩擦阻力矩应等于M，即T=M即因此第2章流体静力学【2－1】试求解图中同高程两条输水管道压强差p1－p2，已知液面高程读数z1＝18mm，z2＝62mm，z3＝32mm，z4＝53mm，酒精密度为800kg/m3。【解】设管轴到水银面4高程差为ho，水密度为ρ，酒精密度为ρ1，水银密度为ρ2，则将z单位换成m，代入数据，得

【2－2】用如图所示气压式液面计测量封闭油箱中液面高程h。打开阀门1，调节压缩空气压强，使气泡开始在油箱中逸出，记下U形水银压差计读数Δh1＝150mm，然后关闭阀门1，打开阀门2，同样操作，测得Δh2＝210mm。已知a＝1m，求深度h及油密度ρ。【解】水银密度记为ρ1。打开阀门1时，设压缩空气压强为p1，考虑水银压差计两边液面压差，以及油箱液面和排气口压差，有同样，打开阀门2时，两式相减并化简得代入已知数据，得因此有【2－3】人在海平面地区每分钟平均呼吸15次。如果要得到同样供氧，则在珠穆朗玛峰顶（海拔高度8848m）需要呼吸多少次？【解】:海平面气温T0=288,z=8848m处气温为峰顶压强与海平面压强比值为峰顶与海平面空气密度之比为呼吸频率与空气密度成反比，即，【2－4】如图所示，圆形闸门半径R＝0.1m，倾角α＝45o，上端有铰轴，已知H1＝5m，H2＝1m，不计闸门自重，求启动闸门所需提高力T。【解】设y轴沿板面朝下，从铰轴起算。在闸门任一点，左侧受上游水位压强p1，右侧受下游水位压强p2，其计算式为平板上每一点压强p1－p2是常数，合力为（p1－p2）A，作用点在圆心上，因而代入已知数据，求得T＝871.34N。【2－5】盛水容器底部有一种半径r＝2.5cm圆形孔口，该孔口用半径R＝4cm、自重G＝2.452N圆球封闭，如图所示。已知水深H＝20cm，试求升起球体所需拉力T。【解】用压力体求铅直方向静水总压力Fz：由于，因而，，【2－6】如图所示挡水弧形闸门，已知R＝2m，θ＝30o，h＝5m，试求单位宽度所受到静水总压力大小。【解】水平方向总压力等于面EB上水压力。铅直方向总压力相应压力体为CABEDC。

【2－7】如图所示，底面积为b×b＝0.2m×0.2m方口容器，自重G＝40N，静止时装水高度h＝0.15m，设容器在荷重W＝200N作用下沿平面滑动，容器底与平面之间摩擦系数f＝0.3，试求保证水不能溢出容器最小高度。【解】解题核心在于求出加速度a。如果已知加速度，就可以拟定容器里水面斜率。考虑水、容器和重物运动。系统质量M和外力分别为因而，系统重力加速度为

代入数据得a=5.5898m/s2容器内液面方程式为坐标原点放在水面（斜面）中心点，由图可见，当x＝－b/2时，z＝H－h，代入上式，可见，为使水不能溢出，容器最小高度为0.207m。【2－8】如图所示，液体转速计由一种直径为d1圆筒、活塞盖以及与其连通直径为d2两支竖直支管构成。转速计内装液体，竖管距离立轴距离为R，当转速为ω时，活塞比静止时高度下降了h，试证明：【解】活塞盖具备重量，系统没有旋转时，盖子处在一种平衡位置。旋转时，盖子下降，竖管液面上升。设系统静止时，活塞盖如实线所示，其高度为h1，竖管液面高度设为H1。此时，液体总压力等于盖子重量，设为G：旋转时，活塞盖下降高度为h，两支竖管液面上升高度为H。液体压强分布通式为将坐标原点放在活塞盖下表面中心，并依照竖管液面参数拟定上式积分常数C。当r＝R，z＝H1-h1＋H+h时，p＝pa，因而，液体压强分布为旋转时，液体压力、大气压力合力应等于盖子重量，即因盖子下表面相对压强为代入G式并进行积分，得到

代入上式，化简得

由图中看出，活塞盖挤走液体都进入两支竖管，因而因此有【2－9】如图所示，U形管角速度测量仪，两竖管距离旋转轴为R1和R2，其液面高差为Δh，试求ω表达式。如果R1＝0.08m，R2＝0.20m，Δh＝0.06m，求ω值。【解】两竖管液面压强都是pa（本地大气压），因而它们都在同一等压面上，如图虚线所示。设液面方程为不妨设竖管中较低液面到转盘高度差为h。现依照液面边界条件进行计算。当r＝R1，z＝h及r＝R2，z＝h＋Δh时

；两式相减得因此【2－10】航标灯可用如图所示模型表达：灯座是一种浮在水面均质圆柱体，高度H＝0.5m，底半径R＝0.6m，自重G＝1500N，航灯重W=500N，用竖杆架在灯座上，高度设为z。若规定浮体稳定，z最大值应为多少？【解】浮体稳定期规定倾半径r不不大于偏心距e，即r>e先求定倾半径r＝J/V，浮体所排开水体积V可依照吃水深度h计算。，再求偏心距e，它等于重心与浮心距离。设浮体重心为C，它到圆柱体下表面距离设为hC，则依照浮体稳定规定有化简得r，h值已经算出，代入其他数据，有z<1.1074m【2－11】如图所示水压机中，已知压力机柱塞直径D＝25cm，水泵柱塞直径d＝5cm，密封圈高度h＝2.5cm，密封圈摩擦系数f＝0.15，压力机柱塞重G＝981N，施于水泵柱塞上总压力P1=882N，试求压力机最后对重物压力F。

【解】：P1所形成流体静压力压力机柱塞上总压力

静压力作用在密封圈上总压力为p∏Dh，方向与柱塞垂直。因此密封圈上摩擦力

故压力机对重物压力为

第3、4章流体运动基本概念及方程【3－1】已知平面流动速度分布为，试计算点（0，1）处加速度。【解】先将极坐标速度分量换算成直角坐标速度，然后再求直角坐标中加速度。将

，，代入，得因此有：在点（0，1）处，，算得，【3－2】验证下列速度分布满足不可压缩流体持续性方程：（1）

，（2）

，（3）

，【解】:（1）

，，（2）

（3）从速度分布表达式看出，用极坐标比较以便。固然，使用直角坐标也可以进行关于计算，但求导过程较为复杂。，【3－3】已知平面流场速度分布为，，试求t＝1时通过坐标原点流线方程。【解】对于固定期刻to，流线微分方程为积分得这就是时刻to流线方程普通形式。依照题意，to＝1时，x＝0，y＝0，因而C＝2【3－4】如图所示装置测量油管中某点速度。已知油密度为ρ＝800kg/m3，水银密度为ρ’＝13600kg/m3，水银压差计读数Δh＝60mm，求该点流速u。【解】咱们分析管流中一条流至测压管管口流线，即如图中流线1－0。这条流线从上游远处到达“L”形管口后发生弯曲，然后绕过管口，沿管壁面延伸至下游。流体沿这条流线运动时，速度是发生变化。在管口上游远处，流速为u。当流体接近管口时，流速逐渐变小，在管口处点0，速度变为0，压强为po，流体在管口速度虽然变化为0，但流体质点并不是停止不动，在压差作用下，流体从点0开始作加速运动，速度逐渐增大，绕过管口之后，速度逐渐加大至u。综上分析，可以看到，流体沿流线运动，在点1，速度为u，压强为p，在点0，速度为0，压强为po，忽视重力影响，沿流线伯努利方程是由此可见，只要测出压差为po－p，就可以求出速度u。不妨设压差计右侧水银面与流线高差为l。由于流线平直，其曲率半径很大，属缓变流，沿管截面压强变化服从静压公式，因而，式中，ρ和ρˊ分别是油和水银密度。将已知数据代入计算，Δh单位应当是用m表达，Δh＝0.06m，得速度为u＝4.3391m/s。【3－5】矿山排风管将井下废气派入大气。为了测量排风流量，在排风管出口处装有一种收缩、扩张管嘴，其喉部处装有一种细管，下端插入水中，如图所示。喉部流速大，压强低，细管中浮现一段水柱。已知空气密度ρ＝1.25kg/m3，管径d1＝400mm，d2＝600mm，水柱h＝45mm，试计算体积流量Q。【解】截面1－1管径小，速度大，压强低；截面2－2接触大气，可应用伯努利方程，即运用持续方程，由上式得此外细管有液柱上升，阐明p1低于大气压，即式中，ρˊ是水密度，因而由d1＝400mm，d2＝600mm可以求出A1和A2，而ρ、ρˊ、h皆已知，可算得【3－6】如图所示，水池水位高h＝4m，池壁开有一小孔，孔口到水面高差为y，如果从孔口射出水流到达地面水平距离x＝2m，求y值。如果要使水柱射出水平距离最远，则x和y应为多少？【解】孔口出流速度为流体离开孔口时，速度是沿水平方向，但在重力作用下会产生铅直向下运动，设流体质点从孔口降至地面所需时间为t，则 消去t，得，即解得如果要使水柱射出最远，则由于x是y函数，当x达到极大值时，dx/dy＝0，上式两边对y求导，得【3－7】如图所示消防水枪水管直径d1＝0.12m，喷嘴出口直径d2＝0.04m，消防人员持此水枪向距离为l＝12m，高h＝15m窗口喷水，规定水流到达窗口时具备V3＝10m/s速度，试求水管相对压强和水枪倾角θ。【解】解题思路：已知V3运用截面2－2和3－3伯努利方程就可以求出V2。而运用截面1－1和2－2伯努利方程可以求出水管相对压强p1－pa。水流离开截面2－2后来可以视作斜抛运动，运用关于公式就可以求出倾角θ。对水射流截面2－2和截面3－3，压强相似，将h、V3代入得V2＝19.8540m/s。对于喷嘴内水流截面1－1和截面2－2，有式中，p2＝pa。运用持续方程，则有喷嘴出口水流水平速度和铅直速度分别是V2cosθ和V2sinθ，运用斜抛物体运动公式，不难得到上抛高度h和平抛距离l计算公式分别为消去时间t得到代入数据，又上式化为【3－8】如图所示，一种水平放置水管在某处浮现θ＝30o转弯，管径也从d1＝0.3m渐变为d2＝0.2m，当流量为Q＝0.1m3/s时，测得大口径管段中心表压为2.94×104Pa，试求为了固定弯管所需外力。【解】用pˊ表达表压，即相对压强，依照题意，图示截面1－1表压p1ˊ＝p1－pa＝2.94×104Pa，截面2－2表压p2ˊ可依照伯努利方程求出。而固定弯管所需外力，则可以运用总流动量方程求出。取如图所示控制体，截面1－1和2－2平均流速分别为弯管水平放置，两截面高程相似，故总流动量方程是由于弯管水平放置，因而咱们只求水平面上力。对于图示控制体，x，y方向动量方程是

代入数据，得，【3－9】宽度B＝1平板闸门启动时，上游水位h1＝2m，下游水位h2＝0.8m，试求固定闸门所需水平力F。

【解】应用动量方程解本题，取如图所示控制体，其中截面1－1应在闸门上游足够远处，以保证该处流线平直，流线曲率半径足够大，该截面上压强分布服从静压公式。而下游截面2－2应选在最小过流截面上。由于这两个截面都处在缓变流中，总压力可按平板静水压力计算。控制体截面1－1上总压力为1/2ρgh1Bh1，它是左方水体作用在控制面1－1上力，方向从左到右。同样地，在控制面2－2上地总压力为1/2ρgh2Bh2，它是右方水体作用在控制面2－2上力，方向从右到左。此外，设固定平板所需外力是F，分析控制体外力时，可以看到平板对控制体作用力大小就是F，方向从右向左。考虑动量方程水平投影式：流速和流量可依照持续性方程和伯努利方程求出：

由以上两式得

；将已知数据代入动量方程，得咱们还可以推导F普通表达式。上面已经由持续方程和伯努利方程求出速度V2，因而将此式代入动量方程得【3－10】如图所示，从固定喷嘴流出一股射流，其直径为d，速度为V。此射流冲击一种运动叶片，在叶片上流速方向转角为θ，如果叶片运动速度为u，试求：（1）叶片所受冲击力；（2）水流对叶片所作功率；（3）当u取什么值时，水流作功最大？【解】射流离开喷嘴时，速度为V，截面积为A=Πd2/4，当射流冲入叶片时，水流相对于叶片速度为V－u，显然，水流离开叶片相对速度也是V－u。而射流截面积仍为A。采用固结在叶片上动坐标，在此动坐标上观测到水流运动是定常，设叶片给水流力如图所示，由动量方程得叶片仅在水平方向有位移，水流对叶片所作功率为：当V固定期，功率P是u函数。令：因而，当u＝V/3时，水流对叶片所作功率达到极大值。【3－11】如图所示，两股速度大小同为V水射流汇合后成伞状体散开，设两股射流直径分别为d1和d2，试求散开角θ与d1、d2关系。如果d2＝0.7d1，θ是多少度？不计重力作用。【解】射流暴露在大气中，不考虑重力影响，依照伯努利方程，各射流截面流速相等。

汇合流是一种轴对称伞状体，其截面积逐渐减小，但汇合流量总是不变，它等于两个射流量Q1和Q2之和。

作用在水体上外力和为零，依照动量方程，可以求出张角θ与d1、d2关系。

当d2＝0.7d1时，cosθ＝0.3423，θ＝70o【3－12】如图所示，气体混合室进口高度为2B，出口高度为2b，进、出口气压都等于大气压，进口速度u0和2u0各占高度为B，出口速度分布为气体密度为ρ，试求气流给混合室壁面作用力。

【解】运用持续性方程求出口轴线上速度um：用动量方程求合力F：【3－13】如图所示，旋转式洒水器两臂长度不等，l1＝1.2m，l2＝1.5m，若喷口直径d＝25mm，每个喷口水流量为Q＝3×10－3m3/s【解】水流绝对速度等于相对速度及牵连速度矢量和。本题中，相对速度和牵连速度反向，都与转臂垂直。设两个喷嘴水流绝对速度为V1和V2，则；依照动量矩方程，有以V1、V2代入上式，得第8章相似原理及量纲分析【8－1】液体在水平圆管中作恒定流动，管道截面沿程不变，管径为D，由于阻力作用，压强将沿流程下降，通过观测，已知两个相距为l断面间压强差Δp与断面平均流速V，流体密度ρ，动力粘性系数μ以及管壁表面平均粗糙度δ等因素关于。假设管道很长，管道进出口影响不计。试用π定理求Δp普通表达式。

【解】列出上述影响因素函数关系式

函数式中N＝7；选用3个基本物理量，依次为几何学量D、运动学量V和动力学量ρ，三个基本物理量量纲是

其指数行列式为

阐明基本物理量量纲是独立。可写出N－3＝7－3＝4个无量纲π项：，，，

依照量纲和谐原理，各π项中指数分别拟定如下（以π1为例）：

即

解得x1＝1，y1＝0，z1＝0，因此

，，，

以上各π项依照需要取其倒数，但不会变化它无量纲性质，因此

求压差Δp时，以，代入，可得；令：

，最后可得沿程水头损失公式为上式就是沿程损失普通表达式。【8－2】通过汽轮机叶片气流产生噪声，假设产生噪声功率为P，它与旋转速度ω，叶轮直径D，空气密度ρ，声速c关于，试证明汽轮机噪声功率满足【解】由题意可写出函数关系式

现选ω，D，ρ为基本物理量，因而可以构成两个无量纲π项：

，

基于MLT量纲制可得量纲式

联立上三式求得x1＝3，y1＝1，z1＝5因此

，故有

普通常将c/ωD写成倒数形式，即ωD/c，其实质就是旋转气流马赫数，因而上式可改写为【8－3】水流环绕一桥墩流动时，将产生绕流阻力FD，该阻力和桥墩宽度b（或柱墩直径D）、水流速度V、水密度ρ、动力粘性系数μ及重力加速度g关于。试用π定理推导绕流阻力表达式。【解】根据题意有现选ρ、V、b为基本物理量，由π定理，有，，对于π1项，由量纲和谐定理可得求得x1＝1，y1＝2，z1＝2；故对于π2项，由量纲和谐原理可得解得x2＝1，y2＝1，z2＝1；故对于π3项，由量纲和谐定理可得第5章管流损失和水力计算【5-1】动力粘性系数μ＝0.072kg/（m.s）油在管径d＝0.1m圆管中作层流运动，流量Q＝3×10－3m3/s，试计算管壁切应力【解】管流粘性切应力计算式为在管流中，当r增大时，速度u减小，速度梯度为负值，因而上式使用负号。圆管层流速度分布为式中，V是平均速度；r0是管道半径。由此式可得到壁面切应力为由流量Q和管径d算得管流平均速度，代入上式可算出τ0：【5－2】明渠水流速度分布可用水力粗糙公式表达，即式中，y坐标由渠底壁面起算。设水深为H，试求水流中点速度等于截面平均速度点深度h。【解】：运用分部积分法和罗彼塔法则，得平均速度为当点速度正好等于平均速度时，可见，点速度等于平均速度位置距底面距离为y＝0.3679H，距水面深度为h＝0.6321H。【5－3】一条输水管长l＝1000m，管径d＝0.3m，设计流量Q＝0.055m3/s，水运动粘性系数为ν＝10－6m2/s，如果规定此管段沿程水头损失为hf＝3m，试问应选取相对粗糙度Δ/【解】由已知数据可以计算管流雷诺数Re和沿程水头损失系数λ。

由水头损失

算得λ＝0.02915。将数据代入柯列勃洛克公式，有可以求出λ，【5－4】如图所示，密度ρ＝920kg/m3油在管中流动。用水银压差计测量长度l＝3m管流压差，其读数为Δh＝90mm。已知管径d＝25mm，测得油流量为Q＝4.5×10－4m3/s【解】：

式中，ρˊ＝13600kg/m3是水银密度；ρ是油密度。代入数据，算得hf＝1.2404m。

算得λ＝0.2412。设管流为层流，λ＝64/Re，因而可见油流动状态确为层流。因而

【5－5】不同管径两管道连接处浮现截面突然扩大。管道1管径d1＝0.2m，管道2管径d1＝0.3m。为了测量管2沿程水头损失系数λ以及截面突然扩大局部水头损失系数ξ，在突扩处前面装一种测压管，在其他地方再装两测压管，如图所示。已知l1＝1.2m，l2＝3m，测压管水柱高度h1＝80mm，h2＝162mm，h3＝152mm，水流量Q=0.06m3/s，试求λ和ξ。【解】在长l2管段内，没有局部水头损失，只有沿程水头损失，因而，将数据代入上式，可得λ＝0.02722。在长l1管段内，既有局部水头损失，也有沿程水头损失，列出截面1和2伯努利方程：因而V1＝Q/A1＝1.91m/s，代入其他数据，有【5－6】水塔水通过一条串连管路流出，规定输水量Q＝0.028m3/s，如图所示。各管管径和长度分别为：d1＝0.2m，l1＝600m，d2＝0.15m，l2＝300m，d3＝0.18m，l3＝500m，各管沿程水头损失系数相似，λ＝0.03。由于锈蚀，管2浮现均匀泄漏，每米长度上泄漏量为q，总泄漏量为Qt＝ql2＝0.015m3/s。试求水塔水位H【解】不计局部水头损失，则有现分别计算各管沿程水头损失。对于管道1，其流量应为于是流速和水头损失分别为管道2有泄漏，其右端出口流量也为Q，即Q2＝Q＝0.028m3/s。其沿程损失管道3流速和水头损失为总水头损失为【5－7】如图所示，两个底面直径分别为D1＝2m，D2＝1.5m圆柱形水箱用一条长l＝8m，管径d＝0.1m管道连通。初始时刻，两水箱水面高差h0＝1.2m，在水位差作用下，水从左水箱流向右水箱。不计局部水头损失，而沿程水头损失系数用光滑管勃拉休斯公式计算，即式中，，水运动粘性系数，试求水面高差从h＝h0＝1.2m变为h＝0所需时间T。【解】设初始时刻，左、右水箱水位分别为H1和H2，水位差h0＝H1－H2＝1.2m。某时刻t，左、右水箱水位分别为h1和h2，水位差h＝h1－h2。显然，h是时间函数h＝h（t）。变水位出流问题仍使用定常公式进行计算。对两水箱液面应用伯努利方程，有

将已知量代入上式，得：

水从左边流向右边，使左水箱水位下降，右水箱水位上升，依照持续性方程，有将已知数据以及V表达式代入上式，得【5－8】如图所示具备并联、串联管路虹吸管，已知H＝40m，l1＝200m，l2＝100m，l3＝500m，d1＝0.2m，d2＝0.1m，d3＝0.25m，λ1＝λ2＝0.02，λ3＝0.025，求总流量Q。【解】管1和管2并联，此并联管路又与管3串联，因而（1）

（2）（3）由（2）式得，代入(3)式得由式（1）得将已知数值代入上式，计算得，，【5－9】如图所示，水管直径d＝200mm，壁厚δ＝6mm，管内水流速度u0＝1.2m/s，管壁材料弹性模量为Es＝20×1010Pa，水体积弹性系数为E＝2×109Pa，试求由于水击压强Δp引起管壁拉应力σ。【解】水击波传播速度c和水击压强Δp：管内外压强差必然会产生管壁拉应力，如图所示。现取单位长度管道，沿管轴线切开，分析图示管壁受力平衡。依照曲面静压力公式知，压强Δp作用在图示曲面上总压力为Δpd，管壁切面总拉力为，因而普通钢材许用应力约为[σ]=30×106Pa，可见水击引起拉应力差不多到了许用值。第7章气体一维流动【7－1】空气气流在两处参数分别为：，，，，求熵增。【解】：

，，，

又因

因此

注：空气气体参数为：，，，【7－2】过热水蒸汽温度为430℃，压强为5×106Pa，速度为525m/s，求水蒸汽滞止参数。

【解】：

因此：

注：水蒸汽气体参数为：

【7－3】滞止参数为，p0=4×105Pa，T0=380K过热蒸汽经收缩喷管流出，出口外部背压为pe=1.5×105Pa，出口截面积A=10-4m2，某截面面积为A1=6×10-4m2，试拟定这两个截面上马赫数Ma和Ma1。

【解】：

，

因而出口截面上气流达临界状态，即：Ma=1。

；

由上三式得到关于Ma1代数方程，令x＝Ma1，则此方程为

用迭代法解：

得到x＝0.09775和3.（舍去），因而，

，【7－4】空气从气罐经拉伐尔喷管流入背压为pe＝0.981×105Pa大气中，气罐中气体压强为p0＝7×105Pa，温度为T0＝313K，已知拉伐尔喷管喉部直径为d*＝25mm，试求：（1）出口马赫数Ma2；（2）喷管质量流量；（3）喷管出口截面直径d2。

【解】：（1）

；

；

因此

（2）由于出口马赫数不不大于1，因而气流在喉部达临界状态，流量按下式计算：

，

，

（3）

，

【7－5】马赫数Ma1＝2.5，滞止压强p01＝1.2×106Pa，滞止温度T01＝600K空气进入一条等截面无摩擦加热管道，如果出口马赫数Ma2＝1，试求加热量q，出口压强p2，滞止压强p02，出口温度T2，滞止温度T02。

【解】本题解题环节为：(1)计算进口参数p1，T1；(2)由Ma1，Ma2求T02，q；(3)计算出口参数。

(1)

进口参数计算：

，

，

(2)

T02和q计算：

(3)

出口参数计算：

，

；

；

第章抱负流体有旋及无旋流动【－1】已知平面流动速度分布u＝x2＋2x－4y，v＝－2xy－2y。试拟定流动：（1）与否满足持续性方程；（2）与否有旋；（3）如存在速度势和流函数，求出它们。

【解】：

（1）

，持续性方程得到满足。

（2）

，流动有旋。

（3）

此流场为不可压缩流体有旋运动，流函数存在，速度势不存在。

由于

因此

；，

注意：复位势W（z）不存在。【－2】已知平面流动流函数求势函数，并证明速度大小与点矢径r平方成正比。【解】：，由于：因此：；【－3】已知复位势为

(1)分析流动由哪些基本势流构成；(2)圆周x2＋y2＝2上速度环量Г和流量Q。【解】：(1)

对比点源（汇），点涡，偶极子复势，可以看出此流动由下列简朴势流叠加而成：位于原点偶极子，其强度M＝2π，方向角（由点汇指向点源）β＝π；

在点（0，1）和点（0，－1）各有一种点源和点涡，点源强度Q1＝2π，点涡强度Г1＝2π，方向为顺时针方向；

在点（0，2）和点（0，－2）各有一种点源和点涡，点源强度Q2＝4π，点涡强度Г2＝6π，方向为逆时针方向。(2)

圆周x2＋y2＝2内部区域有两个同向涡点（强度为Г1），尚有两个点源（强度为Q1），因而在圆周x2＋y2＝2上速度环量和流量分别为

；【－4】势流由一种速度为V∞，方向与x轴正向一致均匀流和一种位于坐标原点强度为Q电源叠加而成，试求通过驻点流线方程，并绘出该流线大体形状。【解】：

驻点就是速度为零点，令

得

可见，驻点位置为

，或，

通过驻点流线为

当θ＝π/2时，当θ＝0时，流线形状如图所示。【－5】求如图所示势流流函数以及通过驻点流线方程。已知：V∞＝5，Q＝20π，a＝2。【解】：

令：

，，则

下面求驻点位置：

因此 ，即

，当x＝－2，y＝0（驻点）时，θ1＝π＋π/4，θ2＝π－π/4，过驻点流线方程为

【－6】已知平面流场速度分布为u＝－x－y，v＝y，试问（1）流场与否有旋？（2）沿如图所示曲线ABCD速度环量Г时多少？【解】：可见，流场内处处有旋，涡量为常数。使用斯托克斯定理，可以使曲线ABCD速度环量计算变得简朴固然也可以由速度线积分直接计算Г。速度为线性分布，矩形每条边平均速度等于两端点速度之和一半，故Г＝－1×2＋1/2×1－（－2）×4－1/2×1＝2答案虽然同样，但计算要复杂得多。【－7】已知速度分布为，，试证流线和涡线平行，并求涡量与速度之间数量关系，式中k，C为常数。【解】：；涡线方程为可以看出，涡线方程与流线方程完全相似。【－8】设不可压缩流体平面运动流线方程在极坐标下形式是θ=θ(r)，速度只是r函数，试证涡量为【解】：不可压缩流体运动持续性方程为由于速度与θ无关，上式左边第二项为零，因而

流线方程式为，涡量表达式是上式右边第二项为零，因而【－9】已知速度场为

求所围正方形速度环量。【解】：依照斯托克斯定理有【－10】已知速度场u＝2y，v＝3x，求椭圆4x2+9y2=36周线上速度环量。【解】:椭圆方程可写为其长、短轴分别为a＝3，b＝2，依照斯托克斯定理，有【－11】在平面上有三个强度和方向相似点涡，位置如图所示。试求各个点涡运动速度。【解】：位于点（3，0）处点涡运动速度为，位于点（－3，0）处点涡运动速度为，位于点（0，3）处点涡运动速度为，【－12】横截面是一种边长为（高为）如图所示等边三角形柱体内部布满抱负不可压缩均质流体，柱体和其内流体原先都是静止，当柱体绕中心轴线以角速度ω作等角速度旋转时，求流体对于三角形柱体相对运动速度，并拟定相对于柱体流线形状。【解】：建立如图所示坐标系，其中档边三角形高与x轴重叠，三条边方程为；；设流函数为C为待定系数，显然，在边界上流体旋转角速度为－2ω，即用流函数表达上式，有再将表达式代入上式，有；；；流线普通方程为

【－13】在抱负不可压缩流体无界流场中有一对点涡如图所示，无穷远处有一股均匀流V∞正好使这对点涡静止不动，试求V∞与Γ关系。【解】：位于（0，b）点涡运动速度为，若使点涡静止，必有第章粘性流体绕过物体流动【－1】如图所示，液膜沿倾角为θ斜面向下流动，设流动定常，液膜厚度h为常数，试求液膜速度分布式。

【解】设x轴沿壁面法向，如图所示，y向速度为零，即v＝0。流动定常，x向速度与时间无关。质量力分量为

，运动方程式为由上式第二个方程积分得液面上流体压强与本地大气压pa相等，即由此式得到了待定函数f（x），于是由于h＝常数，因而液体压强p与x无关，这样x方向运动方程变为积分得积分常数由下列边界条件拟定，

：； ：因而，C1＝－h，C2＝0【－2】如图所示，两平行水平平板间有互不相混不可压缩粘性流体，这两层流体密度、动力粘性系数和厚度分别为ρ1、μ1、h1和ρ2、μ2、h2，设两板静止，流体在常压强梯度作用下发生层流运动，试求流体速度分布。【解】这两层流体运动方程都是积分得因而，两层流体速度分布可分别表达为；由边界条件拟定积分常数，：：：：由以上四个边界条件解出积分常数C1、C2、D1、D2：；；最后得速度分布分别为；【－3】考虑振荡平板上方粘性流动。设有一块无限大平板，此平板上方布满粘性流体，如果平板以速度U0cosωt作振荡，试求流体速度。

【解】本问题微分方程及边界条件分别为

，；，

本问题采用复数解法，设本问题解为

实部。将此表达式代入原式，得到函数f（y）方程及边界条件：

；，

设此解为

则

，，

因而，本问题解为

【－4】如图所示，两个半径分别为a和b同轴圆柱面之间布满均匀不可压缩粘性流体，此两个圆柱分别以角速度ω1和ω2绕轴旋转，试求流体速度分布。

【解】这种流动只有切向速度v，径向速度和轴向速度都为零，流动为定常。由于对称关系，流动参数与角度θ无关，因而由圆柱坐标中N-S方程可得

或

边界条件

运动方程是欧拉方程，设解为：

则得

代入边界条件得积分常数C1、C2

因而速度分布为

【－5】如图所示，粘性不可压缩流体在无限长矩形截面管道中作定常层流运动，设矩形边长分别为2a和2b，试求此管流速度分布。

【解】设x轴沿管轴线，管截面上坐标为y和z，原点在矩形中心，设速度仅在x轴上有分量，别的两个速度分量为零，于是x轴上速度u与x无关，u＝u（y，z），且管轴线上压强梯度是一种常数。运动方程和边界条件分别是

；

方程是非齐次，但边界条件是齐次。咱们设法使方程变为齐次，同步使一种边界条件保持齐次。令

式中，Y（y）和Z（z）表达y、z函数。这样，微分方程和边界条件变为

，由边界条件求出本征值：

此外，