2022-2023学年福建省漳州市重点学校高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省漳州市重点学校高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知向量胃=（0,1,1）,b=（1,1,0）.则向量B在向量,上的投影向量为（)

A.(0,-1,-1)B.(-1,0,-1)c（°02）D.（V）

2.如图，在一组样本数据4(2,2),B(4,3),C(6,4),O(8,7),E(IO,6)>

∙"8C)

•£(10.6)

的散点图中，若去掉D（8,7）后，则下列说法正确的为（）

∙8[4.3)

A.样本相关系数r变小1(2.2)

B.残差平方和变大

C.相关指数R?变小

D.自变量X与因变量y的相关程度变强

3.若随机变量X〜N（%M）9>0）,则有如下结论:

(P(IX-μ∖<σ)=0.6826,P(IX-μ∣<2σ)=0.9544,P(IX-μ∖<3σ)=0.9974)

高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120,方差为100,理

论上说在130分以上人数约为（）

A.19B.12C.6D.5

4.现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一

项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件4=”甲参加跳高比赛”，事件B="乙参加跳高

比赛"，事件C="乙参加跳远比赛”，则（）

A.事件4与B相互独立B.事件4与C为互斥事件

C.P(CM)=VD.P(BM)=3

5.已知函数/（x）=χ2+/g（χ）=S讥X,则图象为如图的

函数可能是（）

A.y=/(χ)g(χ)

y=幽

B.'/(X)

C.y=f(χ)+g(χ)-\

D.y=/(ɪ)-g(χ)-；

6.如图，在正方体ABC。一4BIClDl中，棱长为2,点E,尸分另IJ

为棱BC、GDl中点，则点儿到平面DEF的距离为()

A.2

Bιo√^T

.21

Q

.23

D.CI

7

7.已知函数/^(x)在R上满足/(l+x)=2f(l-x)-∕+3χ+l,则曲线y=f(x)在点

(I"(I))处的切线方程是()

A.3x—y-2=0B.3x+y-2=0C.%—y+l=0D.%—y—2=0

8.已知函数/(x)=%+「x-1,如果直线y=kx-1与/(x)的图象无交点，则k的取值范围

是()

A.[0,1]B.(1—β,e]C.(1,e—1]D.(1,e—1)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列说法中，正确的命题是()

A.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1

B.E(2X+3)=2E(X)+3,0(2X+3)=4D(X)

C.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄，表示拟合效果越好

D.以模型y=ce-去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z="y,将其变换后得到线

性方程z=0.4x+3,则c,k的值分别是e3和0.4

10.已知某学校高二年级男生人数是女生人数的2倍，该年级全部男、女学生是否喜欢徒步

A.参加调查的学生中喜欢徒步的男生比喜欢徒步的女生多

B.参加调查的学生中不喜欢徒步的男生比不喜欢徒步的女生少

C.若参加调查的学生总人数为300,则能根据小概率a=0.01的独立性检验，推断喜欢徒步

和性别有关

D.无论参加调查的学生总人数为多少，都能根据小概率α=0.01的独立性检验，推断喜欢徒

步和性别有关

11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-&BlC也中，点E,F,P,C1

G分别为&Bi，B1C1,BIB的中点，若点P在线段EF上运动，则

下列结论正确的为()j

A.4C1与EF为共面直线/D!-……羊…。JC

B.平面ACCI〃平面EFG4匕：二二......

C.三棱锥P—ADiC的体积为定值

D.ACl与平面4BC所成角的正切值为，3

12.下列不等关系中正确的是()

A.√^^3∕∏2<ln3B.√3∕∏4>4∕∏O

C.sin3<3sinlcoslD.sin3>3sinlcosl

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.语文某小组有4个男生，3个女生，现语文老师要从这一组抽3名同学背书，请问抽到男

生人数多于女生的概率是.

14.己知空间三点4(2,1,0),β(2,l,-l),C(l,0,l).则点C到直线4B的距离为.

15.已知f(x)=密，(α≠0)只有一条过原点的切线，则α=.

16.己知Xi和g是函数/(%)=x-2Inx+Jn的两个不相等的零点，则:唱的范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

如图是某企业2016年至2022年的污水净化量(单位：吨)的折线图.

注：年份代码1〜7分别对应年份2016〜2022∙

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系,请建立y关于t的回归方程,并预测2025

年该企业的污水净化量；

(2)请用相关指数说明回归方程预报的效果.

2

参考数据：y=54,£忆1(0-t)(%-y)=21,√^Tξy3.74，∑^=ι(yi∙-yi)

参考公式：线性回归方程

y=α+bt,b=∑%G-t)2J

2

相关指数：R2=ι一矍但Z吗

%IwLy)Z

18.(本小题12.0分)

为了了解学生的运动情况，某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分层抽样调查.调查

的样本中高一年级有70%的学生每周运动总时间超过5小时，高二年级有65%的学生每周运动

总时间超过5小时，高三年级有56%的学生每周运动总时间超过5小时，且三个年级的学生人

数之比为9：6：5,用样本的频率估计总体的概率.

(1)从该校三个年级中随机抽取1名学生，估计该学生每周运动总时间超过5小时的概率；

(2)假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，且X〜N(5.5,M).现从这三

个年级中随机抽取5名学生，设这5名学生中每周运动总时间为5至6小时的人数为匕求随机

变量Y的期望.

19.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PDJ_平面/IBC0,菱形ABCO的边长2,∆BAD=60o,PD=3.

(1)求直线PB与平面PDC所成角的正弦值；

(2)若点F,E分别在线段PB,PC上，且平面。EFLPB,求线段DE的长度.

P

20.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=X+xlnx.

(1)求函数f(x)的极值；

(2)若m∈Z,且m(x-1)</(x)对任意%>1恒成立，求nι的最大值.

21.(本小题12.0分)

某车间购置了三台机器，这种机器每年需要一定次数的维修，现统计了IOO台这种机器一年

内维修的次数，其中每年维修2次的有40台，每年维修3次的有60台，用X代表这三台机器每

年共需要维修的次数.

(1)以频率估计概率，求X的分布列与数学期望；

(2)维修厂家有4B两家，假设每次仅维修一台机器，其中Z厂家单次维修费用是550元，BΓ

家对同一车间的维修情况进行记录，前5次维修费用是每次600元，后续维修费用每次递减100

元，从每年的维修费用的期望角度来看，选择哪家厂家维修更加节省？

22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=sinX-In(I+x),f'(x)为f(x)的导数.证明：

⑴「(功在区间(-W)存在唯一极大值点;

(2)∕(x)有且仅有2个零点.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:a=(0,1,1),B=(1,1,0)，

则五∙b=1'INI=√1+1+0-y∕-2>

故向量方在向量五上的投影向量为雪×⅛=⅛=(θɪɪ).

∖a∖∖a∖2'，22

故选：C.

根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解.

本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：由散点图知，去掉。(8,7)后，y与X的线性相关加强，且为正相关，所以r变大，R变

大，残差平方和变小.

故选：D.

由散点图知，去掉。(8,7)后，y与X的线性相关加强，由相关系数r,相关指数R及残差平方和与相

关性的关系得出选项.

本题考查了变量之间的线性相关系数，考查了推理能力，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：μ—120>σ=√100=10，

.∙.P(IlO<R<130)=0.6826,

.∙.P(R>130)=ɪ[l-P(IIO<R<130)]=∣×0.3174=0.1587,

130分以上的人数约为40X0.1587≈6人.

故选C.

利用正态分布的特点求出分数在130以上的概率，再计算人数.

本题考查了正态分布的性质，属于中档题.

4.【答案】C

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一

项比赛，

则有戏题=36种安排方法，

若甲参加跳高比赛，若只有甲一个人参加跳高比赛，有或C；用种安排方法，

若甲和另外一人参加跳高比赛，有戏盘掰种安排方法，

则有以盘掰+废彩=12种安排方法，故PQ4)=蔡=5

同理：P(B)=ɪ,

若甲乙都参加跳高比赛,有房=2种安排方法，贝高(AB)=⅛=⅛,

由于P(A)P(B)≠P(AB),则事件4、B不相互独立，A错误；

对于B,事件4与C可以同时发生，即甲参加跳高比赛同时乙参加跳远比赛，则事件4、C不是互斥

事件，B错误；

对于C,当甲参加跳高比赛同时乙参加跳远比赛时，

若其余两人都参加投铅球比赛，有1种安排方法，

若其余两人只有一人参加投铅球比赛，有废废种安排方法，

则有1+66=5种安排方法,故P(4C)=ɪ,

5

故P(CM)=需=零=C正确;

对于D,P(AB)=表,P(A)=j,则P(BlA)=需=F=与O错误.

故选：C.

根据题意，由相互独立事件的定义分析可得A错误，由互斥事件的定义分析可得B错误，由条件

概率计算公式分析可得C正确，D错误，综合可得答案.

本题考查条件概率的计算，涉及相互独立事件的性质和判定，属于中档题.

5.【答案】B

【解析】解：易知函数/(x)=+*是偶函数，g(x)=SinX是奇函数，给出的图象对应的函数是

奇函数，

对于4,因为y=/(x)g(x)=(χ2+Jsinx,y'=2xs讥x+(/+》CoSx,

当X∈(Ow)时，y'>0,函数y=/(x)g(x)单调递增，由图象可知所求函数在(Ow)上不单调，故A

不符合题意；

对于C,y=/(x)+g(x)-；=χ2+Sinx为非奇非偶函数，故C不符合题意；

对于D,y=f(x)-g(x)=/-SinX为非奇非偶函数，故C不符合题意.

故选:B.

由函数的奇偶性与单调性，结合图象，逐项分析排除即可得答案.

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及排除法进行判断是解决本

题的关键，是基础题.

6.【答案】B

【解析】解：建系如图所示的空间直角坐标系，则根据题意可得:

D(0,0,0),E(1,2,0),F(0,l,2),A1(2,0,2),

.∙.DE=(1,2,0)，DF=(0,1,2).

设平面。EF的法向量为元=(x,y,z),

.(n∙DE=X+2y=0ʌ

则m，一—.,令Z=1,y=-2.X=4,

(n∙DF=y+2z=0

・・・平面DEr的法向量为元=(4,-2,1),

V西=(2,0,2)，

・••点占到平面。"的距离为d=噜型=v耳］=吗巨.

故选：B.

建立空间直角坐标系，利用向量法可求点儿到平面。EF的距离.

本题考查点到平面的距离的求法，属中档题.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数解析式的求解等有关基础知识，考查运

算求解能力，考查转化思想，属于基础题.

解出/(x)的解析式，然后求出切点坐标，以及切线的斜率，即可求出切线方程.

【解答】

解:∙.∙/(1+X)=2/(1-%)-X2+3x+1,

令-X替换X得f(l-X)=2/(1+x)-X2-3x+1,

解得f(l+x)=χ2+%-i,

则f(x)=(x—I)2+(x—1)—1=X2—X—1,

∕,(x)=2x-l,

则/(1)=-1,f,(l)=1

曲线y=f(x)在点(Ij(I))处的切线方程是y+1=x-l,

即X—y—2—0.

故选：D.

8.【答案】B

【解析】解:因为/(x)=x-l+2

当X=O时，/(0)=0-l+⅛=0,

所以y=fc×0-1=-1,

所以要使得y=kx-1与/(%)无交点，等价于f(%)>kx-1恒成立,

令g(%)=/(ɪ)-fcx÷l=x-1+ɪ-(kx-1)=(1—ky)x+，

/(X)="!,

当k=l时，g(xy)=ɪ>0,满足y=k%-1与/(%)无交点，

l-1-1]]

''∣∕c>l时'g(-一-)=(1—fc)--~~-÷eɪ-fe=β—1»

八k-"'JI-ZC

而告<°，e占<1，

所以g⅛⅛V0,

此时不满足y=kx-1与f(%)无交点，

当k<1时，g∖x)=(1一誓T=0,

则X=—ln(l—k),

所以当x∈(-8,-In(I-k))时,g'(x)<0,g(x)单调递减,

当x∈(ln(l-k),+8)时，g，(X)>0,g(x)单调递增，

所以当％=-ɪn(l-k)时，g[x}min=g(Tn(l-fc))=(1-fc)(l-ln(l-k)),

由(I-fc)[l-ɪn(l-∕c)]>O得1—e<k<1,

即y=kx-1与f(x)无交点，

综上所述，当x∈(l-e,1]时，y=kx-1与f(x)无交点.

故选：B.

根据题意可得当K=O时，/(0)=0,y=⅛×0-l=-l,要使得y=kx-1与f(X)无交点，等价

于/(x)>kx-1恒成立，令g(x)=/(x)-kx+1,求导分析单调性，最值，只需g(x)niE>。，

即可得出答案.

本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题.

9.【答案】BCD

【解析】解：对于选项4若两个随机变量的线性相关性越强，

则相关系数r的绝对值越接近于1,故选项A错误；

对于选项B：易知IE(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=22D(AΓ)=4D(X),故选项B正确；

对于选项C由残差图的特征可知，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越

高，故选项C正确；

对于选项£>：以模型y=ce∣x去拟合一组数据时，

对等式两边同时取对数，得"y=Inc+kx,

若线性方程为Z=0.4x+3,

jhtC=I

解得{:=。3立故选项。正确.

故选：BCD.

由题意，根据相关系数的性质即可判断选项A；利用期望和方差的性质即可判断选项以结合残

差图的特征即可判断选项C；根据对数的运算性质以及题目所给信息列出等式即可判断选项D.

本题考查相关系数，线性回归方程、期望和方差的性质等，考查了逻辑推理和运算能力.

10.【答案】AC

【解析】解：对AB,设该学校高二年级男生人数为2ɑ,女生人数为ɑ,

则学生中喜欢徒步的男生为2αxθ.7=1.4α,喜欢徒步的女生为0.4α,故A正确；

不喜欢徒步的男生为2αx0.3=0.6α,不喜欢徒步的女生为0.6α,故B错误；

对C,若参加调查的学生总人数为300,则男生200人，女生100人，列联表可得:

性别合计

男生女生

喜欢14040180

不喜欢6060120

合计200100300

22

∣jl∣∣?300×(140×60-60×40)300×6/

畋=200X100X180X12。=次薮Ti=25>6-635,

故能根据小概率α=0.01的独立性检验，推断喜欢徒步和性别有关，故C正确;

对D，设该学校高二年级男生人数为2α,女生人数为α,列联表可得：

性别合计

男生女生

喜欢IAa0.4α1.8a

不喜欢0.6a0.6α1.2α

合计2aa3α

2Q2

则2=3αx(1.4αx0.6α-0.4αx0,6α)=3αx(0.6α2)=θ25α,不能判断与6.635的大小关系

2a×a×l.Sa×1.2a2a×a×1.8a×1.2a

故不能根据小概率α=0.01的独立性检验，推断喜欢徒步和性别有关，故。错误：

故选：AC.

对4B,设该学校高二年级男生人数为2ɑ,女生人数为ɑ,再计算喜欢与不喜欢徒步的男生与女生

人数判断即可；对CD,计算卡方，对照表格判断即可.

本题考查独立性检验相关知识，属于中档题.

11.【答案】BC

【解析】解：对于A：连接46,如图所示:

•••E,F分别为4祖，BIG的中点，

∙∙∙EF//A1C1,

在正方体ABC。-AlBlCl/中，A1C1∕∕AC,

.∙.EF//AC,

.∙.AGnEF=4,故4错误；

对于B：连接BG，

•••点尸,G分别为BiC1，BlB的中点,

.∙.FG//BC1,

由选项A得EF〃4C,

∙.∙EFU平面EFG,FGU平面EFG,EFC平面4CD「FG仁平面ZCD1，

.∙.EF//^ACD1,FG〃平面ZCDi,

又EFnFG=F,

••・平面ACDi〃平面EFG,故B正确；

对于C：由选项B得EF〃平面ACD1，

：点P在线段EF上运动，

•••点P到平面4。么的距离等于点E到平面ACDl的距离，且为定值，

又AADiC的面积为定值，则三棱锥P-ADlC的体积为定值，故C正确;

对于D：建立以。为原点的空间直角坐标系D-xyz,如图所示：

则O(0,0,0),4(2,0,0),B(2,2,0),4(2,0,2),C1(0,2,2),C(0,2,0),

二温=(-2,2,2),西=(2,-2,2)，西=(0,-2,2)，

设平面AlBC的一个法向量为元=(x,y,z),

则PT∙CA1=2x—2y+2z=0

In∙BA1=—2y+2z=0取y=1,则Z=1,x=0,

，平面&BC的一个法向量为有=(0,1,1),

设AQ与平面4BC所成角为α,

,—→一、@ACll4√-6

1l9

・•・sina=∣cos<ACvn>∖=同时=2√3×<2=T

・•・cosa=Vl-sin2α=ɔʃ,

・•.tana—四竺=√^^2,故D错误.

cosa

故选：BC.

根据棱柱的结构特征可得EF〃4C,即可判断4利用线面平行和面面平行的判定定理即可判断8；

由题意得点P到平面ACDi的距离等于点E到平面北劣的距离，且为定值，即可判断C；建立以。为

原点的空间直角坐标系D-Xyz,利用向量法，即可得出答案.

本题考查棱柱的结构特征、直线与平面平面判定定理和面面平行判定定理，考查转化思想和数形

结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

12.【答案】BC

【解析】解：令/Q)=等，则/'(无)=*W，

当0<%Ve时，/'(%)>0,当％>e时，/'(%)<0,

所以函数/(%)在(0,e)上单调递增，在®+8)上单调递减，

所以/(2)>f(C),即当>臂，即Cn2>2,nC="3，故A错误,

又m4=2ln2,所以竽=当>需，即，号加4>4"，？，故B正确;

xcosx—sinx

令g(χ)=婴，Xe(°，兀)，则g'(x)=

令IZ(X)=XCosx—sinx,

则ι∕(x)=COsx—xsinx—cosx=—xsinx<O在(O,Tr)上恒成立,

所以“(%)在(O,Tr)上单调递减,所以〃(X)<u(0)=0,

所以g'(%)<O在(O,Tr)上恒成立，

所以g(x)在(0,7T)上单调递减，所以g(2)>g(3),即詈>罢,

即Sin3V―1=3SiTIlCoS1,故C正确，。错误.

故选：BC.

根据函数值的特征，构造函数/(X)=等，求出其导数，判断函数的单调性，可判断AB；同理构

造函数g(x)=等，判断CC.

本题考查了利用导数研究函数的单调性，重点考查了分析问题、解决问题的能力，属中档题.

13.【答案】§

【解析】解：由题意，抽到男生人数多于女生人数的情况包括：

3个男生O个女生，2个男生1个女生两种情况，即废+废•废=22,

而总情况数为G=35,

设事件4表示抽到男生人数多于女生，

则抽到男生人数多于女生的概率是PQ4)=∣∣.

故答案为：||-

根据题意，由古典概型的概率公式代入计算即可得到结果.

本题考查古典概型的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

14.【答案】λf2

【解析】解：由已知条件易知前=(一L-1,1),同=(0,0,-I)，

则宿松=O+0-1=-1,∖AC∖=O-囱1=1，

ICoS(前,确I=I需氤I=?,Sin(旅,荏>=?，

故点C到直线AB的距离为IACI∙Sin(AClAB)=√~3×ɪ=√-2∙

故答案为：yΓ2.

根据点到直线的距离公式即可求解.

本题考查点到直线的距离求法，考查转化思想和运算能力，属于基础题.

15.【答案】-4

【解析】解：由/(X)=*,得((X)=T誓=审，

设切点坐标为也宁)，则过切点的切线方程为y=-O+冒，

把。(0,0)代入，可得产—at—α=0.

/(X)=密，(Ω≠0)只有一条过原点的切线，

：•Δ=(—a)2+4以=0,又Q≠0,ʌa=-4.

故答案为：-4.

设切点坐标为。詈)，利用导数写出过切点的切线方程，代入坐标原点的坐标，可得关于t的一元

二次方程，再由判别式大于。求解a值.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题.

16.【答案】(0,1)

【解析】解：•・,和是函数f(%)=X-2lnx+m两个不相等的零点，

不妨设Xl>x2>0,x1—2Inx1+m=0,X2—2Inx2+m=0,

两式相减得Xi-X2-2bι∣1=0,

x2

令葛=t>1,ΛX1=tx2,

t

ʌX2(—1)—2Int=0,

Ariza2lnt2tlnt

解得％2=TZTXl=

.xιx2_1_2tlnt

**×ι+X2——t2-l,

x2xI

令g(t)=t2—1—2tlnt,t>1,g'(t)=2t—2lnt—2,

令九(t)=2t—2Int-2,t>1,

：.h'(t')=2-∣>O恒成立，

∕ι(t)在(1,+8)是单调递增，

h(t)>∕ι(l)=0,

・•・g'(£)>0恒成立，

・•・g(t)在(L+8)是单调递增，・・.g(t)>g(l)=0,t>1恒成立，

ʌt2—1>2tint>0»

./2tlnt/T

:,0r<F—<1.

t2-l

故答案为：(0,1).

由Xi和Λ⅛是函数f(X)=x—2Inx+?n两个不相等的零点,不妨设Xi>X2>0,x1-2Inx1+m=0,

X2-Hnx2+m=0,两式相减得XI-X2-=0,令∣∣=t>l,分别解出与，χ2,都用t表

示，通过转化、构造函数，利用导数研究函数的单调性与极值即可得出结论.

本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、换元法、等价转化方法、方程与不等式的

解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

17.【答案】解：(1)由折线图中的数据得£=4,y=54,

h=Σjlι(ti-Z)佻-历=_____________________21_________________________=21=3；

22222222,

∑⅛l(ti-t)-(l-4)+(2-4)+(3-4)+(4-4)+(5-4)+(6-4)+(7-4)^28^4

所以α=]-bZ=54-7×4=51>

J4

所以y关于t的线性回归方程为y=fot+α=∣t+51.

将2025年对应的t=10代入得y=∣×10+51=58.5，

所以预测2025年该企业污水净化量约为58.5吨.

(2)因为如=1一货质=ITX表=ITw=0.875,

所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，说明回归方程预报的效果是良好的.

【解析】(1)结合题目数据利用最小二乘法求出线性回归直线方程，代入计算即可；

(2)利用己知数据求出相关指数，利用统计知识说明即可.

本题主要考查线性回归方程的求解，属于基础题.

18.【答案】解：(1)记随机抽取1名学生分别来自高一、高二、高三的事件为4B,C,抽取的1名

学生每周运动总时间超过5小时的事件为D,

∙∙∙P(A)=券P(B)=条P(C=条

.∙.P{D∖A~)=0.7,P(DlB)=O.65,P(DIe)=O.56,

又P(D)=P(A)P(DlA)+P(B)P(OIB)+P(C)P(DIC)

965

=X0.7+ɪ×0.65+套X0.56=0.65,

该学生每周运动总时间超过5小时的概率为0.65；

(2)该校每名学生每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，X~N(5.5R2),

则P(X>5.5)=0.5,

由(1)得P(X>5)=0.65,则P(5<X<5.5)=0.65-0.5=0.15,

.∙.P(5<X<6)=2P(5<X<5.5)=0.3,即该校学生每周运动总时间为5至6小时的概率为0.3,

Xr-B(5,0.3),则E(Y)=5X0.3=1.5,

随机变量y的期望为ι.5.

【解析】(1)根据给定条件，利用古典概率及全概率公式求解，即可得出答案；

(2)由(1)的结论，结合正态分布的对称性求出该校学生每周运动总时间为5至6小时的概率，再利

用二项分布，即可得出答案.

本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中

档题.

19.【答案】解：CI)过点B作BHJ.CO,垂足为H,

因为PZ)I平面ABCD,BHu平面ABCD,

所以尸。1BH,

又PDnCz)=C,PD,CDU平面PDC,

所以BH_L平面PCC,PHU平面PDC,

所以BH1PH,

所以直线PB与平面PDC所成角为NBPH,

由已知四边形4BC。为菱形，AB=2,∆BAD=60°,

所以aBCC为边长为2的等边三角形，板BH=C,

因为PDl平面ABC。，BDU平面力BCD,

所以PDI.BD,又PD=3,BD=2,

所以PB=√∏m,

在APHB中，PB=√^3>BH=G，4PHB=90。,

所以SinN8PH=器=密，

ΓD13

所以直线PB与平面PDC所成角的正弦值为誉；

(2)连接。G,点G为线段AB的中点，

由已知AADB为等边三角形，所以DG_L4B,又ABUCD,

所以DG_LDC,又PD_L平面ABCD,

以点。为坐标原点，^DG,DC,乔为x，y，Z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0),P(0,0,3),β(√3,l,0)-C(O20),

故而=(√^,l,-3).

设方=λPC,则砺=DP+PE=(0,0,3)+4(0,2,-3)=(0,24,3-3λ)-

因为PB1平面OEF,DEU平面DEF,

所以PBInE,故两.瓦f=o,Zt

所以，3x0+1x24+(-3)(3-34)=0，

所以5∕L∖

所以瓦f=(0,*，⅛),/J对:二⅛Λ

所以OE=I网=J(勖+帝=窄.√G

所以线段。E的长度为富.

【解析】(1)过点B作BHd.CD,垂足为H,证明BHI平面PDC,由此确定直线PB与平面PDC所成

角，再求其正弦值；

(2)建立空间直角坐标系，设而=2正，由条件列方程求屁的坐标，由此求求线段DE的长.

本题考查线面角的求法及空间向量的应用，属于中档题.

20.【答案】解：⑴函数/(x)的定义域为(0,+8),f(X)=Inx+2,

当x∈(0,e-2),∕,(χ)<0,当χ∈(eV,+8),∕,(χ)>0,

因此，函数/0)在(0,e-2)单调递减，在(e-2,+8)单调递增，

所以f(x)的极小值是/(e-2)=-e-2,无极大值.

所以函数/(X)的极小值是-e-2.

(2)因为Tn(X-1)<f(x)对任意X>1恒成立，

即m<2F对任意X>1恒成立，

x-1

令g。)=瞥，则"(X)=⅞Ξ^,

令∕ι(%)=x—Inx—2(%>1),则∕ι'(X)=1—ɪ=>0,

所以函数九(X)在(1,+8)上单调递增，

•・・∕ι(3)=1-Z∏3<O,九(4)=2-2ln2>0,

,方程∕l(%)=0在(L+8)上存在唯一实根且满足&∈(3,4).

当1V%<Xo时，A(%)<0,即g'(%)<0,

当%>工。时，九(X)>0,即g'〉)>0,

所以函数g(x)=答⅛E(l∕o)上单调递减，在(Xo,+8)上单调递增,

Xo(I+欣0)_汇0(1+沏-2)

∙∙∙[5(ɪ)]min=g(Xθ)==&∈(3,4),

xO-1%0—1

・•・m<[ð(ɪ)]min=XOW(3,4),故整数m的最大值是3.

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查运

算求解能力，属于中档题.

(1)对函数f(x)求导，求出函数/(%)的单调性，进而得出极值；

(2)依题意，τn<篁券对任意X>1恒成立，令g(χ)=若≡,求出函数g(χ)的最小值即可得解.

21.【答案】解：(1)以频率估计概率，一台机器每年需要维修2次的概率为|,需要维修3次的概率

幅

设Y为这三台机器每年单个需要维修三次的台数，

则X=Y+6,且丫〜B(3,∣),

所以P(X=6)=p(y=0)=φ3=ɪ,p(x=7)=P[Y=I)=Cxl)2XI=急，

P(X=8)=PW=2)=Cf×∣×(∣)2=费P(X=9)=P(Y=3)=令=息.

所以X的分布列为:

X6789

83654