人教版数学九年级上册全册教案设计

九年级上册全书教案》

第二十一章二次根式

教材内容

I.本单元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式.

2.本单元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其

应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础.

教学目标

1.知识与技能

(1)理解二次根式的概念.

(2)理解G(a≥0)是一个非负数，(五)2=a(a>0),(a20).

(3)掌握右∙∖∣b=∖[ab(a≥0,b20),4ab=y[a∙4b；

g=他(a>0,b>0),、口=半(a>0,b>0).

4bU∖byfb

(4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减

教学重点

1.二次根式右(a20)的内涵.7∏(a20)是一个非负数；(G)2=a(a20)；

Vt?=a(aN0)•及其运用.

2.二次根式乘除法的规定及其运用.

3.最简二次根式的概念.

4.二次根式的加减运算.

教学难点

1.对右(a20)是一个非负数的理解；对等式)2=a(a>0)及J户=a(a2

0)的理解及应用.

2.二次根式的乘法、除法的条件限制.

3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.

教学关键

1.潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点.

2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟

的科学精神.

单元课时划分

本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：

21.1二次根式3课时

21.2二次根式的乘法3课时

21.3二次根式的加减3课时

教学活动、习题课、小结2课时

21.1二次根式

第一课时

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

理解二次根式的概念，并利用&(a20)的意义解答具体题目.

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

教学重难点关键

1.重点：形如G(a20)的式子叫做二次根式的概念；

2.难点与关键：利用“G(a20)”解决具体问题.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题：

3

问题1：已知反比例函数y=—,那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标

X

是.

问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=LNC=90°,那么AB边的长是

二、探索新知

很明显百、而、κ,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根

的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如G(a20)•的式子叫做二

次根式，“一”称为二次根号.

(学生活动)议一议：

1.一1有算术平方根吗？

2.0的算术平方根是多少？

3.当a<0,&有意义吗？

例L下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：也、班、>、G(x>0)>

X

ʌ/θ>V2>-V2ʌ―!—、Jx+y(x⅛0,y∙？0).

x+y

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“«”；第二，被开方数是正数

或0.

解：二次根式有：√2、√x(x>0)、√0ʌ-√2,y∣χ+y(x20,y≥0);不是二次

根式的有：火、ɪʌ蚯、ɪ.

Xx+y

例2.当X是多少时，J3x-1在实数范围内有意义?

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3x-l∕0,∙√3x-l

才能有意义.

解：由3x-l20,得：X》一

3

当X》，时，J3x-1在实数范围内有意义.

3

三、巩固练习

教材P练习1、2、3.

五、归纳小结《学生活动，老师点评)

1.形如、石(a20)的式子叫做二次根式，“J^”称为二次根号.

2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.

六、布置作业

1.教材P8复习巩固1、综合应用5.

21.1二次根式(2)

第二课时

教学内容

I.y[a(a20)是一个非负数；

2.(y[a)2=a(a20).

教学目标

理解G(aZ0)是一个非负数和(C)2=a(aNO),并利用它们进行计算和化简.

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出G(a>0)是一个非负数，用具体

数据结合算术平方根的意义导出(右)2=a(a≥0);最后运用结论严谨解题.

教学重难点关键

1.重点：G(a≥0)是一个非负数；(&)2=a(a20)及其运用.

2.难点、关键：用分类思想的方法导出&(a20)是一个非负数；•用探究的方法导

出(y[a)2=a(a20).

教学过程

一、复习引入

1.什么叫二次根式？

2.当aNO时，&叫什么？当a<0时，&有意义吗？

二、探究新知

议一议：(学生分组讨论，提问解答)

4a(a≥0)是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

G(a20)是一个非负数.

做一做：根据算术平方根的意义填空：

(ʌ/?)J；(5/2)2=；(V9)2=；(ʌ/ɜ)2=

老师点评：、"是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，、"是一个平方等于4的

非负数，因此有(、/?)2=4.

同理可得：(√2)2=2,(√9)2=9,(√3)2=3,)2=1,)2=1,(√0)

V33\22

2=0,所以

(y[a)2=a(a≥0)

例1计算

1.()22.(3ʌ/ʒ)23.(ʌʃɪ)24.(—^―)2

分析：我们可以直接利用(G)2=a(a20)的结论解题.

解：(.—)2=—,(3-∖∕5)2=32∙(∙J5)2=32∙5=45,

V22

(、/iτ,芯)g二

V662224

三、巩固练习

计算下列各式的值：

2

(√18)(A)22

(―)2(√0)(42

4

(3√5)2-(5√3)2

五、归纳小结

本节课应掌握：

1.G(a≥0)是一个非负数；

2.(G)ja(a≥0);反之:a=(∖∣a)2(a≥0).

六、布置作业

教材复习巩固、

I.P82.(1)(2)P97.

21.1二次根式(3)

第三课时

教学内容

=a(a≥0)

教学目标

理解J∕=a(a≥0)并利用它进行计算和化简.

通过具体数据的解答，探究J∕=a(a≥0),并利用这个结论解决具体问题.

教学重难点关键

1.重点：J^=a(a20).

2.难点：探究结论.

3.关键：讲清a》0时，J?^=a才成立.

教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容；

1.形如G(a⅛0)的式子叫做二次根式；

2.&(a≥0)是一个非负数;

3.(ʌ/ɑ)2=a(a≥0).

那么，我们猜想当a20时，J∕=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.

二、探究新知

（学生活动）填空：

亚=；Joole=；^（ɪ）2=;

（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

VF=2；√αδι7=o.oi;茄^哈；肾=j亚=S杼M

因此，一般地：=a(a≥0)

例1化简

(1)√9(2){(-A#(3)√25(4)√(-3)2

分析：因为(1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,

(4)(-3)2=32,所以都可运用λ∕∕=a(a》0)•去化简.

27

解：⑴√9=T？=3(2)λ∕(-4)=√4=4

(3)√25=√F=5(4)J(―3>=疗=3

三、巩固练习

教材P7练习2.

五、归纳小结

本节课应掌握：J∕=a（a20）及其运用，同时理解当a<0时，J∕=-a的应用拓

展.

六、布置作业

1.教材P8习题21.13、4、6、8.

21.2二次根式的乘除

第一课时

教学内容

y[a∙4b=y[ab（a》0,b≥0）,反之=&∙4b（a20,b》0）及其运用.

教学目标

理解右∙χ∕h—y[ah（a》0,b20）,4ab=4a∙7⅛（a20,b》0）,并利用它们

进行计算和化简

由具体数据，发现规律，导出6•指=J不(a>0,b>0)并运用它进行计算；•

利用逆向思维，得出J石=G∙4b(a∖0,b≥0)并运用它进行解题和化简.

教学重难点关键

重点：4a∙4b—4ab(a>0,b20),4ab=y∕a♦∖[b(a≥0,b20)及它们的

运用.

难点：发现规律，导出&∙4b=y[cib(a20,b>0).

关键：要讲清J法(a<O,b<O)=&・掂，如√(-2)X(-3)=√-(-2)X-(-3)或

√(-2)×(-3)=√2^3=√2×y∕3.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们完成下列各题.

1.填空

(1)-∖∕4XM-,Λ∕4X9=_____；

(2)√16X√25=,√16×25=.

(3)√iθθ×√36=,√100×36=.

参考上面的结果，用“>、<或="填空.

√4X√9____√4^9,√16X√25_____√16×25,√100×√36

JIooX36

2.利用计算器计算填空

(1)√2×√3√6,(2)√2×√5√10,

(3)ʌ/ʒ×ʌ/ð《30>(4)5/4Xʌ/ʒy∣20,

(5)√7×√10√70.

老师点评(纠正学生练习中的错误)

二、探索新知

(学生活动)让3、4个同学上台总结规律.

老师点评：(1)被开方数都是正数；

(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作

为等号另一边二次根式中的被开方数.

一般地，对二次根式的乘法规定为

∖[a∙x[b=4ab.(a≥0,b≥0)

反过来：I=&∙n(a20,b20)

例L计算

(I)√5×√7(2)RX囱(3)√9×√27⑷AXa

分析：直接利用右•亚=B(a>0,b>0)计算即可.

解：(1)ʌ/ʒ×V7=J35

(2)^i×√9=^9=√3

(3)√9×√Z7=√9×27=√92×3=9^

(4)R=Jχ6=由

例2化简

(1)√9×16(2)√16×81(3)√81×100

22

(4)y∣9xy(5)√54

分析：利用J茄=，i∙y[b(a≥0,b20)直接化简即可.

解：(1)√9×16≈√9×√16=3X4=12

(2)Λ∕16×81=VΓ6Xλ∕δT=4X9=36

(3)√81×100=√81X√iθθ=9X10=90

2222

(4)y∣9xy=V?×y∣xy=V?×V?×=3xy

(5)√54≈√9^6-λ∕F×√6=3√6

三、巩固练习

(1)计算(学生练习，老师点评)

①√16X瓜②3展X2√Γδ③扃∙J^ay

22

(2)化简：√20;√18;√24；√54;y∣[2ab

教材PU练习全部

×√25=λ∕-×25=√∏2=√16×7=4√7

五、归纳小结

本节课应掌握：（1）4a∙4b==(a≥O,b≥O),λ∕tτ⅛=Va∙∖[b(a≥0,b

》o）及其运用.

六、布置作业

1.课本P151，4,5,6.(1)(2).

21.2二次根式的乘除

第二课时

教学内容

%=器（a>0,b>0）,反过来J=*（a>0,b>0）及利用它们进行计算和化简.

教学目标

a

理解(a≥0,b>0)（a，0,b>0）及利用它们进行运算.

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆

向等式及利用它们进行计算和化简.

教学重难点关键

[a_4a

1.重点：理解(a≥0,b>0),犷而（a≥0,b>0）及利用它们进行计

算和化简.

2.难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题：

1.写出二次根式的乘法规定及逆向等式.

2.填空

⑶半

√16

⑷华

ɪ716

规律：半

√1616'√36716⅛

36

87

3.利用计算器计算填空:

⑴W,⑵*,⑶*

√4√3√5

规律：言f3√2∣2√∣∣2也17

：；

4；耳3忑5W

每组推荐一名学生上台阐述运算结果.

（老师点评）

二、探索新知

刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我

们可以得到:

一般地,对二次根式的除法规定:

a

(a≥0,b>0),

反过来,屋平(a≥0,b>0)

by[b

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.

/75(4)华

例1.计算：（1）华

√3√8

4aa

分析：上面4小题利用（a20,b>0）便可直接得出答案.

不M

(3)

Ia_y/a

分析：直接利用就可以达到化简之目的.

V厂存(a>0,b>0)

…fʃ√3-√3

解:(1)妨=病=T

三、巩固练习

教材P14练习1.

五、归纳小结

本节课要掌握第=Jl(a20,b>0)和Jl=骼(a20,b>0)及其运用.

六、布置作业

1.教材Pu习题21.22、7、8、9.

21.2二次根式的乘除(3)

第三课时

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算.

教学目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念,并根据它的特点来检验最后结果

是否满足最简二次根式的要求.

重难点关键

1.重点：最简二次根式的运用∙

2.难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）

1.计算(1)0,(2)咨，(3)√8

√5√27∖∣2a

∖∕s2-χ∕tz

老师点评：卑苴i,半巫

√553∖∣2aa

2.现在我们来看本章引言中的问题:如果两个电视塔的高分别是h∣km,h2km,那么它

们的传播半径的比是.

它们的比是猊・

二、探索新知

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点:

1.被开方数不含分母；

2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式.

学生分组讨论，推荐3〜4个人到黑板上板书.

老师点评：不是.

4

例L(I)V+”;(3)

例2.如图，在RtZ∖ABC中，ZC=90o,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长.

解：因为AB2=AC2+BC2

所以AB=J2∙52+62=J(∣)2+36=^^=^^=q=6.5(cm)

因此AB的长为6.5cm.

三、巩固练习

教材Pu练习2、3

五、归纳小结

本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用.

六、布置作业

1.教材Rs习题21.23、7、10.

21.3二次根式的加减(1)

第一课时

教学内容

二次根式的加减

教学目标

理解和掌握二次根式加减的方法.

先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总

结经验，用它来指导根式的计算和化简.

重难点关键

1.重点：二次根式化简为最简根式.

2.难点关键：会判定是否是最简二次根式.

教学过程

一、复习引入

学生活动：计算下列各式.

(1)2x+3x；(2)2x2-3x2+5x2;(3)x+2x+3y;(4)3a2-2a2+a3

教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并.同类项合并就是字

母不变，系数相加减.

二、探索新知

学生活动：计算下列各式.

(1)2∙∖∣2.+3>/2(2)2ʌ/ɛ-3∙∖∣S+5∙∖∕S

(3)x/l+25/7+3，9X7(4)3>∕3~2ʌ/ɜ+>/2

老师点评：

(1)如果我们把血当成X,不就转化为上面的问题吗？

2√2+3√2=(2+3)√2=5√2

(2)把应当成y；

2√8-3√^+5√^=(2-3+5)λ^=4√8=8√2

(3)把√7当成z；

√7+2√7+√9√7

=2ʌ/7+2+3∖∕1=(1+2+3)ʌ/7=6∙∖∕7

(4)百看为x,后看为y.

3ʌ/ɜ~2ʌ/ɜ+∙∖∕2

=(3-2)√3+√2

=6+0

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2√Σ与血表面上看是不相同的，

但它们可以合并吗？可以的.

(板书)3V5+=3V∑+2∙∖∕Σ=5ʌ/5

3ʌ/ɜ+J27=3V3+3-^3=6ʌ/ɜ

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的

二次根式进行合并.

例1.计算

(1)∖∕s+∖∕i^8(2)Jl6x+-64x

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二

次根式进行合并.

解：(1)∖∕S+VΓ8=25/2+3V2=(2+3)∖∣2.=5∖∣2.

(2)V16x+Λ∕64X=4∖∕x+87%=(4+8)>∕x=12∖∕x

例2.计算

(1)3J48-9+3∙JY2.

(2)(—48+V20)+(∖fv2~ʌ/ʒ)

解:(1)3√48-9^∣+3√12=12√3-3√3+6√3=(12-3+6)√3=15√3

(2)(√48+√20)+(√12-√5)=√48+√20+√12-√5

=4ʌ/ɜ+2ʌ/ʒ+2^3—ʌ/ʒ=6ʌ/ɜ+>/5

三、巩固练习

教材％练习1、2.

五、归纳小结

本节课应掌握：(1)不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；(2)相同的最简二次

根式进行合并.

六、布置作业

1.教材Pzi习题21.31、2、3、5.

21.3二次根式的加减(2)

第二课时

教学内容

利用二次根式化简的数学思想解应用题.

教学目标

运用二次根式、化简解应用题.

通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题.

重难点关键

讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点.

教学过程

一、复习引入

上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先

将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们

讲三道例题以做巩固.

二、探索新知

例L如图所示的RtAABC中，∕B=90°,点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速

度向点A移动；同时一，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问：几秒

后aPBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)

分析：设X秒后aPBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,根据三角形面积公

式就可以求出X的值.

解：设X后APBQ的面积为35平方厘米.

则有PB=X,BQ=2x

依题意，得：,x∙2x=35

2

x2=35

x=V35

所以庄秒后APBQ的面积为35平方厘米.

2222

PQ=y∣PB+BQ=7X+4X=√5√=√5×35=5√7

答：屈秒后APBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5√7厘米.

例2.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材(精确到0.1m)?

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的

长度.

解：由勾股定理，得

AB=y∣AD2+BD2=√42+22=√20=2√5

BC=√BZ)2+CZ)2=√22+l2=√5

所需钢材长度为

AB+BC+AC+BD

=2ʌ/ʒ+Vs+5+2

=3√5+7

Q3X2.24+7-13.7(m)

答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材.

三、巩固练习

教材P19练习3

五、归纳小结

本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题.

六、布置作业

1.教材内习题21.37.

21.3二次根式的加减(3)

第三课时

教学内容

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多

项式相乘、相除；乘法公式的应用.

教学目标

含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.

复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算.

重难点关键

重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.

教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题：

1.计算

(1)(2x+y)∙zx(2)(2x2y+3xy2)÷xy

2.计算

(1)(2x+3y)(2χ-3y)(2)(2x+l)2+(2χ-l)2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有(1)单项式X单项式;

(2)单项式X多项式；(3)多项式÷单项式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的运用.

二、探索新知

如果把上面的x、y、Z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立.

整式运算中的x、y、Z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也

可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式.

例L计算：

(1)(>∕6+∙∖∕s)×∙^3(2)(4vð-3∖f2)4^25/2

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算

规律.

解：(1)(∖∕6+∖∕s)X-yfs×ʌ/ɜ+ʌ/sXʌ/ɜ

—Jl8+J24=3∖∣2,+2yfβ

解：(4-^6-3yfo,)4-25/2-4\/64-2>∕2-3>/24-2>/2

=2GN

2

例2.计算

(1)(√5+6)(3-√5)(2)(√10+√7)(√Γθ-√7)

分析：刚才己经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.

解：(1)(√5+6)(3-√5)

=3y[5~(Vs)2+18-6ʌ/ʒ

-13-3Λ∕5

(2)(√10+√7)(√iθ-√7)ɪ(√W)2-(√7)2

=10-7=3

三、巩固练习

课本Pzo练习1、2.

五、归纳小结

本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算.

六、布置作业

1.教材心习题21.31、8、9.

第二十三章旋转

单元要点分析

教学内容

1.主要内容：

图形的旋转及其有关概念：包括旋转、旋转中心、旋转角.图形旋转的有关性质：对应

点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图

形全等.通过不同形式的旋转，设计图案.中心对称及其有关概念：中心对称、对称中心、

关于中心的对称点；关于中心对称的两个图形.中心对称的性质：对称点所连线段都经过对

称中心，而且被对称中心所平分；关于中心对称的两个图形是全等图形.中心对称图形：概

念及性质：包括中心对称图形、对称中心.关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称

时，它们的坐标符号都相反，即点P(χ,y)关于原点的对称点为P'(-X,-y).课题学习.图

案设计.

2.本单元在教材中的地位与作用：

学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初步积

累了一定的图形变换数学活动经验.本章在此基础上，让学生进行观察、分析、画图、简单

图案的欣赏与设计等操作性活动形成图形旋转概念.它又对今后继续学习数学,尤其是儿何,

包括圆等内容的学习起着桥梁铺垫之作用.

教学目标

1.知识与技能

了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质.

了解中心对称的概念并理解它的基本性质.

了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作题

的练习，掌握课题学习中图案设计的方法.

教学重点

1.图形旋转的基本性质.

2.中心对称的基本性质.

3.两个点关于原点对称时，它们坐标间的关系.

教学难点

1.图形旋转的基本性质的归纳与运用.

2.中心对称的基本性质的归纳与运用.

教学关键

1.利用几何直观，经历观察，产生概念；

2.利用几何操作，通过观察、探究，用不完全归纳法归纳出图形的旋转和中心对称的

基本性质.

单元课时划分

本单元教学时间约需10课时，具体分配如下：

23.1图形的旋转3课时

23.2中心对称4课时

23.3课题学习；图案设计1课时

教学活动、习题课、小结2课时

23.1图形的旋转(1)

第一课时

教学内容

1.什么叫旋转？旋转中心？旋转角？

2.什么叫旋转的对应点？

教学目标

了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些

实际问题.

通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，

应用概念解决一些实际问题.

重难点、关键

1.重点：旋转及对应点的有关概念及其应用.

2.难点与关键：从活生生的数学中抽出概念.

教具、学具准备

小黑板、三角尺

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下面各题.

L将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对•应点为点D,作出平移后的图形.

D

B

2.如图，已知AABC和直线L,请你画出aABC关于L的对称图形AA'B'C'.

AAI

B

3.圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？

（口述）老师点评并总结：

（1）平移的有关概念及性质.

（2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）的对称图形并口述它既有的一些性质.

（3）什么叫轴对称图形？

二、探索新知

我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，

下面我们就来研究.

1.请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？从现在到下课

时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？

（口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心.如果从

现在到下课时针转了度,分针转了度，秒针转了度.

2.再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动.如何转到新的位置？（老

师点评略）

3.第1、2两题有什么共同特点呢？

共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固

定点转动一定的角度.

像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中

心，转动的角叫做旋转角.

如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做这个旋转的对应点.

下面我们来运用这些概念来解决一些问题.

例1.如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB,它绕O点按顺K

时针方向旋转得到AOEF,在这个旋转过程中：A∖/7尸

（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？

（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？o

解：（1）旋转中心是0,/A0E、/BOF等都是旋转角.

（2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置.

例2.（学生活动）如图，四边形ABCI）、四边形EFGH都是边长为1的正方形.

（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？

（2）请画出旋转中心和旋转角.4Λn

（）指出，经过旋转，点、、、分别移到什么位置？

3ABCDFYXH

（老师点评）ʌʌ

（1）可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的.（2）.画

图略.（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.

最后强调，这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是

不唯一的.

三、巩固练习

教材P65练习1、2、3.

五、归纳小结（学生总结，老师点评）

本节课要掌握：

1.旋转及其旋转中心、旋转角的概念.

2.旋转的对应点及其它们的应用.

六、布置作业

1.教材P66复习巩固1、2、3.

2.《同步练习》

23.1图形的旋转（2）

第二课时

教学内容

1.对应点到旋转中心的距离相等.

2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.

3.旋转前后的图形全等及其它们的运用.

教学目标

理解对应点到旋转中心的距离相等;理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;

理解旋转前、后的图形全等.掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用.

先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念，接着用操作几何、实验探究图

形的旋转的基本性质.

重难点、关键

1.重点：图形的旋转的基本性质及其应用.

2.难点与关键：运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）老师口问，学生口答.

L什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？

2.什么叫旋转的对应点？

3.请独立完成下面的题目.BZ⅛E

如图，O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否看做是"\:不…7*

某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形？CD

（老师点评）分析：能.看做是一条边（如线段AB）绕O点，按照

同一方法连续旋转60°、120°、180°、240°、300°形成的.

二、探索新知

上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题：

1.A、B、C、D、E、F到0点的距离是否相等？

2.对应点与旋转中心所连线段的夹角NBOC、ZCOD,ZDOE,ZEOF,NFOA是否相等？

3.旋转前、后的图形这里指三角形AOAB'Δ0BCʌΔOCD,ΔODEʌΔOEFʌaOFA全等

老师点评：（1）距离相等，（2）夹角相等，（3）前后图形全等，那么这个是否有一般性？

下面请看这个实验.

请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点0作为旋

转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案（4ABC）,然

后围绕旋转中心0转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形（4A'B'C'）,移去

硬纸板.

（分组讨论）根据图回答下面问题（一组推荐一人上台说明）

1.线段OA与0A',OB与OB',OC与OC'有什么关系？A

2.ZAOA,,ZBOB,,ZCOCz有什么关系？/K

3.4ABC与aA'B'C,形状和大小有什么关系？/"

老师点评：1.OA=OA,,OB=OB,,OC=OC,,也就是对应点子

到旋转中心相等.0箕＜：….…,

2.ZAOA,=ZBOB,=ZCOC/,我们把这三个相等的角，：：：^/

即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角∙CB'

3.AABC和AA'B,C,形状相同和大小相等，即全等.

综合以上的实验操作和刚才作的（3）,得出

（1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

（3）旋转前、后的图形全等.

例L如图，AABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D,试确

定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形.？

Δ

分析:绕C点旋转,A点的对应点是D点,那么旋转角就是NACD,ʌ

根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即NBCB'=ACD,/\

又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB',就可确定B'的位L一1C

置，如图所示.

解：（1）连结CD

（2）以CB为一边作/BCE,使得∕BCE=∕ACDE

（3）在射线CE上截取CB'=CB≥0τ-------P

C

B

则B'即为所求的B的对应点.

(4)连结DB'

则ADB'C就是AABC绕C点旋转后的图形.

例2.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=：,ΔABF

是aADE的旋转图形.Λ

(1)旋转中心是哪一点？/II

fb

(2)旋转了多少度？C

(3)AF的长度是多少？

(4)如果连结EF,那么aAEF是怎样的三角形？

分析：由AABF是AADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF的长度，

根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到.AABF与AADE

是完全重合的，所以它是直角三角形.

解：(1)旋转中心是A点.

(2)；ZXABF是由AADE旋转而成的

.∙.B是D的对应点

.∙.ZDAB=90o就是旋转角

(3)VAD=1,DE=ɪ

4

对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点

√17

ΛAF=--

4

(4)VZEAF=90a(与旋转角相等)且AF=AE

ΛΔEAF是等腰直角三角形.

三、巩固练习

教材P64练习1、2.

五、归纳小结(学生总结，老师点评)

本节课应掌握：

1.对应点到旋转中心的距离相等；

2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

3.旋转前、后的图形全等及其它们的应用.

六、布置作业

1.教材P66复习巩固4综合运用5、6.

23.1图形的旋转(3)

第三课时

教学内容

选择不同的旋转中心或不同的旋转角，设计出不同的美丽的图案.

教学目标

理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果，掌握根据需要用旋转

的知识设计出美丽的图案.

复习图形旋转的基本性质，着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图，设计

出美丽的图案.

重难点、关键

1.重点：用旋转的有关知识画图.

2.难点与关键：根据需要设计美丽图案.

教具、学具准备

小黑板

教学过程

一、复习引入

1.(学生活动)老师口问，学生口答.

(1)各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？

(2)各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？

(3)两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？

2.请同学独立完成下面的作图题.

如图，AAOB绕O点旋转后，G点是B点的对应点，作出G

△A0B旋转后的三角形.B.

(老师点评)分析：要作出AAOB旋转后的三角形，应找∕x∖

出三方面：第一，旋转中心：0；第二，旋转角：ZB0G；第三，L--------ʌ.

A点旋转后的对应点：A,.1

二、探索新知

从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋

转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来.因此，下面就选择不同的旋转中

心、不同的旋转角来进行研究.

1.旋转中心不变，改变旋转角

画出以下图所示的四边形ABa)以0点为中心，旋转角分别为30°、60°的旋转图形.

2.旋转角不变，改变旋转中心

画出以下图，四边形ABCD分别为0、0为中心，旋转角都为30°的旋