2023年高考数学总复习第三章 导数及其应用第1节：导数的概念及运算 定积分(教师版)

2023年高考数学总复习第三章导数及其应用

第1节导数的概念及运算、定积分

考试要求1.了解导数概念的实际背景;2.通过函数图像直观理解导数的几何意义;

3.能根据导数的定义求函数y=c(c为常数)，y=x,y=~,y—x1,y=x3,y=@的

x

导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导

数.能求简单复合函数(仅限于形如夕=/(依+6)的形式)的导数；5.了解定积分的概

念及简单应用.

□知识诊断•基础夯实

知识梳理

1.函数y=/U)在x=xo处的导数

(1)定义：当XI趋于X0,即Ax趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那

么这个值就是函数_y=/(x)在xo点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数

y=/(x)在xo点的导数，通常用符号/(xo)表示，记作

2盘"附2个兴--NSgX

/(xo)=率%.，*=晶趣ft，)

(2)几何意义：函数y=/(x)在点xo处的导数的几何意义，就是曲线夕=/(x)在点P(xo,

«co))处的切线的斜率左，即k=£j向1，切线方程为：y—JXQ)=/7XO)(X—xo).

2.函数歹=/(x)的导函数

如果一个函数/(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数，导数值记为/(x)：/(x)

=星星土量匚9=,则广(X)是关于x的函数，称/Xx)为/(x)的导函数，通常

Ax

也简称为导数.

3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

yU)=c(c为常数)/W=o

网="(adQ*)f(x}=axa~x

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/(x)=sinx/(x)=cos_x

f(x)=cosxf(x)=-sinx

网=./(%)=$

f(x)=a\a>0,aWl)/(x)=avlna

危)=lnx/w==

X

危尸地d(a>0，a#l)f(x)

xlna

4.导数的运算法则

若/(X)，g'(x)存在，则有：

(l)[/(x)士g(x)]'=/'(x)土*'(x)；

(2)[/(x)，g(x)]'=/'(x)g(x)+/(x)g(x)；

⑶0]，」⑴q(：)二『g’⑴恁⑴刈).

但(X)r

5.复合函数的导数

复合函数y=/(g(x))的导数和函数y=J{u),i/=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'-ux'.

6.定积分的性质

(1)错误!研x)dx=/错误!四)苴(左为常数).

(2)错误![/i(x)切(x)]dx=错误必错误!£3苴.

(3)错误叭x)dx=错误位)苴+错误仪x)dx(其中aVcVb).

常用结论

1/(X0)代表函数/(X)在x=xo处的导数值；(/(xo)y是函数值/(X0)的导数，且(/(xo)y=

0.

-1-

f(X)

2./(x)，=—(/U)WO).

[/,J(x)产、'

3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只

有一个公共点.

4.函数y=/(x)的导数/(x)反映了函数_/(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的

方向，其大小望(力|反映了变化的快慢,ira)i越大，曲线在这点处的切线越“陡”.

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诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(l)/'(xo)是函数y=/(x)在x=xo附近的平均变化率.()

(2)函数/(x)=sin(—x)的导数/(x)=cosx.()

(3)求/(xo)时，可先求7(xo),再求/'(xo).()

(4)曲线_y=Ax)在某点处的切线与曲线y=/3)过某点的切线意义是相同的.()

(5)若错误!/(x)dx<0,那么由y=/(x),x=a,以及x轴所围成的图形一定在x

轴下方.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X

解析(1*(X0)表示歹=/(x)在x=xo处的瞬时变化率，⑴错.

(2)/(x)=sin(—x)=—sinx,则/(x)=—cosx,(2)错.

(3)求/(配)时，应先求/(x),再代入求值，(3)错.

(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切

线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的

思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止

一条,(4)错.

(5)若错误!/(x)dx<0,可能是由y=/(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形在x轴

下方的面积比在x轴上方的面积大.

2.某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是咐)=10—4.9产

+8/(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为()

A.9.1米/秒B.6.75米/秒

C.3.1米/秒D.2.75米/秒

答案C

解析〃'⑺=—9.8t+8,

/./?,(0.5)=-9.8X0.54-8=3.1.

3.(2020•全国III卷)设函数於)=一厘.若/(1)=1,则。=______.

x+a4

答案1

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解析由/d(:丁F可得八D=即；W，解

(x+a)2(1+a)24(1-va)24

得。=1.

4.(2021•全国甲卷)曲线y=43在点(一1,一3)处的切线方程为_______.

x+2

答案5x—y+2=0

px-n

解析y=lx+2j(2x—1)'(x+2)—(2x—1)(x+2)'

(x+2)2

_5

(x+2)2，

所以％=/卜一=/5=5所以切线方程为y+3=5(x+i),即5》一夕+2

(—1+2)

=0.

5.错误!/sinl+Jdxn.

答案2

解析由题意得错误!/sin[+Jdx

=错误!(sinx+cosx)dx=(sinx—cos-x)

[.兀7C|

Isin—cos-I

=122j—(sin0—cos0)=2.

6.(易错题)设函数/(X)的导数为了(X),且,危)=/£1足》+85%，贝=.

答案T

解析由危)=/0sinx+cosx,

,J-1

得/'(X)=/12Jcosx—sinx,

则/W=/MCOSsin

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解得/用=—1,

所以_/CJ=_cos--sin-=—A/2.

44

〔考点突破•题型剖析

考点一导数的运算

L下列求导运算不正确的是()

A.(sina)f=cosa(a为常数)

B.(sin2x)'=2cos2x

c・曲嗔

D.(ex-lnx+2x2)r=ev-~+4x

x

答案A

解析•・%为常数，・・・sin。为常数，・・・(sinO=0,故A错误.由导数公式及运算

法则知B、C、D正确.

c什〃、x3+2x-x2lnx-1〃/、

2.右/(x)=----------------------，贝U/(x)=.

答案1_1_三十三

71

解析由已知火x)=x-InxH-------

Xxz

・・・/a)=i_iy2+42

3.(2021•郑州检测)设段)=ln(3—2x)+cos2x,贝了(0)=.

答案_|

解析因为/(x)=一—--—2sin2x,

3—2x

7

所以/(0)=一，

4.已知函数/(X)的导函数为/(X),且满足关系式/(X)=/+3切(2)+InX,则/⑴=

答案一日

4

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解析因为y(x)=x2+3xf(2)+lnx,

：.f(x)=2x+3f(2)+-.

X

令尸2,#/(2)=4+3/(2)+1则”)=[.

.\/(1)=1+3X1X1d4J+0=-2-3.

感悟提升1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、

商，再利用运算法则求导.

2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

考点二导数的几何意义

角度1求切线的方程

例1(1)曲线y=3(x2+x)e「在点(0,0)处的切线方程为.

(2)已知函数/(x)=xlnx,若直线/过点(0,-1),并且与曲线夕=/(x)相切，则直线

I的方程为.

答案(l)3x—y=0(2)x—y—1=0

解析(l)y'=3(2x+1)e'+3(x2+x)e'=3ev(x24*3x+1),

所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率左=eOX3=3,所以所求切线方程为3x-y=

0.

(2)，.,点(0,一1)不在曲线人x)=xlnx上,

•••设切点为(X0,次).

又；/'(x)=l+lnx,

二直线/的方程为y+l=(l+lnxo)x.

,yo=xolnxo,fvo=l,

•••由，，/,解得，

yo+1=(1+lnxo)xo,yo=O.

••.直线/的方程为y=x-1,x—y—1=0.

角度2求曲线的切点坐标

例2(2019•江苏卷改编)在平面直角坐标系xQy中，点/在曲线y=lnx上，且该

曲线在点N处的切线经过点(一e,一l)(e为自然对数的底数)，则点/的坐标是

，此时切线方程为.

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答案(e,1)x—ey=O

解析设4(加，n),则曲线y=lnx在点4处的切线方程为y—〃=L(x—加).

m

又切线过点(一e,—1),

所以有/?+1=~(/w+e).

m

再由〃=ln/w,解得〃?=e,n=\.

故点Z的坐标为(e,1),

切线方程为x—ey=O.

角度3导数与函数图像问题

例3已知夕=/(x)是可导函数，如图，直线少="+2是曲线y=/(x)在x=3处的切

线，令g(x)=V(x),890是8打)的导函数，则g(3)=.

答案0

解析由题图可知曲线y=/(x)在x=3处切线的斜率等于一；，•••/(3)=一；.

''g(x)=xf(x),

二g'(x)=/(》)+岁(X)，

...g，(3)=/(3)+"(3),

又由题意可知43)=1,

.•.g<3)=l+3X卜f=0.

感悟提升1.求曲线在点尸(xo,次)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数

在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点尸处的导数不存在，则

切线垂直于x轴，切线方程为x=xo.

2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点坐标

不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解

题的关键.

训练1(1)(2022・沈阳模拟)曲线<x)=2e'sinx在点(0,犬0))处的切线方程为()

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Ay=OB.y=2x

C.y—~xD.j^—=2x

(2)(2021・长沙检测)如图所示，y=/(x)是可导函数，直线/：y=kx+3是曲线y=/(x)

在x=l处的切线，令。(x)=*

HL,"(X)是〃(X)的导函数，则，(1)的值是()

X

A.2B.1

C.-1D.-3

答案(1)B(2)D

解析(l)V/(x)=2&vsinx,

/./(0)=0,/(x)=2er(sinx+cosx),

.•.〃0)=2,...所求切线方程为夕=2x.

(2)由图像知，直线/经过点(1,2).

则％+3=2,k——\,从而/(1)=—1,且义1)=2,

由〃⑴=g,得如)=[(%)了(%),

XX2

所以勿(D=/(1)-/(D=—1—2=—3.

考点三导数几何意义的应用

例4(1)己知曲线/(x)=xlnx在点(e,/(e))处的切线与曲线y=x2+a相切，则实数a

的值为.

(2)(2022•河南名校联考)若函数./(x)=lnx+2x2一分的图像上存在与直线2x-y=0

平行的切线，则实数。的取值范围是.

答案(l)l-e(2)[2,+oo)

解析(1)因为/(x)=lnx+l,

所以曲线火x)=xlnx在x=e处的切线斜率为左=2,

又/(e)=e,

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则曲线./(x)=xlnx在点(e,7(e))处的切线方程为y=2x—e.

由于切线与曲线卜=/+。相切，

y=x2+a,

故可联立

y=2x-e,

得x2—2x+a+e=0,

所以由1=4—4(a+e)=0,解得a=l-e.

(2)..•直线2x-y=0的斜率为k=2,

又曲线人幻上存在与直线2x—y=0平行的切线，

•••/(x)=,+4x—。=2在(0,+8)内有解，则q=4x+1一2,x>0.

XX

又4X+-^2A4X1=4,当且仅当时取“=”.

x\Jx2

，心4一2=2.

...a的取值范围是［2,+8).

感悟提升1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关

系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切

线上；(3)切点在曲线上.

2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.

训练2(1)设曲线_y=H图氾在点1］处的切线与直线x—即+i=o平行，则实

sinx

数a=.

(2)直线夕="+1与曲线y=x3+ax+b相切于点4(1,3),则2a+b=.

答案(1)-1(2)1

解析(I)、•切线与直线x—即+1=0平行，斜率为L

—1—COSX

又尸

sin2x

・•・切线斜率—1,

...X—砂+1=0的斜率为一1,即1=-1,解得Q=-1.

a

(2)9=13+办+力的导数为y,=3x2+a,

可得在点(1,1)处切线的斜率为攵=3+m

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==

又4+1=3,1+。+6=3,解得〃=2,u—196=3,即有2ci~\~b—2+3=1.

[|考点四定积分__________________________

、门x£[0,1],,

1.lx./(%)=•则错误!/(x)dx等于()

2—x,(1,2],

44s

A.-B.-C.-D.不存在

456

答案c

解析错误!/(x)dx=错误!%2dx+错误!(2—x)dx

3IoIi

i(4-2-2+l]=|

36

2.错误!(sinx+\!4—x2)dx等于()

兀

AA.-B.兀+2cos2

2

C.2兀+2cos2D.2兀

答案D

解析错误!"4—x2dx表示圆N+y2=4在x轴及其上方的面积,

错误!\4-x2dx=^x兀X22=271.

又r=sinx为奇函数，知错误!sinxdx=O,

/.错误!(sinx+J4—x2)dx=2兀+0=2兀.

3.4片叶子由曲线产=网与曲线[y]=/围成，则每片叶子的面积为（）

A.-B.—C.-D.-

6633

答案C

解析作出炉=|x|及的大致图形，如图所示：

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根据图形的对称性，不妨考虑第一象限内图形，如图中阴影部分.

解得尸，或尸'

y=x2»=0卜=1,

故每片叶子的面积为

错误!（心一2匕=3^3X]I=1.

Io3

4.（2021•衡水调研）如图，阴影部分是由曲线y=2x2和圆x2+f=3及x轴围成的封

闭图形，则阴影部分的面积为_______.

解析曲线卜=2/与7+产=3在第一象限内的交点坐标为〔2'2J,设该点为人

圆x2+y2=3与x轴正半轴的交点为B.

连接04则直线OA的方程为

则直线OA与抛物线歹=2x2所围成的图形的面积

可知扇形NO8的圆心角为四，则扇形的面积S2=1X四X3=£.

3232

所以阴影部分的面积S=S2—s=^—

28

感悟提升1.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、

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下限，把面积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表

示的面积之间的关系).

2.根据图形的特征，选择合适的积分变量，利用定积分的性质和几何意义简化计

算.

微点突破/公切线问题

求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了

使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，

再分析另一条曲线与直线相切，其中直线与抛物线相切可用判别式法.

一'共切点的公切线问题

例1设点P为函数/(X)=$2+2ax与g(x)=3a21nx+2b(a>0)的图像的公共点，以

P为切点可作直线/与两曲线都相切，则实数b的最大值为()

33

2-3-

A-e4B.-e4

32

22

4-3-

C.-e3D.-e3

34

答案D

解析设P(xo,次)，由于P为公共点，

贝U-xi-\-2axo=3a2lnxo+26.

2

又点P处的切线相同，则/(%。)=9。。)，

=

即XQ-\-2a^-9即(xo+3a)a()—。)=0.

xo

又a>0,xo>O,则xo=a,于是26=*Q2—3。2］口%

2

设h(x)=|x2—3x2lnx,x>0,

则hr(x)=2x(1—31nx).

i

可知：当x£(0,3)时,〃⑺单调递增；

1

当x£(e3,+8)时，〃(x)单调递减.

12

3-

故/z(x)niaX=/z(e3)=-e3,

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于是b的最大值为=卤，选D.

二、切点不同的公切线问题

例2曲线y=一1(x<0)与曲线y=lnx的公切线的条数为.

X

答案1

解析设(如，巾)是公切线和曲线的切点，

X

则切线斜率左1=[

切线方程为J^+—=^Z(X—X1),

XlXT

整理得y=^x——.

XTXl

设(X2,歹2)是公切线和曲线y=lnx的切点，

则切线斜率k=(\nxy\=-,

2x=xX2

切线方程为y—\nx2=—(X—X2)»

X2

整理得y=—'X~\~\nX2—1.

X2

A1_12一1

令一;二一,----InX2-1,

XTX2X\

消去X2得一2=inX?-1.

X1

设/=—幻>0,即21nf—2—1=0,只需探究此方程解的个数.

t

易知函数兀v)=21nx一4一1在(0,十8)上单调递增，｛1)=—3<0,/(e)=l-->0,

xe

于是加)=0有唯一解，于是两曲线的公切线的条数为1.

I分层训练■巩固提升

LA级暹硼巩固

1,函数«r)=x2+lnx+sinx+l的导函数/(x)=()

A.2x+-+cosx+1B.2x-----Feosx

XX

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C.2x~\-----cosxD.2x+-+cosx

XX

答案D

解析由/(x)=x2+lnx+sinx+1得/(x)=2x+-+cosx.

x

2.曲线y=工在点(3,2)处的切线的斜率是()

x—1

A.2B.-2C.-D.--

22

答案

(x+1)'(%—1)—(x+1)(%—1)

解析

(X—1)2,

故曲线在点(3,2)处的切线的斜率

21

k=y'\=3

x(3-1)22,

3.(2021•安徽皖江名校联考)已知危)=/+2V%)),则/(1)=()

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析r(x)=3x2+2/(0),

.../(0)="(0),解得/(0)=0,

.,./W=3x2,A/(l)=3.

4.曲线.段)=炉一2%2+2匕-2),过点P(2,0)的切线方程为()

A.x+y—2=0B.x+y+2=0

C.x—y-2=0D.x—y+2=0

答案A

解析因为｛2)=23—2X22+2=2/0,

所以点(2,0)不在曲线/(x)=x3—2/+2上.

设切点坐标为(X0,次)，且340楼，

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yo=x8-2x8+2,

则0=/(xo),

2-xo

yo=xi-2xi+2,

所以二1L=3X8—4x。，

2—xo

消去yo,整理得(xo—1)(x8—3xo+1)=0,

解得xo=1或xo=31S(舍去)或xo=32"^(舍去)，

所以yo=l,/(xo)=­1,

所以所求的切线方程为y—1=—(x—1),即x+y—2=0.

5.(2022•昆明诊断)若直线y=ox与曲线y=lnx—l相切，贝I。=()

A.eB.lC.-D.-rr

ee2

答案D

解析由y=lnx—1,得y'=l,设切点为(xo,lnx0—1),

X

axo=\nxo-1,

则:—1解得a=；.

Q一—，e2

xo

6.已知函数/(x)在R上可导，其部分图像如图所示，£⑷工⑵=呢则下

列不等式正确的是()

A.a<f(2)V(4)

B〃2)<a<*4)

C/(4)</(2)<a

D/(2)<A4)<a

答案B

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解析由函数的图像可知，在［0,+8)上，函数值的增长越来越快，故该函

数图像在［0,+8)上的切线斜率也越来越大.

E⑷-/(2)

因刘------:------=a,

4-2

所以/(2)<a寸(4).

7.若错误!「xjdx=3+ln2(a>l),则a的值是.

答案2

11।a

解析..'错误!Ixjdx=(x2+\nx)J=a2+lna-1.

a2+lna—1=3+ln2(a>l),：.a=2.

8.已知曲线")=$3_炉_以+1存在两条斜率为3的切线，则实数。的取值范围

是.

答案(-4,+°°)

解析f(x)=x2--2x—a,

依题意知x2—2x—a=3有两个实数解，

即4=》2—2%—3=(》-1)2—4有两个实数解，

：.y=a与y=(x—l)2—4的图像有两个交点，

：.a>~4.

9.(2029济南检测)曲线尸兀0在点P(—1,/(—1))处的切线/如图所示，则八一1)

+/-1)=.

答案一2

解析•.•直线/过点(一2,0)和(0,-2),

直线/的斜率/(—1)=、——=-1,直线/的方程为y=—x—2.

-2—0

则—D=1~2=—l.

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故/(—l)+y(_l)=TT=_2.

10.已知函数/(x)=x3—4x2+5x—4.

(1)求曲线/(x)在点(2,/(2))处的切线方程；

(2)求经过点/(2,—2)的曲线外)的切线方程.

解(1)因为/(x)=3N—8x+5,

所以/(2)=1,

又/(2)=-2,所以曲线/(x)在点(2,/(2))处的切线方程为y—(-2)=x-2,即x-y

-4=0.

(2)设切点坐标为(xo,xj—4x8+5xo—4),

因为/(xo)=3xo—8xo+5,

所以切线方程为(-2)=(3xo—8xo+5)(x—2),

又切线过点(xo,xj—4x9+5xo—4),

所以x8—4x8+5xo—2=(3x§—8xo+5)-(xo—2),

整理得(xo-2)2(x()-1)=0,

解得xo=2或xo=1,

所以经过点A(2,—2)的曲线小)的切线方程为x-y—4=0或y+2=0.

11.已知函数Xx)=x3+x—16.

(1)求曲线歹=/(%)在点(2,—6)处的切线方程；

(2)直线/为曲线y=/(x)的切线，且经过原点，求直线/的方程及切点坐标.

解(1)根据题意，得/(x)=3x2+l.

所以曲线歹=/(x)在点(2,—6)处的切线的斜率

左寸(2)=13,

所以所求的切线方程为13x—y—32=0.

(2)设切点为(xo,次)，则直线/的斜率为/(回)=3蝴+1,

所以直线/的方程为y=(3x6+l)(x—xo)+x^+xo—16.

又直线/过点(0,0),则(3x8+1)(