2022-2023学年辽宁省大连市高三（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年辽宁省大连市高三(上)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.己知集合A={L2,3,4,5},B=[x∖^EZ),则ACB=()

A.{5}B.{3,5}C.[1,3,5}D.{2,4}

2.已知i是虚数单位，若复数Z=岛，则Z的共貌复数W=()

A-5十+~5i‘B°∙-5--5i1Cj--5+十-5i’D--5--5ii

已知命题；Q那么命题的否定是()

3.p3x0&RIX—x0+1<0>P

A.3x0∈/?,XQ—x0+1<0B.3x0∈/?,XQ-x0+1≥0

C.∀x∈∕?,x2—%+1≥0D.∀x∈∕?,X2—%+1<0

4.开普勒(∕o∕ιGmeSKeP加r,1571〜1630),德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的

轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的

三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之比约为2：3,地

球运行轨道的半长轴为a,则金星运行轨道的半长轴约为()

A.0.66αB,0.70aC.0.76αD,0.96a

5.若二项式(ax+aT(a>O)的展开式中所有项的系数和为64,则展开式中的常数项为()

A.10B.15C.25D.30

6.若aeG，]),且cos?。+cos(g+2a)=—；,则tcma=()

A.√3B.2C.3D.2√3

7.已知a=32(4-f32),b=±c=如日，则()

e"e4

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

8.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且/(x)+g(2-X)=5,g(x)-f(,x-4)=7.若y=

g(x)的图像关于直线％=2对称，g(2)=4,则2匿"(k)=()

A.-21B.-22C.-23D.-24

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.将函数∕Q)=cos(2x-n)图象上所有的点向左平移着个单位长度，得到函数g(约的图象,

则()

A.g(x)的最小正周期为Tr

B.g(x)图象的一个对称中心为借,0)

C.g(x)的单调递减区间为E+k兀年+kττ](k∈Z)

D.g(x)的图象与函数y=—sin(2x-^)的图象重合

10.下列结论正确的有()

A.若随机变量f〜N(I,d),P(ξ≤4)=0.77,则P(fW—2)=0.23

B.若随机变量X〜B(Io3),则D(3X-1)=19

C.已知回归直线方程为y=bχ+]08，且X=4,y=50.贝∣U=98

D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11.若这组数据

的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22

11.正方体ABCD-48传1。[的棱长为1,E,F,G分别为BC,

CC1,BG的中点，则()

A.直线DlD与直线4尸垂直

B.直线4G与平面AEF平行

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为:

D.点①与点。到平面4EF的距离相等

12.己知点尸是抛物线y?=4x的焦点，AB,CD是经过点F的弦旦ABJ.CD,直线4B的斜率

为Ik,且k>0,C,4两点在X轴上方，贝∣J()

A.0C∙OD=-3

B.四边形4BCD面积最小值为64

jC—MBl+—∖CD∖=-4

D.若∙∣B用=16,则直线Cn的斜率为一百

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.设向量益=(m,2)]=(2,l),且I商+E∣2=∣五『+IE』，则m=.

14.若直线y=ax—3为函数f(X)=伍x—§图像的一条切线，贝Ua的值是.

15.己知七(—c,0),F2(c,O)为椭圆C：务Al的两个焦点，P为椭圆C上一点(P不在y轴

上)，△P&F2的重心为G，内心为M，且GM〃居尸2，则椭圆C的离心率为.

16.已知菱形ZBCD边长为6,∆ADC=y,E为对角线4C上一点，AE=√1将aABD沿BD翻

折到△4BD的位置，E移动到E'且二面角4—BD—A的大小为小则三棱锥A-BCD的外接球

的半径为；过E作平面α与该外接球相交，所得截面面积的最小值为

A

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知公差为正数的等差数列｛a71｝的前n项和为%,α1=1,.请从以下二个条件中任选一

个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①S2、S4、Sg成等比数列，(2)α5α10-^=2.

(1)求数列｛α,J的通项公式；

(2)若勾=二一，求数列｛%｝的前Ti项和

α∏αn+l

18.(本小题12.0分)

记△?!BC内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且(b+C)(SinB-sinC)=(S讥4—sinC)a.

(1)求B的值；

(2)若△?!BC的面积为√5,b=2,求AABC周长.

19.(本小题12.0分)

如图多面体4BCDE尸，正方形ABCD的边长为4,AF_L平面4BCQ,A尸=2,AF//DE,DE<AF.

(1)求证：CE〃平面ABF；

(2)若二面角B-CF-E的大小为a,且ICoSal=誓，求DE长.

20.(本小题12.0分)

某地区为居民集体筛查新型传染病毒，需要核酸检测，现有k(k∈N*,k≥2)份样本，有以下

两种检验方案，方案一，逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份样本分别取

样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，贝味份样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了

确定k份样本的阳性样本，则对k份本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用

都是16元，且k份样本混合检验一次需要额外收20元的材料费和服务费.假设在接受检验的

样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份样本是阴性的概率为P(O<p<1).

(1)若k(keN*,k≥2)份样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X,求X分布列及数学

期望；

(2)①若k=5,p>遮而，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；

②若P=表，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值.

参考数据："2=0.7,伍3=1.1,Inl=1.9,ZnlO=2.3,Znll=2.4

21.(本小题12.0分)

已知双曲线Q：真一y2=ι的离心率为多经过坐标原点。的直线呜双曲线Q交于a,B两点，

点4(X1，yj位于第一象限，Co⅛'2)是双曲线Q右支上一点，ABlAC,设D(X1,一学)

(1)求双曲线Q的标准方程；

(2)求证：C,D,B三点共线；

(3)若△4BC面积为竽求直线/的方程.

22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=∣ln2x+Inx+kx-k,g(x)-∣e2x—jx—/(x),

(1)若k≤--1时，求证：函数/(x))只有一个零点；

(2)对VXI≠%2时，总有四巨警力>2恒成立，求k的取值范围.

xlx2

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：因为集合A={1,2,3,4,5},B={x∣≡≡i∈Z},

可得X=1时，M=OWZnleB,

%=2时，-y-=-gZ=>2gβ,

X=3时，=1∈Z=3∈B,

X=4时，?=加Z=4WB,

久=5时，9=2ez=5eB,

综上，集合A,B的公共元素为1,3,5,

所以AnB={1,3,5}.

故选：C.

逐一验证集合4={123,4,5}中的元素是否也属于集合B={x∣?€Z}即可.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共拆复数的概念，是基础题.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共扼复数的概念得答案.

【解答】

AR石w∙55(4-3i)43.

解：复/Z―4+3i=(4+3i)(4—3i)=W一

∙∙∙Z的共扼复数Z=^+∣i,

故选：A.

3.【答案】C

【解析】解：命题P：^。^^^—^+］〈。的否定是以^^X2-X+1≥O.

故选：C.

存在改任意，将结论取反，即可求解.

本题主要考查特称命题的否定，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：设金星运行轨道的半长轴为由,金星和地球的公转周期分别为ti，12，

由开普勒定律得学=1，

因为C=小

所以a；=Ia%即即=2i∣Iα,

因为函数y=/在（_8,+8）上单调递增，且号>12>寨，且苧=2.53,篇=2.13,

OIUUUoIUUU

3

所以2.53>12>2.1,因此0.7Oa<α1=<ɪa<0.9a∙

故选：C.

设金星运行轨道的半长轴为由,金星和地球的公转周期分别为“，殳，根据题意可得的=平

进而结合2.53>12>2.13,即可得出结果.

本题主要考查椭圆的性质，考查转化能力，属于中档题.

5.【答案】B

【解析】解：令X=1,则所有的项的系数和为（a+I/=64,由于a>0,所以a=l,

Q+专户展开式的通项为Λ∙+1=Cζx6-rx-2r=Cζx6-3r,

故当6-3r=0时，BPr=2,此时展开式中的常数项为盘=15,

故选：B.

根据赋值法可得系数和，进而求解a=1,由二项式展开式的通项公式即可求解常数项.

本题主要考查了二项展开式的通项的应用，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：⅛cos2α+cos(-+2a)=—∣Wcos2a—2cosasina=—；=c°>2cos伊―α=-1,

222cos2α+sinza2

2

进而得：2£Q;Q=一:,化简得：tana—4tana+3=0,所以tcmα=3或tcma=1,

l+tan"a2

由于aG(H),所以tcma>l,故tcmα=3,

故选：C.

根据二倍角公式以及诱导公式化简得cos?。-2cosasina=-ɪ,进而根据齐次式以及弦切互化即

可求解.

本题主要考查了三角函数的恒等变换，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：构造函数/(X)=等，其中x>0,则/'(X)=等，

当OVXVe时，fr(x)>0；当％>e时，∕,(x)<0.

所以，函数/(%)的增区间为(0,e),减区间为(e,+8).

因为α=32(4-ln32)==b=l=/(e),C=竽=竽=竽=竿=竽=

/⑵，

因为Q萼=⅛=(⅛2<1,则e4-E32<2<e,则f(e4-讥32)<f(2)</(e),

2648

故Q<CVb.

故选：A.

构造函数/(X)=其中X>0,利用导数分析函数f(x)的单调性，可得出α=/(e4-in32)^=/(e)、

c=/(2),比较e-m32∖2、e的大小关系，结合函数/(x)在(0,e］上的单调性可得出a、b、C的大

小关系.

本题主要考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.

8.【答案】D

【解析】解：7=。(为的图像关于直线％=2对称，则g(2-x)=g(2+x),

V/(χ)+ιg(2-x)=5,.∙./(-X)+5(2+X)=5,/(-X)=/(x).故∕^(x)为偶函数，

•••9(2)=4,/(0)+g(2)=5,得/(0)=1.由g(x)-f(x-4)=7,得g(2—X)=f(-x-2)+7,

代入/(x)+g(2-x)=5,得f(x)+∕(-x-2)=-2,故/(x)关于点(一1,一1)中心对称，

.∙√(1)=/(-1)=-1,由/(x)+f(-x-2)=-2,Λ-x)=∕(x),得f(x)+f(x+2)=-2,

ʌf[x+2)+∕(x+4)=-2,故/(X+4)=f(x),/Q)周期为4,

由/(0)+f(2)=-2,得/⑵=一3,又八3)=f(T)=f(I)=-1,

所以Σ跄"(A)=6/(1)+6/(2)+5/(3)+5/(4)=11×(-1)+5×l+6×(-3)=-24,

故选：D.

由y=g(χ)的对称性可得f(%)为偶函数，进而得到/(χ)关于点(-1,一1)中心对称，所以f(D=

/(-i)=-ι,再结合/(χ)的周期为4,即可求出结果.

本题主要考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题.

9.【答案】ABC

【解析】解：由题意知:gM=/(X+1)=cos(2x+2-7T)=-cos(2x+1)；

对于4g(x)的最小正周期7=竽=n，A正确；

对于B,当X=鄂寸，2刀+/=今+/=与，此时g(x)=-cos:=0,.,.段,0)是g(x)的一个对称

中心，B正确；

对于C,令一兀+2ZOT≤2x+g≤2kτr(kCZ),解得：-亭+kn£xW+kn(k6Z),

3SO

即称+∕cττ≤%≤•+∕c7r(keZ),二g(x)的单调递减区间为W+kτr,朗+kτr](k€Z),C正确；

对于D,g(x)=cos(2x+与一兀)=cos(2x-ɪ)=cos(-^+2x—^)=sin(2x—1),.∙.g(x)与y=

-sin(2x-?)图象不重合，。错误.

故选：ABC.

根据三角函数平移变换和诱导公式可得g(x)=-cos(2%+今；根据余弦型函数最小正周期可知A

错误；利用代入检验法可知B错误；根据余弦型函数单调区间的求法可知C正确；利用诱导公式

化简g(x)解析式可得g(x)=sin(2x-≡),知。错误.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平

移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】

【分析】

利用正态分布求解概率，判断4二项分布的期望与方差判断B；回归直线方程求解“判断C；

通过求解中位数判断D；

本题考查命题的真假的判断，考查转化思想以及计算能力，是基础题.

【解答】

解：对于4P(f≤-2)=P(f≥4)=1-0.77=0.23,故A正确；

对于B,C(X)=IoXJXl=号，所以D(3X-1)=,X32=20,故B不正确；

ɔɔV7

对于C,回归直线方程经过点G/),将1=4,9=50代入求得b=98故C正确；

对于0,设丢失的数据为X,则这组数据的平均数为咿，众数为3,

当X≤3时，中位数为3,此时巴卢+3=6,解得X=-10；当3<x<5时，中位数为X,

此时与i+3=2x,解得X=4；

当X≥5时，中位数为5,此时手+3=10,解得X=18.

所以所有可能X的值和为-10+4+18=12,故。不正确.

故选：AC.

11.【答案】BCD

【解析】解：在棱长为1的正方体&BIGZ)I中，建立以D为原点，以D4、DC、劣。所在

的直线为X轴、y轴、Z轴的空间直角坐标系D-Xyz,如图所示：

因为E、F、G分别为BC、CG、BBl的中点，

则D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),F(0,lg),

对于4,西=(0,0,1),ΛF=(-1,1,∣),.∙.^DDl-AF=^≠0,故A错误;

对于B：连接4A，D1F,-ADJ/EF,.∙.A,D1,E,F四点共面,

由于4C/∕GF,A1D1=GF,所以四边形IFG为平行四边形，

故AIG〃。/，又4IGC平面4EF,DIFU平面4EF,二&G〃平面4EF,故B正确，

对于C,连接45，FD1,∙∙∙4D/∕EF,.∙.四边形4D∕E为平面4EF截正方体所得的截面，AD1=

2222

√1+I=√2.EF=竽,D1F=AE=Jφ+I=宗

.•・四边形ADiFE为等腰梯形，高为Jg）2_（m2=苧,

则四边形ADlFE的面积为4X（¢+噂）X孥=£,故C正确；

LL48

对于D,连接AlC交ADi于点0,故。是&。的中点，且。是线段与平面ADiFE的交点，

因此点儿和点。到平面AEF的距离相等，故。正确.

故选：BCD.

根据棱柱的结构特征，建立以D为原点，以。4、DC、所在的直线为X轴、y轴、Z轴的空间直

角坐标系D-Xyz,利用向量法即可判断4根据线线平行即可判断B,根据梯形面积即可判断C,

根据中点关系即可判断D.

本题主要考查直线与直线的位置关系，线面平行的判定，立体几何中的界面问题，点面距离的计

算等知识，属于中等题.

12.【答案】ACD

【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(L0)，由题意可得直线4B,CD的斜率存在且不为0,

设直线Cn的方程为：X=my+l(m<0),设C(Xi,yj,D^x2,y2)>

联立整理可得：y2-4my-4=0,

2

显然4>0,y1+y2=4m,y1y2=-4,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m+2,χ1χ2=(，管)=ɪ,

所以少？∙OD=x1x2+y1y2=1+(—4)=—3,所以A正确；

由于ICDl=Xl+刀2+P=4r∏2+4,kAB~

所以将ICnl中的ni换成一A代入IeDl中得IaBl=4煮+4,S四边形ACBD=T∣4B∣∙ICOl=TX4(1+

机2).丝普=8(5+m2+2)≥8(2J+∙m2+2)=32,当且仅当Tn=-1时等号成立，所以四

边形的最小面积为32,所以B不正确;

设A（X3而，BQ“4），

^∖AF∖∙∖BF∖=16,即(%3÷1)(%4÷1)=X3χ4+%3+%4+1=16,

整理可得%3%4+(%3+%4)+1=16,

即1+(4工ς+2)+1=16,解得-⅛=3,即m=+4，而直线CD的斜率化=工＜0,

'm£'TΠΔ~3m

所以直线CD的斜率为-旧，所以。正确；

可得弦长IeDl=4(1+r∏2),MB∣=4(1++)，

所以Γ⅛T+TFTiT="二^~J7÷7777~2∖=X所以C正确；

∖AB∖∖CD∖4(l+mz)4(l+τnz)4

故选：ACD.

由抛物线的方程可得焦点F的坐标，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两

根之积，由抛物线的性质可得弦长I,同理可得ICDl的值，由均值不等式可得四边形的面积的

最小值，经过判断可得命题的真假.

本题考查抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于

中档题.

13.【答案】-1

【解析】解：由R=(rn,2),)=(2,1)得五+E=(m+2,3)，

根据Ia+b∖2=∣α∣2+∖b『得(m+2)2+9=m2+22+5,解得m=-1,

故答案为：一1

根据向量模长的坐标公式即可代入求解.

本题主要考查了平面向量的模长公式，属于基础题.

14.【答案】2

【解析】

【解答】解：设/(x)=-二1的切点为(%0，、0)，其中yo="Xo-1；-，

X"0

由f'(χ)=1+1得切线的斜率为k=f(⅞)=⅛+⅛.

所以切线方程为：y-inχ0+ɪ=(ɪ+-⅞).即y=¢+3)χ+伉勺一/_1，

工+工=a

XoXq,

ITIXU--------1=-3

(比

记g(x)=lnx-∣+2,则g，Q)=§+1>0,

所以g(x)在定义域内单调递增，而g(l)=O,

所以方程伉X-：+2=0的根为x=l,因此&=1,进而得α=高+需=2,

故答案为：2.

112

【分析】根据切点求解函数/(x)的切线方程，列方程组得高+第=a/n&-而-1=-3,进而可

求解x()，即可得ɑ.

本题主要考查了导数的几何意义在切线方程求解中的应用，导数与单调性关系的应用，属于中档

题.

15.【答案】ɪ

【解析】解：设P(XO,y°)(Xo≠0)，由于。是^PFIF2

的重心，由重心坐标公式可得G(学第，----二≥?∖

由于GM〃&F2,所以M的纵坐标为yjw=争/车次\

-7

由于M是AP&E的内心，所以△P&F2内切圆的半Γ一下宁二一O~^^f2—j―X

径为r=I阳，/

由椭圆定义得|Pa|+∣PF2∣=2α,尸2&|=2c,-------------

1

,

SAPF∙2F∖=∙^∆MF2F1+SbMFV+SAMPF∖=]l^l^2∣

∣yol=∣(∣F1F2∣+∣PF2∣+IFIPI)粤，2c∣y°∣=(2α+2c)粤=α=2c=e=：,

故答案为：ɪ

根据重心坐标公式以及内切圆的半径，结合等面积法，得到α,C的关系，即可求解离心率.

本题考查椭圆的定义及其性质，考查运算求解能力，属于基础题.

16.【答案】√219π

【解析】解：设ACnBD=O,翻折前，在菱形ABCf)中，则AClBD,即401BD,COLBD,

翻折后，则有40∙LBD,

所以二面角A-BD-4的平面角为乙4。4'=?

在菱形4BC。中,∆ADC=⅞,贝∣JNB4)=:

ɔJ

又因为AB=AD=6,所以，AABD是边长为6的等边三角形,

同理可知，ABCD是边长为6的等边三角形,

因为AOJ.BD,CO1BD,A'0QC0=0,A'0.CoU平面AC。，.∙.BD工平面4'C。,

以点。为坐标原点，0C、OB所在直线分别为x、y轴，平面404'内过点。且垂直于AC的直线为Z轴

建立如图所示的空间直角坐标系,

则点B(0,3,0)、C(3√3,0,0)>D(O,-3,0)、%(一言,04)、E,(-√3,0,3).

设三棱锥A-BCD的外接球球心为M(X,y,z),

fx2+(y-3)2÷z2=X2÷(y+3)2÷z2~

(∖MB∖=∖MD∖X=ʌ/r3

由｛∣MB∣=∖MC∖,可得(/+(丫_3)2+22=(>_36)2+'2+22,解得y10,

(JMBl=∖MA'∖X2+(y-3)2+z2=(x+苧¥+y2+(z-∣)2(Z=3

所以三棱锥4一8。。的球心为时(四,0,3),球M的半径为IMBl=√IT.∣ME'∣=

j(2√3)2+O2+(3-3)2=2√3)

设球心M到截面α的距离为d,平面α截球M的截面圆的半径为r,

2222

则d≤∖ME'∖=2√3.ʌr=yj∖MB∖-d≥yJ∖MB∖-∖ME'∖=3，

过E'作平面α与该外接球相交，所得截面面积的最小值为兀×32=9τr.

故答案为：ʌ/ɪl:9ττ.

设ACnBD=。，证明出8。J_平面AC0,分析可知乙404'=*以点。为坐标原点，OC、OB所在

直线分别为x、y轴，平面404'内过点。且垂直于AC的直线为Z轴建立空间直角坐标系，设三棱锥

4'一BCD的外接球球心为M(X,y,z),根据题意可得出关于x、y、Z的方程组，可求得球心M的坐

标，即可求出球”的半径长，求出IME1,可求得截面圆半径的最小值，再利用圆的面积公式可求

得截面圆面积的最小值.

本题主要考查空间多面体的外接球半径的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)由题意设等差数列｛αn｝的公差为d(d>O),

选择条件①S4=4α1+=4α1+6d,S2=2α1÷d,S8=8α1+28d,

・：S2、S4、S8成等比数列，

・•・Sl=S2S8,即(4%÷6d)2=(2α1+d)(8α1+28d),

又％—1,则¢/2—2d=0,

•・,d>0,:∙d=2,

ʌQn=I.+2(n-1)=2n—1；

2

选择条件②Va5a10—谄=2,(Ql+4d)(α1+9d)—(a1+6d)=2,

又0⅛=1,解得d=2,

ʌCLn=1+2(τι-1)=2n—1；

=-,

(2)由(I)得αjl=2n-l,贝Ijbjl=区H•=(2n-l)(2n+l)2^∙2n-l2n+P

则%=瓦+尻+∙∙∙+⅛n=∣×(i-∣)+∣×(∣-∣)+∙∙∙+∣×(2⅛-⅛=∣×(i-∣+∣-∣+

11、1/1、n

…+罚一罚)="1一罚)=罚.

【解析】(1)设等差数列｛ajl｝的公差为d(d>O),根据等差数列的求和公式和等比中项的性质结合

条件①②分别列出关于首项的与公差d的方程，求出d,即可得出答案；

(2)由(1)得αjl=2n-l,求出数列｛%｝的通项公式，再运用裂项相消法，即可得出答案.

本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式、裂项相消法求和，考查转化思想和方程思想，考查

逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

18.【答案】(1)解:由S+c)(SinB-SinC)=(Sinλ—sinC)α,

根据正弦定理可得(b+c)(h-c)=(α-c)α,

所以M+C2—b2=αc,

由余弦定理可得CoSB=a2+c2~b2=L

Zac2

•・•B∈(0z7T),因此，B=

(2)因为SMBC=WQCSinB==遮，

Z4

・•・ac=4,

由余弦定理可得尼=α2÷c2—2accosB=a2+C2—ac=(ac)2—3ac=(α+c)2-12=4,

.∙.α+c=4,

因此△ABe的周长为α+b+c=6.

【解析】(1)利用正弦定理结合余弦定理可求得c。SB的值，结合角B的取值范围可求得角B的值；

(2)利用三角形的面积公式可求得ac的值，再利用余弦定理可求得a+c的值，即可求得△48C的周

长.

本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题.

19.【答案】解:(I)证明：∙.∙4√∕DE,AB//CD,DEC平面

ABF,CDC平面4BF,AFU平面4BF,ABU平面4BF,

.∙.DE〃平面4BF,CD〃平面ABF,又CDCDE=D,CD,

DEU平面CDE,

.∙.平面CDE〃平面4BF,又CEU平面CDE,

.∙.CE〃平面4BF；

(2)以彳瓦前,而正方向为X,y,Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

设力E=t(0<t<2),则B(4,0,0),C(4,4,0),F(0,0,2),E(0,4,t),

.∙.BC=(0,4,0),CF=(-4,-4,2).CE=(-4,0,t),

设平面BC尸的法向量丘=(X,y,z),

则g匣=4y=。，取元=(W),

{n∙CF=-4x—4y+2z=0

设平面CEF的法向量沆=(afb,c),

则PH∙CF=-4a—4b+2c=0取沆=C2-t,4),

ɪm∙CE=-4a+tc=0

.∙,∣cosa∣=∣cos<m,n>I=⅛∣=∣t+8∣3√Iθ

√5×Jt2+(2-t)2+16一10，

解得：t=l或t=竽(舍),

.∙.DE=1.

【解析】(1)利用线面平行和面面平行的判定可证得平面CDE〃平面4BF,由面面平行的性质可证

得结论；

(2)以4为坐标原点建立空间直角坐标系，设。E=t(0<t<2),利用二面角的向量求法可构造方

程求得t的值，即为DE的长.

本题考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质定理，向量法求解二面角

问题，方程思想，属中档题.

20.【答案】解：(1)由题意得随机变量X的可能值为1和k+1,则P(X=I)=PSP(χ=k+1)=

1—pk,

故随机变量X的分布列为

X1k+1

Ppk1—pk

故E(X)=1×pk+(fc+1)×[1-pfc]=fc+1-kplc;

⑵①由⑴得E(X)=k+l-∕φk,设方案二总费用为匕方案一总费用为Z,则Y=16X+20,

方案二总费用的数学期望为E(Y)=16E(X)+20=16[∕c+1-∕cpk]+20,

又k=5,则E(Y)=16[6-5ps]+20=-80p5+116,

又方案一的总费用为Z=5×16=80,

.∙.Z-E(Y)=80-(-80p5+116)=80p5-36,

当时.0.45<p5<ι,0<80p5-36,

Z>E(Y),该单位选择方案二合理；

②由①方案二总费用的数学期望E(Y)=16F(X)+20=16(fc+1-∕cpfe)+20,

当P=表时，E(Y)=16[∕c+1-∕c(⅛)k]+20=16(∕c+^-∕ce-η,

又方案一的总费用为Z=16鼠

令E(Y)<Z,贝∣J16(∕c+g-卷子)<16k，

kQnilk9

.∙.ke~7>γBPln(fce-7)>lnj.

.k9ʌ

.∙.Ink1---I1n->0,

74

设/(x)=lnx-^-∖n^,x∈[2,+∞),则((X)=J-∣=分,

由尸(X)>0得2≤x<7,由尸(X)<0得X>7,

・・・/•(%)在[2,7)上单调递增，在(7,+8)上单调递减，

.∙.f{x}max=f(7)=ln7-l-2(∕n3-Zn2)=0.1>0,/(8)=3ln2-∣-2(∕∏3-∕n2)=5ln2-

2ln3一>1.3—竺0,/(9)=2伍3一尹2(伍3-∕∏2)=2ln2-ɪ=1.4-∣>0,/(10)=

ZnlO-y-2(Zn3-Zn2)=1.5-y>0,/(Il)=Znll-y-2(Zn3-Zn2)=1.6-y>0,

/(12)=∕nl2-y-2(∕∏3-Zn2)=4∕∏2-∕∏3-y=1.7-y<O,

故k的最大值为IL

【解析】(I)X的可能值为1和k+1，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可得出答案；

(2)①利用期望公式，可得方案二的期望，利用作差法比较大小，即可得出答案：

②结合期望公式，构造函数/(x)="x-尹呜/€[2,+8),利用导数研究函数的单调性，即

可得出答案.

本题考查离散型随机变量的期望和方差、分布列，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力

和运算能力，属于中档题.

OA=(χ1,y1).AC=(.X2-χ1,y2-yi)>

由a1得XI(X2-ɪɪ)+yι(y2-yι)=。①，

由于A(XI，%)，C(*2,'2)在双曲线上，所以、一秃=1,苧一羽=1，

相减得年=M-谚=4詈=丝E2②，

zι

4九y1+y2XlT2

由①②得券卷=一*③，BC=(X2+Xι,y2+yι∖BD=(2xυ-∣y1),

,ɪrrr∕2÷Xl丫2+丫1-X2+X14.2d+丫1)

由于%>°，y1>0,所以在-一y1>

将③代入得型a-空1="ι+'2)(-W+2仇+%)=0,

2%1-Iy12x1Ty1

所以阮〃丽，因此C,D,B三点共线,

(3)设直线，的方程为y=kx{k>0),

，y=kχ

联立直线，与双曲线的方程为:j]……4,

1

故1-41>0=0<∕c<2,

所以洸二百落

直线4C的方程为y-yι=-1(%-x1),

K

联立匕%%(=>(1-⅛2+∣(j-+yι)ɪ-4(γ+yι)2-4=0,

Ly2=1

所以X1+x2=一驾处2>0，

由于4D〃y轴，y1>0,所以∣4Dl=

V8(z+fcy)

所以SMBCx11。1+01)QIyI+k免)

="XIyl(Xl+z)=IylX2=IOy×=10×

4-fc14-k2

3

4310(k+k)-^

由于%=kx1,%ι=E代入得S_10(kx∣+∕cx∣)_IO(k+A⅜__________1-4-

AABC=­R-=4→24-k2

40伏+必)_40(∕+k)

4-17fc2+4k4-4(-⅛+fc2)-17,

k