2022-2023学年重庆市北碚区兼善中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市北暗区兼善中学九年级(上)期末数学试

卷

学校:姓名：——班级：—考号：—

第I卷(选择题)

一、选择题(共12小题，共36.0分.)

能使，有意义的x的范围是()

A.x<—2B.x>-2C.无力一2D.x>—2

2.下列根式中是最简二次根式的是()

A.B.<15C.D.

3.下列说法中，正确的是()

A.到圆心的距离大于半径的点在圆内B.圆的半径垂直于圆的切线

C.圆周角等于圆心角的一半D.等弧所对的圆心角相等

4.用配方法解方程X2-4X=0,下列配方正确的是()

A.(x+2)2=0B.(%—2)2=0C.(x+2)2=4D.(x—2)2=4

5.设/为一元二次方程2/一2%-1=0较大的实数根，贝ij()

A.3<Xj<4B.2<Xi<3C.1<Xj<2D.0</<1

6.如图，/.BAC=36。，点。在边AB上，©。与边AC相切于点D，交边4B于点E,尸，连接FD,

则N4FD等于()

A.27°B,29°C.35°D,37°

7.如图，线段C。的两个端点的坐标分别为C(l,2),0(2,0),以原点为位似中心，将线段CD放

大得到线段4B,若点B的坐标为(5,0),则点4的坐标为()

A.(2,5)

B.(3,6)

C.(3,5)

D.(2.5,5)

8.如图，点A(t,3)在第一象限，。4与x轴所夹的锐角为a,tana=|,则t的值是()

9.如图所示，在正方形4BC0中，G为CD边中点，连接4G并延长交BC边的延长线于E点,

对角线BD交AG于尸点.已知FG=2,则线段AE的长度为()

D.12

10.如图，是某一景区雕像，雕像底部前台BC=3米，台末端点有一个斜坡CD长为4米且坡

度为1：C，与坡面末端相聚5米的地方有一路灯，雕像顶端4测得路灯顶端F的俯角为36.25。,

且路灯高度为6米，则48约为米.(精确到0.1米,C。1.732,tan36.25°*0.733)()

A.12.8B,12.4C.13.8D,13.4

11.已知关于y的一元二次方程0+1）丫2一3町＞/-9=（）的根都是整数，且Tn满足等式

J（1—m）2=（，T=^）2,则满足条件的所有整数m的和是（）

A.—5B.-4C.0D.—6

12.有若干个依次排列的整式：第1个的=+%是，用的减去（X-1）得到瓦，将瓦乘以x,

得到。2,再将减去。-1）得到厉，将尻乘以X，得到。3，以此类推，下列结论中正确的个

数为（）

①方程£13=0的实数解为X=l;

@/?2022=_/023+1；

③的=%（1—x）（x84-%74-%6+・・・・・・+x+1）;

④当x=4时，则管。力1）的值为。1.

A.1B.2C.3D.4

第II卷（非选择题）

二、填空题（共4小题，共12.0分）

13.一元二次方程产一1=3的根为.

14.已知关于x的方程a/+bx+1=0,从一1,0,2三个数中任取一个数，作为方程中b的

值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中a的值，能使该一元二次方程有实数根的概率

是.

15.如图，正方形ABCD的边长为1,以4为圆心，力B为半径画弧，连接AC,以4为圆心，AC

为半径画弧交4。的延长线于点E,则图中阴影部分的面积是.

16.初三(21)班尚剩班费zn(m为小于400的整数)元，拟为每位同学买1本相册.某批发兼零售

文具店规定：购相册50本起可按批发价出售，少于50本则按零售价出售，批发价比零售价每

本便宜2元，班长若为每位同学买1本，刚好用完m元；但若多买12本给任课教师，可按批发

价结算，也恰好只要M元.若单价为整数，则每本相册的零售价是元.

三、解答题(共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题8.0分)

计算：Z3—2)(2+V3)-(V2—l)?.

18.(本小题8.0分)

如图，在△ABC中，Z.B=/.AED,AB=5,AD=3,CE=6,求4E的长.

19.(本小题8.0分)

在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小段同学就本班同学“我最擅长的体育项目”

进行了一次调查统计，下面是她通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图

中提供的信息，解答以下问题:

(1)该班共有多少名学生？在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数是多少度？请

补全条形统计图；

(2)学校将举办冬季运动会，该班已推选5位同学参加乒乓球活动，其中有2位男同学(4B)和3

位女同学(C,D,E),现从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一

女组成混合双打组合的概率.

20.(本小题8.0分)

已知关于%的方程/一(k+2)x+2k=0.

(1)求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根.

(2)若等腰三角形4BC的一边a=1,另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长.

21.(本小题8.0分)

又到了脐橙丰收季，某水果超市老板发现今年奉节脐橙和赣南脐橙很受欢迎，今年1月第一周

购进奉节脐橙和赣南脐橙两个品种，已知II千克赣南脐橙的进价比1千克奉节脐橙的进价多4

元，购买20千克赣南脐橙的价格与购买30千克奉节脐橙的价格相同.

(1)今年1月第一周每千克奉节脐橙和赣南脐橙的进价分别是多少元？

(2)今年1月第一周，水果超市老板以14元每千克售出奉节脐橙140千克，24元每千克售出赣

南脐橙120千克；第二周水果超市老板又以第一周的价格购进一批奉节脐橙和赣南脐橙，为

促进奉节脐橙的销量，该水果超市老板决定调整价格，每千克奉节脐橙的售价在第一周的基

础上下降0.1m元，每千克赣南脐橙的售价不变，由于此批奉节脐橙品质较好又便宜，第二周

奉节脐橙的销量比第一周增加了4m千克，而赣南脐橙的销量比第一周减少了0.5m千克，最终

该水果超市第二周销售两种脐橙总共获利2280元，求ni的值.

22.(本小题8.0分)

对任意一个三位数匕如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数

字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为快乐数”,例如：/c=123,因为2=母，所以

123是“快乐数”.

(1)请通过计算判断241是不是“快乐数”，并直接写出最大的“快乐数”；

(2)已知一个"快乐数"k=100a+10b+c(l〈a、b、c<9,a、b、c为自然数)，且使关

于x的一元二次方程a/+2bx+c=0有两个相等的实数根，若7Sa+b+cS10,求满足

条件的所有k的值.

23.(本小题8.0分)

如图，某工程队从4处沿正北方向铺设了184米轨道到达B处.某同学在博物馆C测得4处在博物

馆C的南偏东27。方向，B处在博物馆C的东南方向.(参考数据：sin27。»0.45,cos27。«0.90,

tan27°«0.50,V-6«2.45.)

(1)请计算博物馆C到8处的距离；(结果保留根号)

(2)博物馆C周围若干米内因有绿地不能铺设轨道.某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到B

处时，只需沿北偏东15。的BE方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地.请计算博物馆C周

围至少多少米内不能铺设轨道.(结果精确到个位)

24.(本小题8.0分)

如图，△4BC中，M为8C的中点，AD为NB4C的平分线，BD1AD^D.

(1)求证：2OM+4B=4C；

(2)若4。=6,BD=8,DM=2,求4c的长.

25.(本小题8.0分)

如图1,在矩形4BCD中，AB=3<3,AD=6,E为DC边上一点，把AAOE沿AE翻折，使点

。恰好落在8C边上的点F处，P是4E上的动点.

图2

(1)求EC的长；

(2)如图2,Q是4。上的动点，求PO+PQ的最小值;

(3)若APDE是等腰三角形，直接写出4P的长.

答案和解析

1.【答案】B

解：•••式子•意义，

x+2>0,解得x>-2.

故选:B.

先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可.

本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键.

2.【答案】B

解：A、E=2C，不是最简二次根式，故此选项错误；

B、中是最简二次根式，故此选项正确；

C、=2。，不是最简二次根式，故此选项错误；

D、1=好,不是最简二次根式，故此选项错误；

故选:B.

直接利用最简二次根式的定义分别判断得出答案.

此题主要考查了最简二次根式，正确把握相关定义是解题关键.

3.【答案】D

解：A、应为到圆心的距离大于半径的点在圆外，所以错误；

8、应为圆的半径垂直于过这条半径外端点的圆的切线，所以原错误；

C、应强调在等圆或同圆中，同弧或等弧对的圆周角等于它对圆心角的一半，所以错误；

。、符合圆心角与弧的关系，所以正确.

故选。.

根据点与圆的位置关系，半径与切线的关系以及圆周角定理进行解答.

本题考查了点与圆的位置关系，半径与切线的关系，圆周角定理.解题的关键是熟练掌握相关定

义及定理，抓住细节从而找出问题.

4【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（丫+巾）2="的形式，再利用直接开平

方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

把方程两边加上4得到/-4x+4=4,然后把方程左边写成完全平方的形式即可.

【解答】

解：%2-4%+4=4,

（x-2）2=4.

故选：D.

5.【答案】C

解：•••2x2-2x=l,

2J

424

1<%!<2.

故选：C.

利用配方法解方程得到Xl=3+?,x2=|-^,然后对各选项进行判断.

本题考查了一元二次方程的解法，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程

的解.

6.【答案】A

解：连接0D,

•・•。。与边4（：相切于点。，

•••/.ADO=90°,

vZ.BAC=36°,

.••44。。=90°-36°=54°,

•••乙AFD=^AOD=ix54°=27°,

故选:A.

连接。D,根据切线的性质得到4AD。=90。，根据直角三角形的性质得到乙40D=90°-36°=54°,

根据圆周角定理即可得到结论.

本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为％,

那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

根据题意得到以原点为位似中心，将线段CO放大2.5倍得到线段4B,根据位似变换的性质计算即

可.

【解答】

解：由题意得，0D=2,0B=5,

则以原点为位似中心，将线段CD放大2.5倍得到线段4B,

•・•点C的坐标为(1,2),

•••点4的坐标为(1x2.5,2x2.5)即(2.5,5).

故选。.

8.【答案】C

解：如图：

•••点4。3)在第一象限，

•••AB=3,OB=t,

▽,AB3

又•••tana=而=展

••t=2.

故选：C.

根据正切的定义即可求解.

本题考查锐角三角函数的定义及运用.

9.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，利用相似三角形的性质求出4F的长度是解

题的关键.

根据正方形的性质可得出进而可得出△力B尸sAGOF,根据相似三角形的性质可得出

第=磐=2,结合FG=2可求出AF、4G的长度，进而可求出AE的长度，此题得解.

GFGD

【解答】

解：•••四边形力BCD为正方形，

・•・Z-ABF=乙GDF,Z-BAF=乙DGF,

ABFGDF,

G为CD边中点，

,AB,—，C，D，-2

"GDGD

•A,*F~AB2c，

GFGD

・・・AF=2GF=4,

:.AG=6.

,:AD"BC,

*'.△ADGECGt

・,・拱=弟=1,即4G=GE=6,

GCGE

・・・AE=2AG=12.

故选：D.

10.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造

出直角三角形是解答此题的关键.

如图，作于H,延长交。E于M，作CN1DE于N,想办法求出4H即可解决问题.

【解答】

解：如图，作F”_LAB于"，延长4B交DE于M,作CN1DE于N.

则四边形BCNM是矩形，四边形HFEM是矩形，

BC=MN=3m,CN=BM,HF=EM,EF=HM=6m,

在RMCDN中,vCD=4m,CN：DN=1：y/~3,

■.BM=CN=2m,DN=2<3m,

•••HF=EM=3+2y/~3+5=8+2<3(m),

在Rt△AHF中，•；AH=HF•tan36.250=(8+2X1.732)X0.733«8.4m,

AB=AH+(HM-BM)=12.4m.

11.【答案】D

解：m满足等式J(1—m)2-(V1—m)2,

1—m>0,

解得m<1,

(m+l)y2—3my—9=0,

(y-3)[(m+l)y+3]=0,

解得力=3,y2=一高，

・•・关于y的一元二次方程(m+l)y2-3my-9=0的根都是整数，

***m=0,-2,—4,

.•・满足条件的所有整数m的和是0-2-4=-6.

故选：D.

根据二次根式有意义的条件，根据因式分解法得到方程的解，进一步得到满足条件的所有整数小的

和.

本题考查了解一元二次方程，二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解

法.

12.【答案】B

解：由题意可知，第1个%=-/+%,用药减去(久一1)得到瓦，将&乘以工,得到做，

・,・瓦=-%24-%—(%—1)=-X2+1,

23

・•・a2=(―%+l)x=—x+%,

•・•将第2项02减去(X一1)得到&，将坛乘以工得到第3项Q3，

33

・•・b2=—x4-%—(%—1)=—x+1,

34

・•・a3=(-%+1)%=-%+%,

...»以此类推，

n+1n+1

an=—x+%,bn=—x+1,

4

：・a3=—%+x,

解方程——+%=0,得％=0,1,

二方程由=0的实数解为0,1，故结论①错误；

n+1

vbn=-x+1,

2023

...b2022=-x+1,故结论②正确；

n+1

•・•an——x+x,

1098

，a9=-x+Q=x(l—%)=x(l—x)(x+/+%6+・•・…+%+i),故结论③正确；

n+1

vbn=-x+1,

k+1fc

:.bk=—x4-1=(1—x)(x+x"i4---Fx+1),

・•・=Xk+Xk~1d-Fx+1,

1-x

当x=4时，=4100+499+...+4+!==—3'—，故结论④错误.

所以正确的结论为：②③，一共2个.

故选：B.

n+1

根据题意可以得出规律，an=-x+%,%=-肝+1+1,根据规律逐项求解判断即可.

本题主要考查数据的规律类问题，准确找出题目中的两组数据的规律是解答此题的关键，难度较

大.

13.【答案】=2,x2=-2

解：移项得好=4,

开方得x=±2,

即=2,x2=-2.

故答案为与—2,x2=-2.

移项后，直接开方解答即可.

本题考查了解一元二次方程，属于基础题.

14.【答案吗

解：画树状图为：

b-102

AAA

a02-12-10

共有6种等可能的结果，因为炉-4a20,首先能使该方程为一元二次方程的有4种，其次方程有

实数根的占2种，

b=0,a=—1；b=2,a=—1；

所以能使该一元二次方程有实数根的概率=l=i

o3

故答案为：

画树状图得出所有等可能的情况数，找出此函数为二次函数且对应的一元二次方程a/+2bx+

1=0有实数根的情况数，即可求出所求的概率.

此题考查了一元二次方程根的判别式、列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数

与总情况数之比.

15.【答案

解：•••四边形ABCD是正方形，

AB=BC=1,ZB=90°,/.DAC=45°,

•••AC=y/~2AB=C，

・••图中阴影部分的面积=[45兀;『I?-1X1X1]+(1X1-驾J)=1,

故答案为

根据正方形的性质和扇形的面积公式即可得到结论.

本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键.

16.【答案】9

解：设有学生X人，相册的零售价为y元，

则：｛尉；2)3—2)=

:，x=6y—12.且38<%<50,m<400>

二x=42,y=9,

故答案为：9.

设有学生x人，相册的零售价为y元，根据“为每位同学买1本，刚好用完m元；但若多买12本给

任课教师，可按批发价结算，也恰好只要小元”列方程组，再根据x的取值范围求解.

本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系和掌握条件求值是解题的关键.

17.【答案】解：原式=3-4-(2-2f+1)

=3-4-3+2<7

——4+2V-2.

【解析】直接利用乘法公式结合二次根式的混合运算法则计算得出答案.

此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式计算是解题关键.

18.【答案】解：.:乙B=4AED,44为公共角，

•••△/IDE-AACB,

:.——AE=——AD,

ABAC

解得AE=2<7-3.

【解析】据两角对应相等，两三角形相似，得到△ADESAACB,再根据对应边成比例得到关于4E

的方程，求解即可.

本题考查相似三角形的判定与性质，掌握“两角对应相等，两三角形相似”，以及相似三角形对

应边成比例，是解决本题的关键.

19.【答案】解：（1）由统计图可得，

该班共有：15+30%=50（名），

擅长足球的有：50x18%=9（名），

擅长其他的有：50-15-9-16=10（名），

在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数为：360°X黑=72°,

・••恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率是算=|,

即恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率是|.

【解析】（1）根据统计图中的数据可以解答本题；

（2）根据题意，可以用树状图写出所有的可能性，从而可以得到恰好选出一男一女组成混合双打组

合的概率.

本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形

结合的思想解答.

20.【答案】证明:(1)VA=b2-4ac=(fc+2)2-8fc=(k-2)2>0,

无论k取任意实数值，方程总有实数根.

解：(2)分两种情况：

①若b=c,

••・方程/一(k+2)x+2k=0有两个相等的实数根，

b2-4ac=(fc-2)2=0,

解得k=2,

;此时方程为/—解得/

4x+4=0,=x2=2,

••.△ABC的周长为5；

②若b力c,则b=a=1或c=a=1,即方程有一根为1,

•.•把x=1代入方程久2一(卜+2)x+2k=0,得1一(k+2)+2k=0,

解得k=1,

此时方程为产-3x+2=0,

解得-1,%2=2,

・••方程另一根为2,

•••1、1、2不能构成三角形，

.•・所求△ABC的周长为5.

综上所述，所求△ABC的周长为5.

【解析】(1)把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出0可知方程总有实数

根.

(2)根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b,c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△

ABC的周长.

考查根的判别式，等腰三角形的性质及三角形三边关系.

21.【答案】解：(1)设今年1月第一周每千克奉节脐橙的进价为x元，则每千克赣南脐橙的进价为

(x+4)元，

依题意得：20(x+4)=30x,

解得：x=8,

二x+4=8+4=12.

答：今年1月第一周每千克奉节脐橙的进价为8元，每千克赣南脐橙的进价为12元.

(2)依题意得：(14-0.1m-8)x(140+4m)+(24-12)X(120-0.5m)=2280,

整理得：0.4m2-4m=0.

解得:巾1=0(不合题意，舍去)，m2=10.

答：nt的值为10.

【解析】(1)设今年1月第一周每千克奉节脐橙的进价为久元，则每千克赣南脐橙的进价为4)元,

利用总价=单价x数量，结合购买20千克赣南脐橙的价格与购买30千克奉节脐橙的价格相同，即

可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出每千克奉节脐橙的进价，再将其代入(x+4)中可求

出每千克赣南脐橙的进价；

(2)利用总利润=每千克的利润X销售数量，结合该水果超市第二周销售两种脐橙总共获利2280元，

即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正

确列出一元一次方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程.

22.【答案】解：⑴•••竽。4,

•••241不是“快乐数”，

•••各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，各个

数位上

的数字最大为9,竽=9,

.••最大的“快乐数”为999；

(2)vk=100a+10b+c为“快乐数”，

"■0b~-—2'

•••关于》的一元二次方程aM+2bx+c=0有两个相等的实数根，

・•・(2b)2—4ac=0,

即/=ac,

...)b2=ac,

'7<a+h+c<10，

J<a.b、c<9

a=3

解得：b=3,

c=3

・•・k=100a+10b+c=100x3+10x3+3=333,

综上所述，满足条件的所有k的值为333,

，满足条件的所有k的值为333.

【解析】(1)根据“快乐数”的定义解答即可；

(2)根据“快乐数”可得出6=等，根据一元二次方程根的情况可得炉=ac,再结合7W4+6+

CW10及14a、b,c<9,a、b、c为自然数可得出a、b、C的值，最后结合“快乐数”的定义

即可得出答案.

本题考查一元二次方程的应用，不等式组的应用，理解“快乐数”的定义是解题的关键.

23.【答案】解：⑴如图1,过点C作CGJ.4B于点G,

在RtABCG中，ZCBG=45°,

.•.△BCG是等腰直角三角形，

CG—BG,

设CG=BG=x米，则BC=5ix米,

rr

在Rt△力CG中，/.CAG=27°,tan“4G=器=tan27°20.50,

AG

•■AG®2CG=2x米，

vAG=AB+BG=(184+x)米，

2x«184+x,

解得：xx184,

BC=\T2.x®184n迷)，

答：博物馆C到8处的距离约为184「米；

(2)如图2,过点C作CH1BE于点H,

由题意得：乙CBG=45°,乙DBE=15。，

•••乙CBE=乙CBG+乙DBE=60°,

由（1）可知，BCy184，2米，

在Rt△CBH中，CH=BC-sin60°®184「x?=92yl飞«225（米），

答：博物馆C周围至少225米内不能铺设轨道.

【解析】（1）过点C作CG14B于点6,证^BCG是等腰直角三角形，得CG=BG,设CG=BG=x米，

则BC=，2x米，再由锐角三角函数定义得AG，2CG=2x米，则2x^184+x,解得%“184,

即可解决问题；

（2）过点C作CH1BE于点H,根据题意得NCBE=60。，在RtZiCBH中，利用锐角三角函数的定义

求出CH的长即可.

本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，添加适当的辅助线

是解题的关键.

24.【答案】（1）证明：如图，延长BD交4C于E,

/-ADB=AADE=90°,

•••AD为NR4C的平分线，

:.乙BAD=Z.EAD,

在△84。和△E40中，

NBAD=Z.EAD

AD=AD,

乙408=Z.ADE

•••△BADwZkETlD(SAS),

・•・AB=AE,BD=DE,

•・・M为8c的中点，

・•・2DM=CE,

/.CE^AE=2DM-{-AB=AC