2022-2023学年上海市金山区高一（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年上海市金山区高一(上)期末数学试卷

一、单选题(本大题共4小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知α>b,其中α,b&R,则下列不等式一定成立的是()

A.a2>b2B.—a>—bC.∖∕a>VbD.∣α∣>Ibl

2.设XeR,则''∣x-l∣<2"是"-l<x<5"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.设集合A,B,C均为非空集合，()

A.若AnB=BnC,则力=CB.若ZUB=BUC,则A=C

C.若AnB=BUC,则CUBD.若4UB=BnC,则CUB

4.已知f(x)=∖2x-1|,若关于X的方程∣∕(x)-α∣+∣∕(x)-α-1|=1有且仅有个不同的整

数解，则实数ɑ的取值范围是()

A.[-ɪ,-ɪ)B.[-1,0)C.[0,1]D.{0}

二、填空题(本大题共12小题，共36.0分)

5.已知集合4={2,2α-1},且1∈A,则实数a的值为一.

6.已知角α的终边经过点P(-l,-2),则S讥α=

7.函数y=ln(x-1)的定义域为.

8.将α•闹化为有理数指数幕的形式为_.

9.己知角α是第四象限角，且COSa=等则sinα+CoSa的值为一.

10.已知函数丁=/+<^+1,》6曲2](£1"6/?且6<2)是偶函数，则。+8的值为一.

11.已知3rn=6,用m表示log354为.

12.设a、b为正数，且α+b=l,则工+⅛J最小值为

13.已知常数α>0且α≠1,无论ɑ取何值，函数y=IOga(3X-5)-4的图像恒过一•个定点，

则此定点为—.

14.已知集合A={x∣(α—1)/+3x-2=0}有且仅有两个子集，则实数α=.

15.设/(x)=α/-(α+l)x+1,x∈(-∣,j)>若函数y=/(%)在定义域上满足：①是非

奇非偶函数；②既不是增函数也不是减函数；③有最大值，则实数α的取值范围是

16.己知teR,集合4=[t,t+1]U[t+4,t+9],004,若存在正数九对任意a∈4,都

有(64,则t的所有可能的取值组成的集合为—.

三,解答题(本大题共5小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题8.0分)

已知集合4={x∖a-2<x<a+2},B={x∣言>0}.

(1)求集合B；

(2)若AUB,求实数α的取值范围.

18.(本小题8.0分)

己知/(x)=X2+ax+a.

(1)若函数y=f(x)有零点，求实数ɑ的取值范围；

(2)若方程f(x)=0有两个实根与、x2,求好+好的最小值.

19.(本小题10.0分)

某城市2023年1月1日的空气质量指数(简称AQ/)与时间x(单位：小时)的关系y=/(x)满足下

图连续曲线，并测得当天4Q/的最大值为103.当xe［0,14］时，曲线是二次函数图像的部分；

当X∈(14,24］时，曲线是函数y=102-log2(x-13)图像的一部分.根据规定，空气质量指数

4Q/的值大于或等于100时，空气就属于污染状态.

(1)求当X∈［0,14］时，函数y=/(x)的表达式；

(2)该城市2023年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由.

20.(本小题12.0分)

己知/(%)=力•

(1)判断并证明函数y=/(χ)的奇偶性：

(2)判断并证明函数y=f(x)在区间(2,+8)上的单调性;

(3)根据函数y=∕(x)的性质，画出函数y=/(x)的大致图像.

y♦

->

21.(本小题14.0分)

已知函数y=/(x)的定义域为D,区间M⊂。,若存在非零实数t使得任意X∈M都有X+t∈0,

且，(X+t)>/(x),则称y=/(x)为M上的t一增长函数.

(1)已知f(x)=x,判断函数y=/(x)是否为区间［一1,0］上的I一增长函数，并说明理由；

(2)已知n>0,设g(x)=χ2,且函数y=g(χ)是区间［一4,-2］上的n—增长函数，求实数n的

取值范围；

(3)如果函数y=∕ι(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，h(x)=∖x-a2∖-a2,且函数y=

A(X)为R上的4-增长函数，求实数ɑ的取值范围.

答案和解析

I.【答案】C

【解析】解：a>b,—a<—b,B错误；

4项，。项中，若α=O,b=-2,不等式不成立；

C项正确.

故选：C.

判断不等式是否成立，要考虑负数和0的特殊情况即可判断.

本题考查不等式的性质，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：解不等式IX-1|<2得-1<X<3,

当-l<x<3时，-I<X<5一定成立，但是当-l<x<5时，一1<%<3不一定成立，

所以是“一1<%<5”的充分不必要条件.

故选：A.

解不等式IX-II<2得一1<X<3,然后判断充分性和必要性即可.

本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，集合的运算，集合包含关系的判断，属于基础题.

举反例判断ABD；对于C,由Ca(BUC),可得CUQ4CB),从而可得CUB.

【解答】

解：对于选项A,若4={1,2,3},B={1},C={1,2},满足4nB=BnC,但4力C,故A错误;

对于B,若力={1},B={1,2,3},C=[1,2},满足AUB=BUC,但4大C,故3错误；

对于C,由于CU(BUC),已知MClB=BUC,所以CUMInB),则CUB成立，故C正确；

对于D,若4={1},B={1,2,3},C={1,2,3,4}.满足AUB=BnC,但是BUC,故。错误.

故本题选C.

4.【答案】A

【解析】解：要使方程If(X)-α∣+If(X)-α-l∣=1有且仅有个不同的整数解，当且仅当/(无)≥

a且/(x)≤a+1,

即方程等价于/(x)≥α且/(x)≤α+1,

即α≤f(x)≤a+1,

即f(x)的图象夹在直线y=α和y=α+1之间的部分有且仅有两个整数解，

所以要使α≤/(x)≤α+1的整数解有且仅有两个解，

则其中一个整数解为O和—1,

fα≤O11

即h<Tcj>ι/3，解得-5≤ɑ<-ɪ.

τ<α+1<724

124

故选：A.

根据方程If(%)-α∣+∣∕(x)-a-l∖=1有且仅有个不同的整数解,等价于f(%)≥α且f(%)≤α+

1,将问题转化为f(%)的图象夹在直线y=Q和y=Q+1之间的部分有且仅有两个整数解求解.

本题考查了转化思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题.

5.【答案】1

【解析】解：・・・1E4

ʌ2α—1=1,解得Q=1,

故答案为：1.

由题意可知I2α-1=1,求出α的值即可.

本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题.

6.【答案】一等

-22√5

【解析】解：因为角α的终边过点P(-l,-2),所以Qa=J(T"(一2)2=一口

故答案为：一等.

利用任意角的三角函数的定义，求出Sina,即可求解结果.

本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力.

7.【答案】(1,+8)

【解析】解：要使函数有意义，则X-I>0,

解得%>1.

函数的定义域为(1,+8).

故答案为：(1,+8).

根据对数函数的性质求函数的定义域即可.

本题主要考查函数定义域的求法，比较基础，要求熟练掌握对数函数的性质.

8.【答案】J

38

ɪ+--

【解析】解：0-Q-Q5-Q5

故答案为：渭•

利用有理数指数幕的运算性质求解.

本题主要考查了有理数指数基的运算，是基础题.

9.【答案】一苧+监

【解析】解：因为角α是第四象限角，且CoSa=电

所以Sina=-Vl—cos2a=-11—(ɪ)2=一苧，

则Sirla÷cosa=———+^-∙

故答案为：一争+M

由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解.

本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题.

10.【答案】—2

【解析】解：设y=f(x)=/+αχ+1,

则由已知可得b=—2,且/'(一%)—(―x)2+αX(—%)+1=/(x)=X2+ax+1,

则2αx=0,即α=0,

所以α+b=0—2=—2,

故答案为：一2.

2

设y=f(χ)=χ+ax+l,然后根据函数的奇偶性的性质建立方程即可求解.

本题考查了二次函数的图象性质，考查了函数的奇偶性，属于基础题.

11.【答案】m+2

【解析】解：因为3小=6,

所以m=log36,

所以log354=log36+log39=m+2.

故答案为：m+2.

由已知结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质即可直接求解.

本题主要考查了指数与对数的相互转化及对数的运算性质的应用，属于基础题.

12.【答案】4

【解析】解：a、b为正数，且a+b=l,

i⅛+HC+}(a+b)2+-+≡≥2-4+2=4«

当且仅当S4，即a=bE时取等号.

则上+4的最小值为4.

故答案为：4.

利用“1”的代换求最值即可.

本题考查基本不等式中的“1”的代换，属于基础题.

13.【答案】(2,-4)

【解析】解：令3x-5=l,解得X=2,

当X=2时，函数y=logα(3x-5)—4=-4,

即函数图象恒过一个定点(2,-4).

故答案为：(2,-4).

由题意令3x-5=l,解得％=2,再代入函数解析式求出y的值，进而求解结论.

本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，属于基础题.

14.【答案】1或一:

O

【解析】解：若A恰有两个子集，

所以关于X的方程恰有一个实数解，

①当α=l时，x=j,满足题意；

1

②当ɑ≠=0时，4=8α+l=0,所以α=8-

1

-

综上所述，。=1或α=8

故答案为：1或一.

O

结合已知条件，求出(α-l)∕+3x-2=0的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次

方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可.

本题主要考查集合子集的应用，属于基础题.

15.［答案］(—8,—I)U(—1,—TU(-1,-：)

【解析】解：由①可得α+lH0,解得αH-l,

由②③可得函数的对称轴％=穿满足：一；＜噤＜；，且。＜0,解得。＜一：，

综上，实数ɑ的范围为α＜-;且α：#•-1,即为(―8,—1)u(―1,—gU(―1,-手，

故答案为：(-8,-1)u(-l,-gu(-l,-g).

由①可得α+IH0,由②③可得函数的对称轴X=宇满足：一；<宇<；,且α<O,解不等式

乙α4‰IΛLΛ

即可求解.

本题考查了二次函数的图象性质，涉及到不等式的解法，属于基础题.

16.【答案】{1,-3}

【解析】解：∙∙∙0∈Λ,则只需考虑下列三种情况：

①当t>0时，α∈[t,t+1]U[t+4,t+9],.∙.ɪ∈[ɪ,ɪ]U

>t+4

XA>0,则建备总]u岛・一”,二(-什^―->t且：+1一，

LjL

Qt+9t+4t+1£」Q2_<t+ι1<t+9

【£+4-∖t~

{(t4+l)(t7⅛≤λ≤+l)(t+4),A=t(t+9)=(t+l)(t+4),解得t=l：

②当t+9<0,即t<-9时，与①构造方程相同，BPt=1,不合题意，舍去；

(~≥t(-≥t+4

③当伫;即一4<t<T时，可得1：+1-JgLft9-,

S+4>04≤t+lΛ≤t+9

∖tkt÷4

.∙.λ=t(t+1)=(t+4)(t+9),解得t=-3.

综上所述，t=1或一3,

二t的所有可能的取值组成的集合为{l,-3}∙

故答案为:{l,-3}.

根据题意，分t>0,t<-9,-4<t<-l三种情况讨论，利用集合的包含关系列出不等式组，

即可得解.

本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过t的不同取值范围，得到

α与4所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于;I的等量关系，从而构造出关于t的方程；

a

难点在于能够准确地对t的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属中档题.

17.【答案】解：(1)由岩>0,解得#<—1或%>2,

即B={x∣x<—1或%>2］；

(2)显然A≠0,

若4⊂B,则α+2≤一1或α-2≥2,

解得α≤一3或α≥4,

即实数ɑ的取值范围为(一8,-3]U[4,+∞).

【解析】(1)解分式不等式，即可求出集合B；

(2)显然4H0,根据4UB列出不等式，求出ɑ的取值范围即可.

本题主要考查了分式不等式的解法，考查了集合间的包含关系，属于基础题.

18.【答案】解：(1)由题意可得/=α2-4α≥0,解得α≥4或α≤0,

则实数ɑ的范围为(一8,0]u[4,+∞);

(2)方程f(x)=0,即为/+a%+。=。，

'Δ=a2—4a≥O

则由已知可得/+*2=—。，

.X1X2=CL

=x222

所以好+xf(Xl+2)—2X1X2=a-2a=(a—I)—1,

又α∈(-∞,0]U[4,+∞),

则当α=O时，(H+x分mE=0∙

Δ=a2-4a≥O

【解析】(1)由题意判别式大于等于O即可求解；(2)由已知可得/+%2=-。，然后化简若+

.X1X2=a

222

xf=(x1+x2)-2X1X2=α-2α=(α-l)-l,根据α的范围以及二次函数的性质即可求解.

本题考查了二次函数的性质，涉及到韦达定理的应用，属于基础题.

19.【答案】解：(1)当X∈[0,14]时，由图像可得：二次函数开口向下，顶点坐标为(12,103),且

过(10,102),(14,102),

可设f(x)=a(x-12)2+103.a<0,

代入点(IO,102)可得a(10-12)2+103=102,解得a=-ɪ,

故当X∈[0,14]时，/(x)=-XX-12)2+103.

(2)由⑴可得：/(x)=[一X*T2)2+l°3，xe[。•14],

1102-log2(x-13),X∈(14,24]

当X∈[0,14]时，令f(x)=-ɪ(ɪ-12)2+103≥100,解得12-2√3≤x≤14,

当X∈(14,24］时，令f(x)=102-Iog2(x-13)>100,解得14<x≤17,

综上所述：当X6［12-2百,17］时，空气属于污染状态.

【解析】(1)根据图象结合二次函数运算求解；

(2)由(1)可得/(x)的解析式，分类讨论解不等式f(x)≥IOO即可得结果.

本题考查函数模型的应用，属于中档题.

]_____1__(M-X2)(Xl+丫2)

4-×l4-冬―(4-x∣)(4-x∣)'

由于2<XI<Λ⅛,则有/(Xi)-fθ⅛)<

则函数“X)在(2,+8)上单调递增，

(3)函数/(X)的图象如图：

【解析】(1)先分析函数的定义域，再分析/(-X)、f(χ)的关系，即可得结论；

(2)根据题意，利用作差法分析可得结论；

(3)根据题意，由(1)(2)的结论，分析可得函数的图象.

本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，涉及函数的图象，属于基础题.

21.【答案】解：(1)是，理由如下：由题意可得：函数/(x)=X的定义域为R,

ɔ

对VXE[―1,0],则％+-GRf

ɔQɔ

可得f(x+ɪ)=x+≡>/(X)=X,即f(x+f)>f[x^),

故/Q)=X为区间[-1,0]上的I一增长函数；

(2)函数g(x)=/的定义域为R,

对V%∈[—4,—2],则％+n∈R,

若g(%)是区间[一4,一2]上的n—增长函数，贝IJg(X+n)>gQ),

即(％+n)2>x2,

可得九2+2xn>O对V%∈［—4,—2］恒成立，

又因为几>0,

所以九2+2•(-4)n>0,

解得九>8,所以实数九的取值范围(8,+oo);

(3)由题意可得：当X<O时，则九(X)=—Λ(-x)=—