2022-2023学年天津市高一年级下册5月月考数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年天津市高一下册5月月考数学模拟试题

（含解析）

一、单选题15*4=60分

1.空间中有平面&和直线。，b,若。//«,allb,则下列说法中一定错误的是（）

A.直线b平行于平面«B.直线6在平面a内

C.直线b与平面a交于一点D.直线。和b共面

【正确答案】C

【分析】根据线面平行及两直线平行得到b与平面«平行或直线b在平面a内，根据“//,

可得直线。和b共面，从而判断出答案.

【详解】因为a//a,a〃b,所以b与平面a平行或直线6在平面a内，AB正确，C错误;

因为a//b,所以直线4和b共面，D正确.

故选：C

2.如图所示，AB是圆。的直径，C是异于4,8两点的圆周上的任意一点，以垂直于圆。

所在的平面，则8,4PAC,AABC,△P8C中，直角三角形的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

【正确答案】D

【分析】利用线面垂直的性质可得直角三角形，再利用线面垂直的判定得出平面以C,

从而得到直角三角形的个数.

【详解】是。。的直径，.•.NZCB=90。，BPBCVAC.

二△NBC为直角三角形.

又以_L。。所在平面，AC,AB,8c都在O。所在平面内，

：.PAYAC,PALAB,PALBC,：./\PAC.△Ri8是直角三角形,

又尸4NCu平面为C,；.8C_L平面ZMC.

：PCu平面以C,：.BCLPC,...△PBC是直角三角形，

从而△以8,/\PAC,AABC,△尸8c均为直角三角形.

故选：D.

3.如图所示，长方体/BCD-HB'C'。'中，给出以下判断，其中正确的是（）

A.直线〃。与H3相交

B.直线力。与8C'是异面直线

C.直线6'。与。。'有公共点

D.A'BHD'C

【正确答案】D

【分析】利用异面直线的定义可以判断出A、C,利用平行四边形的性质可判断出B、D.

对于A,NC1面/6C0,/'BPI面且8不在4c上，

根据异面直线的定义得，直线/C与08是异面直线，故A选项错误；

对于B,•.•45//C7）',AB=CD',

四边形ABCD'为平行四边形，

AD'HBC',即直线与8C'平行直线，故B选项错误；

对于C,B'D'^面A'B'C'D',DC'H面A'B'C'D'=C",C'£B'D'，

根据异面直线的定义得，直线3'。'与OC是异面直线，故C选项错误;

对于D,vBCHA!D',BC=A'D',

••・四边形5CCW为平行四边形，

A'BIID'C,故D选项正确；

故选：D.

4.已知互不重合的直线〃？，〃，互不重合的平面&,6，7,下列命题错误的是（）

A.若a〃6,£〃/,则a〃/

B.若a〃P则a_L/

C.若a〃/，加〃a,则加p

D.若a〃1ua,则"P

【正确答案】C

【分析】利用面面平行具有传递性的性质，可判断A选项；利用面面平行与垂直的性质，

可判断B选项；利用面面平行的性质定理可判断C、D选项；

【详解】对于A选项，a〃夕，,〃了,则。〃7,故A正确；

对于B选项，a〃工丫,则a_Ly,故B正确；

对于C选项，a//a,则，"B或mu/3,故C错误；

对于D选项，a〃尸,〃ua,根据面面平行，可证得线面平行，即〃P,故D正确.

故选：C.

5.已知直线/,平面a,满足/ea,则下列命题一定正确的是（）.

A.存在直线加ua,使/〃加B.存在直线加ua,使加

C.存在直线加ua,使/,"?相交D,存在直线”?ua,使/,〃?所成角

为二

6

【正确答案】B

【分析】根据空间中直线与平面的位置关系，结合选项即可逐一求解.

【详解】对于A,若直线/与a相交，则a内的直线与/要么相交要么异面，故不存在直线

mua,使/〃加，A错误，

对于B,由于/ua,所以/与a相交或者平行，不论是相交还是平行,均可在a,找到与/垂直的

直线加，故B正确，

对于C,当〃/a时，则a内的直线要么与/平行，要么与/异面，所以不存在加ua,使/,

m相交，故C错误，

对于D,当直线/_La时，此时直线/与&内的所有直线均垂直，故不存在直线mua,使

7T

I,〃，所成角为一，故D错误，

6

故选：B

6.如图，尸是正方体Z88—4与£2面对角线4G上的动点，下列直线中，始终与直线

A.直线。〃B.直线4。C.直线力AD.直线

AC

【正确答案】D

【分析】根据异面直线得定义逐一分析判断即可.

【详解】对于A,连接BD,BR,设A£cBR=Q,

由BB"/叫,当尸点位于点。时，8尸与。A共面；

对于B,当点p与G重合时，直线8尸与直线4c相交；

对于C,因为力且Z8=GA，所以四边形N8G2为平行四边形，

所以4D//BC],

当点尸与£重合时，6尸与力A共面;

对于D,连接ZC,

因为P任平面NBC。，Bw平面ZBCD,/。匚平面28。。，B氏AC,

所以直线BP与直线AC是异面直线.

故选：D.

7.如果直线au平面口,直线bu平面〃，且a〃/7,则。与6的位置关系为（）

A.共面B.平行C.异面D.平行或

异面

【正确答案】D

【分析】根据空间中面面、线面、线线的位置关系直接判断即可.

【详解】因为直线au平面a,直线bu平面夕，且a〃/，

所以直线。与b的位置关系为：平行或异面，

故选：D.

8.已知直线a_L平面a,贝!1"直线a〃平面/?”是“平面a_L平面月”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】若"直线a〃平面月”成立，设/u/7,且〃/〃，又a,平面a,所以平面a,

又/up,所以“平面a_L平面月”成立；

若“平面a_L平面成立，且直线平面a,可推出a〃平面〃或au平面£,

所以“直线all平面0"不一定成立.

综上，“直线all平面/?”是“平面a，平面力”的充分不必要条件.

故选：A.

9.已知两条不同的直线/,加及三个不同的平面下列条件中能推出。//£的是（）

A./与a,产所成角相等B.a17,（3A.Y

C.ILa,mkft,I//mD./cra,mcz/3,I//m

【正确答案】C

【分析】ABD可举出反例；C选项，可根据平行的传递性和垂直关系进行证明.

【详解】对于A,正方体Z8CD-中，设边长为“，连接4片，则NC/片为力£

与平面力8片4所成角,

由勾股定理得到AB,=6a,AC、=&,故sinNC/4=*=程,

同理可得Ng和ADD{A1所成角的正弦值为昱,故AC,与平面ABBH和4DR4所成角

3

大小相等,

但平面4BB4与平面ADD^不平行，故A错误;

B选项，平面“BCD，平面48玛4,平面“BCD，平面工”>14,但平面与平

面不平行，故B错误；

对于C,由/_La,"/m得m_La,又〃?，尸，所以a//4,故C正确;

对于D,/与用可同时平行于a与夕的交线，故D错误.

故选：c.

10.设〃?,〃是两条不同的直线，a,£/是三个不同的平面，给出如下命题:

①若aJ_ac4=根,〃ua,〃_L则〃J■4；

②若aJ.y,£1.y,则allp；

③若aJ_MJJ_根aa,则用//a；

④若a1/3,mHa,则TM_L尸.

其中正确命题的个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

【正确答案】B

【分析】根据线面平行，线面垂直，以及面面平行和面面垂直的判定和性质，逐个选项进行分

析,可得答案.

【详解】根据平面与平面垂直的性质知①正确；

对于②中,a/可能平行,也可能相交,不正确；

对于③中，。＞1力,加_1_£,加且。时，只可能有机//a,正确；

对于④中,机与尸的位置关系可能是加//夕或加u£或机与户相交,不正确.综上,可知正

确命题的个数为2.

故选：B.

II.如图，直三棱柱44G的体积为6,48c的面积为26,则点A到平面48c

的距离为（）

4

B

A

A.72B.73C.2D.V5

【正确答案】B

【分析】利用等体积法，由=VA-A.BC求解即可.

【详解】由直三棱柱N8C-44G的体积为6,可得〃5c=；叱冏G"C=2，

设A到平面48c的距离为"，由””=%-，凤'

48c♦d=2,§x2百〃=2,解得d二6,

即A到平面48c的距离为G.

故选：B.

12,已知不重合的直线/,加和不重合的平面。，。,下列命题正确的是（）

A.若/〃a,HIP,则a〃夕B.若/_La,/±m,则zn//a

C.若/_La,/1/?,则a〃夕D.若/ua,加ua,〃//，ml1/3,

则alip

【正确答案】C

【分析】根据空间中的线、面关系分析判断.

【详解】对于A：若///a,〃/,则平面a,月的位置关系有：平行、相交，故A错误;

对于B：若/J_a,11m,则加以的位置关系有："?//0或加ua,故B错误；

对于C：若/_La,11/3,根据线面垂直的性质可知：all（5,故C正确；

对于D：根据面面平行的判定定理可得：若/，加相交，则a//〃，否则不成立，故D错误.

故选：C.

13.如图，正方体力BCD—44GA的棱长为2,E是棱CG的中点，则点q到平面E8O

的距离为（)

A瓜B.也

D

23T

【正确答案】D

【分析】注意到匕）_中£=%.BDE，利用等体积法可得答案.

【详解】VZnz-C|2R>2P1=-3-SCr|R2>zFi-DC,

112

S3=--C]£-5C=-x1x2=1,DC=2则匕)=

C|OC2129CRF3

在BED中,由题意及图形结合勾股定理可得BE=。£=布，BD=272>

RF?+DF2-RD21

则由余弦定理可得cos/BED=二二匕——=-

2BE-DE5

则sin/BED=J1--=侦厕S=工BE-DE•sinABED=屈.

V255BDb2

设£到平面EBD的距离为d,则VC^BDE=^SBDE-d.

9r=w

又入匕D、-Cr[BEC-B11Drt「E，则PC-BDE=—5BDE,d—=>d=————'

{XJJ'BDE'

故选：D

14.如图，在四棱锥S-/8C。中，S4J•平面/BCZ),四边形Z8CD为平行四边形，

NABC=60°且"=ZB=8C=2,£为山的中点，则异面直线SC与。£所成的角的余

弦值为（)

C.T

【正确答案】B

【分析】分别取SB,8C,CO的中点£G,",连接EF,FG,GH,FH,BD,AC,则可证明

NGFH为异面直线SC与。E所成的角，分别在三角形中由勾股定理求出FG,FH和GH

的长度，利用余弦定理计算得到答案.

【详解】如图所示：

分别取SB,BC,CD的中点F,G,H,连接EF,FG,GH,FH,BD,AC.

由N/8C=60°且Z8=8C=2可得Z6C是等边三角形，

则EFHAB且EF=-AB,DHHAB且。〃=,,故EF//DH且EF=DH,

22

所以四边形为平行四边形，微ED//FH，

因为FGHSC,所以NGE”为异面直线SC与。E所成的角（或其补角），

因为S/_L平面Z8CZ）,/。,/。＜=平面工8。。，，54_1_/。，SA1AC,

故S4c和E4D均为直角三角形,

所以/G=；sc=；Jw2+zc2=；7^=后,FH=ED=NEA、AD2=后，

GH==BD=Lx2^=也,

22

由余弦定理得cosZGFH=2；=叵,

2V5xV25

则异面直线SC与。E所成的角的余弦值为画.

5

故选：B

15.如图，在正方体48。。一44。。1中，点A/，N分别为NC,48的中点，下列说

A.9//平面4。。4B.MN1AB

C."N与CG所成角为45。D.MN_L平面ZC2

【正确答案】D

【分析】连接80,4D,由中位线定理以及线面平行判定判断A；由平面力。。4

证明Z6LMN；由MN&D,CC,。。得出MN与CG所成角；由MN与CR不垂

直判断D.

【详解】对于A：如图，连接8。，4。.

在正方形Z8C。中，M为ZC的中点，.♦./Cc8Z)=/,即"也为3。的中点，

在48。中，〃,N分别为80,的中点，MNA.D,

又•.•W平面/Qu平面4DDi4，：.MN平面4。。，，故A正确;

对于B：Q平面力,故B正确；

对于C：•••MVZQ,CC、A/N与C£所成角为4。〃=45°,故C正确:

对于D：连接A\D,B£CD1,B[D[,v5,C=CDt=B^D1,AB}CD}=60°

•；B】C4。，；.4。与CR不垂直，即MN与CR不垂直，则A/N不垂直平面4cA,

故D错误；

故选：D

二、填空题5*4=20分

16.已知直线MN_L平面&于N,直线NPLMN,则NP与平面a的关系是

【正确答案】NPua

【分析】假设NP<za,然后利用已知证明假设不成立即可.

【详解】假设NP<Xa,记由NP,MN确定的平面为£,ac/3=NA

因为A/N_L平面a,NAua,所以脑V_LN4,

又则在平面夕内，过点N存在两条直线与已知直线垂直（矛盾），

所以假设不成立，故NPua.

故NPua

17.如图，在棱长为1的正方体力BCD—Z4G2中，点/到平面距离是

【分析】利用等体积法求得A到平面力严。的距离.

【详解】&B=BD=AQ=亚,4即为边长为的等边三角形，

设A到平面A.BD的距离为d,根据VA]-ABD=VA_AiBD,

则，x^xlxlxlxd,

3232211

解得d=3.

3

故答案为.正

3

18.如图，在直三棱柱48C-44G中，是等边三角形，=D,E,尸分

别是棱44-BB1,3C的中点，则异面直线。尸与GE所成角的余弦值是.

4G

B

【正确答案】—

10

【分析】通过构造平行线将异面直线所成角转化为相交线的夹角，解三角形即可.

【详解】如图，在棱CG上取一点H，使得CCi=4cH,取CG的中点G,连接BG,HF，

DH，由于G,E分别是棱cq,8片的中点，所以BE=GG,BE//CXG,

故四边形BGgE为平行四边形，进而GE〃8G,

又因为尸，“分别是8C,CG的中点，所以HF〃BG,所以HF〃C]E,则切或

其补角是异面直线。b与GE所成的角.

设Z8=4，则C尸=2,CH=1,AD=2.

从而HF=Jc/2+c“2=逐,DH=《AC2+(AD—CHy=后，

AF=dAB?-BF：=25DF=NAF?+AD2=4，

16+5-17_V5

故cosZDF"

2x4x75-10

故异面直线DF与C】E所成角的余弦值是旦.

10

故答案为.正

10

19.已知三棱锥尸-力8。中，底面/8C是边长为2百的正三角形，点P在底面上的射影

为底面的中心，且三棱锥尸-/6。外接球的表面积为18兀，球心在三棱锥尸-Z8C内,

则二面角P-48-C的平面角的余弦值为

【正确答案】-

3

【分析】根据给定条件，求出球半径并确定球位置，再作出二面角P-ZB-C的平面角,

结合三棱锥的结构特征求解作答.

【详解】设正/8C的中心为。，有OA=OB=OC，而尸。人平面Z8C,则

PA=PB=PC,

延长CO交N8于点。，则点。为45的中点，有PD工AB，CD1AB,

即NP0C为二面角P-AB-C的平面角，

由18=2百，得。。=2。。=2,显然三棱锥尸—48C为正三棱锥，其外接球的球心”在

线段P。上，

由三棱锥P-/3C的外接球的表面积为18兀，则该球半径吹=述，由

2

MC2=MO2+OC2>解得M0=J，

2

PO=2V2>PD=3,所以cosNPDC=^^=,，

PD3

所以二面角P-AB-。的平面角的余弦值为L.

3

故_

3

三、解答题共20分

20.如图，在四棱锥S-Z8C。中，底面是矩形，"，底面/8。>,SA=AD,点

M是S£>的中点，NNLSC且交SC于点N.

（2）求证：平面SZC_L平面4W.

【正确答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）连结8。交/C于E,连结〃£,由三角形中位线的性质可得ME〃S2,结合线

面平行的性质可得S8//平面ACM；

（2）由线面垂直得线线垂直，由线线垂直证明线面垂直，从而证明面面垂直.

【小问1详解】

连结8。交NC于E，连结ME，

因为N6C。是矩形，所以E是6。的中点，

因为M是5。的中点，所以谁是△OSB的中位线，

所以ME//S8,

又A/Eu平面/CW,S6<Z平面NCW,

所以S8//平面NC"