2022-2023学年云南省楚雄州高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年云南省楚雄州高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合4={x∣I-X>0},B={x∣∕<%,则4UB=()

A.(-3,1)B.(-∞,1)C.(1,3)D.(-∞,3)

2.复数Z=1+4i的虚部为()

A.5B.3C.5iD.3i

3.已知单位向量五万的夹角为。，且cos。=-,,则I五一29|=()

A.√^6B.6C.2D.4

4.己知样本数据2xι+3,2x2+3,2与+3,2X4+3,2&+3,2分+3的平均数为9,则

xxxx

另一组数据x2>3>4'5'β>2,4的平均数为()

A.=B.IC.4D.3

7o

5.若Xo是方程2》=12-3x的解，则Λ⅛∈()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

6.如图，在正方体ABCD-48传也中，P,Q,M分别是DO1，

AB,BBl的中点，则异面直线为M与PQ所成角的余弦值为()

A∙Y

R√^0

B-ɪ

√-5

cr'~

D学

7.u2a2-3a<0"是"对任意X∈(-l,ɪ),ɪ2+αx-1<。恒成立"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波清”，位于济南大明湖畔的

B

超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建,今天我们

所看到的超然楼是2008年重建而成的，共有七层，站在楼上观光，

C

可俯视整个大明湖的风景.如图，为测量超然楼的高度，选择C和一个楼房DE的楼顶E为观测

点，已知4,C,D在水平地面上，超然楼ZB和楼房DE都垂直于地面.已知DE=14m,/.ACD=

45o,∆ADC=60°,在C点处测得E点的仰角为15。，在E点处测得B点的仰角为45。，则超然楼

的高度48=()

A.(12+28θ)mB.(32+14√3)mC.(14+28√-3)mD.(28+14ΛΛ^3)W

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知复数Z满足2(z+5)+3(z-5)=4—63则()

A.z=1+iB.Z?是纯虚数

C.∣z∣=2D.复数Z在复平面内对应的点在第四象限

10.某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有

“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”.甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事

件4表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则()

A.事件4和事件B是对立事件B.事件4和事件C是对立事件

C.P(B+C)=P(C)D.P(BC)=P(C)

11.下列式子计算正确的是()

A.cos(-^+2)=-sin2

C.cos700+CoS500=CoSI00

D.tαnllθ°+tan10o+V-^3=Λ∕-3tanll0otanl0o

12.在正三棱锥P-ABC中，P4与底面48C所成角的余弦值为要MB=2「，则()

A.PCLAB

B.三棱锥P-ABC的体积为3√^3

C.二面角P—AB-C的大小为与

D.三棱锥P-ABC的外接球的表面积为等

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.某游客计划从海口市、三亚市、普洱市、昆明市、丽江市这5个地区中随机选择2个地区

去旅行，其中海口市、三亚市属于海南省，普洱市、昆明市、丽江市属于云南省，则这2个地

区在同一省的概率为.

14.若一个样本1,3,5,7,Tn的中位数是4,则这个样本的方差为,这个样本的60%

分位数为.

15.已知函数y=C0s23X(3>0)在曲上的最小值为;，则3的值为____.

τ,04

16.已知AABC外接圆的圆心为0,P是AABC边上一动点，若S=2,CB=C,A=全则

南•前的最大值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，

全校共有IoOO名学生参加，其中男生550名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛

成绩(成绩都在[50,100]内)分为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[9(UoO]5组,得到如图

所示的频率分布直方图.

(1)求ɑ的值以及女生被抽取的人数：

(2)估计这100人比赛成绩的85%分位数(小数点后保留2位).

18.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=logαx(α>0且a≠1)在区间16]上的最大值是2.

(1)求a的值；

2

(2)若函数g(x)=log2(x-ax+；)的定义域为R,求不等式a—m>4中Tn的取值范围.

19.(本小题12.0分)

已知向量五=(√-3sinx,cosx),b=(COSx,cosx)，设函数/'(x)=a∙b-

(1)求/(©在[0苧上的单调增区间;

(2)若对任意X∈[0,g,∣∕(x)-II≤Tn恒成立，求Tn的取值范围.

20.(本小题12.0分)

袋中装有大小完全相同的6个红球，3个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1,

其他球标记了数字2.

(1)每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3

的概率；

(2)从袋中不放回地依次取2个小球,每次取1个,记事件/=｛第一次取到的是红球｝,事件B=｛

第二次取到了标记数字1的球｝,求PQ4),P(B),并判断事件4与事件B是否相互独立.

21.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱ABCBiCi中，侧面A4ιGCJ•底面4BC,AABC为等边三角形，且为加，

B1C.

⑴证明：AA1=A1C.

(2)若AC=AA1=2,求点C到平面44B81的距离.

22.(本小题12.0分)

在△4Be中，角A,B,C所对的边分别为α,b,c,αsinB+b=√_5bcos4

(1)求4

(2)若乙4BC>*过B作BD垂直于力B交AC于点。，E为BC上一点，且BE=G,DE=1，求AE

的最大值.

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：由I-X>0,得x<l,所以4=(-8,1),

由/<9,得-3<x<3,所以B=(-3,3),

所以AUB=(-∞,3).

故选：D.

先解不等式求出两集合，再求两集合的并集即可.

本题考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】B

【解析】解：由复数2=2+41=华α+41=2+33则复数2的虚部为3.

故选：B.

根据复数的运算法则，化简得到z=2+3i,结合复数的概念，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：I五一=a2—4a-b+4b=1—4×1X1×(―ɪ)+4=6>BP∣α—2h|­y∕~6-

故选:A.

根据模长公式即可代入求值.

本题主要考查平面向量的数量积及其运算，属中档题.

4.【答案】D

【解析】解：已知样本数据2与+3,2X2+3,2X3+3,2X4+3,2X5+3,2&+3的平均数为9,

此时(2XI+3)+(2*2+3)+...+(2X6+3)_%

6

可得2%ι+3+2%2+3+2%β+3+2%4+3+2&+3+2%θ+3=54,

所以Xl+%2+%3+工4+%5+%6=18，

则所求数据的平均数为竺客=3.

O

故选：D.

由题意，根据平均数的公式进行求解即可.

本题考查平均数的应用，考查了运算能力.

5.【答案】C

【解析】解：因为函数/(X)=2x+3x-12在定义上单调递增，

又/(2)=22+6-12=-2<0,/(3)=23+9-12=5>0,

所以函数/(x)的零点所在区间是(2,3),

即Xo∈(2,3).

故选：C.

先判断函数f(x)的单调性，再利用零点存在性原理即可求出解的区间.

本题考查了函数的单调性及零点存在定理，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：令AB=2,连接PC、QC、A1P,MC,

因为M、P为BBQODl的中点，易知&P=CM且力IP〃CM,

所以四边形为PCM为平行四边形，

所以&M〃PC,

所以NQPC或其补角为异面直线与PQ所成的角，

在^PQe中，PC=√l2+22=√^^5,QC=√I2+22=√^^5,PQ=

VI2+22+I2=√-6»

5+6-5_√^30

所以COSNQPC=

2×√^5×^^6-10

所以异面直线与PQ所成角的余弦值为哥.

故选：B.

连接PC、QC、A1P,MC,即可得到&M〃PC,从而得到“PC或其补角为异面直线与PQ所

成的角，利用余弦定理求出CoSzQPC,即可得解.

本题考查了异面直线所成角的求法，重点考查了异面直线所成角的作法，属基础题.

7.【答案】A

【解析】解：由不等式2α2-3α<0,可得O<α<|,

1(1一Q-1≤OO

又由％2+dχ—1<O在(―l,ʒɔ上怛成A可得］1,Q八，解得O≤Q≤5，

2U+2^1≤02

所以w2a2-3α<O”是"对任意*∈(-l,∣),x2+ax-1<O恒成立”的充分不必要条件.

故选:A.

根据不等式的解法和二次函数的性质，分别求得实数α的取值范围，结合充分条件、必要条件的判

定方法，即可求解.

本题考查了充分必要条件的判断，考查了学生的运算转化能力，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：过E作EFIAB,交4B于点F,

因为在E点处测得B点的仰角为45。，可得ABFE为等腰直角三角形，所以

BF=EF,

ED_14

因为NECO=15°,所以CD

Snl5°tαnl50,

在AACO中,由正弦定理得焉CD_14_14

sin750亡Qnl50cosl50sinl50'

又由sinl5°=sin(450-30o)=S出45°COS300-cos450sin300=v6~v2,

所以AD==14(「+l)m>

曹√6一—V彳2

则4B=BF+ED=14(√3+1)+14=(28+14√3)m.

故选：D.

过E作EF-B,得到BF=EF,在AACD中,由正弦定理得到磊=焉,进而求得4。的长.

本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解实际问题中的应用，属于中档题.

9.【答案】BD

【解析1解：设Z=α+仪,Q,bERf贝IJZ=Q—bi,则2(z÷z)+3(z—z)=4α÷6bi=4—63

所以¢2=4/解得a=l，b=-l,因此Z=I-34错误；

z2=(i-i)2=-2i为纯虚数，B正确；

∖z∖=V""2,C错误；

z=l-G其在复平面内对应的点为(1,一1),在第四象限，。正确,

故选：BD.

设z=α+bi,a,bWR,根据复数的加减运算以及复数的相等求得α,b,可得z,结合复数的乘

方以及模的计算和几何意义，即可判断答案.

本题主要考查了复数的四则运算及复数的几何意义的应用，属于基础题.

10.【答案】BC

【解析】解：因为AUB表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，

即事件4和事件B不是对立事件，A错误；

事件A表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲中奖”，

则事件4和事件C是互斥且和事件为全集，事件4和事件C是对立事件，B正确；

又因为BUC,所以P(B+C)=P(C),C选项正确；

P(BC)=P(B),D选项错误.

故选：BC.

根据对立事件判断4B选项；根据事件的包含关系判断C,D选项.

本题考查互斥事件、对立事件、事件的包含关系等基础知识，是基础题.

11.【答案】BCD

【解析】解：对于4由三角函数的诱导公式，可得cos(-5+2)=siτι2,故A错误；

对于8,由S讥2=2s讥Icosl=当产I；=日驾7,故8正确；

sιnzl÷cos2ll+tanzl

对于C,由cos700+CoS50°=cos(60o+10o)+cos(60o-10o)=cos600cosl00—sm60osml0o+

CoS60°CoSl00+sin60osinl0o

=2cos600cosl00=cosl0o,故C正确；

对于D,因为tml20°=tan(110o+10°)=嘿=-O，

'Jl-tanllθtαnlθ

所以tcmllθ°+tαnl0o=yΓ3tanll0otanl0o—√-3，

BPtanllOo+tonIO0+<3=qtcmllθ°tcmlθ°,故D正确.

故选：BCD.

根据三角函数的诱导公式和三角恒等变换的公式，逐项判定，即可求解.

本题考查三角函数的诱导公式和三角恒等变换，属于中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：由题意，作正三棱锥P-ABC,取AB的中点。，连接PD,CD,

取等边AABC的中心。，连接PO,A0,如图所示.

在正三棱锥P—力BC中，因为。为28的中点，所以PDl4B,

在等边△4BC中，因为。为AB的中点，所以CDl4B.

又POnCD=C,PD,CDc5F≡PDC,

所以力BI平面PCC,因为PCU平面PDC,所以PCIAB,所以A正确，

因为三棱锥P-ABC为正三棱锥，等边△力BC的中心为。，所以P0_L平面ZBC,

所以NPa。为P4与底面ZBC所成的角，

则COSZTMO=*=^r^γ~∙

因为4B=2C,所以A。=,x?x2/3=2，OD=^×^-×2y∏=1>所以喜=手，得

•5Z.3N∕ir/

AP=√^7,

所以。P=√AP2-AO2=√7-4=q,

所以三棱锥P-ABC的体积为gX?X(2C)2X√"3=3,所以8错误，

因为PDJ.4B,CDLAB,所以二面角P-AB-C的平面角为ZPDC,

所以tan∕PDC=需=√3因为ZPDC为锐角，所以"DC=*所以C正确，

设正三棱锥P-ABC的外接球的半径为r,则(r-P0)2+CO?=「2,可得①一q)2+4=N,解

得r=杀，

故正三棱锥P-力BC的外接球的表面积S=4兀"=等，故。正确.

故选：ACD.

取48的中点D,连接PD,CD,取等边AABC的中心。，连接P。，AO,然后根据正三棱锥的性质

结合已知条件逐个分析判断即可.

本题主要考查了三棱锥的体积计算、几何体的外接球问题以及空间角的有关计算，属于中档题.

13.【答案】I

【解析】解：设海口市、三亚市、普洱市、昆明市、丽江市分别记为4,B,1,2,3,

从5个地区中随机选择2个地区共有｛(4B),(Λl),(42),(43),(Bl),(B2),(83),(12),(13),(23)｝共有

10种情况,

其中2个地区在同一省的情况有｛(4B),(12),(13),(23)｝共有4种，所以所求的概率为|.

故答案为：|.

列举所有基本事件数，即可由古典概型的概率公式求解.

本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题.

14.【答案】4∣

【解析】解：若样本1，3,5,7,Tn的中位数是4,

此时Tn=4,

所以该样本的平均数彳=1+3+；+5+7=%

方差S2_(1-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(7-4)2_尔

又5X60%=3,

所以这个样本的60%分位数为亨=I

故答案为：4；

根据题意，结合中位数的概念，得到m=4,求得样本的平均数为三=4,利用方差的公式，即可

求解.

本题考查中位数和百分位数的应用，考查了逻辑推理和运算能力.

15.【答案琦

【解析】解：y=cos2ωx=ɪ(l+cos2ωx),

又P-烷］，

所以23%∈[―ɪ,ɪ].

因为y=+C0S23X)取得最小值"

所以y=CoS23%取得最小值一去

因为2sr∈[―ɪ,ɪj,ω>0,

πω2π(πω2π

3-3I2-3

-ττω=_2τr,gK<πω_2π,

一三一^τlɪ-T

(ω>0Ia)>0

解得3=

故答案为：I

对函数化简得y=2(1+cos2eυ%),由％的范围，求得2tox的范围，则由题意可知y=cos2gχ在

2se[-詈,第取得最小值V，从而可得关于3的不等式组，进而可求得结果.

本题考查了余弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题.

16.【答案W

【解析】解：在△力BC中，由余弦定理得CB2=ca2+AB2一

2CA∙ABcosAf

即7=4+AB2-2X2∙ABX5^AB2-2AB-3=0,解得

AB=3或AB=-1（舍去），

分别过点。，P作。MlAB,PNIAB,即向量而在向量荏方向上的投影为MN,

因为。为AABC的外心，所以M为4B中点，

由向量的数量积公式以及投影向量的定义知，当点P运动到B点时，丽.前取得最大值,

其中最大值为I画∙∖MB∖=1∖AB∖2=γ

故答案为：

在△力BC中，由余弦定理求得AB=3,过点。，P作。M14B,即向量而在向量同方向上的投影

为MN,结合向量的数量积公式以及投影向量的定义，得到当点P运动到B点时，希•丽取得最大

值，即可求解.

本题考查平面向量的数量积与投影，属于中档题.

17.【答案】(1)解：由频率分布直方图的性质，可得(0.010+0.020+a+0,030+0.005)×10=1,

解得α=0.035,其中女生被抽取的人数为IK需°X100=45.

(2)解：由频率分布直方图可得：

(0.010+0.020+0.035)×10=0.65<0.85,(0.010+0.020+0.035+0.030)X10=0.95>

0.85,

所以85%分位数位于区间［80,90),则85%分位数为80+写萨X10≈86.67.

【解析】(1)根据频率分布直方图的性质，列出方程求得ɑ的值，结合分层抽样的分法，求得女生

被抽取的人数；

(2)根据频率分布直方图的百分位数的计算方法，即可求解.

本题考查频率、频数、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

18.【答案】解：(1)当0<α<l时，函数/(%)在区间日,16］上是减函数，

因此当X=；时，函数f(x)取得最大值2,即的a；=2,因此a=：.

当α>1时，函数/(x)在区间弓,16］上是增函数，

当％=16时,函数f(%)取得最大值2,即IOgaI6=2,因此α=4.

故Q=或α=4；

2

(2)因为以久)=log2(x-ax+》的定义域为R,

所以Z=α2—1<0,则一1<α<1,即α=ɪ,

代入不等式α-3m>4,得0)l-3m>(}-2,

则l-3m<-2,解得τn>l,因此nι的取值范围是(I,+8).

【解析】(1)分0<α<1和α>1两种情况利用对数函数单调性列方程可求出α的值；

(2)由函数的定义域为R,可得∕=α2-l<0,再结合(1)可求出α,然后利用指数函数的单调性可

求出Hl的取值范围.

本题主要考查函数的最值及其几何意义，属于中档题.

19.【答案】解：(1)已知向量互=(√-3smx,cosx^),b=(cosx,cosx)»

则f(%)=五∙石=yf~3sinxcosx+cos2x=^γ-sin2x+^cos2x+ɪ=sin(2x÷+ɪ,

当％∈[0,今时，

贝⑵+旌*5•

1Jr.TTJTt

^6≤2x+6≤2^

可得0≤X≤≡,

O

故函数F(X)在[0,且上的单调增区间为[0,J

(2)当X∈Q刍时,则2三+「∈[∣,y],

故当2x+S=*即X=狎j,函数/(X)的最大值为|,

当2X+3=?,即X=狎j,函数/(x)的最小值为0,

所以If(X)-1|在[。苧上的最大值为1，

由于对任意X∈[0,≡],∣∕(x)-l∣≤Tn恒成立，

故m≥1,

故m的取值范围为[1,+∞).

【解析】(1)根据数量积的坐标表示并结合二倍角公式和两角和的正弦公式化简求得f(x)的表达式,

根据支的范围，结合正弦函数的单调性，即可求得答案；

(2)根据X的范围，求得f(x)的最值，继而求得∣∕(x)-l∣的最大值，结合不等式恒成立，即得答案.

本题考查了平面向量数量积的坐标表示，重点考查了二倍角公式、两角和的正弦公式及三角函数

的性质，属中档题.

20.【答案】解：(1)第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3的概率B=]x

2,41_8

9+9×9=81,

22148

X+X

=一

第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3的概率P29-9-

81

则所求的概率为3+3=券9-9-

OiOlOl

(2)“第一次取到的是红球”的概率P(A)=5=I

7ɔ

“第二次取到了标记数字1的球”的概率P(B)=∖x*]x∣=;,

7O7Oɔ

“第一次取到红球且第二次取到了标记数字1的球”的概率PQ4B)=1x:+!x]=1

70707

因为尸。B)=P(A)P(B)成立，所以事件4与事件B相互独立.

【解析】(1)在有放回抽样的条件下，根据古典概型概率公式，分两种情况进行计算；

(2)分别找出事件4B的概率，根据相互独立事件的定义可判断4B是否独立.

本题考查古典概型的概率公式和相互独立事件的判断，属基础题.

21.【答案】解：⑴证明:在三棱柱AIC-A∕ιG中,取AC的

中点D,连接&D，取AIG的中点E,连接BiE,CE,

则&E〃DC且&E=OC,四边形40CE为平行四边形，有

A1D∕∕CE,

由4%=BICl,E为&Cl的中点,得AlClIBIE,又&ClLB1C,

BiCCBlE=B1，B1C,BlEU平面CBlE,

于是AiGJ■平面CBiE,又AC〃Al"

因此4C平面CB/,又CEU平面CB/,即有ACJLCE.

^A1D∕∕CE,则ACIyIlD,又D为AC的中点,

所以