2022-2023学年湖南省湘潭市高三（上）入学数学试卷

2022-2023学年湖南省湘潭市高三（上）入学数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）己知集合4={x6R|f-x=0},B={XER\X2+X^0},则ACB=（）

A.{1}B.{-1}C.{0,1}D.{-I,0,1）

2.（5分）复数（招）5=（）

A.-1B.1C.-iD.i

3.（5分）若函数/（x）=sin2t的图象由函数g（x）=cos2%的图象经过以下变换得到的,

则该变换为（）

777T

A.向左平移；个单位长度B.向左平移二个单位长度

24

7T7T

C.向右平移二个单位长度D.向右平移二个单位长度

24

4.（5分）已知直三棱柱ABC-481。的侧棱和底面边长均为1,M,N分别是棱5C,A1B1

上的点，且CM=2BiN=人,当〃平面A4C1C时，入的值为（）

3211

A.-B.-C.-D.一

4323

5.（5分）设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片，现有20块该规格

的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为金，现

从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08,则甲厂生产该芯片的次品

率为（）

1111

A.—B.—C.—D.—

5101520

6.（5分）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义双（蛇N）

是函数零点近似解的初始值，过点Pk（xk,f（xk））的切线为y=/（xt）（x-耿）

切线与x轴交点的横坐标为XMI,即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满

足精度的初始值即为函数零点近似解.设函数f（x）=/-5,满足刈=1.应用上述方

法，则X3=（）

7.（5分）在四边形ABC。中，G为△BCD的重心，AG=2,点O在线段4G上，则04•（OB+

OC+OD）的最小值为（)

A.-3B.-2C.-1D.0

1111iq

8.(5分)已知a=zsi7i己,c=ypcos^,贝ij()

05□olao

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）已知函数/（x）=sirmx+cosnx（x€R）,则下列说法正确的是（）

A.函数/（x）是周期函数

B.函数/（X）的最大值是2

C.函数f（x）的图象关于点（一/，0）对称

D.函数/（x）的图象关于直线x=：对称

（多选）10.（5分）已知函数/（X）=lnx,a>0,则下列结论中正确的是（）

A.函数y=/Q+x）-f（x）是其定义域上的减函数

B.函数y=/（“-x）+fC-x）是其定义域上的减函数

C.函数y=/（a-x）+f（.a+x）是其定义域上的增函数

D.函数y=/（“+x）-f（a-x）是其定义域上的增函数

（多选）11.（5分）已知直线/：y=k（x-1）（HO）与抛物线C：/=4x交于A,8两点,

点O为坐标原点，若线段AB的中点是M（加，1）,则（）

A.k=2B.m=3C.|A同=5D.OALOB

（多选）12.（5分）如图，已知圆锥顶点为P,其轴截面△以B是边长为6的为正三角形,

0\为底面的圆心,EF为圆0\的一条直径，球。内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切）,

点。是球。与圆锥侧面的交线上一动点，则（）

A.圆锥的表面积是45n

B.球。的体积是4次兀

C.四棱锥Q-AEBF体积的最大值为9百

D.|QE|+I2f]的最大值为6企

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）若关于x的不等式/-ar+b<0的解集｛x|l〈x<2｝,则实数a+6=.

14.（5分）设（1+x）"=ao+aix+ai^+-+anx!'（nGN*,w24）,若i€｛0,1,2,…，

n],则”的所有可能取值的个数是.

15.（5分）某灯泡厂对编号为1,2,…，15的十五个灯泡进行使用寿命试验，得到奇数号

灯泡的平均使用寿命（单位：小时）为1580,方差为15000,偶数号灯泡的平均使用寿

命为1580,方差为12000,则这十五个灯泡的使用寿命的方差为.

y2

16.（5分）已知双曲线C：---=1（a>0,b>0）的右顶点为A,若以点A为圆心，

a2b2

以人为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点，点。为坐标原点，且盛=5ON,

则双曲线C的离心率为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（10分）设数列｛〃”｝（〃6N*）的前”项和为S”S,,=2an-1,数列｛为｝（n£N*）是等差

数列，其前“项和是力”且如=〃3,b5=a5.

（1）求数列｛斯｝和｛尻｝的通项公式；

（2）求使得7；"是数列｛历｝中的项的m的取值集合.

18.（12分）设aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A为钝角，且tanB=1

（1）探究A与8的关系并证明你的结论；

（2）求cosA+cosB+cosC的取值范围.

19.（12分）如图，在四棱锥P-A8CD中，己知四边形A8CC是梯形，AB//CD,ADA.AB,

AB=BC=2CD=2,△P8C是正三角形.

（1）求证：BCVPA-,

（2）当四棱锥P-A2CO体积最大时，求：

①点A到平面PBC的距离；

②平面PAB与平面PAD夹角的余弦值.

P

D怒

AB

20.（12分）湘潭是伟人故里，生态宜居之城，市民幸福感与日俱增.某机构为了解市民对

幸福感满意度，随机抽取了120位市民进行调查，其结果如下：回答“满意”的“工薪

族”人数是40人，回答“不满意”的“工薪族”人数是30人，回答“满意”的“非工

薪族”人数是40人，回答“不满意”的“非工薪族”人数是10人.

（1）请根据以上数据填写下面2X2列联表，并依据a=0.01的独立性检验，分析能否

认为市民对于幸福感满意度与是否为工薪族有关联？

满意不满意合计

工薪族

非工薪族

合计

（2）用上述调查所得到的满意度频率估计概率，机构欲随机抽取部分市民做进一步调

查.规定：抽样的次数不超过〃若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结

束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达

到〃时，抽样结束.记此时抽样次数为X”.

①若〃=5,求X5的分布列和数学期望；

②请写出X”的数学期望的表达式（不需证明），根据你的理解说明X”的数学期望的实际

意义.

附：

a0.0500.0100.005

刈3.8416.6357.879

2

参孝公式.2_九3一比)

2M式.x-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'其中n=a+b+c+d.

21.（12分）如图，已知A,8两点的坐标分别为（-2,0）,（2,0）,直线AP,BP的交点

为P,且它们的斜率之积为-器

（1）求点尸的轨迹E的方程；

（2）设点C为x轴上（不同于A,B）一定点，若过点P的动直线与E的交点为Q,直

线P。与直线x=-2和直线x=2分别交于M,N两点，求证：NACM=/ACN的充要

条件为/ACP=/ACQ.

22.(12分)已知/(x)—elv+(a+1)Inx.

(1)若/(x)在定义域上单调递增，求〃的取值范围；

(2)设函数g(x)=/(%)-"，其中心：，若g(X)存在两个不同的零点XI,%2.

①求”的取值范围；

②证明：Xl+X2>2.

2022-2023学年湖南省湘潭市高三（上）入学数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.(5分)已知集合A={居R|/-x=0},8={XER|/+XN0},则AA8=()

A.{1}B.{-1}C.{0,1}D.{-1,0,1)

【解答】解：由题意可得，x2-x=0,即x=l或x=0,故4={0,1},

又7+工力0,即工工-1或xWO,贝ljB=-1或x^O},

则AC8={]},

故选：A.

2.（5分）复数（署）5=（）

A.-1B.1C.-iD.i

(1)2

【解答】解：=

(1+0C1-0

故选：C.

3.（5分）若函数/（x）=sin2x的图象由函数g（x）=cos2x的图象经过以下变换得到的,

则该变换为（）

7171

A.向左平移；个单位长度B.向左平移一个单位长度

24

7171

C.向右平移；个单位长度D.向右平移二个单位长度

24

【解答】解：f（x）=sin2x=cos（2x—=cos2（x—今），

71

即函数f（x）=sin2x的图象由函数g（x）=cos2x的图象向右平移一个单位长度得到，

4

故选：D.

4.（5分）已知直三棱柱ABC-A18C1的侧棱和底面边长均为1,M,N分别是棱BC,A\B\

上的点，且CM=2BiN=入，当MN〃平面A4C1C时，入的值为（）

【解答】解：过N作NP〃BiCi交AiCi于P,连接CP,

为G

因为例C〃8iCi,：.NP//MC,故N,P,M,C共面，

因为MN〃平面A4C1C,平面MNPCC平面AA\C\C=CP,A/Nu平面MNPC,

所以MN〃CP,又NP//MC,

四边形MNPC为平行四边形，

又CM=2B\N=X,；.NP=1—§=入=",

二，=I,

故选：B.

5.（5分）设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5〃%规格的芯片，现有20块该规格

的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为工，现

20

从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08,则甲厂生产该芯片的次品

率为（）

1111

A.-B.-C.-D.一

5101520

【解答】解：设甲条生产线生产芯片的次品率为p,则甲生产12块芯片可能出现的次品

为12p,乙生产8块可能出现的次品为8乂克=|,

12p+j1

所以生产20块芯片的次品率为=0.08,解得片击，

所以甲厂生产该芯片的次品率为力.

10

故选：B.

6.（5分）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义必（依N）

是函数零点近似解的初始值，过点Pk（xk,f（xk））的切线为y=/（xk）（x-xk）

切线与X轴交点的横坐标为欧+1,即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满

足精度的初始值即为函数零点近似解.设函数=/-5,满足刈=1.应用上述方

法，则X3=()

74751

A.3B.~C.——D.——

32121

【解答】解：因为/(x)=/-5,所以，(x)=2x,又x()=l,f(xo)=2,

所以在点尸0(1,-4)的切线方程为y+4=2(x-1),

令y=0，解得力=3,得P(3,4),所以在点尸।的切线方程为y-4=6(x-3),

令y=0,得P20，3，所以%2=?，所以在点P2的切线方程为丫苫=学0-台，

令y=0，得刀3=条，

故选：C.

7.(5分)在四边形ABCD中，G为△BCD的重心,AG=2,点。在线段AG上，则21•(OB+

日?+心)的最小值为()

A.-3B.-2C.-1D.0

【解答】解：如图所示：

因为OG=OB+BG,OG=OC+CG,OG=OD+DG,

所以而+OC+OD=3OG,

于是有后-(OB+OC+OD)=3OA-OG=-3|tM|•\OG\,

—>—>

X|(M|-\OG\<(l0/>l+l0Gl)2=1,当且仅当|&|=\OG\=1时取等号,

所以后-(OB+OC+OD)=3OA-OG>-3.

故选:A.

0

AB

8.(5分)已知a=b=\sin\,c-YRCOS7,贝!I(

ODDOIDO

A.a<h<cB.h<a<cC.a<c<bD.c<a<h

【解答】解：易知〃，b,cE（0,+8）,

又30〃=5sin-,30/?=6sin-,30c=2cos-,

566

i7rn

设/(x)=-sinx,xG(0,—),VxG(0,—)时，x<tanx,

%22

(%—tcmx)cosx

(x)<0,

X2

71

：.f(x)在(0,-)上单调递减，

11

：.f(-)<f(-),即30。<300，：.a<b,

56

7T,

Vxe(0,—)时，sinxVx,

2

11

，30b=6sin-<6x^=1,

66

,一5n

而30c=2cos->2cos—=1,

63

・・・30c>30。，：.c>b.

综合可得a<b<c.

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）已知函数/（X）=simLr+cos-nx（x6R）,则下列说法正确的是（）

A.函数f（x）是周期函数

B.函数/（x）的最大值是2

C.函数“x）的图象关于点（一20）对称

D.函数f（x）的图象关于直线x对称

【解答】解：函数/（x）=sinitx+cosTLr=Vising+勺，

对于选项A,函数的周期7=今=2,即函数/（X）是周期函数，即选项A正确；

对于选项B,当以+今=2而+}即x=2k+/,依Z时，函数/"（X）取最大值夜，即

选项8错误:

对于选项C,由7r%+1=/c7T,kEZ,可得：%=/c-4,k£Z,即函数/(x)的图象关于

，q

点、(k-a,0),依Z对称，即选项C正确；

对于选项£>,由71%+]=kzr+1依Z,可得：%=k+4,k£Z,即函数/(x)的图象关

于直线x=k+4，依Z对称，令k+提另,%无整数解，即选项。错误，

故选：AC.

(多选)10.(5分)已知函数f(x)=lnx,«>0,则下列结论中正确的是()

A.函数y=/(a+x)-/(x)是其定义域上的减函数

B.函数y=/(a-x)4/(-x)是其定义域上的减函数

C.函数y=/(a-x)■»/(a+x)是其定义域上的增函数

D.函数y=/(a+x)-f(a-x)是其定义域上的增函数

【解答】解：•函数/(x)=13a>0,

函数y=/(a+x)-f(JC)=ln(a+x)-lnx=hr-^--In+1)在其定义域上是减函

数，故4正确；

Q-%

函数y—f(a-x)4/(-x)=ln{a-x)-InC-x)=ln---=ln(1——)在其定义域上

-xx

是增函数，故B错误；

函数y—fCa-x')+f(a+x)—In(a-x)+ln(a+x)—In(a-x)(a+x)—In(a2-x1)

在其定义域(-a,a)上不单调，故C错误；

a+x

函数y=/(o+x)-/(a-x)=ln(〃+x)-In(a-x)=ln---=ln(1——n)在其定义域

a-xx

上是增函数，故。正确，

故选：AD.

(多选)11.(5分)已知直线/：y=k(x-1)(^0)与抛物线C：/二公交于A,B两点,

点。为坐标原点，若线段A3的中点是M(m，1),则()

A.k=2B.m=3C.\AB\=5D.OALOB

【解答】解：联立”一1)，消去X可得?一、1=。，

设A,3的坐标分别为(/1,y\),(九2,)2),

可得y\+y2=%)”?=-4,

由线段A5的中点是M(机，1),可得yi+”=2,

4

即有丁=2,即&=2,故A正确；

k

X1+尤2=-12='（yi+y2）2-2yiy2]=X（4+8）=3,

即有2根=3,解得初=|,故B错误；

|A8|=J1+，J仇+ya）?-4yly2=苧xy/4-4X（-4）=5,故C正确；

由koA9koB=71,—=•"与=——=-4W-1,所以0A不垂直于0B,故D错误.

X1%2712722

故选：AC.

（多选）12.（5分）如图，已知圆锥顶点为P,其轴截面△抬2是边长为6的为正三角形,

Oi为底面的圆心,EF为圆0i的一条直径，球。内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切）,

点。是球。与圆锥侧面的交线上一动点，则（）

E

A.圆锥的表面积是45n

B.球。的体积是4g兀

C.四棱锥Q-AE8F体积的最大值为9次

D.IQEI+IQFI的最大值为6夜

【解答】解：依题意，动点Q的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为。2,

连接PO,如图，

正△以B内切圆即为球。的截面大圆，球心。、截面圆圆心02都在线段P0\上，连0。,

(hQ,POi=3V3,

则球0的半径。。1=V3,显然OQ_LP。，O2QLPO,NPOQ=60°,。。2=*10Q=长/?,

cc西cc_3八八3总

。2。=彳。。=2，

2

对于A,圆锥的表面积是S=7roi炉+7r.-Pi4=7rx34-7rx3x6=27n,A错误;

对于8,球。的体积是U=等。0：=竽x（8>=4\怎兀，2正确；

对于C,因。到平面AEBF的距离与截面圆圆心02到平面的距离相等，均为手，

则当四边形AEBF的面积最大时，四棱锥Q-AEBF的体积最大，

1

SAEBF=-EFsin^AO^E<18,当且仅当/AOiE=90°,即EF1.AB时取"="，

则四棱锥Q-AEBF体积的最大值为.X18X—=9正，C正确；

对于D,因Q。：=Q01+。10:=9,则有。。1=E0i=F0i=3,即QELQF,因此QEr+QF1

=EF2=36,

由均值不等式得：QE+}<JQE2；QF]=30,即+QF<6vL当且仅当QE=

QF时取“=”，。正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）若关于犬的不等式7-or+bVO的解集31VxV2},则实数〃+b=5.

【解答】解：不等式/-以+/7Vo的解集{Ml〈xV2},

即7-依+b=。的解为刘=1,12=2,

由韦达定理可得：X1+X2=〃，即〃=3

x\9x2=h,即/?=2.

那么：a+b=5.

故答案为5

14.（5分）设（1+%）Tl=ao+aix+ai^+'+anX11（nEN*,几24）,若。4、加正{0,1,2,

〃},则九的所有可能取值的个数是3.

【解答】解：根据二项式定理展开式，当展开式的项数为奇数项时，正中间项的二项式

系数最大，

当展开项为偶数项时，展开式的中间两项的二项式系数最大，

所以〃的取值可以是7,8或9.

故答案为：3.

15.（5分）某灯泡厂对编号为1,2,15的十五个灯泡进行使用寿命试验，得到奇数号

灯泡的平均使用寿命（单位：小时）为1580,方差为15000,偶数号灯泡的平均使用寿

命为1580,方差为12000,则这十五个灯泡的使用寿命的方差为13600.

【解答】解：根据题意，奇数号灯泡共8个，偶数号灯泡共7个，

又由奇数号灯泡的平均使用寿命（单位：小时）为1580,偶数号灯泡的平均使用寿命为

1580,则15个灯泡平均使用寿命为1580,

这十五个灯泡的使用寿命的方差$2=得x15000+£xl2000=13600；

故答案为：13600.

X2V2

16.（5分）已知双曲线C———=\（a>0/?>0）的右顶点为A,若以点A为圆心，

a2b2f

以〃为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点，点。为坐标原点，且0力=SON,

则双曲线。的离心率为—.

3

【解答】解：过点A作APJ_MN于点P,则点尸为线段MN的中点,

因为点A为（a,0）,渐近线方程为｝，=土勺,

a

所以点A到渐近线产多的距离为|AP|=雪生ab

I------------2

在Rt/XOAP中，|OP|=yj\OA\2-\AP\2=ag

.2

在RtANM中，|NP|=V|/l/V|2-\AP\2=

tt〔q

因为。M=SON,所以|OP|=|ON|+|NP|=|NP|+?NP|=]|NP|,

23h2

所以一a=-x一,即2〃2=3廿，

c2c

所以离心率e=5=|1+当=]^.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.(10分)设数列｛a”｝(nGN*)的前"项和为S",Sn=2an-1,数列｛加｝(nGN*)是等差

数列，其前〃项和是力”且从=。3,加=45.

(1)求数列｛a〃｝和｛加｝的通项公式;

(2)求使得小是数列｛尻｝中的项的根的取值集合.

【解答】解：(1)由S=2s,-1知，ai=l,

当〃》2时，Sn-i=2an-\-1,所以所以数列｛。”｝是等比数列，

故数列｛4"｝的通项公式为册=2吩1,

又因为61=4,加=16,所以数列｛氏｝的公差为4=3,

故数列｛加｝的通项公式为加=4+(n-1)X3=3n+1；

(2)由(1)知，7=4m+3吗T)=3[m+吗二,+6,

而m+吗T)eN*,bn=3n+1,所以当且仅当巾=3k+l(keN)时，7,”是数列｛加｝

中的项，

即所求的m的取值集合为｛〃力〃?=3k+l,&6N｝.

18.(12分)设aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A为钝角，且tanB=1

(1)探究A与B的关系并证明你的结论；

(2)求cosA+cosB+cosC的取值范围.

【解答】解：(1)A=*+8,证明如下:

因为4为钝角，且tanB=[

sinBsinB

所以由正弦定理可得

cosBsinA'

因为sinBWO,

n

所以可得sirbA=cosB=sin(—―B),

2

TC

因为A为钝角，为锐角，

可得A+*

所以A=*+8.

(2)由A+B+C=m且A=*+8,

可得C=*-28>0,

所以OVBV?

可得cosA+cosB+cosC

nn

=cos(—+B)+cosB+cos(——2B)

22

=-sinB+cosB+2sinBcosB,

令f=cos8-sinB,则r=/cos(5+与)G(0,1),且sin28=l-P,

所以cosA+cosB+cosC=-?+/+l=-(—*)2+1»

当f=别寸，取得最大值，最大值为I，当，=1或0时，函数值为1,

5

所以cosA+cosB+cosC的取值范围是(1,

4

19.(12分)如图，在四棱锥P-A8CD中，已知四边形A5CD是梯形，AB//CD,AD±AB,

AB=BC=2CD=2,△P8C是正三角形.

(1)求证：BCA.PA；

(2)当四棱锥P-A8CO体积最大时，求：

①点A到平面P8C的距离；

②平面PAB与平面PAD夹角的余弦值.

【解答】(1)证明：如图，取AB的中点E,连接CE,AC,

\'AB=2CD,AB//CD,

：.CD与AE平行且相等，四边形AECD是平行四边形,

又AO_LAB,四边形AECC是矩形，ACELAB,

：.AC^BC,.,.△ABC是等边三角形，

取BC的中点0,连接AO,则AOLBC,

连接PO,,:PB=PC,：.POLBC,

"：POyAO=0,POAOu平面必。，

，BC_L平面用O,平面以0,C.BC^PA.

(2)①由(1)知，ZXABC是等边三角形，

...梯形ABCD的面积S=竽为定值，

故当平面PBC_L平面ABCD时，四棱锥P-A8C。体积最大，

VPOA.BC,；.PO_L平面ABC。，：.POLOA,

"：OA±BC,BCCiPO=O,BC、POu平面PBC,；.AO_L平面PBC,

故此时点A到平面PBC的距离等于04=V3；

②，：0P,OA,。8两两互相垂直，，以O为坐标原点，04,OB,0P分别为x轴、y轴

和z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则做遮，0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),P(0,0,V3),

由CO=BA>可得—9，0)>

：.PA=(V3,0,一遮)，PB=(0,1,-V3),

T"4T

AD=0),AP=(-V3,0,V3),

设平面PAD的一个法向量为薪=(Xo，y0>z。)，

Lt(V33八

由［亭甘=0得］-彳-0-240=0,

AP=0［-V3-x04-V3-z0=0

可取%o=z0=百，y0=-1,则m=(V3,—1,V3),

设平面附8的法向量为I=Qi，Zi),

则竹小=9即产%】二每】=°,

。・P8=05—，3zi=0

取无i=zi=l,则yi=遮，则九=(LV3,1),

而:|_/3_'顿

设平面与平面玄。的夹角为。，则cos8===

|m||n|V3535

故所求的平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值为甯.

20.（12分）湘潭是伟人故里，生态宜居之城，市民幸福感与日俱增.某机构为了解市民对

幸福感满意度，随机抽取了120位市民进行调查，其结果如下：回答“满意”的“工薪

族”人数是40人，回答“不满意”的“工薪族”人数是30人，回答“满意”的“非工

薪族”人数是40人，回答“不满意”的“非工薪族”人数是10人.

（1）请根据以上数据填写下面2X2列联表，并依据a=0.01的独立性检验，分析能否

认为市民对于幸福感满意度与是否为工薪族有关联？

（2）用上述调查所得到的满意度频率估计概率，机构欲随机抽取部分市民做进一步调

查.规定：抽样的次数不超过〃（〃CN*）,若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结

束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达

到〃时，抽样结束.记此时抽样次数为X”.

①若〃=5,求X5的分布列和数学期望；

②请写出X”的数学期望的表达式(不需证明)，根据你的理解说明X”的数学期望的实际

意义.

附：

a0.0500.0100.005

xo3.8416.6357.879

2

参考公式.x12=-----Mad-bc)------其中>c+d

2考AA.x(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'央ia+o+c+a.

【解答】解：(1)由题意可得，2X2列联表为：

满意不满意合计

工薪族403070

非工薪族401050

合计8040120

9

2=120X(40X10—30X40)，=48

K-80x40x70x50—7-6-857>6-6351

根据a=0.01的独立性检验，认为市民对幸福感的满意度与是否为工薪族有关，此推断

犯错误的概率不大于0.01;

(2)①当〃=5时，X5的取值为1,2,3,4,5.

由(1)可知市民的满意度和不满意度分别为|和巳，

23

所以P(X5=1)=4,P(X5=2)=|X1,P(X5=3)-(-)x1,P(X5=4)-(-)x

333333

24

P(X5=5)=(-)4,

3

所以X5的分布列为：

X512345

121212^1

P-X-(-)92x|(-)3x4(-)4

33333333

所以E(X5)=lx/2x^x鼻3X(-)2X1+4X(-)3X1+5X(-)，=券;

33333381

1212i2

②由①得E(X”)=lx^+2x^xW+...+(n-1)(-),r2x4+nX(-),rl

JJJ3J3

12、n2[2、2、2..

=4[1X(-)°+2X(-)1+3义(-)92+...+(72-1)(-)〃2]+nX(一)〃I

3L33333

2222

令％=1X(-)°+2X(-)】+3X(-)2+...+(n-1)(-)〃-2,(〃>2)①，

3333

22222

：.-Sn=\X(-)]+2X(-)2+3X(-)3+...+(n-1)(-)〃-1(n>2)②，

33333

122222

①-②得，-S=(-)°+(-)1+(-)2+...+(-)n'2-(n-1)(-)"-1=3-(»+2)X

3n33333

(-)ni,

3

2..

：.E(X„)=3-2X(-)"I

3

当"趋向于正无穷大时E(X“)趋向于3,可以理解为平均每抽取3个人，就会有一个不

满意的市民.

21.(12分)如图，已知A,8两点的坐标分别为(-2,0),(2,0),直线AP,8P的交点

为P,且它们的斜率之积为一1

（1）求点尸的轨迹E的方程；

（2）设点C为x轴上（不同于A,B）一定点，若过点P的动直线与E的交点为。，直

线PQ与直线x=-2和直线x=2分别交于M,N两点，求证：NACM=/ACN的充要

条件为NACP=/ACQ.

【解答】解：（1）设点P的坐标为（x,y）,

由题设，得k/ip,MP==一/（*4士2），

x2

故所求的点P的轨迹E的方程为一+y2=l（x*±2）.

4

（2）证明：设。口，0）,由题设知，直线MN的斜率女存在,

不妨设直线MN的方程为y=fcv+m,且尸（xi,yi）,Q（X2,”）,

由《2；期[4'消去y并整理，得（4必+1）/+8也ix+4（病-1）=0,

8痴4(m2—1)

则△>0且％1+久2=一

4k2+1X1%24必+1

由NACP=NACQ,可得hp+kc0=O,所以且一+2一=0,

—£%2-t

整理得yi(x2-r)+y2(xi-r)=0,

可得(Axi+M(x2-t)+(kxi+m)(xi-t)=0,

整理得2fcnx2+(m-kt)(xi+x2)-2〃”=0

8A0n2-i)8(m-kt)km

所以•2mt=0,

4k2+l4k2+l

可得8k(m2-i)-8(〃？-kt)km-2mt(4A?+1)=0,即4k+〃”=0,

将x=-2代入y=kx+m,可得yM=m-2k,

则M(-2,m-2Z),同理N(2,加+2Z).

由NACM=NACN,可得kcM+kcN=3

m-2km+2k

所以-----+------=0,BPnil4攵+〃a=0,

-2-t2-t

所以N4CM=NACN的充要条件为N4cp=N4