2023-2024学年四川省高二年级下册期末数学（文）模拟试卷（含答案）

2023-2024学年四川省高二下册期末数学(文)模拟试卷

一、单选题

1.'3#2或y≠-2”是“亨*T”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.若(f=i,复数Z与I在复平面内对应的点分别为A8,则∣431=()

A.2B.2√2C.3D.4

3.己知双曲线£-4=1(。>0)经过点(2,3),则其渐近线方程是()

Clɔ

A.γ=±√3xB.y=±∣χ

C.y=±-XD.y=±——X

33

4.椭圆5•+[=1(〃>码的左、右焦点分别为Fx,F2,A为上顶点，若ΛAFIF2的面积为√3,

则AAK鸟的周长为()

A.8B.7C.6D.5

22

5.已知过双曲线C：4=l(a>0∕>0)的右焦点F(GO)作X轴的垂线与两条渐近线交

于A,B,Q4B的面积为运，则该双曲线的离心率为()

3

A.也B.-C.2D.-

323

6.已知函数“X)的导函数为尸(X),且满足F(X)=2矿(2)+In(X-1),则“2)=()

2

A.—1B.—C.—4D.e

3

7.抛物线y2=2x的焦点为F,点Λ(l,l),P为抛物线上的动点，则∣%+∣P目的最小值为()

A.-B.3C.2D.亚

22

8.已知函数/(x)=lΟr-αΛαeR,则下列结论正确的是()

A./(x)一定有极大值

B.当4>0时,/(x)有极小值

C.当α<0时，/(x)可能无零点

D.若/(x)在区间(0,1)上单调递增，则a≤3

9.已知某种商品的广告费支出X(单位：万元)与销售额V(单位：万元)之间有如下对

应数据：

X24568

y304050m60

根据表中的全部数据，用最小二乘法得出V与X的线性回归方程为y=6.5x+17.5,则表中加

的值为()

A.45B.50C.70D.65

10.已知O为坐标原点，垂直抛物线UV=2pχ(p>0)的轴的直线与抛物线C交于AB两

点，OA∙OB=0,则IABl=4,则。=()

A.4B.3C.2D.1

11.设α=e°s,6=1.01,C=InLo1,其中e为自然对数的底数，则()

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>oaD.a>c>b

12.己知函数〃同=加+(24+2)%一2,若对于任意-1?再z?1，都有二"+)>—2,

"x："X

∖-2

则”的最小值为()

A.-2B.—1C.—D.0

2

二、填空题

13.已知椭圆C的长轴长为4,它的一个焦点与抛物线y的焦点重合，则椭圆C的

标准方程为.

14.经过点A(2,-l)且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为

15.若A,B是抛物线y、4x上不同的两点，线段AB的垂直平分线交X轴于点D(4,0),则

IABl的最大值为.

16.关于函数/(x)=*+lnx,给出如下四个命题：

X

①x=2是/(x)的极大值点；

②函数y=∕(χ)-χ有且只有1个零点；

③存在正实数%,使得/(χ)>履恒成立;

④对任意两个正实数飞，三，且%>七，若/(%)=/(占)，则x∣+S>4;

其中的真命题有.

三、解答题

17.某地拟于2024年将游泳列为中考体育内容.为了了解当地2023届初三学生的性别和喜

欢游泳是否有关，对100名初三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：

喜欢游泳不喜欢游泳总计

男生10

女生20

总计

已知这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为，

(1)请补充完整上述2x2列联表；

(2)判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.

n(ad-be)2

附:H=a+b+c+d.

(Q+⅛)(c+d)(α+c)(b+d)

2

p(κ≥ko)0.050.0250.010.0050.001

h,3.4815.0246.6357.87910.828

18.已知全集U=R,集合4=*∣1≤%<3},集合8={∖2利〈尤VI—机}.条件①4Q,B=0；

②XeA是XeB的充分条件：③VXIWA,玉⅛£5,使得X=X

(1)若机=-1,求Ae5；

(2)若集合A,B满足条件.(三个条件任选一个作答)，求实数机的取值范围.

19.设抛物线C:V=4x的焦点为尸，过尸作直线/与C交于A、B两点.

(1)若弦长IABI=8,求直线/的方程：

(2)求证：当直线/_LX轴时，AoB的面积最小.

20.已知α∈R,函数/(x)=gχ3一g(α-］)χ2-qχ-3,g(χ)=*-21nx.

(1)当α=l时，求函数y=∕(x)在点(3J(3))处的切线方程；

(2)若函数/(%)的减区间是(T4),求α的值；

⑶若函数)=g(x)-α在［1,3］上恰有两个不同的零点，求实数”的取值范围.

22

21.已知椭圆C:「+《=l(a>6>0),四点4(-2,1),∕>(0,√2),6(2J),£(3,1)中恰

cΓh^

有三点在椭圆C上.

⑴求椭圆C的方程；

(2)椭圆C上是否存在异于P2的两点M,N使得直线P2M与P2N的斜率之和与直线MN的斜

率(不为零)的2倍互为相反数？若存在，请判断直线MN是否过定点；若不存在，请说明

理由.

22.已知函数F(X)=e*-g0χ2-x

⑴若/(x)单调递增，求。的值；

⑵判断(l+l)(l+j…(1+*)(〃eN*且〃≥2)与ez的大小，并说明理由.

答案：

1.A2.A3.A4.C5.A6.C7.A8.D9.C10.D11.A

【详解】令/(x)=e*-(x+l),则r*)=e∙v-l,当x>0时，Γ(x)>0,F(X)单调递增,

11-v^

所以/(0.01)=e"°∣-1.01>∕(0)=0,BPe001>1.01,令g(x)=lnx—x,则g，(X)=--1=-----,

XX

当x>l时，g'(x)<O,g(x)单调递减，所以g(1.01)=∣nl.01-1.01<g(l)=-1<0,即

In1.01<1.01所以α>b>c.

12.B【详解】因为占</，所以)一)>一2可化为F(Xl)-/(%)<-2区-々)，即

x]~x2

2

/(Λ⅛)+2X1<∕(Λ2)+2X2,令尸(X)=f(χ)+2x=ax+(2a+4)x-2,

即即X)在［7,1］单调递增,

当a=0时，)=以-2在［-1,1］单调递增,

a>0a<0

当。工0时，则,a+2或,a+2,解得〃>0或一1<。<0,

--------≤—1---------≥1

、aa

综上所述，a≥-∖,即。的最小值为T.

13.ɪ+-≈114.4-4=115.6

4333

【详解】解：设Aa,χ),B(¾,y2),A8中点M(Xo,几),

设斜率为k,则厂；二，/-丫2=4=2

相减得:

=4%Xl-X2V1+V2%

..%=资=+=3，即.2,设抛物线的焦点为F,

∖AF∖+∖BF∖=xl+x2+2=2^+2=6,Λ∣AB∣≤∣AF∣+∣BF∣=6,当且仅当A,B,F三点共线

时等号成立,此时M(2,士及)满足在抛物线

内部，∙∙.IABl的最大值为6,

16.②④

【详解】f'(x)=学Y—2,当()<x<2时，

Γ(x)<0;当x>2时，f↑x)>0.

.∙.∕(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上

单调递增，x=2是/(x)的极小值点，故①错误；根据函数/(x)的单调性及极值点，作出函

数f(χ)的大致图象，如图所示，再作出直线y=χ,易知直线y=χ与/(χ)的图象有且只有

1个交点，即函数y=∕(χ)-χ有且只有1个零点，故②正确.

根据/(χ)的图象可知，若要存在正实数&使得/(χ)>依恒成立，则/(χ)要存在过原点且

(2、

斜率为正的切线，假设/(x)存在过原点且斜率为正的切线，切点为x0-+Inx0,则切线

IXO7

-22X-2

斜率为」x一，则切线方程为y——in⅞=-⅛(-v-⅞),

⅜⅜⅜

2Xn-2

∙.∙切线过原点，故——1叫=-上一，整理得Xo-XokUO-4=0,

⅞X。

令∕7(x)=X—XInX-4,则广(X)=-In%,

.∙.在(0,1)上，F(x)>0,尸(x)单调递增，在(1,+8)上，F'(x)<O,F(X)单调递减，

Rx),,尸⑴<0,.∙.F(x)<O恒成立，即方程XLXM⅞-4=O无解，即/(x)不存在过原

点且斜率为正的切线，故不存在正实数k使得F(X)>辰恒成立，故③错误；

由%>x2,/(玉)=)可知ɪ,>2,0<X2<2,

要证芭+々>4,即证占>4-々，JLx1>4-x2>2,

F(X)在(2+8)上单调递增,即证〃玉)>∕(4-Λ2),

又/&)=/(&)，二证，(毛)>∕(4一电),

即证/(x)>∕(4-x),Xe(0,2).

92

令MM=/(X)-/(4一力=IrLr—In(4-X)+----------，x∈(0,2),

X4—X

-8(X-2)2

则(X)=<0,.∙.〃(x)在(0,2)上单调递减，；.∕z(x)>〃⑵=0,

X2(4-%)2

Λxl+x2>4,故④正确.

故②④.

3

17.【详解】(1)因为在IOO人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为,，所以喜欢

游泳的学生人数为IoOXl=60.

其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下:

喜欢游泳不喜欢游泳总计

男生401050

女生203050

总计6040100

*,力100×(40×30-20×10)2

(2)γ区π)为K=------------------------------≈16.667>10.828,

60×40×50×50

所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.

18.【详解】(1)若"2=T,JJI∣JB={x∖2m<x<∖-fn]={x∖-2<x<2],

A={JV∣1≤X<3}.∙.AnB={x∣l≤x<2}

(2)(2)若选①因为A。，8=0,所以A=

tn<-

2∕π<12

则<1—机≥3n,m≤-2,所以胆≤-2,所以实数”的取值范围为(fo,-2].

2fm<∖-m1

m<-

3

若选②九GA是xe3的充分条件，则A=B,

1

m<一

2m<12

则<1一〃2≥3=,m≤-2f所以加≤-2,所以实数机的取值范围为(-∞,-2].

2m<∖-m1

m<—

3

若选③WX]GA%⅛C8,使得玉=/,则Ag8,

2m<1

所以机所以实数，”的取值范围为

则<1-tn≥3=><m<-2f≤-2,(γo,-2].

2m<∖-m1

m<—

I3

19.【详解】(1)如图所示，设A(Xl,y∣),B(x2,y2),

因为直线/过焦点户(1,0),所以直线/的方程为χ=^y+ι,

,、fx=zwy÷l

联立《2ny2_94阳_4=0,

Iy-=4x

所以y+y2=4m,yly2=~^,所以4+超=，"(％+%)+2=4”/+2,

由抛物线的定义知，IABI=XI+%+2=4/+4,又因为IABl=8,

所以4病+4=8,解得：，”=±1,所以直线/的方程为.χ±y-l=O

(2)如图所示，4/

证明：由(1)知，yl+γ2=4w,y,y2=-4,

所以Y∣F.

S,24,,7

^AOB=ɪIHʃi-J21=ɪJ(y∣+¾)->ι>2=27m+l≥2,OMʌ

所以当m=O时，△AoB的面积取得最小值2,此时直线/_LX轴.

20.【详解】(1)ff(x)=x2-(a-})x-a,

当α=l时，/(3)=∣×33-i(l-l)×32-l×3-3=3,

∕,(3)=32-(l-l)×3-l=8,

在点(3J(3))处的切线方程为y-3=8(x-3),即8x-y-21=O

(2)函数/O)的减区间是(-1,4),

而f,M=x2-(a-l)x-a=(x+l)(x-a)

令/'(x)<0,当〃>一1时，-∖<x<a,/(力单调递减，.∙.a=4,

当αvT时，a<x<-∖,/3单调递减，不符合题意，

当。二一1,广。)<。无实数解，不符合题意，

故a=4.

(3)y=g(x)-α=x-21nx-α

z、O

令∕z(x)=x-21nx-α,所以〃(/)=---+1,

令"(x)=O得％=2,

当x∈[l,2)时，Λ,(x)<O;当x∈(2,3]时，Λ,(x)>O

故MX)在x∈[1,2)上递减；在x∈(2,3]上递增

Λ(1)≥Oa≤∖

所以∙∕ι(2)<0,Bp-a>2-21n2,

〃⑶≥0a≤3-21n3

所以2-21n2<a≤3-21n3,

实数”的取值范围是(2-21n2,3-21n3].

21.【详解】(1)由椭圆的对称性知，∕>(0,√2),U(2,∣)三点在椭圆C上,

41r2V2

故加=2,⅛+-⅛=l,得/=8,从而椭圆C的方程为土+2-=l.

a^b^82

(2)直线MN过定点(0,-2√Σ),证明如下：

假设存在，不妨设直线鸟”、P2N.MN的斜率分别为勺，k2,k,满足勺+&+2&=0,

设直线MN的方程为y="+,w(ZHO),且M(Xl,y∣),N(x2,y2),

与椭圆C的方程联立，得(1+4F)X2+8协吠+4(〃?2一2)=0,

则A=64〃2加2一]6(1+4女2)(用2-2)>0,BPm2<8k2+2(*),

-Skm

X+X

12-1+4公

且.

4(m2-2)

Xt2=

r1+4/

那么&+h+2k=y「6+”-叵+2k=0,

XI⅞

化简得，

4⅛XIX2+(m-V2)(Λ¾+X2)=0,

即4k-—^-~2+(,"V∑)∙-8吗=0整理得:w2+√2∕M-4=0,

l+4⅛2l+4⅛2