2024届上海市松江区高三年级上册期末质量监控数学试题（解析版）

2024届上海市松江区高三上学期期末质量监控数学试题

一、填空题

1.已知全集为R,集合P={x|x»l},则集合

【答案】{x|x<l}

【分析】根据补集的知识求得正确答案.

【详解】由于P={x|x21},全集为R,

所以A={x|x<l}.

故答案为：{%|X<1}

2.双曲线：-丁=1的右焦点坐标是.

【答案】(2,0)

【分析】根据双曲线的定义求解.

【详解】因为02=/+。2=4,所以C=2,

且焦点在x轴上，所以右焦点为(2,0).

故答案为：(2,0).

3.已知复数z=2+i(其中i是虚数单位)，则F卜

【答案】非

【分析】根据共轨复数、复数的模等知识求得正确答案.

【详解】依题意三=2-i，所以同=指+(一=卮

故答案为：V5

4.已知向量a=(l,2),6=(4,3),贝i]a«2a-b)=

【答案】0

【分析】根据向量的坐标运算求解即可.

【详解】••"=(1,2),1=(4,3),.•.2"方=(—2,1),

".(2a-6)=1x(-2)+2x1=0.

故答案为：0.

5.已知sind=g,6»6（0,^）,贝！Itan（。-；）的值为

【答案】-1

【分析】先求得tan。，然后利用两角差的正切公式求得正确答案.

【详解】由于sin6=13,ee（On$,

所以cos0—Vl-sin20—1,

八兀31

3tan6^-tan———1

所以sn°=“所以tan©-9=---------------yJ

4I八兀r37

1+tan3+tan—14—

44

故答案为：

6.已知lga+lg0=l,则〃+25的最小值为

【答案】475

【分析】根据对数运算求得的关系，利用基本不等式求得正确答案.

【详解】依题意，lg〃+lg6=lg"=l,

所以"=10且。>0,6>0,

所以a+2bN2da-2b=4#,

当a=2b=24时等号成立.

故答案为：4如

7.二项式（3+x「的展开式中，龙2项的系数是常数项的5倍，则"=；

【答案】10

【分析】先写出二项展开式的通项公式，令厂=2得/的系数，令r=0得常数项，再由已知列出等

式，解出〃即可.

【详解】由题知,当r=2时，d的系数为C：3"-z；当r=0时，常数项为C；3"；

又V的系数是常数项的5倍，所以C；37=5C：3",解得〃=10.

故答案为：10

8.有5名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有1人

连续参加两天志愿者活动的概率为.

【答案】|3

【分析】由分布乘法计数原理的知识结合古典概型的概率公式可解.

【详解】每天从5名同学中抽取2名参加志愿者活动，一共有C；C；=100种方式，

恰有一人连续参加两天志愿者活动有C；C：C；=60种方式，

由古典概型的概率公式可得恰有1人连续参加两天志愿者活动的概率为需=g，

3

故答案为：—.

9.在..ABC中，设角A3及。所对边的边长分别为〃/及。，若a=3,c=5,B=2A,则边长

b=.

【答案】2m

【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换求得cosA,再次利用正弦定理求得人

acc35

【详解】由正弦定理得一^二一一./八3，即3="7，

smAsinCsin(A+B)sinAsin3A

5sinA=3sin3A=3sinAcos2A+3cosAsin2A

=3sinA(^2cos2A—1)+6sinAcos2A=12sinAcos2A—3sinA,

由于B=2A,所以A为锐角，sinA>0,

所以12cos2A=8,cosA=,

3

由正弦定理得=、=&=_-J,

sinAsinBsm2A2smAcosA

贝U〃=——-——,b=2acosA=2x3x=2A/6.

2cosA3

故答案为：2«

-7T兀

10.已知函数/(X)=T2+6X+7W,g(x)=2sin(2x+y).对任意x()e0,—,存在%,％e[-1,3],使得

/(再)<g(x。)</(x2),则实数m的取值范围是.

【答案】[-7,8]

【分析】根据/'(x)和g(尤)的值域以及恒成立、存在性等知识求得机的取值范围.

【详解】0V尤V0V2x4纭，工V2无+巴V型，

42336

所以g(x)=2sin[2+1]e[l,2].

/(x)=-X2+6x+m的开口向下，对称轴为％=3,

所以/(同在区间［T3］上单调递增，/(-l)=m-7,/(3)-m+9,

所以/(%)£[加-7,/+9],

TT

由于任意无()e0,-,存在玉e[-1,3],使得/(占)4go(,)47(9),

fm-7<1「i

所以〃z+9>。'解得—74〃ZV8,所以机的取值范围是[-7,8].

故答案为：［-7,8］

11.若函数y=/(x)是定义在R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数X都有

X"(X+2)=(X+2)•/(X)+2,则/(2023)=.

【答案】-1

【分析】利用赋值法，结合累加法求解.

【详解】函数>=/(尤)是定义在R上的不恒为零的偶函数，贝厅(T)=-/(X),

x-f(x+2)=(x+2)-/(x)+2中，令彳=一1,得一/(I)=/(-1)+2,

贝卜〃1)=/⑴+2,得/⑴=-1,

当x>0时，由x,/(x+2)=(x+2)•/(尤)+2,得———)+——,

x+2xx(x+2)

嗔〃元+2)/(x)11

即-------------=--------,

x+2xxx+2

./(2023)二/(2023)”2021)1/(2021)/(2019)।।/(3)/(I)।/(I)

…2023—2023202120212019311

111111-111-11

2021202320192021131~2023112023'

”(2023)=2023x1人卜1.

故答案为：-1.

12.已知正四面体A-BCD的棱长为2应，空间内任意点尸满足卜8+尸4=2,则AP.A。的取值范

围是.

【答案】［4-2后,4+2后］

【分析】先判断出尸点在球上，然后根据数量积的运算求得APAD的表达式，结合三角函数值域的

知识求得AP.AD的取值范围.

【详解】设的中点为。.

因为动点P满足|PB+PC|=2,所以|。4=1,

即点P落在以。为球心，以1为半径的球上.

因为AP=AO+OP,

所以APAD=（AO+OP）.">=AO-AO+OP-AZ）.

因为正四面体A-3C£）的棱长为2垃，

所以AO=DO=2应xsin6（F=痛，

在三角形AOD中，AD=2-j2,AO=DO=s/6.

取4。的中点为E,OE，A。，

所以AO在AO上的射影为|A@,

所以40乂0=,£卜卜。卜立x20=4.

设（0尸,皿=6,

所以42・陋=40乂0+0「乂£>=4+|0尸卜,0卜05，=4+2垃<：0$氏

因为cos。w[—1,1],

所以APA0£[4-2"4+2VT|.

故答案为：[4-2应,4+20]

【点睛】本题主要考查空间向量线性运算和数量积的运算，形如|。尸卜厂的尸点，其运动轨迹在以。

点为球心，半径为「的球面上.求解一个式子的最值，可以考虑的方向有：基本不等式、函数的单调

性、二次函数的性质、三角函数的值域等知识.

二、单选题

13.英国数学家哈利奥特最先使用“〈”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的

发展影响深远.对于任意实数以b、c、d,下列命题是真命题的是（）

A.若a?<〃，贝qq<6B.若a<6,贝!Jac<be

C.若a<b,c<d,则acebdD.若a<b,c<d,则a+c<0+d

【答案】D

【分析】借助不等式的性质判断即可.

【详解】对A：因为/<〃，可能6<。<0,故错误；

对B：当c<0时，若a<b,贝!Jac>bc,故错误；

对C：当a<Z?<0,c<d<0时，则ac>6d,故错误；

对D：若a<b,c<d,则a+c<6+d,故正确.

故选：D.

14.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）.则下

列说法正确的是（）

甲队乙队

7089

26197

02278

13

A.甲队数据的中位数大于乙队数据的中位数;

B.甲队数据的平均值小于乙队数据的平均值;

C.甲队数据的标准差大于乙队数据的标准差;

D.乙队数据的第75百分位数为27.

【答案】D

【分析】根据中位数、平均数、方程、百分位数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，甲队的中位数是今竺=18,乙队的中位数是史=18,

两者相等，所以A选项错误.

7+12+16+20+22+31度=18

B选项，甲队的平均数为

66

8+9+17+19+27+28108

乙队的平均数为-----------------------------=-----=118O,

两者相等，所以B选项错误.

C选项，甲队的标准差为：

|（7-18）2+（12-18）2+（16-18）2+（20-18）2+（22-18）2+（31-18）2_[175

V6-1亍，

乙队的标准差为：

（（8-18）2+（9-18）2+（17-18）2+（19-18）2+（27-18）2+（28-18）2_1182

所以甲队数据的标准差小于乙队数据的标准差，所以C选项错误.

D选项，乙队的数据为8,9,17,19,27,28,6x0.75=4.5,

所以乙队数据的第75百分位数为27,D选项正确.

故选：D

15.函数y=/（x）的图象如图所示，y=/（x）为函数y=/（x）的导函数，则不等式的解集

为（）

A.(-3,-1)B.(0,1)

C.(-3,-1)u(0,1)D.(—,-3)J(1,+<»)

【答案】C

【分析】先判断（（%）的符号，由此求得不等式/3＜0的解集.

X

【详解】由图象可知，在区间（3,-3）,（-1,1）上/'（力＜0,

在区间（―3,—1）,（1,内）上用勾＞0,

所以不等式＜0的解集为（-3,-1）u（0,l）.

故选：C

16.关于曲线加：%+/=1，有下述两个结论：①曲线〃上的点到坐标原点的距离最小值是日;

②曲线M与坐标轴围成的图形的面积不大于则下列说法正确的是（）

A.①、②都正确B.①正确②错误C.①错误②正确D.①、②都错误

【答案】C

【分析】利用基本不等式判断①的正确性，利用不等式的性质判断②的正确性.

【详解】对于①，由1+，=1平方可得，x+y+2y[xy=1.因为左+丫会声!'，

所以又因为，Y+y2」,（x+y）N亨,

当且仅当=J时等号成立，故①错误；

4

对于②，由f+f=i知，%,ye[0,1],两边平方可得y=l+x-2«.

因为所以y=l+x-26<l+x-2x=1-x,

即曲线C在直线y=l-x的下方，

因此所围图形的面积不大于：，故②正确.

故选：C

【点睛】用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正，二定，三相等（1）“一

正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；

要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值

时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错

误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.

三、证明题

17.如图，在四棱锥尸-ABCD中，R4,底面ABCD,钻，仞，点E在线段AD上，且CE〃AB.

(1)求证：CE_L平面RID；

(2)若四棱锥尸一ABCD的体积为3，AB=1,AD=3,CD=&，ZCDA=45,求二面角尸—CE-A

o

的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)arctan；

【分析】(1)利用线面垂直的性质、判定推理即得.

(2)由(1)的信息确定二面角的平面角，利用锥体体积公式求出R4,再在直角三角形中求出解即

可.

【详解】(1)由外，底面ABCD,CEu平面ABCD,得上4LCE,

由ABJLAZXCEV/AB,得CE_LAD,而PAcAD=A,PA,AOu平面上4£),

所以CE_L平面己4£).

(2)由(1)知，CE_L平面PAD,而PEu平面PAD,则CE_LPE,又CELAE,

因此NPE4是二面角尸-CE-A的平面角，

在RtAECD中，DE=CDcos45=1,CE=CDsin45=1,

显然CE=AB=1,A3//C£,四边形ABCE为矩形，于是BC=AE=2,

而四棱锥尸一ABCD的体积/_ABCO=：SABCZ<PA=2X](2+3)X1.PA=3,解得2=1,

3326

PA11

在Rt上4石中，tanZPEA=——=—,因此NP£A=arctan—,

AE22

所以二面角P-CE-A的大小为arctang.

18.已知数列｛4｝为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且0-&=%-4=。4-4.

(1)证明：%=瓦；

⑵若集合/=｛左也=q“+«i，lVmW50｝,求集合A7中的元素个数.

【答案】(1)证明见解析

(2)6

【分析】（1）借助数列的基本量运算即可得到；

（2）将条件转换后计算出，〃与k的关系，再根据加的范围要求代入计算即可得.

【详解】⑴证明：设数列｛叫的公差为则[q+d一2止跖-（4+3〃）,

即尸

[4+2d-5bl=0

解得4=%=（,所以原命题得证.

（2）由（1）知4=%=：,所以4.=a“,+4o/=%+（7"-1）“+4,

因为。尸0,所以〃2=2"241,50],解得24心题250+2=3+1鸣25,

由24=15,25=32,^4<log225<5,即7<3+log?25<8,

所以满足等式的解左=2,3,4,567.

故集合〃中的元素个数为6.

四、解答题

19.为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下：

第一档：年用气量在。-31。（含）立方米，价格为。元/立方米；

第二档：年用气量在310-520（含）立方米，价格为6元/立方米；

第三档：年用气量在520立方米以上，价格为c元/立方米.

（1）请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析

式（用含6,c的式子表示）；

（2）已知某户居民2023年部分月份用气量与缴费情况如下表，求”,4c的值.

月份1234591012

当月燃气用量（立方米）5680665860535563

当月燃气费（元）168240198174183174.9186264.6

ax,0<x<310

【答案】⑴"310〃+仇兄-310),31。<工工520

310^+210Z?+c(x-520),x>520

(2)a=3,b=3.3,c-4.2

【分析】(1)根据燃气收费标准求得解析式.

(2)根据表格提供数据以及函数解析式求得

【详解】(1)依题意，函数解析式为：

ax,0<x<310

y=^310«+&(x-310),310<x<520

310〃+210b+c(x-520),x>520

(2)解法一：

由一月份数据可得：。=警=3,

56

通过计算前5个月用量：56+80+66+58+60=320,

前5个月燃气总费用：168+240+198+174+183=963,

由(1)中函数解析式，计算可得：963=310x3+^(320-310),

所以6=3.3,

又9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：3.3,3.38,4.2均不同，

所以12月份为第三档，0=等=4.2.

63

解法二：

1月份，5月份，9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：3,3.05,3.3,3.38,4.2均不同.

所以1月份为第一档，5月份为第一档和第二档，10月份与12月份不同，

则12月份为第三档，10月份与9月份不同，10月份为第二档与第三档，9月份为第二档.

从而得到，。=3,6=3.3,c=4.2.

20.己知椭圆+/=1(a>8>0)的离心率为,，其上焦点F与抛物线K:Y=4y的焦点

重合.

图1

（1）求椭圆「的方程;

（2）若过点下的直线交椭圆r于点A,2,同时交抛物线K于点c,。（如图1所示，点C在椭圆与抛物

线第一象限交点上方），试比较线段AC与8。长度的大小，并说明理由;

（3）若过点P的直线交椭圆「于点A,8,过点F与直线A3垂直的直线EG交抛物线K于点E,G（如

图2所示），试求四边形A£BG面积的最小值.

2

【答案】⑴『X』

（2）\AC\>\BE\,理由见解析

(3)4A/2

【分析】（1）根据已知条件求得。，仇c,从而求得椭圆的方程.

（2）设出直线A3的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，由此求得|钻|,联立直线

的方程和抛物线的方程，化简写出根与系数关系，由此求得|CD|,利用差比较法求得|AC|>|比）|.

（3）对直线A3的斜率是否存在进行分类讨论,由（2）求得|AB|,|EG|,进而求得四边形AEBG面

积的表达式，根据不等式的性质求得面积的最小值.

【详解】（1）由题意得尸即：c=i,又£=变，所以°=夜,

a2

2

由"一k=。2,得讨=[,所以椭圆的方程为工+/=1.

2

（2）由题意得过点尸的直线A3的斜率存在，设直线A3方程为丫=爪+1,

设3（苍,％），C（F，%），。（々，%），

y=kx+1

联立2消去y得：(2+k2)x2+2kx—1=0,

2-+x2=l''

12

ni12k1

则…=2=三百

2夜（1+阴

-2+,-

抛物线K的方程为：x2=4y,

\y=kx+1

联立,消去y得：-4=。，

贝"x3+x4=4k,x3x4=-4,

所以\CD\=’（1+^（164+16）=4（1+Z:2）,

所以|AC|-忸£>|=（|4。+|3|）-（忸必+|*|）=|8|-|他|

二2"2（l+^2）（2F+4-V2）

>0,

2+产

即M>|叫

(3)设8(孙、2)，石优，%)，G(%46)，

当直线AB的斜率存在且不为零时，

设直线A3方程为、=履+1化片0),

则直线EG方程为尸-%+1,

由（2）的过程可知：.1=21（1+、）,

112+k1

由|CD|=4(1+左2),以一:替换上,可得但G|=4(l+gj

所以%BG=g|ABHEG|=；x等等X440（1+4

〃（2+用

40(1+44忘

(l+)t2)2-l

1----

(1+用

4f>40

因为1+左2>1,所以消『江。，1),1-//武。,1),SAEBG

当直线4B的斜率不存在时，|AB|=20,|EG|=4,

所以男/=三人加忸3=gx2万x4=40；

综上所述：S码G240,所以四边形AEBG面积的最小值为40.

【点睛】求解椭圆的标准方程，关键是根据已知条件求得匕，〃和6是两个未知参数，要求出两个

参数的值，需要两个已知条件，如本题中“椭圆的离心率以及焦点”两个已知条件，再结合/=62+02

即可求得。，6,从而求得椭圆的标准方程.

21.已知函数>=/(无)，记/'(x)=^+sinx,x&D.

⑴若。=［0,2兀］,判断函数的单调性；

(2)若,不等式/*)>依对任意xe。恒成立，求实数上的取值范围；

(3)若D=R,则曲线y=〃x)上是否存在三个不同的点A2,C,使得曲线y=〃x)在A,2,C三点处

的切线互相重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)函数>=/(尤)在［0,22上是增函数

2

(2)k<—F1

71

(3)存在，满足条件的切线方程为y=x±i

【分析】(1)利用导数判断出〃x)在区间［0,2兀］上的单调性.

(2)由〃x)>H分离参数人，然后利用构造函数法，结合多次求导来求得上的取值范围.

(3)先设出切线方程，然后根据切线重合列方程，由此进行分类讨论来求得切线方程.

【详解】(1)因为/'(%)=l+cosx»0,当且仅当在x=兀时，r(x)=O,

所以函数y=f(x)在［。,2兀］上是增函数.

QinV

(2)由题意得，(左—l)%vsinx,于是％—1<------.

x

令/1(兀)=包3，贝(]/(%)=xcosx—sinx

X

71

令〃(x)=xcosx-sinx,贝UMO)=-xsinx<0,x£(0,5],

JTIT

所以“(X)在(Oq]上是严格减函数，于是a(X)<M(0)=0,XC(0,3],

由于〃(无)=xc°slnx<已©勺，于是/i(x)在(0,勺上是严格减函数,

x22

所以%。(尤)=〃百=2，因止匕"1<工，即发<2+1・

2717171

(3)解法一:

设4芭,％)、5(々，为)、。(冗3，为)，则曲线在ABC三点处的切线分别为直线

4:y=(1+cos%1)x-xxcosx{+sin石,

l2:y=(l+cosx2)x-x2cosx2+sinx2,

4:y=(1+cosx3)x-x3cosx3+sinx3.

因为直线4,，2,4互相重合，所以COS%=cosx2=cosx3,

且一再cosX]+sin玉=-x2cosx2+sinx2=-x3cosx3+sinx3.

因为cos再=cosx2=cosx3,

所以sin=±sinx2,sinx2=±sinx3,sinx3=±sin项.

①若sin再=-sin%,sinx2=-sinx3,sinx3=-sinxx.

贝Usin%]=0,sinx2=0,sin七=0,

于是一％1COSxx=-x2cosx2=-x3cosx3,

因为COSX=cosx2=cosx3=±1w0,

所以尤1=无2=鼻，与AB,C三点互不重合矛盾.

②若sin%=sin%,sinx2=sinx3,sin七=sin玉中至少一个成立,

不妨设sin%[=sin%2成立，则玉cosjq=x2cosx2,

若cos%=cosww。，贝!J%i=%2，矛盾，舍去,

于是cos%=cos%=°,sin=sinx2=±1,

所以满足要求的切线方程为y=x+i或丁=尤-1

解法2：

假设存在三个不同点A&，M),5(9,%)，C(%，为)在曲线＞=/(%)上满足条件,

贝U必=玉+sin玉,%-xi+sin%2，，3=%3+sin%3,且为,々,当互不相同.

曲线y=/(%)在A民c三点处的切线方程分别为：

4:y=(1+cosxjx+sin玉-石cos玉,

Z2:y=（14-cosx2）x+sinx2-x2cosx2,

l3:y=（1+cosx3）x+sinx3—x3cosx3,

cos石=cosx=cosx①

依题意，有23

sin玉一玉cos玉=sinx2-x2cosx2=sinx3-x3cosx3②

由①得，％2=2阮±%],工3=2〃兀±%1，左,〃£Z.

情形1：若％2=2攵兀+%,％3=2及兀+石,女,〃。0,左代入②得，

sin演-玉cos再=sin王-（2fai+玉）cos玉=sin玉-（2〃兀+再）cos王.

（2fai）cosx,=0

即,而N〃w。，故cos%=0,sin±=±l,

（2〃兀）cos芯=。

此时满足条件的切线方程为y=x±i.

情形2：若％=2阮-%,%3=2河-玉/W",代入②得,

sin%-玉cos玉=-sin%-Qkit一玉）cos玉=-sin%-（2〃兀一%）cos玉.

sin玉+（E-F）COS玉=0

两式相减,

sin玉+（〃兀一九1）cos玉=0

得(左一〃)7T-COS玉=。，由于左，几，故COSM=0,

止匕时sin