2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市道里区九年级上学期期末数学(五四制)试题（含解析）

2023——2024上学期九年级数学期末调研测试卷

一、选择题（每小题3分，共计30分）

1.平面直角坐标系中，点（-2,3）关于原点对称的点的坐标是（）

A.（2,3）B.（-2,-3）C.（2,-3）D.（-3,2）

2.下列图案中，是中心对称图形的是（）

3.如图所示的几何体是由4个完全相同的小正方体组成，它的左视图是（）

4.将抛物线y=f-2向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的

解析式为()

A.y=(x+l)2-1B.y=(x+l)~+lC.y=(x-l)~+lD.y=-1

5.关于二次函数y=(x-3y+l,下列说法正确的是()

A.函数图象的开口向下B.函数图象的顶点坐标是（-3,1）

C.当x>3时，》随x的增大而减小D.该函数图象与y轴的交点坐标是（0,1。）

6.图，反比例函数y=±的图象过矩形0ABe的顶点8,OA,OC分别在x轴、y轴的正半

X

轴上，矩形。42c的对角线。3,AC交于点E（l,2）,则上的值为（）

2

7.对于反比例函数y=—,下列说法不正确的是（）

x"■,

A•点（2,1）在它的图象上B.它的图象在第一、三象限

c.当x>o时，y随x的增大而增大D.当x<o时，y随x的增大而减小

8.如图，四边形ABC。中，对角线AC和2D相交于点E,AD//BC,守（字母"S”

、4CDE乙

表示面积），则《3的值是（）.

9.如图，AB//CD//EF,AF与8E相交于点G,且AG=2,GO=1,DF=5,则下列

里」D空」

EF5BE4

10.已知二次函数>=以2+法+以〃。0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（5,0）,

对称轴为直线％=2.对于下列结论：①〃。c<0；®4a+b=0；③〃-"c=0；④若加为任意

实数，则+帅一2。<4〃淇中正确个数有（）个.

A.1B.2C.3D.4

二、填空题(每小题3分，共计24分)

11.若一个扇形的弧长为2万，圆心角为120。，则扇形的半径为一.

12.同时掷两枚质地均匀的骰子；两枚骰子点数之和为10的概率为.

13.在某一时刻，测得''根高为1.8根的竹竿的影长为3次同时测得一栋楼的影长为60",

则这栋楼的高度为m.

14.用总长为80米的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长x的变化而变化，当x是

米时，场地的面积S最大？

15.如图，有一个亭子，它的地基是半径为6米的正六边形，则地基的面积为平方

米.

16.如图，PA,PB是。的切线，A,B为切点,AC是,。的直径，ZACB=55°,则/尸

的度数是.

17.如图，在平面直角坐标系中，点4-2,3),8(-3,0),C(3,0),将平行四边形ABC。绕点

。旋转90"后，点。的对应点£)‘坐标是.

18.如图，在菱形4BCQ中，对角线AC和3。的长分别是4和8,以AD为斜边向菱形外作

等腰直角三角形ADE,连接CE,则CE的长是.

三、解答题(其中19-20题各7分，21-24题各8分，25-26题各10分，共计66

分)

19.计算：

小cos?60°-2sin230°

⑴----9-------------；

sin"45°+tan45°

(2)(sin600+1)2-(cos30°-l)2.

20.如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点的坐标分别为43,1),2(1,3),C(4,2).

⑴画出与ABC关于y轴对称的△ABC1；

（2）以原点。为位似中心，在第三象限内画一个△&与6，使它与，ABC的相似比为2:1,并

写出点鸟的坐标.

21.如图，在某建筑物AC上挂着宣传条幅3c（即/ACF=90。），小刚站在点尸处，看条

幅顶端8,测得仰角为30。，再往条幅方向前行30米到达点E处，看到条幅顶端8,测得仰

角为60°.

（1）求宣传条幅BC的长（小刚的身高不计，结果保留根号）；

（2）若小刚从点尸到点E用了60秒钟，按照这个速度，小刚从点E到点C所用的时间为多少

秒？

22.如图，一名男生推铅球（铅球行进路线呈抛物线形状），测得铅球出手点尸距地面;m,

铅球行进路线距出手点P水平距离4m处达到最高，最高点距地面3m；建立如图所示的平面

直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a（尤-/2『+左，其中*m）是铅球行进路线的水平距

离,y（m）是铅球行进路线距地面的高度.

（1）求抛物线的表达式；

（2）求铅球推出的距离是多少米.

23.问题背景：（1）如图1,ABC和，BDE都是等边三角形，点A在DE上，连接8,

请直接写出ZADC的度数是；

拓展迁移：（2）如图2,「ABC和BEG都是等腰直角三角形（即/ABC=/E3G=90。），

点A在EG上，若AE2+AG2=20,求ABC的面积.

图I

24.某汽车油箱的容积为60L,小王把油箱加满油后驾驶汽车从县城到250km外的省城接客

人，接到客人后立即按原路返回.请回答下列问题：

(1)油箱加满油后，汽车行驶的总路程s(单位：km)与平均耗油量6(单位：L/km)有

怎样的函数关系(列出函数表达式)？

(2)小王以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶汽车到达省城，返程时由于下雨，小王降低了车

速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍，如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否回到

县城？如果不能，至少还需加多少油？

25.ABC内接于。，点。为。上一点，连接和。C,AD/BC于点E.

(1)如图1,求证：ABAD=ZACO；

(2)如图2,过点8作AC的垂线，垂足为点尸，交于点G,若FG=Z)E,求证：CA=CB；

(3)如图3,在(2)的条件下，点K为BC上一点，连接BK、CK和AK,AK与3C相交于

点Q,延长KC到点R,使CR=KC,过点R作3K的垂线，垂足为点，，延长8c交R”于

点、T,RT=BK,在BH的延长线上取一点P,连接CP,使NBCP=ZAKC+ZBAK，若RT=4,

AK=12,求CP的长.

26.已知在平面直角坐标系中，抛物线＞=-x2+云+。与x轴分别交于点A和点8,与，轴

交于点C,若8(1,0)和C(0,3).

(1)如图1,求抛物线的解析式；

(2)如图2,点。在对称轴左侧第二象限的抛物线上，过点D作x轴的垂线，垂足为点E,

过点。作x轴的平行线交抛物线于点G,过点G作x轴的垂线，垂足为点P,当四边形

DEFG周长最大时，求点。的坐标；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接2D,点火是2D中点，点尸在DR上(不与点。和点R重

合)，连接£尸，点。在BR上(不与点B和点R重合)，连接E。，点T在EP上，连接。T

和RT,点K在EQ上，连接3K和RK,且/77?K=90。，NTDB=NEBK,求tanNPE。的

值.

答案与解析

1.C

【分析】根据两个点关于原点对称，那么这两个点的坐标符号相反即可得到结果.

【详解】两个点关于原点对称，这两个点的坐标符号相反，

即点(-2,3)关于原点对称的点的坐标为(2,-3),

故选C.

【点睛】本题考查了关于原点对称问题，熟练掌握关于原点对称的两个点坐标符号相反是解

题关键.

2.D

【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180。，

如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它

的对称中心，.

【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选D.

【点睛】本题主要考查了心对称图形的识别，熟知中心对称图形得到定义是解题的关键.

3.A

【分析】本题考查了由三视图判断几何体和简单组合体的三视图，观察图中几何体中正方体

摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可.

【详解】解：从左边看去，左边是两个正方形，右边是一个正方形，即可得出答案，

故选：A.

4.B

【分析】本题考查的是二次函数的平移变换，根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即

可.

【详解】解:由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=一一2向左平移1个单位长度所得抛物

线的解析式为：y=(x+J)2-2；

由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=(尤+7)2-2向上平移3个单位所得抛物线的解析式

为：y=(x+l)2+l,

故选：B.

5.D

【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数^=4(尤-〃)2+左6W0)图象的性质

逐一判断即可.

【详解】解：关于二次函数y=(x-3『+l,

a=l>0,开口向上，A不符合题意;

顶点坐标为(3,1),B不符合题意；

当尤>3时，y随x的增大而增大，C不符合题意；

当x=0时，>=10,则该函数图象与y轴的交点坐标是(0,1。)，D符合题意；

故选：D.

6.B

【分析】根据矩形性质，可得出点8的坐标，代入求解即可.

X

【详解】解：由题意得：A的横坐标为1x2=2,C的纵坐标为2x2=4,

二8的坐标为(2,4),

•••8在反比例函数图象上，

一,

2

:・k=8,

故选：B.

【点评】本题考查了矩形的性质和反比例函数的综合应用，熟练掌握矩形性质和数形结合思

想的应用是解题的关键.

7.C

【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断

即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键.

【详解】A、当x=2时，y=3,所以点(2,1)在它的图象上，故不符合题意；

2

B、由>=—可知2>0,它的图象在第一、三象限，故不符合题意；

x

c、当x>o时，y随x的增大而减小，选项说法错误，符合题意；

D、当x<0时，y随尤的增大而减小，故不符合题意；

故选：c.

8.C

【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，过点C作交延长线于点凡过

点、E作EH〃BC,交CF于点H,根据产=-,得到-一望一=-,进而得到分='

即2FH=CH,根据AD〃8C,易得AADEs^CBE,即可得出结果.

【详解】解：如图，过点C作CFLAD交AD延长线于点孔过点E作EH〃BC,交CP于

点、H,

D

0,CDE乙

S.3」

。ADE丁°CDE」

.FHFH_1

即2FH=CH,

~CFCH+FH-3

AD//BC,

/./\ADEs/^CBE,

、.FH1

/.VADE中AD边上的高和ACBE中BC边上的高之比为不y=-，

CH2

故选：c.

9.C

【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段

成比例.

【详解】解：A.AB//CD//EF,则刍G=4£=四三，£=41=1.，正确，故本选项不

CEDFDF55

符合题意;

CDGD:，正确，

B.AB//CD,则nl南故本选项不符合题意；

~~AG~2

CDGDGD1

C.CD//EF则错误，故本选项符合题意；

fEF~GF~GD+DF1+50

BGAGAG2_1

D.AB//EF,则,正确，故本选项不符合题意;

BE一Ab—AG+GD+DF2+1+54

故选：C.

10.C

【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象和系

数的关系.分别判断a、b、c的符号，即可判断①；根据函数对称轴X=2可得b=-4a，即

可判断②；把x=-l代入丫二^^+乐+^^片①即可判断③；根据该二次函数的最大值，即可

判断④；

【详解】解：①由图可知：：图象开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与y轴相交于正半轴，

a<0,Z?>0,c〉0,

abc<0，故①正确；

b=-4a,

4a+b=0,故②正确；

③•・,该函数图象经过点（5,0）,对称轴为直线1=2,

・••该函数与1轴另一个交点坐标为（T,。），

・••当尤二一1时，y=a-b+c^0,故③正确；

④;对称轴为直线尤=2,函数开口向下，

・••当％=2时，y有最大值，

把％=2代入得：y=4a+2b+c,

把尤=根代入得：y=am2+bm+c,

・・,根为任意实数，

***am2+bm+c<4a+2b+c则之+力帆一2匕«4〃,故④不正确；

综上：正确的有①②③.

故选：C.

11.3

【分析】根据弧长公式/=黑代入求解即可.

lot）

【详解】解：由弧长公式/=鬻可知，

lol）

180I180x2万。

r=----=-------=3.

Y171120X7T

故扇形的半径为3.

故答案为3.

【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：；鬻

【分析】利用列表法确定所有可能的情况，确定两枚骰子点数之和为10的情况的数量，根

据概率公式计算得出答案.

【详解】解:列表：

123456

1234567

2345678

3456789

45678910

567891011

6789101112

共有36种等可能的结果，两枚骰子点数之和为10的情况有3种，

31

•••P（两枚骰子点数之和为租）,

3612

故答案为：—.

【点睛】此题考查利用列举法求事件的概率，正确列出所有等可能的情况，熟记概率的计算

公式是解题的关键.

13.36

【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论.

【详解】解：设这栋楼的高度为历小

:在某一时刻，测得一根高为L8根的竹竿的影长为3%,同时测得一栋楼的影长为60m，

,1.8_h

••，

360

解得h=36m.

故答案为：36.

【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关

键.

14.20

【分析】本题考查二次函数的应用，熟练应用配方法是解题关键.利用矩形的周长表示出两

边长，进而用矩形的面积公式写出得出S与尤之间的函数关系式，再根据函数的性质求最大

值时X的值.

【详解】解:由题意，得：

S=X^--X^=-X2+40X=-（X-20）2+400,

-l<0,

.,.当x=20时，S有最大值，最大值为400,

.,.当x是20m时，场地的面积S最大.

故答案为：20

15.54g

【分析】本题考查的正多边形和圆.证明△O2C是等边三角形，求出OP,求得一个等边三

角形的面积即可求得正六边形的面积.

【详解】解：由题意可得：ZBOC=-x360°=60°,O8=OC=6米，

/XOBC是等边三角形，

3C=6米，

,/OP1BC,

：.8P=CP=3米，

•*-OP=V62-32=373（米），

,正六边形的面积为6x；x8CxOP=6x；x6x3百=54百（平方米）.

故答案为：5473.

16.70°##70度

【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，连接根据切

线的性质得到尸=/OBP=90。，根据圆周角定理得到/AOB=2/ACB=110。，则由四

边形内角和为360度即可求出答案.

【详解】解；如图所示，连接。B,

,/PA,P8是「。的切线，A,B为切点,

：.ZOAP=ZOBP=90°,

是。的直径，ZACB=55°,

ZAOB=2ZACB^110°,

：.ZP=360°-ZAOB-ZOAP-NOBP=70°,

故答案为：70°.

17.(-3,4)或(3,-4)

【分析】本题考查平行四边形性质和旋转的性质，注意旋转的方向未确定，所以要分两种情

况讨论，再结合平面坐标系中点的确定，可连接。。建立直角三角形，即可解题.

【详解】解：四边形ABCD平行四边形，

AD=BC,AD//BC,

8(-3,0),C(3,0),

/.AD=BC=6,

4-2,3),

.:£)的横坐标为6-2=4,纵坐标为3,则。(4,3),

连接作x轴于点歹，则。尸=4,DF=3,如图所示：

平行四边形A5CD绕点。旋转90°,可看作，。绕点。旋转90°,

则。可旋转到办和D〃的位置处，由旋转性质可知，OF'=4,OF=3,故。(3,-4),O尸〃=4,

D"F"=3,故。〃(-3,4),

故答案为：(-3,4)或(3,-4).

18.V34

【分析】此题考查了菱形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和勾股定理

及其应用.

【详解】如图，过E作交CA延长线于点M,过D作。N，ME交ME延长线于点

N,

B

易证AME^END,

AM=EN,ME=DN,

:四边形A8CD是菱形,

：.OD=-BD=4,OA=OC=-AC=2,

22

=3,AM=1,

CE=yJCM2+ME2=V52+32=取，

故答案为：V34.

19.⑴」

6

⑵*

【分析】本题考查了含特殊角三角函数值的混合运算，

(1)先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方，再算乘法，最后算加减;

(2)先将特殊角三角函数值代入，利用平方差公式计算即可.

【详解】(1)解:

j__2

_1

="6；

(2)解：原式=—+1X巨-1

22

-2

-I2

1

16

20.(1)作图见解析;

(2)作图见解析，点心的坐标为(-2,-6).

【分析】(1)根据关于y轴对称的点的坐标得到的坐标A(-3,i),5,(-1,3),G(-4,2),然

后描点，连接即可；

(2)把A、B、C的坐标都乘以-2得到的坐标人(-6,-2),B2(-2,-6),C2(—8,-4),然后

描点，连接即可；

本题主要考查了位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴.

【详解】(1)如图，43』)，B(l,3),C(4,2)关于了轴对称的点的坐标得到的坐标4(-3,1),

国(-1,3),£(-4,2),然后描点，连接

△aqq即为所求；

(2)A(3,1),8(1,3),C(4,2)的坐标都乘以一2得到的坐标4(-6,-2),B式-2,-6),C2(-8,-4),

然后描点，连接，

坊G即为所求，B2(-2,-6).

21.⑴宣传条幅BC的长156米;

(2)小刚从点F到点C所用的时间为90秒.

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答

此题的关键.

(1)根据题意得到EF=EB=30,解直角三角形即可求得BC长；

(2)根据(1)的结果，在RtBCM，根据tan/BFC=餐，求出PC=45,然后根据速

度、时间、路程的关系即可求得.

【详解】(1)解：根据题意可得：ZCFB=30°,ZCEB=60°,

ZEFB=ZEBF=30°,

EF=EB=30,

在RtBCE中,

sinZBEC=—,

BE

BC=BE-sinZBEC=30x—=1573,

2

答：宣传条幅BC的长156米;

(2)解：在RtBCF中,

tanZBFC=—,

FC

15731573

MBC

r(——_________——=45

tanZBFCtan30°

30

小刚的速度为二=。5(米/秒)，

60

45

则小刚从点尸到点。所用的时间为布=90(秒)，

答：小刚从点尸到点C所用的时间为90秒.

ii25

22.⑴丁二---(1一4)2+3或p=-----x2+—x+—；

121233

(2)铅球推出的距离是10X.

【分析】本题考查二次函数的实际应用.

(1)根据题意得到抛物线顶点(4,3),则抛物线的表达式为y=a(x-4y+3,用待定系数法

将点尸［og］代入可得抛物线的表达式;

(2)直接求抛物线与x轴交点即可.

【详解】(1)解：根据题意可知：抛物线的顶点(4,3),

则抛物线的表达式为y=a(x-4)2+3,

将尸1代入抛物线的表达式中，

5

/.—=«(0-4)9+3,

解得a---，

1105

，抛物线的表达式为>=一或。一4)2+3或y=一0/+：%+；；

(2)解：抛物线的表达式为y=-万(尤-4『+3,

1,

令y=0,贝『五(x-4)+3=0,

解得%=10或%=-2(不符合题意，舍去)，

铅球推出的距离是10米.

23.(1)1200；(2)SABC=5.

【分析】(1)证明△DBCg/XEBA,得至!］/3。。=4£=60°,即可求解；

(2)连接CG,先证明"8G之ABE,得到CG=AE,ZCGB=ZAEB=45°,进而得到

ZAGC=900>由勾股定理得CG2+AG2=AC"结合AE?+AG?=20可得至UAC?=20,又由

勾股定理得到=AC。=20,即可求解；

本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定，勾股定

理，作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键.

【详解】(1)ABC和—2DE都是等边三角形，

ZABC=NEBD=ZE=ZEBD=60°,BD=BE,BC=BA,

：.ZABC-NABD=ZEBD-NABD,

/.?DBC?EBA,

在△OBC和△£氏!中,

BD=BE

，ZDBC=ZEBA,

BC=BA

：.DBC\EBA(SAS),

：.NBDC=NE=60。,

：.ZADC=ZADB+ZBDC=60°+60°=120°,

故答案为：120°；

(2)解：如图2,连接CG,

ABC和.BEG都是等腰直角三角形，

AB=CB,BE=BG,/ABC=NEBG=90°,ZEGB=ZGEB=45°,

NABC-NABG=NEBG-NABG,

即NCBG=ZABE,

C8G乌ABE(SAS),

CG=AE,NCGB=ZAEB=45°,

ZAGC=ZEGB+NCGB=45°+45°=90°,

ACG是直角三角形，

CG2+AG2=AC2,

CG=AE,

AE2+AG2=AC2,

AE2+AG2^20,

AC2=20,

ABC是等腰直角三角形，

AB=BC,/ABC=90°,

AB2+BC2=AC2=20,

AB-=10，

1,

2

SARC=-AB=5.

24.（l）s="；

b

（2）不加油不能回到县城，15L油.

【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键.

（1）利用公式：路程=与之七,即可得出汽车能够行驶的总路程S（单位：km）与平

平均耗油

均耗油量6（单位：L/km）之间的函数关系式；

（2）分别得出往返需要的油量进而得出答案.

【详解】（1）解：汽车能够行驶的总路程s（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）

之间的函数关系为：60=sb,即$=".

b

（2）结论：不加油不能回到县城，原因如下：

去省城需用油250X0.1=25（L）,从省城返回需用油250X0.1X2=50（L）,全程共用油

25+50=75（L）

75>60,

.••不加油不能回到县城，至少还需加油75-60=15（L）

答：至少还需加15L油.

25.（1）见解析；

⑵见解析；

（3）10.

【分析】（1）连接A。，设/ABC=a,则/氏4。=90。一a,由圆周角定理得/AOC=2a,

由等腰三角形的性质求出4c=/OCA=90。-。即可求解；

（2）连接B。，由“8”字三角形得NE4G=NE3G,根据ASA证明,.AFG也"EG,可得

AG^BG,NFAG=NEBG,然后证明NCAB=NCBA即可求解；

（3）过点K作尺”的平行线交87于点S,根据ASA证明△SCKgZXTCR得SK=77?,可证

ZKSB=ZKBS=ZKAC=45°.过点C分别作AK和的垂线，垂足分别为点M和点N,

由圆的性质证明/PKC=/AKC,根据HL证明△CMKg/XCNK得MK=NK,根据AAS证

明得一CMA冬。VB,AM=BN.设MK=NK=a,根据AM=BN求出。，证明AK//C尸得

ZAKC=ZPCK=ZPKC,从而PK=尸。，设?K=PC=x,则N尸=%—4,在Rt一CNP中

利用勾股定理求解即可.

【详解】(1)如图1,连接A0.

ADLBC于点E,

:.ZAEB=90°,

设NA3C=i,则/&10=90。—a,

AC=ACf

ZAOC=la,

OA=OC,

Z0AC=Z0CA=90°-af

ABAD=ZACO；

D

(2)如图2,连接50.

BFLAC,

/.NAFG=NBEG=9。。,

ZAGF=ZBGE,

ZFAG=ZEBG,

ZDBC=ZDAC,

/.ZDBE=ZGBE

NBEG=NBED=9。。,

/.ZBGD=NBDG,

z.BG=BD,

DE=EG,

FG=DE,

...FG=EG,

,AAFG^ABEG(ASA),

AG=BG,ZFAG=ZEBG,

ZGAB=ZGBA,

/.ZFAG+ZGAB=ZEBG+ZGBA,

ZCAB=ZCBA,

CA=CB；

（3）如图3,过点K作RH的平行线交BT于点S.

RHIBP,

/RHB=90。

KS〃RT,

ZSKC=ZTRC,ZBKS=ZBHT=90°

ZSCK=ZTCR,KC=CR,

,ASC^ATC/?(ASA),

z.SK=TR,

RT=BK,

BK=SK,

z.ZKSB=/KBS=ZKAC=45°

过点C分别作AK和BP的垂线，垂足分别为点M和点N.

四边形ABKC内接于O,

/.ABAC+ZBKC=1SO°

ZPKC+ZBKC=1SO0,

ZPKC=ABAC

/CAB=ZCBA=ZAKC,

ZPKC=ZAKC

CMLAK,CNBP,

CM=CN,NCMK=NCNK=9。。

CK=CK,

△CMKdCNK(HL),

二.MK=NK

CM=CN,/CMA=NCNB=9。。,AC=BCf

△CMA^△CN3(AAS),

,AM=BN

设MK=NK=a,BK=RT=4,AM=12-a,BN=4+a

••12—Q=4+Q

解得a=4,

,-.BN=CN=8

NBQK=ZABC+ZBAK,ZBCP=NAKC+ZBAK,

ZBQK=NBCP,

AK//CP

ZAKC=ZPCK=ZPKC,

PK=PC

设尸K=PC=x,贝1|NP=x-