2022-2023学年河北省承德市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省承德市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.一支田径队有男运动员24人，女运动员18人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方

法从该田径队中抽取了男运动员8人，则女运动员被抽取的人数为（）

A.4B.5C.6D.7

2.复数（-1+21）（3-》）在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知AABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,若as讥B=2,b=3,则Sina=（）

A.IB.IC.ɪD.ɪ

4.下列说法正确的是（）

A.空间中过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直

B.空间中过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行

C.空间中过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直

D.空间中过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行

5.小红父亲生日即将来临，小红给父亲准备了生日礼物，并制作了一个爱心礼盒，如图1所

示，该礼盒可以近似看作由两个半圆柱和一个正四棱柱组合而成，该礼盒的底面如图2所示,

若4B=20cm,礼盒的高度为IOCm,忽略礼盒的厚度，则爱心礼盒的容积为（）

图1图2

A.(500π+2000)cm3B.(1000π+2000)cm3

C.(IOOOTT+4000)cm3D.(2000π+4000)cm3

6.tanl25°+tan35o=()

A.-tan20°B,-2tan20°C.-tanl0oD.-2tanlO°

7.在直三棱柱ABC—4BiG中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=BC=44］，则异面直

线BlC与4B的夹角为（）

ʌ-RΞɛ-Γ)-

A.6n∙4J3u∙2

8.如图，为了测量古塔的高度，选取了与该塔底B在同一平面内A

的两个测量基点C与。，现测得乙BCD=70.5o,CD=105m,在C点

测得古塔顶端A的仰角为26.5。，在。点测得古塔顶端4的仰角为

C*L---------------

18.5°,则古塔的高度48=()

(参考数据：取tan71.5°=3,tαn63.5o=2,cos70.5o=ɪ)

A.21mB.30mC.35mD.42m

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.甘肃省1953年、1964年、1982年、1990年、2000年、2010年、2020年历次人口普查城

镇人口比重图如图所示，贝∣J()

甘肃省方次人口普查城镇人I」比乖图

B.甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的中位数为22.04%

C.甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的第三四分位数为36.12%

D.甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的平均数大于25%

10.将函数y=SinX图象上所有点的横坐标缩短到原来的右纵坐标不变，再把得到的图象向

左平移工个单位长度，得到函数f(x)的图象，则()

A./(x)的最小正周期为8兀Bj(X)的图象关于点(一言,0)对称

C∙/(x)的图象关于直线X=合对称D./。)在(-：,0)上单调递增

11.如图，△04D,△OBC均为等腰直角三角形,。在线段4BE

AO=AD=BO=BC=2,在扇形CoD中，M为比的中点，P为

步上一动点，Q为线段AB上一动点，则()

A.向量方在向量而上的投影向量为前

B.向量存在向量而上的投影向量与向量前在向量而上的投

影向量相等

C.当P的位置固定，Q在线段AB上移动时，丽.丽为定值

D.当Q的位置固定，P在比上移动时，丽•丽为定值

12.抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用α表示黄色骰子朝上的点数，用匕表示白色骰子朝

上的点数，用(α,b)表示一次试验的结果，该试验的样本空间为0,记事件4="关于X的方程

χ2-(α+b)x+∣(α+b)=0无实根"，事件B="a=4"，事件C="b<4”，事件

D=uab>20"，则()

A.A与B互斥B.4与。对立C.B与C相互独立D.8与。相互独立

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若向量W=(I,τn),B=(2n,10),且力〃3，则nm=.

14.若复数z,(1—z)2+2i均为纯虚数，则Z=.

15.九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫

格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4

个小格子中的准确数字，a，b,c,d,e这5个数字未知，且b,d为奇数，贝∣Ja+b>5的概

率为•

9a7

bcd

4e5

16.己知P为AABC所在平面外一点，PA=2,AB=√^7,BC=QGC0SNB4C=；,当三棱

锥P-ZBC的体积最大时，则该三棱锥外接球的表面积为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知。为AABC所在平面内的一点，2亚=3荏,E为CD的中点.

(1)用而,而表示荏；

(2)|而I=2,|而I=3,cos4BAC=5求荏•就.

18.(本小题12.0分)

11

己知cos(α+£)=§,sinasinβ=

(1)求COSQCOS伙

(2)求cos(2α—20).

19.(本小题12.0分)

已知4B两种奖券的中奖率分别为:g.

(1)若甲购买了4B两种奖券各一张，求恰有一张奖券中奖的概率；

(2)若甲购买的4B两种奖券数量相同，为了保证甲中奖的概率大于喘，求甲至少要购买的

奖券数量.

20.(本小题12.0分)

已知AABC的内角A,B,C的对边分别为α,b,c,且，？bsinA+2αcos2?=3α.

⑴求B；

(2)若b=3,当AABC的面积最大时，求△4BC内切圆的面积.

21.(本小题12.0分)

正值蓝莓销售的高峰期,一家水果店的店长计划未来10天蓝莓的日进货量(单位:千克)为85,

92,90,96,86,94,88,89,85,95.

(1)计算该水果店未来10天蓝莓日进货量的众数与方差；

(2)假设未来这10天该水果店蓝莓的市场日需求量均为久(XeZ)(单位：千克)，当日销售的蓝

莓可盈利10元/千克，当日未销售的蓝莓则需要退货，亏损15元/千克，若该水果店想在未来

10天销售蓝莓的盈利大于8200元，求X的最小值.

22.(本小题12.0分)

如图，在正三棱锥P-ABC中，E,F分别为AB,BC的中点，M,N分别为PE,P尸的中点.

(1)证明：MNlPB.

(2)若34B=4P4,且四棱锥P-AMNC的体积为吗卫，求点A到平面PMN的距离.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：由题意得，女运动员被抽取的人数为身X18=6.

故选：C.

根据分层抽样的抽取原则，按比例计算即可.

本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：因为(―1+2i)(3—i)=-1+7i,

所以(-1+2i)(3一i)在复平面内对应的点为(-1,7),位于第二象限.

故选:B.

利用复数的乘法化简，由复数的几何意义求对应的点所在象限.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

3.【答案】A

【解析［解：由正弦定理上7=—%,得sE4=嘤=|.

SinAStnBb3

故选：A.

直接利用正弦定理求解即可.

本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：过直线外一点，有无数条直线与这条直线垂直，A错误;

过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，8错误；

过平面外一点，有无数个平面与这个平面垂直，C错误；

过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行，。正确.

故选：D.

利用空间的平行和垂直关系对四个选项进行判断.

本题考查了空间的平行和垂直关系，是基础题.

5.【答案】C

【解析】解：由题意得半圆柱的底面半径为IoCm,

则该爱心礼盒的容积为兀XIO2×10+20×20×10=(IoOOTr+4000)cm3.

故选：C.

根据圆柱和棱柱的体积公式计算即可.

本题考查组合体的体积的求解，化归转化思想，属基础题.

6.【答案】B

【解析】解」αnl25°+tαn35°=Tm550+t即35°=-⅛⅛+⅛⅛

Si7i550cos35θ-cos550si7i350=sin(55o-35o)

cos550cos350sin35°cos350

2sM2002sin20o

=-2tαn20o.

sin700cos2Q°

故选：B.

利用诱导公式，结合切化弦，原式可化为-四更*等噌^,再利用二倍角公式与两角差

cos55cos35

的正弦公式可得答案.

本题主要考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：如图，延长4B至D,使得4B=B。，延长久&至5，使得必&=/为，连接。％,

因为Bl且BO=&&，所以，四边形IDB是平行四边形，所以

则异面直线BIC与AIB所成角为NDBlC或其补角，连接CD,

设AB=BC=AA1=a,因为BBl1平面ZBC,BC、BDU平面ABC,

所以BBl1BC,BB11BD,

所以BIC=√+BC2=√a2+a2=y∕~2a,同理可得当。=√^α,

因为AABC为等腰直角三角形，且4B=BC,则BCI4。，

所以CD=VBC2+BD2=√a2+a2=√^^2α,

所以ABiCD为等边三角形，故NCBlC=(

因此直线BlC与的夹角为(

故选：C.

延长AB至D,使得48=BD,延长AlBl至使得4%=BID「连接DD「证明出四边形

为平行四边形，可得出异面直线BlC与AlB所成角为NDBlC或其补角，连接CD,设4B=BC=

44]=α,求出ABiCO三边边长，分析ABiCD的形状，可得结果.

本题主要考查了求异面直线所成的角，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：由题意得/CAB=90。一26,5。=63.5。，Z.DAB=90°-18.5°=71.5°,

贝U在RtΔABC和RtΔABD中，

BC=AB∙tαn63.5o=2AB,BD=ABtan71.5o=3AB,

在^BCO中，由余弦定理得BO?=BC2+CD2-2BC∙CD∙coszFCD,

即9AB2=4AB2+1052-2×2AB×105X解得AB=35m.

故选：C.

先分别将BC,8。用力B表示，再在ABCD中，利用余弦定理即可得解.

本题考查解三角形的实际应用，属于中档题.

9.【答案】BC

【解析】解：甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的极差为52.23%-11.13%=41.1%,A错

误；

这组数据从小到大排列依次为ILl3%,12.22%,15.34%,22.04%,24.01%,36.12%,52.23%,

则这组数据的中位数为22.04%,B正确；

因为7X75%=5.25,所以这组数据的第三四分位数为36.12%,C正确；

平均数为Hll.13%+12.22%+15.34%+22.04%+24.01%+36.12%+52.23%)=岁%<

25%,。错误.

故选：BC.

根据极差判断4根据中位数的定义判断8,根据第三四分位数计算法则判断C,计算平均数判断£».

本题主要考查折线图，考查运算求解能力，属于基础题.

10.【答案】BC

【解析】解：由题意得/O)=sin(4x+≡),

所以f(x)的最小正周期为*A错误；

因为4x()+/=0,所以/Q)的图象关于点(一方0)对称，B正确；

因为4X5+X今所以/3)的图象关于直线X=5对称，C正确；

因为xe(∕θ),所以4x+芬(一学》所以/(x)在(―也0)上先减后增，。错误.

故选：BC.

根据图象变换规律，得到/Q)的解析式，根据正弦函数的图象和性质，逐一验证选项即可.

本题考查了三角函数图像变换，涉及到正弦函数的性质，属于基础题.

11.【答案】ABC

【解析】解：对于A选项：根据题干易知41。D=NBoC=NMOO=NMOC=*,所以M0J.A8,

易得就与而同向，又近在比上的投影向量为前，所以0?在丽上的投影向量为前，故A正确；

对于B选项：PHA.AB,垂足为H,如下图所示，

由于前与而同向，容易得到而,乔在砂上的投影向量均为价，故8正确；

对于C选项：根据题意得到两=I而I∙I而ICoSNHPQ=I加7∣∙I部|，得到|而|为定值,

故可以得到丽・丽=I丽Il而I是定值，故C正确；

对于。选项：P在比上移动时，I而I不是定值，故丽•丽=I而Il而I不是定值，故。错误.

故选：ABC.

根据数量积的定义、投影向量的定义及几何图形一一判断即可.

本题主要考查平面向量的数量积，属于中档题.

12.【答案】BCD

【解析】解：由题意得。={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},包含36个

样本点，

由Zl=(α+b)2—10(α+b)<0,得0<α+b<10,

所以4={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4).(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),

(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),

(6,1),(6,2),(6,3)},共包含30个样本点,

B={(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)},共包含6个样本点,

4与B不互斥，故选项A错误；

又C={(1,1),(1,2),(1,3)，(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),

(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3)},共包含18个样本点,

D={(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含6个样本点，

所以A与。对立，故选项8正确；

选项因为总

C,P(BC)=I=P(B)=⅛=Q(C)=H=∣J

所以P(BC)=P(B)P(C),故B与。相互独立，故选项C正确；

选项。，因为P(BD)=*,P(D)=2=士所以P(BD)=P(B)P(D),故B与。相互独立，故选项

ɔoɔθO

。正确.

故选：BCD.

先用列举法写出一次试验的基本事件上，再根据条件写出事件4B,C,D包含的基本事即可判

断出选项A和8的正误;再利用古典概率公式和事件相互独立的判断方法逐一对选项C和。分析判

断即可得出结果.

本题主要考查了互斥事件和独立事件的定义，属于中档题.

13.【答案】5

【解析】解：由题意五〃石，得2mn=10,即Tnn=5.

故答案为：5.

根据向量平行的坐标表示，列式计算，即得答案.

本题主要考查向量共线的性质，属于基础题.

14.【答案】T

【解析】解：设z=bi(b∈R,b≠0),贝IJ(I-Z)2+2i=(1-儿产+2i=1-加+(2-2b)i,

所以自一得6=—1，即z=T.

故答案为：-i∙

设z=bi(b∈R,bH0)B,利用复数的四则运算法则进行运算后，根据纯虚数的定义求解即可.

本题考查复数的四则运算法则、纯虚数的定义，正确理解纯虚数的定义是关键.

15.【答案】I

【解析】解：这个试验的等可能结果用下表表示:

abcde

21638

21836

61238

61832

81236

81632

23618

23816

63218

63812

83216

83612

共有12种等可能的结果，其中α+b>5的结果有8种，

所以α+b>5的概率为盘=|.

故答案为：∣∙

根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可;

本题考查古典概型相关知识，属于基础题.

16.【答案】等

【解析】解：由题意得NBAC为锐角，BOAB,所以△4BC只有一解,

即AABC的面积为定值.

所以当三棱锥P-ABC的体积最大时，PA，平面ABC.

如图，将三棱锥P-ABC补成三棱柱ABC-PDE,设底面外接圆的圆

心为。1，

三棱锥外接球的球心为。，连接力0,4。1，。。1，则力。1为底面外接圆的半径，4。为三棱锥外接球

的半径.

由cosZ∙B4C=;,得SinNBAC=邙，由:^‰7=2AOι,得4。I=容.

⅜4SIn4zj/iLrɔ

因为。。1_L平面ZB&。。1=^P4=1,则OOIJ_401，所以4。2=。03+40：=弓.

故该三棱锥外接球的表面积为4兀∙AO2=等.

故答案为：ʃ.

由题意可得当三棱锥P-ABC的体积最大时，PA，平面4BC.将三棱锥P-ABC补成三棱柱力BC-

PDE,设底面外接圆的圆心为01，三棱锥外接球的球心为。，连接40,A01,OO1,从而可得。。】=

∖PA=1,根据正弦定理可得401=手，再结合勾股定理可得AM=。3+力英=M再根据

球的表面积公式即可求解.

本题考查线面垂直的性质和棱锥、球的体积的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于

中档题.

17.【答案】解：(I)荏=而+屁=同+g反

=AD+1(AC-AD)=^AD+^AC

=∣½B+∣<≡

(2)因为近=AC-AB,

则荏∙BC=(|荏+∣ΛC)-(AC-AB)=^AC2+^AB-AC-^AB2=^∖AC∖2+

^∖AB∖∖AC∖cosΛBAC-^∖AB∖2

1113

=i×9+^×2×3×∣-J×4=2.

【解析】(1)根据向量的四则运算法则进行运算即可.

(2)把荏,就用话,而进行线性表示后，进行运算即可.

本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于中档题.

18.【答案】解：(1)因为COS(α+0)=CoSaCos∕?—si?IaSiTI/?=CoSaCoS夕一

1[7

所以CoSaCOSH="+-=—：

、715

(2)因为cos(α—β)=cosacosβ+sinasinβ=—÷-=g,

ɔr7

所以CoS(2α-2β)=cos2(a-∕?)=2cos2(a-∕J)-1=2×≡∣-1=^.

【解析】(1)根据两角和的余弦公式运算求解；

(2)根据两角差的余弦公式可得cos(α再结合倍角公式运算求解.

本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题.

19.【答案】解：⑴恰有一张奖券中奖的概率为：X(1-；)+(IT)XHa

(2)设甲购买的奖券数量为2x,则4,B两种奖券的数量均为X.

甲没中奖的概率为(1一：尸(1一分，=(尸，所以甲中奖的概率为1一©)乙

由1-(犷>蔡得《尸<焉，

因为杼=A>I⅛，甘=击<焉，且尸(犷为减函数，所以x25∙

故甲至少要购买的奖券数量为5×2=10.

【解析】(1)分两种情况，利用独立事件与互斥事件的概率公式求解即可；

(2)设甲购买的奖券数量为2x,则4B两种奖券的数量均为无，甲没中奖的概率为(1一»«1-$X=

φx,可得甲中奖的概率为1-0尸，再列不等式求解即可.

本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题.

20.【答案】解：⑴因为√3bsinA+2αcos2?=3α,

所以由正弦定理得+2sinAcos2^=3sinA,

因为SinA≠0,所以，3sinB+2cos2∣=CSiTlB+2×匕箸=3,

化简得Cs讥B+CosB=2sin(B+看)=2,β∣lsin(B+ξ)=1.

又因为Be(O,ττ),所以B+3

所以8+.3,即B=*

(2)由题意得S—Be=IacsinB=1αc,

由余弦定理得炉=9=α2+c2-2accosB=a2+C2—ac≥2ac—ac=ac,

当且仅当α=C=3时，αc取得最大值，即△ABC的面积取得最大值，

设此时△4BC的内切圆半径为r,

由SMBC=Tr(α+b+G=?ac，得r=?，

所以当△4BC的面积最大时，△4BC内切圆的面积为兀八=\

4

【解析】(1)根据已知条件进行边化角，结合余弦降幕公式和辅助角公式得到Sin(B+*=1,根

据B+m∈C,当即可得到8=今

(2)根据余弦定理结合基本不等式得到当且仅当α=c=3时，αc取得最大值，结合三角形面积公

式得到此时面积最大，根据等面积法得到内切圆半径，进而得到答案.

本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题.

21.【答案】解：(1)该水果店未来10天蓝莓日进货量的众数为85,

汨4√4*∙∙4t2x85+92+90+96+86+94+88+89+95CC

平均数t为-------------讪-------------=90,

方差为告[2X(85-90)2+(92-90)2+O+(96-90)2+(86-90)2+(94-90)2+(88-

90)2+(89-90)2+(95-90)2]=15.2；

(2)由题意易知，当X(X≤96)越小时，该水果店在未来10天销售蓝寿的盈利越小，所以采用二分

法来确定X的最小值，

由题意得电罗=90,当X=90时，该水果店在未来10天销售蓝莓的盈利为(90×10-2-4-5-

6)×10-(2+4+5+6)×15=8575元＞8200元；

由题意得电罗=87.5,当X=87时，该水果店在未来10天销售蓝渤的盈利为87×IOx10-(2+

2+1)×10一(1+2+3+5+7+8+9)X15=8125兀＜8200兀；

当％=88时，该水果店在未来10天销售蓝莓的盈利为88×10×10-(3+3+2)×10-(1+2+

4+6+7+8)×15=830