2023-2024学年山西省平遥中学高二年级上册期末考试数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年山西省平遥中学高二上册期末考试数学

模拟试题

一、单选题

1.抛物线歹=24r的焦点坐标为（）

A.陷B.（0,6）C,僚。）D,（6,0）

【正确答案】A

【分析】把抛物线方程化为标准方程，由此可得焦点坐标.

【详解】因为抛物线的标准方程为2p=二,p=L，4=与,所以焦点坐标

242448296

故选：A.

2.已知直线4经过/（3,7）,8（2,8）两点，且直线右口，则直线4的倾斜角为（）

A.30°B.45°C.135°D.150°

【正确答案】B

【分析】先求出直线4的斜率，再结合直线垂直的性质，即可求解.

【详解】设直线右的倾斜角为a,

因为直线4的斜率儿=先=-1,由得

3—2

所以跖=1,即tana=1,X0°<a<180°,则a=45°,

所以直线4的倾斜角为45。.

故选：B.

3.已知椭圆方程为二+己=1,则以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小面积是（）

3664

A.8兀B.16兀C.36兀D.64兀

【正确答案】D

【分析】计算得出椭圆的长轴长，即可得出以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小半径，即可

得出该圆的最小面积.

【详解】由题意知该椭圆的长轴长为2x8=16,

以16为弦长的圆的最小半径为8,

所以圆的最小面积为64几，

故选：D.

s

4.已知S.是等差数列也“｝的前〃项和，若&-25,则誓=（）

A.15B.18C.23D.27

【正确答案】B

【分析】利用等差数列前〃项和公式及等差数列的性质求解即可.

【详解】因为S,,是等差数列｛/｝的前〃项和,

18(q+%)

所以变=3~V18(%+%2)

(h-25)=18,

S"13(一+小)26a7葩打《

2

故选：B.

5.已知函数/。)=尸+尸(1了+/(1,+1,则以2)=()

A.e+2B.e3C.e—5D.e—7

【正确答案】D

【分析】令x=l求得/'⑴=-2,求出/'(x)=ei-4x+/⑴，令x=l求得"1)=1,从而

得/'（X）=e--4x+1,即可求得/"（2）.

【详解】令x=l,得/⑴=1+/'。)+/(1)+1,解得/'(1)=-2,

/'(x)=e'T-4x+/⑴，令x=l,Wr(l)=l-4+/(l)=-2,解得=

所以/(x)=ei-2x2+x+l,所以/'(x)=e'T-4x+l,所以_f(2)=e-7.

故选：D.

6.在平行六面体488—44G。中，点尸是线段8。上的一点，且PO=3尸8,设力/二£，

4A=J,A}D}=c,则PG=()

X1,x3>c1X1x3>c.工也

A.〃4—b—cB.-a—bH—cD.

2444444444

【正确答案】c

【分析】根据空间向量加法与减法的运算法则求解即可.

【详解】PC,=4G-4P=+44-4」一BP

▼▼▼"▼'*♦•叭1

=A,B}+AXD,-(45,+5,5)--5£)

▼▼▼天▼▼▼贝▼▼▼天▼▼灰I▼▼▼"

=44+Z)1——A^A——B^Dy

▼▼▼女▼▼哄i■,,K▼▼▼药

=A]D]-AlA--(AlD}-AtB.)

->―贝j▼▼▼一▼▼A

=1"Q+/蜴_4/

x1x3>

=-a+—b+—c.

44

故选：C.

7.已知双曲线C:工-二=1的左焦点为尸，点P是双曲线C右支上的一点，点M是圆

44

E：/+(y_20)2=l上的一点,则|尸尸|+|尸网的最小值为()

A.5B.5+2亚C.7D.8

【正确答案】C

【分析】由双曲线定义|P石等于P到右焦点耳的距离p用+4,而|尸胤+|尸陷的最小值是

\EF\-r(r是圆半径)，由此可得结论.

【详解】记双曲线C的右焦点为耳仅0,0),所以

|PF|+|4M|=|P用+归用+4可产用+|"同+4—1之快£|+3=4+3=7,

当且仅当点P为线段EF1与双曲线C的交点时，取到最小值.

故选：C.

8.若直线y=H+8上存在点P,过点P作圆。:一+『=4的两条切线，A,B为切点,满

足":尸5:6,则左的取值范围是()

A.(-8,6]B.瓜吟C.[2,+oo)D.(-oo,6]u[6,词

【正确答案】D

【分析】利用定义计算向量数量积，进而确定|尸@长度，进而确定〃的取值范围.

【详解】设「。|=阳，ZAPO=a,

则^天|碗0s2a二|前就1-2siir«)=(/»1—2二)

整理得加'-18/+32=0,

解得加2=2（舍去）或"2=]6，则M=4,

故点O到直线的距离d4|P0|,即解得公23,

A/1+左~

所以左e（-00,-A/3][V3,+coj.

故选：D.

二、多选题

9.在等比数列｛。“｝中，已知名=4,%=32,其前〃项和为S,，则下列说法中正确的是（）

.a,+a

A.a,=2B.a〃=2"TC.--s^=4D.5„=2"+l

【正确答案】BC

【分析】由等比数列的定义求得公比9,从而求得4,得通项公式，前〃项和，判断各选项.

【详解】设等比数列｛凡｝的公比为/

八"=¥=8,4=2,q=4=J=l,故A错误；

a34q~4

a„=a｝q"-'=1-2'"'=2"，故B正确；

5=人型反=h4,故C正确；

%+。6%+&

aqn

S='^~）=lzjl=2-l，故D错误.

"1-71-2

故选：BC.

2

10.已知双曲线C:1?匕-r土=1,则下列说法正确的是（）

812

A.双曲线C的实轴长为4百B.双曲线C的焦距为4石

C.双曲线C的离心率为半D.双曲线C的渐近线方程为y=±半X

【正确答案】BC

【分析】根据双曲线方程求解出“，b,c,由双曲线的性质逐一判断.

【详解】双曲线C:匕-.=1,则a=2>,6=2百,c=2百,

双曲线C的实轴长为2a=4近，故A错误；

双曲线C的焦距为2c=4石，故B正确:

双曲线C的离心率0=£=祥=巫

故C正确;

2V22

双曲线。的渐近线方程为^=±£工=±坐^,故D错误.

故选：BC.

11.下列说法正确的是()

A.若工]<X2，则不一/<sin^-sinx2B.若王<12，贝iJx一工2>sinT|-sinx2

rLn

C.若e<$</，则句叫<x]\rvc2D.e<Xj<x2,贝ijx21t]1^2

【正确答案】AD

【分析】构造函数/(x)=x-sinx,g(x)=W，利用导数判断各函数的单调性，进而判断

各选项.

【详解】令〃x)=x-sinx,则/'(x)=l-cosxNO在R上恒成立，所以〃x)在R上单调递

增，所以当王<工2时，jj-sinx,<x2-sinx,,即阳-当<sin%|-sinx2,故A选项正确，B选项

错误；

令g(x)=3,所以夕卜)=三学<0在(e,+8)上恒成立,所以g(x)在(e,+8)上单调递减,

L1

所以当e<X|<X2时，-^->-^-,EPx2\nx{>Xjlnx,,故C选项错误，D选项正确.

故选：AD.

12.已知抛物线C：/=8.y,点P是抛物线C准线上的一点，过点P作抛物线C的切线，切点

分别为A,B,直线P/,PB的斜率分别为匕，k2,则下列说法正确的是()

A.直线恒过定点(0,2)B.%-网|=2

C.k}k2=-1D.P48的面积最小值为16

【正确答案】ACD

【分析】利用导数可得切线方程，进而可得直线N8方程，即可判断A选项；联立直线与

抛物线，结合韦达定理可得A肉与其-他|，判断BC选项；利用弦长公式，结合点到直线的

距离可判断D选项.

【详解】设尸/（3,必），8仁,力）,因为y=三，所以/=：，发吟,

844

所以在点A处的切线方程为y-乂="x-xj,即X1X=4（y+yJ,

同理可得，在点B处的切线方程为々》=4（歹+%），所以a=4（-2+弘），%=4（-2+%）,

故直线"的方程为田=4（-2+月,直线方恒过定点（0,2）,故A选项正确;

由2+力，得/-2田-16=0,所以玉+%=27,x,x2=-16,

[x=8歹

所以"2=>号=-1，-仆+%*+七％囹X?=-,故B选项错误,

C选项正确;

1•&,点P到直线.6的距离〃=77+16,

\AB\=y{+y2+p=

2Vz+16

所以的面积S=g|/8|M=；x匚乎x/7而，所以£而=16,故D选项正确.

故选：ACD.

三、填空题

13.已知圆G:/+/=］与圆g：（x-3）2+3-4）2=25,则两圆的位置关系为.

【正确答案】相交

【分析】根据圆的位置关系直接得出.

【详解】根据两圆的方程，

得ICCRJ32+42=5,。=1,r2=5,

；・h-4I<|GG|<ki+r21）

两圆相交.

故相交.

14.在各项均为正数的数列｛。“｝中，。2=2,1=8,疯？•疯7=a”（n>2）,则a”=

【正确答案】32

【分析】先把含有根式的方程两边平方，得到一个等比数列，再根据等比数列的性质求解即

可.

【详解】由已知向:•屈二'=〃“，％〉0，

得。“.[-。“+[二端，即巴」二生1,

an-\an

2

则数列｛《,｝为等比数列，的吗4=《，2.a14=8,即,=32.

故32.

15.已知椭圆C：=+广=1（。>0且为常数）的左、右焦点分别为耳，用，点P是椭圆C

上的一点，若|刊讣（|尸段+2）的最大值为25,则椭圆。的离心率为.

3

【正确答案】##0.75

74

【分析】设椭圆的焦距为2c,|P£|=x,xe[a-c,a+c],根据定义求出|「图，

得到|P耳卜（归周+2）的一个关于x的二次函数，利用函数的性质分析最值问题，求出。的值,

在根据离心率求解即可

【详解】设椭圆的焦距为2c,|尸甲=》，xe[a-c,a+c],

则由椭圆的定义得：|尸鸟|=2"x,

所以|P司.（|P&+2）=x（2a-x+2）=f2+26+1）,

令/,（x）=—x?+2（a+l）x,xe[a-c,a+c],

可知/（X）的对称轴为x=a+l,

当C21时，/（X）max=/9+1）=（。+1）\25,解得。=4,

由b=5，所以c?：：：/—/=16—7=9,

此时离心率e=£=2,

a4

当c<l时，

222

/（x）max=/（a+c）=-（67+c）+2（a+l）（a+c）=a-c+2a+2c=25,

所以7+2a+2c=25,

所以q+c=9,y,a2-c2=b2=7,

44

a=一

a

联立解得,不满足题意舍去，

c=一

9

3

所以椭圆的离心率为：

4

、3

故答案为

4

16.已知函数/(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为/'(x),若/⑴=4,且

f'(x)-2x<3对任意的xwR恒成立，则不等式〃2x-3)<2x(2x-3)的解集为.

【正确答案】(2,+oo)

【分析】由已知1(x)-2x<3构造函数g(x)=/(x)-f_3x,并得出函数g(x)在R上单调

递减，再求解不等式8(2》-3)<8(1)即可.

【详解】令g(x)=/(x)-x2-3x,贝l」g'(x)=/'(x)-2r-3<0在R上恒成立，

所以g(x)在R上单调递减.

又/(2x-3)<2x(2x-3),即〃2X-3)-(2X-3)2-3(2X-3)<0,

又/⑴-F_3X1=0,即g(2x-3)<g(l),

所以2x-3>l,解得x>2,

所以不等式/(2x-3)<2x(2x-3)的解集为(2,+«)).

故答案为.(2,+8)

方法点睛：构造函数是解决抽象不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导

数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数.通过进一步研究辅助函数的有关性

质，给予巧妙的解答.利用导数构造函数时，不仅要牢记两个函数a(x)和v(x)的积、商的导数

公式的特点，还需要牢记常用函数的导数的特征.

四、解答题

17.已知函数/(x)=%2-3x+lnx+2.

⑴求的单调区间;

(2)求f(x)的极值.

【正确答案】(1)单调递增区间为和(I,+功，单调递减区间为

3

⑵极大值为^-卜2,极小值为0.

【分析】(1)求出导函数/(x),在定义域内由1*)>0得增区间，由/'")<0得减区间;

(2)由单调性得极值点，计算得极值.

【详解】(1)/(x)的定义域为(0,+8),

/1x)=2x_3+L令/明〉0,解得0<x<1或x>l,

xx2

令解得;<x<l,

所以/(X)的单调递增区间为„和(1,+8),单调递减区间为6,1}

(2)由⑴可知，/(X)在(0』上单调递增，在6，1)上单调递减，在(1,物)上单调递增.

又/(；)=5_|+lng+2=*_ln2,/(1)=1-3+2=0,

所以/(X)的极大值为\-ln2,极小值为0.

18.已知抛物线C:/=2px(p>0)的焦点为尸，过点尸的直线/交抛物线C于A,8两点，

当/J_x轴时，|/a=12.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)当线段的中点的纵坐标为3时，求直线/的斜率.

【正确答案】(l)r=12x

(2)2

【分析】(1)根据题意可得尸当轴时，A,8两点的横坐标工=5，代入抛物

线计算可得|/例=2。=12,即可得到答案；

(2)设，(X1,m)，B®,%),*尸>2,由A,B两点都在r=12x上，得y；=12再和货=12々,

可得乃)=12,由中点的纵坐标为3得比卢=3,从而可求得直线/的斜

x,-x.2

率心匕二必

【详解】（1）由题意知，尸（5，0），当/轴时，A,B两点的横坐标x=5,

代入炉=2px得/=加，y=+p,贝！j|Z同=2p=12,解得p=6,

所以抛物线C的标准方程为V=12x；

（2）根据题意得，直线/的斜率存在，

设/（%,必），8（工2，%），再h％,

A,5两点都在12=12%上,则有"=12石,货=12%,

贝！J必一%=12（占-x2）,即------------=12,

占一超

又48中点的纵坐标为3,则无其=3,耳+%=6,

y,—y91212八

则—~—=-----=T=2，

MFyt+y26

即直线/的斜率上="5=2.

玉f

19.在数列｛4｝中，《=1,且/=2/+〃+2向-1.

（1）证明：［空:是等差数列；

（2）求｛凡｝的前〃项和S..

【正确答案】（1）证明见解析

⑵S,=2+（-l）.2"+「”以

【分析】（1）利用构造法证明该数列为等差数列；

（2）利用错位相减法与分组求和法可得

【详解】（1）由。向=2/+〃+2向-1,得。向+〃+1=2。“+2〃+2向，

等式左右同除2",，得巴嘴里=殁3+1，

故数列是以竽=1为首项，1为公差的等差数列；

（2）由（1）得^^=1+（〃-1）=〃，

故•2”—〃,

设b“="2,其前〃项和为。，

贝IJ*=1x2+2x22+3x23++(n-\)-2"-'+n-2",

27；,=1X22+2X23+3X24+4{〃一”N+〃N',

故-7；=2+2?+23++2"-n-2n+l=-n-2,,+1=-2-(n-1)-2"+''

即1=2+(〃_l>2"+i,

故S“=,+2++”=,+2++“-(1+2++")=2+(n-1)-2向_。+；)".

20.如图，四边形/8CO为正方形，四边形/OEF是梯形，AF//DE,AD=DE=3AF,平

面平面/BCD,且EQ_L8。，点尸是线段尸C上的一点(不包括端点).

(1)证明：8£)_L尸C；

(2)若工尸=1,且直线EC与平面尸8。所成角的大小为45”，求三棱锥C-尸80的体积.

【正确答案】(1)证明见解析

【分析】(1)由面面垂直得N81平面/DEF,从而得尸.再由已知得

AFA.BD,从而可得4尸_1_平面48c。，得证/产J.BO,再由线面垂直的判定定理证明BD1

平面4FC,即可证得；

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，设而;九/60<4<1),由线面角的空间向量法求

得力值，然后由棱锥体积公式计算可得.

【详解】(1)证明：连接ZC,因为四边形为正方形，所以/C12。，AB1AD,

又平面平面月8co，平面4DEF平面N8C。=40,48u平面488,所以工

平面ADEF,

又N尸u平面/DE尸，所以

因为AFUDE,所以

又ABBD=B,AB,8。u平面/BCD,

所以J.平面/BCD,

又8Ou平面Z3CD,所以力尸_LBD,

又ACLBD,AFAC=A,AF,/Cu平面月FC,

所以B。/平面/FC,又尸Cu平面/FC,所以8DJ_FC；

(2)以4为坐标原点，AB,AD,4尸所在直线分别为x轴，>轴，z轴建立空间直角坐

标系，如图所示.

则尸(0,0,1),C(3,3,0),8(3,0,0),£>(0,3,0),£(0,3,3),

所以CE=(-3,0,3),83=(—3,3,0).设即:2尸丞0<X<1),

则8尸=8尸+尸产=8尸+2/=(凸+34341-2).

r

设平面尸8。的一个法向量为〃=(x),z),

n•=-3x+3歹=0

n-BP=(-3+32)x+32y+(1-2)z=0'

、

令X=l,解得y=l,Z=13—62所以平面尸8。的一个法向量为〃X=1(,1,3—64

1-2I1-Z)

又宜线EC与平面P8O所成角的大小为45”,

,、3-6/1

-3+3x

所以卜os(C瓦厘1-2

2，

V9+9

7'r*K7"***6

解得兀=，.所以FP=—FC,所以尸C==CE,

131313

bi、】〃〃6__611c,9

所以%"8。=%-8CD=耳*5、丁3乂3又1二百.

21.已知椭圆C:’+，=l（a>0，b>0）过点（-3,Ji）,（2,空）.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若点尸是圆O:x2+/=日上的一点，过点尸作圆。的切线交椭圆C于A,B两点，证明:

以AB为直径的圆过原点。.

【正确答案】（1）二+匕=1

128

（2）证明见解析

【分析】（1）根据题意列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的标准方程;

（2）当直线的斜率不存在时，得到直线的方程，求出点48的坐标，可证得

0「：。片;0；当直线48的斜率存在时，设方程为？=h+加，由直线与圆。相切得

"尸=§（1+公），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与向量数量积运算的坐标表示,

证明。1。8=0即可.

一4-一=1

a2h2

【详解】（1）由题意知16，解得/=12,〃=8,

所以椭圆C的标准方程是《+《=1；

128

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=2叵或x=_迥.

55

若直线48的方程为》=雪，不妨设彳卒，亭｝B（粤，-季），所以

OAOB=0<所以。4_LO8；

OAOB=0<所以O力_LO8：

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m,

又直线45与圆O相切，所以」=L亍=名”^

即=?74(1/+/)、.

41+二5

设“(X1,必)，8(x2，%),

12+T=1,得(2+3公卜2+6痴X+3/_24=0,

y=kx+m

所以A=36昭”2-4(2+3公)(3机2-24)=-24^2+288/+19表警？+^S>0,

6km3m2-24

…2=-17正’再、2=»^丁

所以

22■加一林+病

OAOB=x,x2+yty2=(1+A)x(x2+A/n(x,+x2)+m=?；3；；x

5疗-24-24公5X—(1+A:2)-24-2<2

所以。4_L05.

3〃+2=§§公+2-----------=0'

综上，以为直径的圆过原点O.

22.已知函数/(x)=(x+2)lnx-“(x-l)(4eR).

(1)若a=l,求/(x)在x=l处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若。23,试判断/(x)的零点的个数.

【正确答案】(1)1

(2)答案见解析.

【分析】(1)先求导，把x=l代入，得到切线的斜率，再结合切点坐标写出切线的方程，

再求切线与坐标轴围成的三角形的面积；

(2)函数/(x)的零点个数，即为方程/(x)=0的解的个数，再转化为函数

g(x)=ln”企口的零点个数，对g(x)求导，分类讨论当”=3,a>3