2023-2024学年安徽省合肥市高一年级下册段一考试数学模拟试题

2023-2024学年安徽省合肥市高一下册段一考试数学

模拟试题

一、单选题

1.设i为虚数单位，则工=（）

1-1

A.1-/B.1+zC.-1-/D.-1+«

【正确答案】B

【分析】利用复数计算公式直接化简得到答案.

【详解】匚27=岛2（1+岛/）="'

故选：B

本题考查了复数运算，意在考查学生的计算能力.

2.在/8C中，a,b,c分别是角力，B,C的对边，a=Rb=8B=三,那么/=（）

3兀C一兀

A.—*D.-

4BU3

【正确答案】B

【分析】利用正弦定理可求出sin4,再结合大边对大角即可得解.

【详解】因为

由正弦定理导=3?’可得sin/asinB旦,

b2

7T

又因为a<6,所以/<8,故所以力

故选：B.

3.已知向量,，石满足|£|=#，\b\=y/2,（a-b）-b=\,则向量加夹角的大小等于（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【正确答案】A

【分析】先由（小）而得到遍一落’再根据数量积公式得到cos"去进而结合向

量夹角的范围进行求解.

【详解】设向量向量入［的夹角为0,

由（〃—b）,b=l,得a・b—b~=1，

即|4|-|ft|cOS0-|ft|2=l,

因为历|=后，

所以2百cos6-2=1,解得cos0=—，

2

又因为0°464180°，所以6=30°，

即向量£，加的夹角的大小为30。.

故选：A.

4.函数/（力=亨］的图像大致为（）

【正确答案】B

【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.

详解：•••XH0J（-x）=e'；e'=一八工）；.八*）为奇函数,舍去A,

X

,・"（l）=e-eT>0.,.舍去D;

../⑷=e+e”ee-、）2x=（>2湾+9+2产，2j⑺5G

xx

所以舍去C：因此选B.

点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右

的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势;

③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复.

5.如图，有一古塔，在4点测得塔底位于北偏东60。方向上的点。处，塔顶C的仰角为30。,

在Z的正东方向且距。点60m的8点测得塔底位于北偏西45。方向上（4B,。在同一水

平面），则塔的高度。约为（）（参考数据：V6«2.4）

C.40mD.48m

【正确答案】D

【分析】转化为解三角形问题，利用正弦定理、直角三角形的性质进行求解.

【详解】如图，根据题意，。平面ABD,/CAD=30°,/BAD=30°,NABD=45°,BD=60.

4D所以60AD

sinZ.ABD'sin30°sin45°

所以=60五.在RtA^CD中，CD=AD-tan30°=60gx—=2048m.

3

故A,B,C错误.

故选：D.

6.NBC所在平面上一点P满足苏+无=机荏（加＞0,加为常数），若尸的面积为6,则

/8C的面积为（）

A.6B.9C.12D.24

【正确答案】C

【分析1由已知中P是N8C所在平面内一点，且满足方+斤=〃?荏，我们根据向量加法

的三角形法则可得就范=2所，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故

SABC=2SABP，结合已知中48P的面积为6,即可得到答案.

【详解】取/C的中点0,则•.•可+定=〃?而(/»>0,机为常数),

mAB=2P0>

C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍,

故SABC-2^ABP=12.

7.已知定义在R上的函数y=/(x)对于任意的X都满足〃x+2)=/(x),当-1・X<1时，

f(x)=x3,若函数g(x)=/(x)-10g“|x|至少有6个零点，则a的取值范围是()

A.(0,1]u(5,+oo)B.(0,1)u[5,+oo)

C.(1)1)U(5,7)D.(p1)o[5,7)

【正确答案】A

【分析】函数的根转化为两个新函数图像的焦点问题，再对对数函数的。进行分类讨论即可.

【详解】由"X+2)=f(x)知/(x)是周期为2的周期函数，

函数g(x)=〃x)-log“卜|至少有6个零点等价于函数y=/(X)与g(x)=log/M的图象至少

有6个交点，

①当a>l时，画出函数夕=/(x)与g(x)=logjx|的图象如下图所示，

根据图象可得8(5)=1毁,5<1,即“>5.

产lo&W

-7yiyi-->ciyiyi

②当0<a<l时，画出函数V=/(X)与g(x)=logjx|的图象如下图所示,

根据图象可得g(-5)=log,,52-1,即0＜。＜1.

综上所述，。的取值范围是(o]。(5,+8).

故选：A

8.正方形/8C。的边长为2,。是正方形力6c。的中心，过中心O的直线/与边交于

点用，与边CD交于点N,2为平面内一点，且满足2。尸=4。8+(1-;I)。。，则两•㈱的

最小值为()

197

A.—B.—C.-2D.—

444

【正确答案】D

【分析】设2万=而，由2丽=2而+(1T)而得到。为直线OP与8c的交点，再由极

化恒等式两•温=；[(而+丽)2—(丽—丽y]^PO2-NO2=^QO2-NO2,由

[0。|21,川。区应即可求解.

设2历=而，可得宛=4丽+(1-彳)反，故。,仇。三点共线，又0,尸,。三点共线，故。

为直线OP与8c的交点.

.L1UU1「■■)■■)-1，…“•■•，…••・•

PM'PN=-[(PM^-PNy-(PM-PNY^,又PM+PN=2PO,PM-PN=NM=2NG,

可得而.潴=而;而前;而二又|。。|21,|叫40,所以

~PM-'pN=J由1-1而上;x1-(&y=-7~.

故选：D.

二、多选题

9.45c是边长为1的等边三角形，已知向量满足方=7而=1+2占，则()

A.，卜1B.a-b=—

C.(a+b)lBCD.而在元上的投影向量为不

【正确答案】CD

【分析】根据条件可得同=1,归+24=1,1(£+25)=；,根据数量积的性质求小6,W，

由此判断A,B,再结合向量垂直的表示和投影向量的定义判断C,D.

【详解】因为48。是边长为1的等边三角形，AB=a,AC=a+2b,

所以忖=1,卜/+2可=1,cos(48,NC)=g,

所以a.(a+2^)=；,

所以2lB=-；，/+415+4片=1，

所以W=g,A,B错误；

因为灰^万一万二？]，

^^[a+b]-BC=[a+b]-(2b^=2a-b+2b2=0,

所以卜+不)，团，C正确；

因为4%=-；,忖=；，忖=1,

所以cos,,

在在就上的投影向量为|布。5«，2»1[=1']-；卜(2@=-b,D正确；

故选：CD.

10.Z8C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,则下列命题为真命题的是()

A.若力>夕，则sin4>sin8

B.sin2+sin2B<sin2C）则4SC是钝角三角形

C.若acosZ=6cos8,则Z8C为等腰三角形

D.若。=8,c=10,/=60。，则符合条件的N5C有两个

【正确答案】AB

【分析】根据正、余弦定理在解三角形中的应用，通过边角转化等一一判断即可.

【详解】对A选项，根据结论大角对大边，则有。>b,又因为正弦定理―一=一二，所以

sinAsinB

sin4>sin8,故A正确；

对B选项，由sirz+si/Bvsin2c可得.'cosCvO,/BC为钝角三角形,

故B正确：

对C选项，由4cos/=bcos8可得sin/cos/=sin8cos8,.1sin2/=sin28,

.•.4=8或2工+28=兀，/BC是直角三角形或等腰三角形，故C错误；

in6

对D选项，由正弦定理得.0256故不存在满足条件的ABC,故D错误.

sinC=-------=------>1

88

故选：AB.

11.直角三角形NBC中，P是斜边8c上一点，且满足丽=2定，点M,N在过点P的直线

上，若力l7=w方，病=〃就，（用>0/>0）,则下列结论正确的是（）

1215

A.乙+士为常数B.九〃的值可以为：“==

mn22

C.m+2〃的最小值为3D.卷3的最小值为J

3VABC9

【正确答案】ABD

【分析】作出图形，由而=2正可得出不=；而+：就，根据三点共线的结论得出

12

—+上=3,由此判断A,B,结合基本不等式可判断CD.

mn

【详解】如下图所示:

由方A=2斤，可得4P_N8=2（/C_/P）,

:.JP=-AB+-AC,

33

^AM=mAB-AN^nAC>(w>0,«>0),

—1——►—►1—►

贝!jZB=—AM,AC——AN,

mn

：.7P=—AM+—AN,

3m3〃

•；M、P、N三点共线，

1212r

—+—=t1,..—H—=3,

3m3〃mn

故A正确；

当加=1,时，J_+2=£W3,所以B错误;

当且仅当"?=〃=1时，等号成立，C正确；

/8C的面积/MN的面积S,MN=g/〃ZN,

SAM•AN

所以1vA口MN=--------=mn

S、ABCABAC

12n~224

因为上+上=3,所以当且仅当，"=；,〃=；时等号成立,

mnn33

即加8当且仅当机=*2,〃=?4时等号成立，

933

所以当掰=2:，〃=：4时，加〃取最小值，最小值为8

所以沁L的最小值为，，口正确；

玉ABC9

故选：ABD.

12.已知y=/(x)奇函数，/(x)=/(2-x)恒成立，且当O・x・l时，f(x)=x,设

g(x)=/(x)+/(x+l),则()

A.g(2022)=l

B.函数y=g(x)为周期函数

C.函数y=g(x)在区间(2021,2022)上单调递减

D.函数y=g(x)的图像既有对称轴又有对称中心

【正确答案】BCD

【分析】由g(x)与/⑴的关系式及/㈤的周期性、奇偶性，即可求g(2022)和判断g(x)的周

期，进而判断A和B；利用奇函数性质求/(X)在-24x42上的解析式，结合g(x)的周期性

及g(x)="X)++1)求(2021,2022)上的解析式判断C,利用对称性判断g(l-x)=g(x)、

g(x)+g(3-x)=0是否成立判断D.

【详解】因为/(x)=/(2-x),所以，f(-x)=f(2+x),又/(x)为奇函数，故

f(-x)=-f(x)=-f(2-x)=f(x-2)=f(2+x),利用〃x-2)=/(x+2),可得

f(x)=f(x+4),故〃x)的周期为4；

因为/(x)周期为4,则g(x)的周期为4,又为x)是奇函数,

所以g(2022)=g(505x4+2)=g(2)=/(2)+/(3)=f(2)+/(-I)=-/(I)=-l,A错误,B正确;

当0・x・l时,f(x)=x,因为/(x)为奇函数，故-必＜0时,f(x)=x,因为〃x)=/(2-x)

恒成立，令042-xVl,此时,/(2-x)=2-x，贝!|2NxNl,/(尤)=/(2—x)=2-x,故0W2

令BPl<-x<2,则/(-x)=2+x=-/(x),即f(x)=-x-2；

令-14x<0,即0<-x41,则/(-x)=-x=-/(x),即/(x)=x；

令2<x<3,BP-3<-x<-2,-l<2-x<0,f(2-x)=2-x=/(x)

-x-2,-2<x<-l

所以/(X)=«X,-14x41,

2-x,l<x<3

根据周期性V=g(x)在XW(2021,2022)上的图像与在xw(1,2)相同，

所以，当14x<2,即24x+l<3时，g(x)=/(x)+/(x+l)=2-x+2-(x+I)=3-2x，故g(x)

在xe(1,2)上单调递减，C正确；

由/(x)是周期为4的奇函数，则/(x+2)=-f(x)=f(x-2)且f(x-1)=-f(x+1),

所以g(l-x)="1-x)+/(2一x)=-f(x-2)=/(x)+f(x+1)=g(x),故g(x)关于

X=1对称,

2

g(x)+g(3-x)=/(x)+/(x+l)+/(3-x)+/(4-x)=/(x)+/(x+l)-/(l+x)-/(x)=0,所以

g(x)关于(|,o)对称,D正确.

故选：BCD

三、填空题

13.在平面直角坐标系中，角口的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点(-2,力

且tan("一a)=2,则sina=.

【正确答案】亭

【分析】根据a终边上一点(-2/),求得tana,再结合tan(%-a)=2可求得”4,再利用

三角函数定义可求解.

【详解】因为a终边上一点(-24),

所以tana=-?,

2

又tan(^-a)=2ntana=-2,

所以可得y=4,

~•42班

所以sma=/=1~,

V(-2)2+425

故*

14.z+2』=9+4i(i为虚数单位)，则|z[=

【正确答案】5

【分析】设z=a+加(a"eA)分代入z+2，=9+4i,整理后由复数相等的条件列

式求得a,b的值，根据z=a+4•的模为|z|=^Ja2+b2，即可求得回.

【详解】设z=a+6i(&6GA),则

代入z+2』=9+4i代:(。+5)+2("加)=3">=9+4z

/.3a=9,—b=4故：a=3,b=T

z=3-4z

根据z=a+bi的模为|z|=\Ja2+b2

|Z|=732+(-4)2=5

故答案为:5.

本题主要考查复数相等和复数求模，明确复数的实部与虚部是解题关键,考查计算能力，属于

基础题.

15.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形

边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形48。)的边长为正，则存.旃=.

【正确答案】4

【分析】根据平面向量的线性运算和数量积运算计算即可.

【详解】解：由题意可知，

AE-JF=(AD+DE)(BC+CF)=7DJC+7DCF+DEJC+DECF

=2+ADCF+DEBC

^2-CBCF-DEDA

=2-A/2X1X-lx^-xf-=4,

I2JI2J

故4.

16.在N8C中，角4B,C所对的边分别为是的中点，若8=1,且

(a-gb)siri4=(c+b)(sinC-siiR),则当/8C面积取最大值时，/8C的周长为

4M+2后

【正确答案】

5

【分析】分别在CD4和△CO8中，由余弦定理以及cos(T-e)=-cos。可得

c2=2(a2+h2)-4,由卜in4=(c+b)(sinC-sin8)及正弦定理得〃？+b2-c2=^-,可

得sinC=巫，消去d可得02+/+孚=4,由基本不等式可得而取最大值即N8C面积

42

取最大值，a=b=巫，从而可得结果.

5

【详解】如图，设NC£%=。，则NCO8=%-。.

在CD4和△88中，分别由余弦定理可得

一+l-h2—+1-/

COS^=-------，COS(7U-0]=--------，

CC

又C0S(7T-。)=一COS。

2

所以3+2-(/+〃)=(),

所以C2=2(/+〃[4,①

由("g“sin/l=('+8)卜皿(7-$询8)及正弦定理得

(a-gb)a=(c+6)(c-/)),

整理得/+/一C2=?,②

由余弦定理的推论可得cosC=1+"2-c2=J.,所以sinc=46.

lab44

所以/8C面积为S48c=1absinC=^5ab,

"c28

所以求N8C面积取最大值即帅的最大值.

把①代入②整理得/+/+号=4,

又a、b222ab,当且仅当a=b时等号成立,

by“、c,ab5ab

^\^4>2ab+-=--

22f

所以abvg,即0=6=3叵时等号成立.

55

此时c?=2倍+即‘=岖,

155)55

所以当/取最大值时Z4C的周长为生叵立马叵.

5

故49+2小

四、解答题

17.已知向量方=(1,1),OB=(3,-l),OC=(m,3),OD=(x,y)(m,x,yeR).

(1)若48,C三点共线，求实数”的值；

(2)若四边形/BCD为矩形，求x+y的值.

【正确答案】(1)-1:(2)10.

【分析】(1)根据平面向量的坐标运算求出在、就，利用A,B,C三点共线列方程求

出〃?的值.

(2)由平面向量的坐标运算和矩形的定义，列方程组求出机、x、V的值，再求和.

【详解】解：(1)向量宓=(1,1),方=(3,-1),OC=(m,3),

所以方=砺-方=(2,-2),AC=OC-OA=(m-1,2),

由A,B,C三点共线知，~ABH~AC，

即-2(,”-l)-2x2=0,解得团=-1；

(2)由荏=(2,-2),5C=OC-dB=(/n-3,4),

'AD=OD-OA=^-\,y-\),

Cb=OD-OC=(x-niy-3'),

若四边形N8CZ)为矩形，则在，团，

B|JJSSC=2(zn-3)-8=0,解得机=7;

____.,[x-m=x-7=-2

由“8=-8，得｛.,，

[y-3=2

解得x=5,V=5,

所以x+y=10.

18.在A48c中，内角48,C所对的边分别为a,6,c,已知玩=(a,c-26),万=(cosC,cos/)，且

in.Lii.

(1)求角A的大小；

(2)若b+c=5,A/18C的面积为百，求M8C的周长

【正确答案】(1)9;(2)5+如

(1)由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、

诱导公式可化简得到cos4,进而求得A；

(2)根据三角形面积公式构造方程求得be,利用余弦定理可求得。，进而得到所求周长.

【详解】(1)'：fhLn:.mn=acosC+(c-2fe)cos>4=0

由正弦定理得：sinAcosC+(sinC-2sin5)cosA=0

即：sinAcosC+cos4sinC-2sin8cos4=sin(Z+C)-2sin8cosA=0

•：A+B+C=TVsin(4+C)=sinBsinB-2sinBcosA=0

：.sin5*0

2

ve(O,jT)?

(2)=—6csinA=—ftesin—=—be=\/-3be-4

皿2234

由余弦定理得：/-b2+c2-2bccosA-(^b+c)2-2bc-2bccosy25-12=13

:.a=屈48c的周长L=a+6+c=5+JJ3

本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公

式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.

19.已知函数y=/(x)(xeR)是偶函数.当x20时，f(x)=x2-2x.

⑴求函数〃x)的解析式；

(2)设g(x)=-/(司+1,求g(x)在区间+上的最大值，其中。>7.

【正确答案】⑴函数/(X)的解析式为/(X)=X：+?

x~-2x,x>0

2,-1<67<1

⑵当a>-l时,g(x)在区间上的最大值为g(a)=

—+2。+1,67>1

【分析】(1)利用偶函数的性质求函数/(X)在(0,+8)上的解析式，由此可得结论;

(2)结合二次函数性质确定函数g(x)的单调性，结合单调性求g(x)的最值.

【详解】(1)因为函数夕=/(x)(xeR)是偶函数,

所以当x<0时，/(x)=f(-x),-x>0,

又当x20时，f(x)=x2-2x,

所以当x<0时，/(X)=(-x)2+2x=x2+2x,

所以函数/(X)的解析式为/(X)=卜:+<，，

x-2x,x>0

(2)因为g(x)=-/(x)+l,

所以当x<0时，g(x)=-x2-2x+l=-(x+1)'+2,

当x20时，g(x)=-x2+2x+l=—(x-1)2+2,

所以当1时，函数g(x)单调递增，

当-l<x<0时，函数g(x)单调递减，

当0VxVl时，函数g(x)单调递增，

当X21时，函数g(x)单调递减，

当时，则。+2>1,

所以函数g(x)在［凡。+2］上的最大值为2,

当“>1时，函数g(x)在区间［%。+2］上单调递减，

所以当x=a时,g(x)取最大值,最大值为g(a)=-/+2a+l,

所以当时，g(x)在区间上的最大值为〃>1,

20.N8C是边长为3的等边三角形，BF=ABC^<2<1\过点尸作。尸1BC交AC边

于点。，交8/的延长线于点E.

B

7

(1)当2=3时，设忌=/BC=b'用向量〉;表示占：

(2)当人为何值时，成危取得最大值，并求出最大值.

—472T39

【正确答案】(1)EF=--a+—b；(2)/k尸3有最大值记，

【分析】(1)求出5上届，再利用减法法则得解；

(2)求出4E-FC=-9储+-再利用二次函数求解.

22

f2TT2

【详解】解：(1)由题意可知：BF、b,且5尸=3x?=2,

T->4T4T

BE=4,故=—=，

33

->->->4T2T

EF=BF—BE=——a+-b.

33

(2)由题意，BF=3/1,FC=3-3/1,BE=6ZfAE=6^-3,

ff279

^£-FC=(6/l-3)(3-3A)cos60°=-9A2+y/l-y,

27

所以当2=-3=标仕1］时，弱启有最大值

-9x24{2}I。

21.已知函数/(x)=2sin3x+0)(-7t<a(O,<y)O)的图象关于直线x=?对称，且两相邻对称

6

中心之间的距离为5.

(1)求/(X)的最小正周期和单调递增区间：

⑵若函数g(x)=/(x+")为偶函数，求同的最小值.

(3)若关于x的方程/(x)+log2A=0在区间田上总有实数解，求实数左的取值范围.

【正确答案】(1)7=兀，函数y=/(x)的单调递增区间1阮+£,而

63

(2)时的最小值为寿

,「1

⑶万，4.

【分析】(1)根据相邻对称中心的距离求出周期，得。的值，根据对称轴求出夕，得出解析

式，结合正弦函数的单调性求单调区间;

(2)根据奇偶性的性质列方程求同的最小值.

(2)将方程有实数根转化为两个函数有交点，求值域的问题，由此可求人的取值范围.

JT

【详解】⑴因为函数两相邻对称中心之间的距离为于

所以函数/(X)的最小正周期7=兀,

2兀

所以同=兀，又口＞0,所以口=2,

函数图象关于直线x=£对称，2x2+9=%兀+5,丘Z,

662

兀

国毕得：(p=kn+—,keZ,一兀<。<0,

6

所以9=-e，/(x)=2sin,571

2x---

66

由2A兀-—<2x———<2kli+—GZ,

262

得：/at+—<x<kn+—,keZ

63r

■jrOjr

所以函数y=〃x)的单调递增区间桁+m，氏+—,AeZ；

o3

(2)由(1)g(x)=2sin|2x+26r-^-|,

因为函数g(x)为偶函数,

所以2sin(2x+2a一期=2sinf-2x+2a--^-

所以4〃---=24兀+兀或4x=2E(舍去)，kEZ,

3

匚匚]kit2兀

所以"二+7-,ZeZ,

23

所以卜I的最小值为:

(3)当xw0,弓时，2x--e,/(x)=2sin(2x—^],

.2」6

因为关于X的方程/(x)+bg2左=0在区间"鼻上总有实数解，

所以函数y=-/(x)的图象与函数y=bg2我的图象有交点，

所以bg2左=-/■(#€[-1,2],

所以-14噬2%42,

所以g,4

22.已知N8C为锐角三角形，角45,C所对的边分别为a,6,c,且acosC=c(I+cos4).

(1)求£的取值范围：

a

(2)若b=2,求/8C面积的取值范围.

【正确答案】(1)(母,等)

(2也

2

【分析】(1)利用正弦定理化简已知条件，求得力=2C.根据三角形ABC是锐角三角形求得

C的取值范围，利用正弦定理化简£,通过cosC的取值范围求得£的取值范围.

aa

(2)利用正弦定理表示出“，由此求得三角形48c面积的表达式，结合C的取值范围求得

8的取值范围，对C分成C=f和两者情况