中考数学复习策略（全国通用）4 倍长中线模型构造全等三角形

第04讲倍长中线模型构造全等三角形

【应对方法与策略】

倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对

应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用

“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。

三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中

线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.

主要思路：倍长中线（线段）造全等

在aABC中AD是BC边中线

,E

延长AD到E,使DE=AD,连接BE

作CF,AD于F,作BE_LAD的延长线于E连接BE

A

延长MD到N,使DN=MD,连接CD

【多题一解】

一、单选题

1.（2021♦浙江湖州♦二模）如图，在四边形ABe。中，ABHCD,ABLBD,AB=5,BD=4,CD=3,

点E是AC的中点，则8E的长为（）.

【答案】C

【分析】延长BE交CD延长线于P,可证aAEB公ZsCEP,求出力P,根据勾股定理求出BP的长，从而求

出BM的长.

【详解】解：延长BE交CZ）延长线于尸，

'：AB//CD,

.∙.NEAB=NECP,

在aAEB和ACEP中，

ZEAB=NECP

<AE=CE

ZAEB=ZCEP

：.∕∖AEB^∕∖CEP（ASA）

/.BE=PE9CP=AB=5

又∙.∙CD=3,

.'.PD=2,

"：BD=4

∙*∙BP=y∣DP1+BD1=2√5

：.BE=WBP=亚.

【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股

定理求出BP.

2.（2021•甘肃兰州•模拟预测）如图，在ZiABC中，AB=4,AC=2,点。为8C的中点，则AO的长可能

是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】延长AD到E,使。E=A。，连接BE.证44。CgZ∖EOB（S4S）,可得BE=AC=2,再利用三角

形的三边关系求出AE的范围即可解决问题.

【详解】解：延长4。到E,使。E=AO,连接8E,

在AAJDC^LEDB1I1，

AD=ED

•ZADC=NEDB,

CD=BD

：.ΛADC^∕∖EDB（SAS）,

.∙.BE=AC=2,

⅛∆ΛBE中，AB-BE<AE<AB+BE,

即2V2AO<6,

解得1<AD<3,

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的全等判定利性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关

键.

3.（2021.全国•九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，CD=2AD=8,E为AD上一点,F为

OC的中点，则下列结论中正确的是（）

A.BF=4B.AABC>2.XABFC.ED+BC=EBD.S四边JgOEBC=2SvE*7f

【答案】D

【分析】根据平行四边形的性质可以得到Co=2AD=28C=8,且尸为DC的中点，所以C尸=BC=4,由

此可判断A选项；再结合平行线的性质可以得到NCFB=NFB4,由此可判断8选项；同时延长EF和BC

交于点P,DF=CF/DFE=ZPFC,ND=NFCP可以证得，£）££■三CFP,所以ED+BC=CP+BC=BP,

由此可以判断C选项；由于MEEMbP,所以%边形函（C=SVz心，由此可以判断。选项；

【详解】四边形ABCD是平行四边形

CD=2AD=2BC=8

：.CF=BC=4

由于条件不足，所以无法证明3尸=4,故A选项错误；

CF=BC=4

.∙.NCFB=ZFBC

DC//AB

.∙.NCFB=NFBC=NFBA

.∙∙ZABC=2ZABF

故B选项错误；

同时延长Eb和BC交于点P

ADBP

∙∙∙ZD=ZFCP

DF=CF

・•・在ADFE和CFP中：/DFE=ZPFC

ZD=ZFCP(ASA)

：.DFE=CFP

∙∙ED+BC=CP+BC=BP

由于条件不足，并不能证明解=郎，故。选项错误;

DFE=ACFP

∙"∙S四边形O£8C=SNBEp

尸为。C的中点

=

∙,∙SYBEP2S∖JBEF=S四边形DEBC

故。选项正确；

故选：D.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本

题的关键.

二、填空题

4.（2019・湖北•武汉市粮道街中学九年级阶段练习）如图，∆ABCΦ,。是AB的中点，CD：AC：BC=I：

2：2√3,则NBCO=.

C

一

ADB

【答案】30°

【分析】利用“中线倍长法”构造全等三角形，进而得出等腰三角形，再通过作等腰三角形的高，依据锐角

三角函数可求出答案.

【详解】解：延长CO到E,使。E=C。，连接BE,过E点作EFLBC,垂足为凡

；。是AB的中点，

：.AD=BD,

又,：NADC=NBDE,DE=DC,

：./XADCQ丛BDE(SAS),

：.AC=BE,

'：CD：AC：BC=I:2：2√3,

设Cn=加，则AC=2，〃=BE=CE,

：.FC=FB=WBC=旧m,

在Rt∆CEF中，COSNFCE=工--正2=立，

CE2m2

ΛZFCE=30o,即NBeZ)=30°,

故答案为：30°.

E

【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质以及锐角三角函数等知识，理解直角三角

形的边角关系是正确计算的前提.

5.(2021•全国•九年级专题练习)如图，在正方形ABCO中，MN分别是A。、BC边上的点，将四边形

ARVM沿直线MN翻折，使得点A、8分别落在点4、9处，且点方恰好为线段C力的中点，49交

AD于点G,作。PLAftV于点P,交A'8，于点Q.若AG=4,贝IJPQ=.

【答案】蛀

5

【分析】根据中点这个条件考虑倍长，构造出全等三角形，进而结合翻折得性质产生等腰三角形，综合等

腰三角形的性质通过设未知数表示各线段，再通过相似三角形建立等式求解正方形的边长，最后利用三角

函数值快速求解.

【详解】如图，连接BBB',延长A®'、Ar）交于点尸，则ACNBazXEDB',ZCB'N=ZFB'D=ZDGB',

根据翻折的性质可得；RWN为等腰三角形，ZEFM=ZEFN,

作FELMN于点、E,设D3'=MC=x,则正方形边长为2x,

553

则55'=MN=6X,BN=-x,FM=FN=-X,CN=FD=-x,

422

YX11Y

:.DG=2x-4,GM=4——，AM=AM=—，/G=------4

444

X—a4_X_

由4A'MGs^FB'G,得粤=攀，则g=7Γj-,解得x=6,

FBFG££-_4

τ-一

15921

则EC=6,UN=—,CN=—,QG=8,OM=-,

222

PD=空DM=^^

55

1

设∕CBBr=/NFE=ZMFE=ZMDP=a,则tanα=—=-,

设∕CB'N=∕DGB'=0,则tan/?=±NC=23,

B,C4

此时作QH±GD,GH=Q,DH=——,

tanptana

&^+0-=8=QH=S则QQ=√⅛"=D叵

tanβtana5*、X5

.∙.PQ=PD-DQ=当

故答案为：神

5

【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，及三角函数的应用，综合性

比较强，难度较大，熟练掌握做辅助线的方法是解决问题的一个关键点，再有就是结合图中构造出的全等

或相似，准确列式计算也是本题的一个关键点.

6.（2021•全国•九年级专题练习）如图，ABCD,ZBCD=90°,A8=1,8C=8=2,E为AD上的中点，

贝IJBE=.

【答案】史

2

【分析】延长BE交CD于点F,XiLNABE^DFE,则BE=EF=；BF,故再在直角三角形BCF中运用勾股

定理求出BF长即可.

【详解】解：延长BE交CD于点F,

「AB平行CD,则∕A=∕EDC,ZABE=ZDFE,

又E为AD上的中点，ΛBE=EF,

所以VABEAOEE.

/.BE=EF=；BF,AB=DF=I

：.CF=I

在直角三角形BCF中，BF=Jl2+22=G

，BE=-BF=-.

22

【点睛】本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾股定理求解.

三、解答题

7.（2020・湖南・长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）△ABC中D是BC边上一点，连接

AD.

（1）如图1,AD是中线，贝∣JAB+AC_2AD（填>,<或=）；

（2）如图2,AD是角平分线，求证AB-Ae>BD-CD.

【答案】（1）>;（2）见解析

【分析】（1）延长AD至E,使DE=AD,连接CE,利用“SAS”证明△CDE丝AADB,再利用三角形的三

边关系证明即可；

（2）在AB上截取AG=AC,连接DG,利用“SAS”证明AADC三ZkADG,再根据三角形三边关系即可证明

AB-AC>BD-CD.

【详解】（1）如图，延长AD至E,使DE=AD,连接CE,

在^CDE-⅛ΔADB中，

AD=DE

</ADB=NEDC,

BD=CD

ΛΔCDE^∆ADB(SAS),

ΛAB=CE,

.β.AB+AC=AC+CE>AE=2AD,

即AB+AO2AD；

故答案为：>;

(2)在AB上截取AG=AC,连接DG,

TAD是角平分线，

ΛZ1=Z2,

在AADC和AADG中,

AC=AG

<N1=N2,

AD=AD

ΛΔADC≡ΔADG(SAS),

ΛDC=DG,

，AB-AC=AB-AG=BG>BD-DG=BD-CD.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，添加辅助线构建全等三角形是解

题的关键.

8.（2020•北京一一匕一中九年级阶段练习）在.ABC中，ZC=90o,AC>BC,D是AB的中点，E为直线

AC上一动点，连接DE,过点D作DFJ_DE,交直线BC于点F,连接EF.

（1）如图1,当点E是线段AC的中点时，AE=2,BF=I,求EF的长；

（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2,用等式表示AE,EF,BF之间的数量关系，并

证明.

【答案】（1）√5;（2）AE2+BF2=EF2,证明见解析

【分析】（1）由三角形的中位线定理得DE〃BC,DE=TBC,进而证明四边形CEDF是矩形得DE=CF,

得出CF,再根据勾股定理得结果：

（2）过点B作BM〃AC,与ED的延长线交于点M,连接MF,证明△ADEgZkBDM得AE=BM,DE=

DM,由垂直平分线的判定定理得EF=MF,进而根据勾股定理得结论.

【详解】解：（1）是AB的中点，E是线段AC的中点，

ΛDE√BC,DE=^BC,

VZACB=90°,

ΛZDEC=90°,

VDF±DE,

二∕EDF=90°,

二四边形CEDF是矩形,

ΛDE=CF=ʌBC,

ΛCF=BF=L

∙"E=AE=2,

∙*∙EF=√CF2+CE2=√l2+22=√5：

(2)AE2+BF2=EF2.

证明：过点B作BM〃AC,与ED的延长线交于点M,连接MF,

则/AED=NBMD,/CBM=NACB=90。，

=D点是AB的中点，

ΛAD=BD,

ZAED=/BMD

在AADE和ABDM中，∖^ADE=ZBDM,

AD=BD

Λ∆ADE^∆BDM(AAS),

ΛAE=BM,DE=DM,

VDF±DE,

/.EF=MF,

VBM2+BF2=MF2,

ΛAE2+BF2=EF2.

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，

关键在于构造全等三角形.

9.（2020・全国•九年级专题练习）己知：如图所示，AD平分NBAC,M是BC的中点，MF//AD,分别交

CA延长线，AB于F、E.

求证：BE=CF.

【答案】见解析.

【分析】过B作BN〃AC交EM延长线于N点，易证ABMN丝z∖CMF,可得CF=BN,然后由MF〃AD,

AD平分NBAC可得∕F=NDAC=∕BAD=/BEM,/BEM=NN,所以BE=BN=CF.

【详解】证明：过B作BN〃AC交EM延长线于N点，

VBN/7AC,BM=CM,

ΛZBMN=ZCMF,ZN=ZF,

Λ∆BMN^∆CMF,

ΛCF=BN,

又∙.∙MF∕/AD,AD平分NBAC,

...NF=NDAC=/BAD=NBEM,

/.ZBEM=ZN,

ABE=BN=CE

【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造出

等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点.

10.（2020∙北京・中考真题）在ΛBC中，ZC=90o,AC>BC,D是AB的中点.E为直线上一动点，连接

DE,过点D作DFLDE,交直线BC于点F,连接EF.

（1）如图1,当E是线段AC的中点时，设AE=a,8F=b,求EF的长（用含“力的式子表示）；

（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,

并证明.

【答案】（1）√ZT；（2）图见解析，EF2=AE2+BF2,证明见解析.

【分析】（1）先根据中位线定理和线段中点定义可得DE〃8C,DE=；BC,CE=ΛE=α,再根据平行四

边形的性质、矩形的判定与性质可得OE=CF,从而可得CF=BF=b,然后利用勾股定理即可得；

（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得/皿＞=NG3O,ZDEA=ZDGB,再根据三角形全等的

判定定理与性质可得£D=G£）,AE=BG,然后根据垂直平分线的判定与性质可得EF=FG,最后在

RjBGF中,利用勾股定理、等量代换即可得证.

【详解】（1）是AB的中点，E是线段AC的中点

.∙.DE为AfiC的中位线，hCE=AE=a

：.DEHBC,DE=-BC

2

,/NC=90°

.∙.ZDEC=180o-ZC=90°

,.∙DFlDE

：.NEDF=90。

二四边形DECF为矩形

.∙.DE=CF

.∖CF=-BC=-（BF+CF）

22

：.CF=BF=b

则在Rt二CEF中，EF=y∣CE2+CF2=y∣a2+h2；

(2)过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G,连接FG

,.∙BGHAC

：.ZEAD=ZGBD,NDEA=NDGB

YD是AB的中点

，AD=BD

ZEAD=ZGBD

在，EAD和AGBD中，■NDEA=NDGB

AD=BD

：.^EAD=_GBD(AAS)

：.ED=GD,AE=BG

又；DFLDE

.∙.DF是线段EG的垂直平分线

,EF=FG

YNC=90。，BGHAC

.∙.NGBF=NC=90°

在RfBGF中，由勾股定理得：FG2=BG2+BF2

二EF2=AE2+BF2.

【点睛】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定

与性质、勾股定理等知识点，较难的是题(2),通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关

键.

11.(2020•全国•九年级专题练习)如图，在aABC中，AB=AC,。为线段8C的延长线上一点，且

DB=DA,BEj_A。于点E,取BE的中点F,连接Af

(1)若AC=√I?,AE=B求BE的长；

(2)在(1)的条件下，求AABO的面积.

(3)若/BAC=/DAE求证：2AF=4O;

【答案】(1)2√3i(2)y；(3)见详解

【分析】(1)在心AAEB中，利用勾股定理即可解决问题；

(2)⅛DE=X,则AD=6+X,根据勾股定理求出A。的长，再利用三角的面积公式计算即可；

(3)如图，延长A尸至M点，使Af=M凡连接首先证明A4E/丝Z∖MFB,再证明△ABΛ∕名Z∖4CO

即可.

【详解】解：(1)YAB=AC,AC=岳,

..AB=J15,

"：BEVAD,AE=日

在RtXAEB中，BE=y∣AB2-AE2=√(√15)2-(√3)2=2√3;

(2)设DE=x,贝IJAD=Λ∕3+Λ)

AD=BD,

BD=ʌ/ɜ+X,

在用.3£>E中，根据勾股定理得:

BE2+ED2=BD2,

BP(2√3)2+X2=(√3+X)2,

解得：X=挛

2

即OE=整,

2

则AO=AE+DE=6+手，

则S"Z)=LAE=JX(G+地)X2G="；

abd2222

(3)证明：如图，延长AF至M点，使AF=MR连接5M,

/.EF=BFf

在△AEF和aM3F中，

AF=FM

<NAFE=NBFM

EF=BF

：.∕∖AEF^AMBF(SAS),

：.AFAE=AFMB.

J.AE∕∕MBi

ΛZEAB+ZABA/=180°,

・・・ZABM=180°-ZBADf

AB=AC,DB=DA,

：.ZABC=ZACB=NBAD,

ZACD=180°-ZACB9

：./ABM=ZACD.

又TNBAC=NDAR

ΛZBAC-ZMAC=ZDAF-ZMAC.

ΛZ1=Z2.

在△A3M和△ACO中,

Z1=Z2

,AB=AC,

ΛABM=ZACD

：.^ABM^∕∖ACD（A5Λ）,

.'.AM=AD,

^,."AM=AF+MF=2AF,

：.IAF=AD.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是中线延

长一倍，作出正确的辅助线构造全等三角形，属于常考题型.

12.（2022・全国•九年级专题练习）已知：如图，在AABC中，。是BC中点，E是AB上一点，尸是AC上

一点.若NEzm=90。，且BE2+FC2=E产，求证：NBAC=90。.

【答案】见解析

【分析】延长尸。到G使。G=D凡连接BG,EG,先证明△8。Gg△«）尸（SAS）得8G=FC,NGBD

=NC,从而有BG〃AC,DG=DF,又由勾股定理的逆定理得NABG=90。，再利用平行线的性质即可证

明结论成立.

【详解】证明：如图，延长F。到G使。G=OF,连接BG,EG,

-O为BC中点,

：.BD=CD,

；在4BDG⅛∆CDF中,

BD=CD

-ZBDG=ZCDF,

DG=DF

：.ABDG且ACDFCSAS）,

：.BG=FC,/GBD=NC,

：.BG//AC,DG=DF,

"JEDYDF,

：.EG=EF,

,.*BE2+FC2=EF2,

.,.BE2+BG-=EG2,

/.ZABG=90°,

,.∙BG//AC,

：.NA+ZABG=180°,

.∙.ZBAC=90o.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质、三角形全等的判定及性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌

握三角形全等的判定及性质以及勾股定理的逆定理是解题的关键.

13.（2020.福建福州.九年级开学考试）如图1,已知正方形ABCD和等腰MΔBEF,EF=BE,

NBEF=90°,F是线段BC上一点，取OF中点G,连接EG、CG.

（1）探究EG与CG的数量与位置关系，并说明理由:

（2）如图2,将图1中的等腰心ΔBEF绕点8顺时针旋转c°（0<a<90。），则（1）中的结论是否仍然成

立？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若Ao=2,求2GE+8尸的最小值.

【答案】（1）EG=CG且EGLCG.理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）2√2

【分析】（1）首先根据正方形和等腰直角三角形的性质得出8、E,。三点共线，然后利用直角三角形斜

边中线的性质即可证明EG=CG,然后利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出

/EGC=90°,从而证明EGLCG；

(2)延长CG至“，使GH=CG,连接〃尸交BC于M,连接E，、EC,首先通过SAS证明

AHFGACDG,从而利用全等三角形的性质及平行线的判定证明HFHCD,进而可利用正方形和等腰

直角三角形的性质证明ABEC丝AFEH,从而可证明结论仍然成立；

(3)连接AH,首先根据题意确定当A、H、G,C在同一直线上时，2GE+8"有最小值，此时8E在

BC上，然后根据平行四边形的判定及性质得出2GE+3F有最小值就是AC的长，最后利用勾股定理求解

即可.

【详解】解：(1)EG=CG且EGLCG.

理由如下：如图1,连接80.

,/正方形ABCD和等腰Rt∖BEF,

.,.NEBF=ZDBC=45°,

：.B、E、D三点共线.

VZD£F=9()°,G为。尸的中点，NDCB=90°,

：.EG=LDF=CG=DG.

2

/.NEGF=2ZEDG,NCGF=2NCDG.

NEGF+NCGF=2ZEDC=90°,

即/EGC=90°,

：.EG1CG.

(2)仍然成立.

理由如下：如图2,延长CG至/7,使GH=CG,连接”产交BC于用，连接EH、EC.

图2

'：GF=GD,ZHGF=ZCGD,HG=CG,

：.∕∖HFGm∕∖CDG(SAS),

ΛHF=CD,NGHF=NGCD,

HFHCD.

；ABCD是正方形，

ΛHF=BC,HFLBC.

•：Z∖3E尸是等腰直角三角形，

：.BE=EF,NEBC=NHFE,

ABEC丝/XFEH(SAS),

HE=EC,NBEC=NFEH,

,NBEF=NHEC=90°,

.∙.∖ECH为等腰直角三角形.

又,；CG=GH,

：.EG=CG且EG_LCG.

(3)如下图，连接A",

当A、H、G,C在同一直线上时，2GE+8尸有最小值，止匕时8E在BC上,

VFHHAB,ACUBF,

•••四边形ABFH是平行四边形，

.^.AH=BF,由（2）知CG=GH,

：.2GE+BF=CH+AH=AC,

即2GE+3F有最小值，就是AC的长，

由勾股定理得AC=√22+22=2√2.

【点睛】本题主要考查四边形综合，掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，正方形的性质,

全等三角形的判定及性质是解题的关键.

14.（2020.陕西咸阳.一模）问题提出

（1）如图，AD是.∙ASC的中线，则/W+AC249；（填“>”“<”或“=”）

问题探究

（2）如图，在矩形ABCD中，8=3,6C=4,点E为3C的中点，点尸为Co上任意一点，当AAEF的

周长最小时，求CF的长；

问题解决

（3）如图，在矩形ABC。中，AC=4,BC=2,点。为对角线AC的中点，点尸为A3上任意一点，点。为

4C上任意一点，连接P。、PQ、BQ,是否存在这样的点Q,使折线OPQ8的长度最小？若存在，请确定

点。的位置，并求出折线OPQB的最小长度；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）>:（2）CF-Ii（3）当点。与AC的中点。重合时，折线OPQB的长度最小，最小长度为

4.

【分析】（1）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质得出AS=EC,再根据三角形的三边

关系定理即可得；

（2）如图（见解析），先根据矩形的性质得出A8=3,N8=N88=90o,A8∕∕8,从而可得AE的长，再

根据三角形的周长公式、两点之间线段最短得出AAEF的周长最小时，点F的位置，然后利用相似三角形

的判定与性质即可得；

（3）如图（见解析），先根据轴对称性质、两点之间线段最短得出折线OPQB的长度最小时，B',Q,P,O'

四点共线，再利用直角三角形的性质、矩形的性质得出NBAC=30。，AB=20，AO=2,然后利用轴对

称的性质、角的和差可得49=26,A。'=2,NBZO'=90。，由此利用勾股定理可求出从?’的长，即折线

OPQB的最小长度；设B'0'交AC于点Q',根据等边三角形的判定与性质可得AQ'=2,从而可得

AQ'=AO,由此即可得折线OPQB的长度最小时，点Q的位置.

【详解】（1）如图，延长AD,使得OE=4）,连接CE

A£）是一AfiC的中线

.BD=CD

AD=ED

在ZXABD和_ECD中，■ZADB=NEDC

BD=CD

.∙.ABD=^ECD（SAS）

AB=EC

在AACE中，由三角形的三边关系定理得：EC+AC>AE,^EC+AC>AD^DE

,∖AB+AC>2AD

故答案为：>;

（2）如图，作点E关于8的对称点G,连接FG,则CE=CG

.四边形ABCD是矩形，CD=3,BC=4

AB=CD=3,ZB=ZBCD=90o,AB//CD

二。C垂直平分EG

..EF=FG

点E是BC的中点

BE=CE=LBC=2

2

/.AE=y∣AB2+BE2=713>CG=CE=2,BG=BC+CG=6

贝IJ△AEF的周长为AE+EF+4/=旧+EF+A/=后+尸G+4F

要使44EF的周长最小，只需FG+AF

由两点之间线段最短可知，当点AEG共线时，FG+Ab取得最小值AG

QABHCD

：.-FCG-ABG

.FCCGFC2

..---=----,即----=—

ABBG36

解得CF=1；

(3)如图，作点B关于AC的对称点作点。关于AB的对称点O',连接AQ,QB',AO',PO,90,则

QB=QB',OP=σP

：.折线OPQB的长度为。尸+PQ+QB=ON+PQ+QB'

由两点之间线段最短可知，O'P+PQ+QB'≥B'O',当且仅当点B',°,P,O,四点共线时，折线OPQB取得最

小长度为8'θ'

：在矩形ABCD中，AC=4,BC=2,ZABC=90°

二ZfiAC=30o,AB=yjAC2-BC2=2√3

∙.∙点。为AC的中点

/.AO=-AC=I

2

：点5与点长关于AC对称，点。与点O'关于AB对称

ZB1AC=ZBAC=30o,ABC=AB=2√3

ZOrAB=ZBAC^30°,A。=Ao=2

.∙.ABACf=AB'AC+ABAC+AOAB=90°

.∙.B'O'=yjAB'2+AO'2=7(2√^)2+22=4

设8'θ'交AC于点Q'

在Rt^AB'O'中，AO'=2,B'O'=4

ZAB'(7=30。

.∙.ZAOfB'=90°-ZAB'Of=60°,即ZAO'Q'=60°

又,/NO'AQ'=NBAC+NO'AB=60°

.∙.ZVlOQ,是等边三角形

.∙.AQ'=AO'=2

：Ao=2

AQ=AO

二点。'与AC的中点。重合

综上，当点。与AC的中点。重合时，折线OPQB的长度最小，最小长度为4.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角

形的判定与性质等知识点，较难的是题(3),利用轴对称的性质正确找出折线OPQB的最小长度是解题关

键.

15.(2020.安徽合肥・二模)如图，正方形ABC。中，E为BC边上任意点，AF平分/EAO,交CQ于点

F.

(1)如图1,若点F恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE；

(2)在(1)的条件下，求笠CE的值；

BC

(3)如图2,延长AF交BC的延长线于点G,延长AE交OC的延长线于点H,连接"G,当CG=D尸时，求

证：HGLAG.

D

【答案】（1）见解析；（2）；；（3）见解析

4

【分析】（1）延长BC交AF的延长线于点G,利用“AAS”证△ADF丝ZXGCF得AD=CG,据此知CG=

BC=BE+CE,根据EG=BE+CE+CE=BE+2CE=AE即可得证；

（2）设CE=a,BE=b,则AE=2a+b,AB=a+b,在RtAABE中，由ABZfBEZ=AE?可得b=3a,据

此可得答案；

∆p,FH

（3）连接DG,证△ADF且Z^DCG得NCDG=NDAF,再证^AFHs^DFG得——=——,结合NAFD=

DFFG

ZHFG,知AADFsAiHGF,从而得出NADF=NFGH,根据NADF=90。即可得证.

【详解】解：（1）如图1,延长BC交AF的延长线于点G,

∖'AD∕∕CG,

：.ZDAF=ZGf

又TAF平分ND4E,

・・・ZDAF=ZEAF9

：.ZG=ZEAF9

：.EA=EG9

Y点/为CZ)的中点，

ICF=DF,

又∕DFA=∕CFG,ZFAD=ZG,

：.AGCF(AAS),

：.AD=CGf

：・CG=BC=BE+CE,

：.EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE↑

(2)设CE=a,BE=b,贝∣JAE=2a+b,AB=a+b9

222222

在RtZkABE中，AB+BE=AEfBP(tz+⅛)+⅛=(2^+Z?),

解得b=3a,b=-。(舍)，

・CEa_1

φβBC^Σ+⅛^4；

(3)如图2,连接。G,

VCG=DF,DC=DAfZADF=ZDCG,

：.∕∖ADF^ΛDCG(SAS),

：.ZCDG=ZDAF,

：.ZHAF=ZFDG,

又・・・ZAFH=ZDFGf

：.XAFHSi∖DFG,

.AFFH

••=,

DFFG

又•：ZAFD=ZHFGf

：.XADFsAHGF,

：.ZADF=ZFGH,

∙/ZADF=90o,

∕FGH=900,

：.AG.LGH.

【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与

性质等知识点.

16.(2020•江西宜春•一模)将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起,

OA=OB,OC=OD,ZAOB=ACOD=90',连接AC,BD.

(1)如图1,若40、。三点在同一条直线上，则AC与8。的关系是

(2)如图2,若4。、。三点不在同一条直线上,AC与8。相交于点E,连接OE,猜想AE、BE、OE之间

的数量关系，并给予证明；

(3)如图3,在(2)的条件下作BC的中点下,连接QF,直接写出A。与OF之间的关系.

【答案】(1)AC=M且AClBr)；(2)AE=BE+五OE;证明见解析；(3)4)=20F且AOLOF.

【分析】(1)根据题意利用全等三角形的判定与性质以及延长Ae交BD于点C进行角的等量代换进行分

析即可；

(2)根据题意在AE上截取AM=BE,连接OM,并全等三角形的判定证明AAOC三MOD和

SAMO=ABEO,进而利用勾股定理得出OM2+。炉=Λ∕E2进行分析求解即可；

(3)过点B作BM〃0C,交OF的延长线于点M,延长FO交AD于点N,证明ABFMBACF0,

ΔA0D≡Δ0BM,进而即可得到结论.

(详解】解：(1)：OA=OB,OC=0D,ZAOB=ZCOD=90°,

Λ..AOC=^BOD(SAS),AC=BD,

延长AC交BD于点C"如下图：

^.∙AAOC^J3OD,ZACO=ZBCC,

.∙.NACo+ZCAO=NBCC+NCBC=90°,ZBCC=90,

即4C/8。，综上AC=3。且ACJLBO,

故答案为：AC=BDS.AC1BD；

(2)AE=BE÷√2OF

证明:在A石上截取AM=B已连接OM

ΛAOB=/COD=9G

.∙.ZAOB+ZBOC=∕COD+/BOC

.∙.ZAOC=NBOD

在ΔAOC和ΔBOf>中

AO=BO

<ZAOC=ZBOD

OC=OD

.∖ΔAOC=ABOD(SAS)

:.ZCAO=ZDBO

在ΔΛMO和MEO中

AM=BE

<ZMAO=/EBO

AO=BO

.∙.ΔAMO二ABEO(SAS)

.∙.OM=OE,ZAOM=NBOE

ZAOM+ZMOB=9(f

:./BOE+/BOM=90

:.OM2+OE2=ME2

即2OE2=ME2

:.6oE=ME

ME-^-MA=AE

.∙.∖[2OE+BE=AE;

⑶4)=209且AZ)理由如下：

过点B作BM〃0C,交OF的延长线于点M,延长FO交AD于点N,

VBMZzOC,

ΛZM=ZFOC,

VZBFM=ZCFO,BF=CF,

ΛΔBFM=ΔCFO(AAS),

ΛOF=MF,BM=CO,

VDO=CO,

ΛDO=BM,

VBM/7OC,

ΛZOBM+ZBOC=180o,

YZBOC+ZAOD=360o-90o-90o=180o,

ΛZOBM=ZAOD,

XVAO=BO,

ΛΔAOD≤ΔOBM(SAS),

ΛAD=OM=2OF,ZBOM=ZOAD,

TZBOM+ZAON=180o-90o=90o,

ΛZOAD+ZAON=90o,即OF_LAD.

：.AO=2Ob且ADJ尸.

λ

【点睛】本题考查等腰直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及

全等三角形的判定与性质是解题的关键.

17.（2022•安徽宿州.九年级期末）已知：在矩形ABeD中，连接AC,过点力作。F/AC,交AC于点

E,交AB于点F.

5

（1）如图1,若tanZACD=——.

2

①求证：AF=BF;

②连接BE,求证：CD=√2BE.

（2）如图2,AF-=AB-BF，求cos/FDC的值.

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）苴二ɪ.

2

【分析】（1）①根据已知易得Nl=NAs,再由tanNAC。=也可得4C=42=也，即可得

2ADCD2

AF=^CD,而矩形对边相等，从而可得AF=3尸；

②延长CB、DF,交于点G.易证8是CG的中点，故RtZ∖GEC中，BE=^-CG=BC.再由些=立即

2CD2

可得出结论；

/c_I∆pAnAn

（3）根据人尸=48.BF可得A/=出二48,再由X=尝=筹可得AZ^=A&AF,进而由勾股定理

2∕∖DCDAB

oʃWDF2=AD2+AF2=AF2,继而得至=尸，再结合NAH）/尸。C即可解题.

22

【详解】（1）证明：①如图，在矩形ABC。中，NDAB=NAoC=90。，

ΛZl+ZEDC=90o,

又YDFJLAC9

：.Z2+ZEDC=90o,

・•・NI=N2,

∙.∙tan∕2="=也

AD2

.,-AD_血

•∙tan2_1-=,

DC2

・丝-I

••二一,

CD2

又AB=CD,

ΛAF=-AB,

2

/.AF=BF.

②证明：如解图2,延长CB、DF,交于点G.

；在矩形ABCO中，ADHBC,

：.NG=Nl,

在，BFG和AAFD中,

ZG=Zl

</BFG=ZAFD

AF=BF

：・`BFG空丛AFD,

：.BG=AD=BC,

故RtAGEC中，BE=gcG=BC.

由(1)可知生=Yɪ,

CD2

.BE√2

••---—,

CD2

CD=立BE，

(2)VAF2=ABBF>AF+BF=AB,

•.石+1.,

•∙A,dβ=--------AFc,

2

又YNACF=NOCA,

ApΛΓ)

：.tanZACD=tanZADF=—=—

ADCD

.•・AD2=AB.AF=AF2，

2

在RfZiAO尸中，DF2=AD-+AF2=AF2,

2

・rʌr?ɪ+rr

・・DF=------AλF,

2

・/“八AF√5-l

・・cosZ-AFD=--=--------

FD2

又；在矩形ABCD中，ABHCD,

：.ZAFD=ZFDC,

COSNfDC=避二■.

2

【点睛】本题综合考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、三角形全等判定和性质、直角三角形性质

等；本题综合性强，熟练掌握实数的运算，利用三角函数转换线段比是解题的关键.

18∙（2021∙江苏宿迁•二模）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边

形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边.

证明：如图1所示内接于圆的四边形A8CO的对角线AC,BD互相垂直，垂足为点G,过点G的直线垂直

于A。，垂足为点E,与边BC交于点F,由垂直关系得NEGO+NFGC=90,NEGD+NEDG=90,所

以NEDG=NFGC,由同弧所对的圆周角相等得NAr）B=NAc3,所以NFGC=NFCG,则FG=FC,同

理，FG=FB,故BF=FC；

【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边“为

(填“真命题”，"假命题”)；

【探究】(1)如图2,ΔAGB和ΔDGC为共顶点的等腰直角三角形，ZAGB=NOGC=90,过点G的直线

垂直于AO,垂足为点E,与边BC交于点尸.证明：点厂是BC的中点；

(2)如图3,ΔAGB和ΔZ)GC为共顶点的等腰直角三角形NAG5=NZ)GC=90,点F是8C的中点，连接

【答案】【思考】真命题；【探究】(1)证明见解析；(2)4.

【思考】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出NF3G=NFG3,再利用等量代换计算

NG4L>+NEG4=90°.结论可得；

(1)过点8作BH//GC,交GF的延长线于点”，利用同角的余角相等得出N“GC=NEDG和

ZBGH=ZEAG,进而得到ΔAGO=AGB”;再证明AGC尸=MF*,结论可得；

(2)过点C作交GF的延长线于点出，易证AGBF=MCF,得到G"=2GF=4,

AG=CH.再进一步说明ΔAGDMΔWCG,可得Ao=G”,结论可得.

【详解】解：【思考】“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一

边''为真命题.

理由如下：如下图，

VAClBD,F为BC的中点,

BF=GF=FC.

：,/FBG=/FGB.

•：/FBG=/GAD,

：•ZFGB=ZGAD.

∙/ZAGB=90,

/.AFGB+ZEGA=180°-90°=90o.

・・・ZGAD+ZEGA=90o.

・・・NAEG=96.

即：EG.LAD.

・・・命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题.

故答案为：真命题.

【探究】（1）如下图，过点B作5H〃GC,交GF的延长线于点”，

：,ZH=ZHGC.

VZDGC=90\

・・・/HGC+NEGD=90.

•：EG-LADf

・•・∕EGD+∕EDG=9(f.

：.ZHGC=ZEDG.

∙.∙NAG3=90;

，NBGH+NAGE=90°.

•：EGlADf

.∙.NAGE+NE4G=90°.

JZBGH=ZEAG.

•・•ΔAG8为等腰直角三角形，

・・・AG=BG.

在ΔAGO和AGb”中，

NEAG=NBGH

<ZADG=ZH

AG=BG

：.ΔAGD^GBH(AAS).

：.GD=BH.

*：GD=GC1

：.GC=BH.

在AGCF和及〃苗中，

ZHGC=ZH

<ZGFC=NHFB

GC=BH

：.∖GCF=AHFB(AAS).

：.CF=BF.

即尸是BC的中点.

(2)如下图，过点C作MH//3G,交G尸的延长线于点”,

•：MHI/BG,

...ZBGC=NGCM,NBGF=NH.

在AG5/和AHCF中,

NBGF=ZH

ZBFG=ACFH

BF=FC

.∙.AGBF≡AHCF(AAS).

：.GB=CH,GF=FH=2.

：.GH=2GF=A.

'：GB=AG,

：.AG=CH.

"：ZAGD=NAGB+NCGD-NBGC=180°-NBGC，

ZGCH=180°-ZGCM

：.ZAGD=ZGCH.

在ΔAGf>和MCG中，

AG=CH

-ZAGD=NHCG

GD=GC

：.ΔAGD≡AHCG(SAS).

二AD=GH=4.

【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，利用中点

添加平行线构造全等三角形是解题的关键.

19.(2020.江苏徐州.模拟预测)(1)阅读理解：

如图①，在ABC中，若AS=8,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围.

可以用如下方法：将，A8绕着点。逆时针旋转180。得到△£》£