2023年高考数学考前信息练习卷五套汇编（解析版）

2023年高考数学考前信息必刷卷01

新高考地区专用

新高考地区考试题型为8（单选题）+4（多选题）+4（填空题）+6（解答题），其中结构不良型试

题是新高考地区新增加的题型，主要涉及解三角形与数列两大模块，以解答题的方式进行考查。

所谓结构不良型试题，就是给出一些条件，另外的条件题干中给出三个，学生可从中选择一个或者两

个作为条件，进行解题。需要注意的是：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，

都可解答题目，而且在可选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程

规范，都会得满分。

2022年新高考地区解答题中，虽未以结构不良型方式考查数列与解三角形这两大知识模块,但预测2023

年新高考地区将以结构不良型方式考查数列与解三角形这两大知识模块中的一个，出现在17题的可能性较

大，难度中等偏下，例如本卷第17题。

同时应特别注意以数学文化为背景的新情景问题，此类试题蕴含浓厚的数学文化气息，将数学知识、

方法等融为一体，能有效考查学生在新情景下对知识的理解以及迁移到不同情境中的能力，考查学生发现

问题、分析问题和解决问题的能力，一般出现在选择题第4题、第5题的位置，难度中等，例如本卷第5

题。

<_________________________________________________________________________________________>

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

2

1.已知集合/={T,0,l},B^{m∖,n-∖≡A,nι-∖iA∖,则集合8中所有元素之和为()

A.0B.1C.-1D.y∕2

【答案】C

【详解】根据条件分别令加2-I=-1,0』，解得加=0,±l,士√Σ,

又任所以W=-I,±&,B={-l,JΣ,-JΣ},

所以集合B中所有元素之和是T,

故选：C.

2.已知i为虚数单位，复数Z满足z(l+i)=∣l+i∣,则Z=()

.√2√2.d√2√2,„√2√2.tλ√2√2.

A.-----1-----iD.---------------iC.-------1----iL).------------i

22222222

【答案】B

【详解】因为z(l+i)=∣l+i∣,所以Z=粤=落孝(1)=弃圣.

故选：B

3.(9+2卜-J的展开式中的常数项为()

A.-20B.30C.-10D.10

【答案】D

r≡ι≡7<7+⅜24j4HJ÷2HI

的展开式的通项公式为&产晨(∕)j[-g1=(-1)rq%'2

令12-3厂=3,得r=3;

令12-3r=0.得r=4.

所以(3+2)(一一：)的展开式中的常数项为：

-4×(-l)3C≡XX3+(-I)4C：x√lX2=-20+30=10.

故选:D

2

4.“α≥也”是“圆G：X+∕=4⅛0C2.(x-α)2+(y+α)2=1有公切线”的()

2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】圆G：+/=4的圆心G(θ,θ),半径4=2,圆G：(x-α)2+(y+o)2=1的圆心G(a，—〃),半

径4=1,

若两圆有公切线，则ICCl冲-引，即业+(-八1，解得公今或ci≥去,

22

所以“42也”是“圆C1:/+/=4与圆g：(x-a)+(y+a)=∖有公切线”的充分而不必要条件.

2

故选:A.

5.“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根23Cm长的尺子，要能够量出长度为Iem到23Cm

且边长为整数的物体，至少需要6个刻度(尺子头尾不用刻).现有一根8cm的尺子，要能够量出长度为ICm

到8cm且边长为整数的物体，尺子上至少需要有()个刻度

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【详解】若有一根8cm的尺子，量出长度为ICm到8cm且为整数的物体，

则当尺子有4个刻度时满足条件

设X为长度，。为刻度，b为刻度对应的数量，则有苫€口,8］且％€旷,*=6问+6/2+6/3+勿％，其中

⅛∣,⅛2,¾,⅛4∈{0,l},

当α∣=2,α2=1,α3=4,04=1时，a2=l,αl=2,al+a2=3,ai=4,a2+a3=5,a2+ai+a4=6

%+/+。3=7,。|+。2+%+4=8

下证，当尺子有3个刻度时不能量出ICm~8cm的物体长度

设xe［1,8］且XWbr,x=M+b2a2+b3a3,其中仇也也∈{θ,l},

所以当4,4也中有1个O,X的取值至多有3个

当仇也也中有2个O时，4=仇=O或&=H=O,X的取值至多有2个

当4也也中没有O时，X的取值有1个

所以X取值至多有6个，即当尺子有3个刻度时不能量出ICm~8cm的物体长度.

故选:B

6.已知函数/（力=85（5-2）+/0>0）的最小正周期为7',等<7<汀，且、=/（耳的图象关于点（当,1）

中心对称，若将y=∕（χ）的图象向右平移机（m>0）个单位长度后图象关于了轴对称，则实数”?的最小值为

()

1∖π

D.

"Tθ^

【答案】B

∙jrɔ

【详解】∙∙∙7=T^f,ω>0,且q<T<4,

冏3

2π21ʌC

—<—<Tt,πLψπ2<G<3,

3ω

∙∙∙y=∕（χ）的图像关于点ɪJj中心对称,

目.cos(∕G-Aj=0，即=+左乃(Z∈Z),解得G=；+与(左∈Z),

.∖b=l

∖'2<ω<3>

取％=3,G=*,

2

=CoS(IXl)+1,

∙∙∙∕(x)

将y=/(χ)的图像向右平移〃?(加>o)个单位长度后得到/(X-〃2)=CoS(I-I，”扑1的图像,

••・〃X-附)的图像关于y轴对称,

∈解得

-^m-^=kπ^kZ),ΛM=∈Z),

∙;m>O,

••・〃，的最小值，令左=T,得%L才等唔,

故选：B.

7.实数X,y,Z分别满足χ2022=e,2022,=2023,2022z=2023,则x,y,Z的大小关系为()

A.χ>y>zB.χ>z>y

C.z>x>yD.y>χ>z

【答案】B

【详解】解：由己知得丫_0表，ʃ=log,0,22023,Z=黑，

x~c2022

设/(X)=,/(X)=上坐，当xe(e,+8)时，Jf(X)<0,

XX"

所以/(X)=叱在(e,+8)上单调递减，因此y(2023)</K2022),

X

In2023In2022,2023In2023C…，

即---------<所rr以κ---->------=I1og2023,z>y；

2023----20222022In2022ð7200222

又设〃(x)=e，一%-1,Af(x)=ex-1,当x∈(0,+∞)时，Az(x)>O,

所以//(x)=e'-x-l在x∈(0,+∞)上单调递增，

因此〃UI=e表一±-1>〃(O)=O,所以e盛>—!-+1=些，则x>Z;

12022J2022，20222022

综上得x>z>V.

故选：B.

8.如图，正方体/8Cz)-Ca的棱长为2,线段8。上有两个动点E*(E在尸的左边)，且EF=JL下

列说法错误的是()

A.当E,F运动时，不存在点E.尸使得NEICF

B.当瓦尸运动时，不存在点瓦尸使得

C.当E运动时，二面角E-48-C的最大值为45°

D.当瓦尸运动时，二面角Z-EF-8为定值

【答案】C

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

则/(2,2,0),8(0,2,0),C(0,0,0),。(2,0,0),〃(2,0,2).

因为E,F在BQ上，且8Q=2&,EF=立,

可设E(∕,2T,2川≤f≤2),则/("1,3T,2),

贝亚=(-2,T,2),瓯=”1,3T,2),

所以次.酝=(f-2)(f-l)+(3-√)∙(τ)+4=2d-6f+6,

故荏•而恒为正，故A正确.

若则4民用,。四点共面，与和BQ是异面直线矛盾，故B正确.

设平面ABE的法向量为m=(x,y,z),

—/、ABin=0-2x=0

又/8=(—2,0,0),所以一,即

AEin=0(1—2)x—卯+2z—0

取V=2,则τw=(0,2,f),

平面相C的法向量为7=(0,0,1),所以COS伍,0=j1+4.

Cnrnn_t1

设二面角E-HB-C的平面角为6,则。为锐角，故s'=丽=FZ=

因为1≤Z≤2,y-在［1,2］上单调递减,

所以Λ∕2≤Jl+。≤ʌ/ʒ,故≤CoSe≤,

Vt252

当且仅当Z=2时，COSe取得最大值也,即。取最小值45。，故C错误.

2

连接BO,∙4,ZB∣.平面以由即为平面8。〃片，而平面4即即为平面∕8Q∣,故当E,F运动时，二面角

X-E尸-8的大小保持不变，故D正确.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知向量万=(1,-2),h=(-∖,m),则正确的是()

A.若W=1,贝布-可=JIyB.若2/区，则加=2

c.若α与役的夹角为钝角，则，〃>-；D.若向量是［与。同向的单位向量，则^=［手,-竽

【答案】ABD

【详解】对于A,若加=1,则万-5=(2,-3),所以B/=而,故A正确;

对于B,若)〃B，则加-2=0,所以〃?=2,故B正确;

对于C,若1与B的夹角为钝角，则£7<0,且)与B不共线,

即∙f-—21—≠2/H0<0’解得加>一ɪ相I""'故C不正确;

对于D,若向量是工与々同向的单位向量,故D正确.

故选：ABD.

10.甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机

取出一球放入乙箱，分别以4，4和4表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机

取出一球，以8表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是()

Q

A.事件8与事件4(i=l,2,3)相互独立B.P(∕l,β)=-

C-P(B)JD.尸(4忸)=2

【答案】BD

【详解】p(4)=1,m)=∣∙p(4)=U

先4发生，则乙袋中有4个红球3白球3黑球，尸(B∣4)=A=:

先4发生，则乙袋中有3个红球4白球3黑球，P(B∖A2)=-,

先4发生，则乙袋中有3个红球3白球4黑球，p(β∣4)=--

248

P(48)=P(8⑷P(4)=D=方，B对.

a9I

P(A2B)=P(B∖A2)P(A2)=-×~=-

a11

P(3)=P(用4)p(4)=.χj历

411

P(B)=P(B⑷P(4)+P(B∣4)P(4)+P(B∣4)P(4)=⑤≠],C错.

P(Jl)P(5)≠P(J1S)1A错.

32

⑶.尸(“)x6

P(Ap(4⅜)p(∕)1Q9=

2l对.

(>~P(B)~P(B)31^31'D

90

故选:BD.

2222

II.已知与外分别为椭圆C:三+2=l(ɑ>6>0)和双曲线E邑-4=l(ɑ()>0也>0)的公共左，右焦点,

a

abobI)

P(在第一象限)为它们的一个交点，且NKPE=60',直线尸&与双曲线交于另一点。，若IPKl=2优

则下列说法正确的是()

A.△尸片。的周长为四B.双曲线E的离心率为巫

53

C.椭圆C的离心率为半D.∖PFi∖=4∖PF2∖

【答案】BCD

【详解】设IQSI=f，则IPKl=2f,∣PFj=2f+2%,I。周=t+2%,

△尸£0中由余弦定理IQʧ=「+归°『_2归娟IPqCoS/耳PQ,得

222

(/+2a0)=(2/+2a0)+9z-2(2a0+2z)∙3z∙cos60°,化简得∕=3f,

∖PFi∖=2t+2a0=8t=4∖PF2∖,D正确；

又2α=∣PG∣+∣尸用=IOf,所以α=5f,又|。耳∣=f+2旬=7/,

1Q

△出。的周长为8f+3f+7f=18f=£q,A错误；

△尸片与中，归用=2c,由余弦定理得4c?=(8f)2+(2/)2-2x8fx2fxcos60。，所以C=Ji3/,

因此双曲线的离心率为q=£=®=姮，B正确；

为3/3

12.已知函数/(x)的定义域为[0,+8),当xe[0,2)时，f(x)=-x2+2χ.且对于任意x≥2,恒有

/(x)-l=∕(x-2),则()

A./(x)是周期为2的周期函数

B.∑∕(0=lO122

/=I

C.当xe[0,8]时，方程/(X)=代有且仅有8个不同的实数解，则左的取值范围为匕,14-

ɪjf-l<f(x}≤-x+-

D.

2v7216

【答案】BCD

【详解】已知对于任意x≥2,恒有/(x)-l=∕(x-2),

即任意x≥2,恒有/(x)=∕(x-2)-l,又当XaO,2)时，/(x)=-√+2x,

所以当xe[2%2"+2)时，f(χ)=-(X-2〃)2+2(x-2〃)+〃,〃eN.

选项A,由已知对于任意x≥2,恒有"x)-l=∕(x-2),不符合周期性定义，所以A错误;

选项B,

2023

Z∕(i)=l+l+2+2+…+1011+1011+1012=2(1+2---+1011+102：

/=I

£,/'(/)=2×——----------'-+J022=10222,故B正确；

i=ι2

选项C,如图1,当xe[0,8]时，方程/(X)=自有且仅有8个不同的实数解，

当直线N=H过点(2,1)时，直线为y=与y=∕(x)有9个交点，

当直线N=履与/(x)=-(x-6)∙2(x-6)+3,xe[6,8)相切时，此时是7个交点，

令-(x-6y+2(x-6)+3=H,整理得χ2+(I4)x+45=0,

由A=(A'—14)—4×45=0,解得a=14±6Λ∕^,

当A=I4+6√?时，⅛^≡X2+6√5X+45=0.即(X+3√^J=0,解得X=-3后<0，舍；当％=14-6君时，

MX2-6√5X+45=0.即k一3指『=0,解得x=3/46,8),满足题意：且(1,1),(3,3),(5,5)点在直线

y=(14-6√?卜的上方.所以人的取值范围为t,14-6刊，故C正确;

选项D,如图2,y=gx-l过点(2,0),(4,1),(6,2),(8,3),

成立：

当XW[2〃,2〃+2)时，/(x)=-(x-2")2+2(x-2")+”∈N.

v+zwχ222π+x+2π+

⅛∙⅛)^=^(l)[l)=X-[2/7+4)]≥0'即/(⑼弓"+''

11O

所以彳x-l<∕(x)4彳x+,故D正确；

221677

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.写出一个同时满足下列条件①②的等比数列｛见｝的通项公式α,,=

①见α,+∣<0;②同>∣%+∣∣

【答案】f-ɪj'（答案不唯一）

【详解】依题意，｛%｝是等比数列，设其公比为q,

由于①α,,α,+ι<0,所以4<0,

由于②同>∣αM=∣αjq∣=∣α,∣∙∣q∣,所以0<∣q∣<l,

故答案为：卜;）（答案不唯一）

14.从某地抽取1000户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50〜650kW∙h之间，进行适当

分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.若根据图示估计得该样本的平均数为322,

400X+600y+0.36+0.9+0.36=—

【详解】由题意可得彳100,解得X=O.0022,y=0.0012,

.100（2y+x+0.0018+0.003+0.0006）=1

由0.12+0.18+0.3=0.6知，估计该地居民月用电量的第60百分位数约为350.

故答案为：350

4

15.已知圆锥的侧面展开图为半圆，其内切球的体积为:兀，则该圆锥的高为.

【答案】3

444

【详解】因为内切球的体积为:兀，故内切球的半径H满足;兀兀川，故R=I.

333

设母线的长为/,底面圆的半径为，•，故2πr=gχ2τr/,故∕=2r,

故轴截面为等边三角形（如图所示），设瓦尸分别为等边三角形的内切圆与边的切点,

。为内切圆的圆心，则。,尸,E共线且OPI/8,OFlPB,

而NoP尸=30°,故OP=20尸=2,故EP=2+1=3,

P

故答案为：3.

16.三棱锥Z-8CL）中，ZABC=ZCBD=ZDBA=60^,8C=8。=2,点E为C。中点，”8E的面积为2收，

则AB与平面BCD所成角的正弦值为,此三棱锥外接球的体积为.

【答案】"##；血率##学兀

3333

【详解】设4。，平面88,垂足为。，如图，

过。作。尸，8C于点尸，过。作OGJ.8。于G,连接∕F,∕G,

由/O_L平面BCD,BCu平面8CD,得AO,BC,

又OFCAo=O`。尸,/Ou平面∕R9,8CJ,平面//0,

NFU平面NFO，得AFJ.BC,同理XGJL8。，

从而“BF,"BGQBFO均为直角三角形，

,/ZABC=NCBD=NDBA=60SBC=BD=2,

二OΛ"=OG,则。在NCB。的平分线BE匕易知/8与平面BeZ）所成角即为二45E.

VcosZABC=-,cosZABE=-,cosZEBC=-,

ABABBO

.*.cosZ.ABC=cosZ-ABEcosZ.EBC,

又NABC=60°,NEBC=30°,

:.cosZABE=@,即sin48E=逅，则力8与平面BcQ所成角的正弦值为逅，

333

又BE=瓜SMF=LAB∙BE∙sinNABE=2五,解得/8=4,

2

又NABC=ZABD=60°,BC=BD=2,

AC2=AB-+BC1-2ABBC-cosNABC=12,

.∙.AC2+BC2=/炉，同⅛AD2+BD2=AB2>

:.ZACB=ZADB=90°..：/3为外接球直径，

三棱锥外接球的体积为筝（J=言.

故答案为：迈，乌

33

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在“8C中，角4,B,C所对的边分别为α,b,c.从①②③中选取两个作为条件，补充在

下面的问题中，并解答.①cos4=-4;②&48C的面积是^③c=3.

255

问题：已知角”为钝角，b=5,.

⑴求A∕8C外接圆的面积；

（2）49为角Z的平分线，。在BC上，求/D的长.

【答案】（1）条件选择见解析，r岁

84

3

（2）AD=-

【详解】（1）选①②，

:cosA--ɪ-,sinA=Jl-COS2Z=4>∕ΣT,

25、25

又QSN<BC=I^csin/,即还I=Lx生旦χ5xc,得c=3,

25225

17?72

由余弦定理，得/=⅛2+c2-IbccosA=25+9+2×5×3×——=-----,

255

由正弦定理，得（2R）2=_《一=且至，改=鬻，

`7sin2∕l2184

所以，“18C外接圆的面积为里江.

选①③，因为CoSZ=-二7,C=3.

17?77

所以由余弦定理，得“2=b2+c2-2hccosA=25+9+2×5×3×--=-

255

由正弦定理，得(2/?)2=」^=狙，心=等，

'7Sin2Z2184

所以，A8C外接圆的面积为Wze∙

84

选②③，

由S^^='x5x3XSin/,sinA=,N为钝角，得COSA=-匚,

522525

17272

由余弦定理，得Y=⅛2+c2-2⅛ccosJ=25+9+2×5×3×-=—,

255

由正弦定理，得(27?y=—£—=些，W=鬻，

所以，“8C外接圆的面积为f.

84

(2)由力。为角/的平分线，设4=2α,σ∈fθ,^j,

由ΔABC的面积----=-×b×AD×sina+-×c×AD×sina，

即还Ijχ5χWχ叵+∙lχ3χ∕χ回3

，解得力。=5

5252

3

故4。的长为

2

18.(12分)已知5,为数列｛《,｝的前”项和，al=2,5,,tl=5,,+4α,,-3,记6.=log?-1)+3.

⑴求数列抄“｝的通项公式；

⑵已知q,=(T)"“∙T,记数列匕,｝的前〃项和为Z,,求证：Tl,≥士∙

½f‰-4.∣21

【答案】(1)4=2"+1("∈N*)

(2)证明见解析

【详解】(1)由S(IU=S,+4%-3,得S.

∙,∙¾÷1=4a,,^3>贝∣Ja,+I-I=4(α,,T)..∙.q-l=2-l=l,

，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，

22,

A4,-1=4"T=2--(H∈N).∙,∙⅛,,=Iog2(«„-1)+3,

2π2

Λ⅛=log22^+3=2H+l(n∈N*).

/.∖w+ι2〃+2111

C"^^L)"(2.+l)(2.+3)=(-Γ,∙k+12m+3

・M=q+J+。?+…+。〃

j

当〃为奇数时，^,=∣f→7-7^>→⅛.

2∖32〃+3J621

j

当”为偶数时，^,=∣f1-7-τ∖忆｝是递增数列，.EM=塞

乙∖J乙JlIJJ4∖j/J乙I

2

综上得：τιι≥ji.

19.（12分）某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了IOO

名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表:

天数[0,5](5,10](10,15](15,20](20,25](25,30]

人数4153331116

（1）由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布N（〃,4）,其中〃近似为样本的平均

数（每组数据取区间的中间值），且b=6.1,若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21

天的人数（精确到D;

（2）调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15,30］的学生中有30名男生，天数在［0,15］的

学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人''称号.请填写

下面列联表：

活动天数

性别合计

[0,15](15,30]

男生

女生

合计

并依据小概率值α=0∙05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关

联，请解释它们之间如何相互影响.

附：参考数据：尸（〃-b≤X≤"+b）=0.6827;「（〃-2b≤X≤'+2b）=0.9545;

n(ad-bc)~

P(μ-3σ≤X≤χ/+3σ)=0.9973./2_“=α+b+c+d)

+b)(c+d)(4+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

χ2.7063.8416.6357.87910.828

a

【答案】（1）476人

（2）答案见解析

【详解】（1）由频数分布表知

4×2.5+15×7.5+33×12.5+31×17.5+11×22.5+6×27.5,.,∣ʧ.//叱,,∖Cz

------------------------------------------=14.λ9,m贝∣JX—Nr(zιly14.λ9,z6.11λ),丁Pn[μ-σ<X<μ+σ)=0.6827,

1-0.6827

.∙.P(X>2∖)=P(X>14.9÷6.1)==0.15865,

2

3000×0.15865=475.95≈476,

参加”每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476人.

（2）由频数分布表知，锻炼活动的天数在［0,15］的人数为：4+15+33=52,

••・参加"每天锻炼1小时”活动的天数在［0,15］的学生中有20名男生，

，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在［0,15］的学生中有女生人数：52-20=32

由频数分布表知，锻炼活动的天数在（15,30］的人数为31+11+6=48,

,•・参加"每天锻炼1小时”活动的天数在（15,30］的学生中有30名男生，

.∙.参加“每天锻炼1小时”活动的天数在［0,15］的学生中有女生人数：48-30=18

列联表如下：

活动天数

性别合计

[0,15](15,30]

男生203050

女生321850

合计5248IOO

零假设为H0：学生性别与获得“运动达人''称号无关

IOOX(30x32-20xl8>

≈5.769>3.841

-50x50x52x48

依据α=0.05的独立性检验，我们推断HO不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人''称号行关;

而且此推断犯错误的概率不大于0.05,根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过15天的频率

分别为：==0.6和F=0.36,Ur见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率

的兽.∣∙67倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人''的概率大于女生，即

0.36

男生更容易获得运动达人称号.

20.(12分)已知尸是抛物线氏/=2加(p>0)的焦点，点”在抛物线E上，|历日=2,以"尸为直径的

圆C与X轴相切于点N,且IMVI=W

(1)求抛物线E的方程；

(2)P是直线y=-4上的动点，过点尸作抛物线E的切线，切点分别为48,证明：直线N8过定点，并求出

定点坐标.

【答案】(I)X2=4y

(2)证明见解析,定点坐标为(0,4)

【详解】⑴由抛物线方程知：/°，3

.∙.FMHON.

∙∙∙∣M可=2,.∙.∣OFI=ICM=5=1,解得：P=2,

则抛物线E的方程为χ2=4y.

(2)设4,'法子，尸(47),

2

,xx⅛+4

由¢=4J得：y=—,/.y'=~,则*_ɪɪ_4,

4-2

化简整理可得：氏-8=0,即2凹-氏-8=0,

X；Λ

—±-+4

同理：由怎B=寇=/得：2%-％-8=0,

2X)-Z

则点/6,%),8(与力)都在直线2y-戊-8=0上,

即直线”的方程为2y-枕-8=0,

令X=O得：夕=4,二直线Z8过定点，该定点坐标为(0,4).

21.（12分）如图，在斜三棱柱NBCFfC中，底面是边长为2的正三角形，侧面BCg片为菱形,

已知NBqC=60°,ABi=a.

（1）当α=指时，求三棱柱H8C-48C的体积；

（2）设点P为侧棱54上一动点，当。=3时•，求直线尸G与平面/CG4所成角的正弦值的取值范围.

【答案】（1）3

√393√13^

（2）［石卞

【详解】（1）解：如图，取8C的中点为O,

因为8CG4为菱形，ILN8BC=6（T,所以A8∕C为正三角形，

乂有“8C为正三角形且边长为2,则8CJ_/O,BeLBQ,

且/O=80=√i,ABx=√6,所以NO2+8Q2=/用，

所以AOLNO,因为又BCC/O=。，

BCu平面∕8C,ZoU平面C,所以801.平面N8C,

所以三棱柱/8C-48C的体积∕=8Q∙S-BC=6X^X22=3.

（2）在“。片中，AO=BQ=BAB1=3,

由余弦定理可得COSNZo4=阴+任）「」,

2×√3×√32

2Jr

所以NNOA=ʒ-,由（1）BCLAO,BC±5,0,

又BQCMO=O,4。U平面8/0,/Ou平面8/0,

所以BC/平面/。及，因为BCU平面NBC,

所以平面NoBJ平面N8C,所以在平面内作OZj.0/,则OZ，平面NBC,

以。/,OC,OZ所在直线为X轴、y轴、Z轴建立空间百角坐标系如图所示:

∕l(√3,O,θ),C(O,1,O),

设G=(x,y,z)是平面4CG4的个法向量,

3√3ɔ31

^C=(-√3,l,θ),AC1

-y[ix+夕=0

n∙AC=O

则,叫3√33

方冠=OX+2y+5Z=O

2

取Z=I得I=卜迅,一3,1),设丽=4函(04441),

立㈤

贝IJCA=币+而=不+儿函

2,,2

=1曰(IT)，"3,5(4-1).

设直线PC1与平面ACCiAl所成角为。,

则sin。=卜os(于,成=

63

√BX^4(Λ2-32+3)√13×√Λ2-3Λ+3'

3

令/⑷=(0≤4≤l),则/⑷在［0/单调递增,

√13×√Λ2-3λ+3

所以,(回得喑「，

故直线Pa与平面/CG4所成角的正弦值的取值范围为备，岑.

22.(12分)已知函数/(x)=XlnXX-I),Mx)=(α-3)x+(l-4+∙r)lnr-l.

(1)尸(X)=半),求F(X)的最值;

(2)若函数g(x)="x)-/(x)恰有两个不同的零点,求。的取值范围.

【答案】(1)最大值是ln2-2,无最小值

【详解】(1)由题意可得尸(X)=与ɪ=InX定义域为(0,+8).

11O—Y

设9(X)=LV=铝,由F'(x)>0,得0<x<2,由尸'(x)<0,得x>2.

X22x

则尸(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+8)上单调减，

F(χ)nm=F(2)=ln2-∣×2-l=ln2-2,

故尸(力在(0,+8)上的最大值是in2-2,无最小值.

(2)由题意可得g(x)="(x)-∕(x)=gx2+(α-2)x+(l-a)lnx-l,g'(x)=x+α-2+-~~-

x2+(Q—2)x+1-4(%+Q-l)(x—1)

==,

XX

g(x)的定义域是(0,+8).

①当l-α<0,即"1时,x>l时g'(x)>0,0<xvl时g'(x)<O,

则g(x)在(0,1)上单调递减,在(h+∞)上单调递增.

因为X→0时,g(x)→+8,x→+8时,g(x)→+8,

所以g(力要有两个零点，

则g(l)=；+α-2一1<O,解得α<∙∣,故1<α<g;

②当I-Q=O,即Q=I时,由g(x)=一］一1二O,解得x=↑±y∕j9

因为x>0,所以l=1+百,则g(x)有且仅有1个零点,故。=1不符合题意；

③当0<1—α<1,即O<。<1时,由g'(x)>0,得0<X<1—Q或X>1,

由g'(x)<O,得l-α<x<l,

则g(x)在(O,l-α)和(,+8)上单调递增,在(l-α,l)上单调递减.

因为x→0时,g(x)<0.χ->+8时,g(χ)→+a,

所以g(x)要有两个零点,则g⑴=；+"2-1=0或

g(l-tz)=^∙(l-at)2+(α-2)(l-α)+(l-a)ln(l-α)-l=0,

若g(l)=0,解得ɑ=∣,不符合题意，

若8(1-4)=0,设，=1-4€(0，1),则8(1-。)=0化为3『+，(-，-1)+，3-1=-?2_£+“11/-1=0,

O<∕<lB'j'√∣nz<0,-→2-Z-I=-ɪ(r+l)2-∣<0,

所以一；/2-/+八11/-1<0,-；/一/+/111/-1=0无解，

即g(l-“)=0无解,故0<a<I不符合题意；

④当l-α=l,即α=0时,g'(x)≥0恒成立,则g(x)在(0,+s)上单调递增,从而g(x)最多有1个零点,则α=0不

符合题意；

⑤当l-α>1,即α<0时,由g'(x)>0,得0<x<1或x>l-α,由g'(x)<0,得1<x<l-α,

则g(x)在(0,1)和(I-上单调递增,在上单调递减.

因为x→0时,g(χ)<0,χf+8时,g(χ)→+8,

所以g(x)要有两个零点,则g(l)=0或g(l-α)=O.

若g(l)=g+α-2-l=0,解得α=∙∣,不符合题意，

^g(l-a)=^-(l-a)"÷(α-2)(l-a)+(l-6f)ln(l-a)-l=0.

设1=I-Q∈(1,÷∞),则g(l-α)=O化为$2+/(_/一ι)+z]j1∕-l=-g*_/+/1∏/-ɪ=o,

由(1)知歹=∕ln∕-;尸一，一1在(I,+∞)上单调递减,所以一■!「一/+"。/一1<0,-；/一+"11/-1=0无解，

即g(l-α)=0无解,故”0不符合题意.

综上,〃的取值范围是(1怖).

绝密★启用前

2023年高考数学考前信息必刷卷02

新高考地区专用

新高考地区考试题型为8（单选题）+4（多选题）+4（填空题）+6（解答题）,其

中结构不良型试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及解三角形与数列两大模块，以解答

题的方式进行考查。

所谓结构不良型试题，就是给出一些条件，另外的条件题干中给出三个，学生可从中选

择一个或者两个作为条件，进行解题。需要注意的是：题目所给的三个可选择的条件是平行

的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且在可选择的三个条件中，并没有哪个条件让

解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分。

2022年新高考地区数列考查了累加法，裂项相消法，本卷选取了奇偶项分别构成等比

数列的前〃项和，积作为其中一个考点如第11题；另外灵活的选取了数列{4}中落入区间

伍",22”）内项的个数记为也,},求［（-l）"%J的和，考查了学生分析，归纳能力，并灵活的

考查了分组求和，如本卷第18题.

______________________________________________________________________________

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.如图,两个区域分别对应集合其中A={-2,-l,0,1,2）,5