内蒙古赤峰市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（含答案解析）

高一数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据存在量词命题的否定直接得出结果.【详解】命题“”的否定为“”.故选：C2.已知集合，则（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，求得集合，结合向量的并集的运算，即可求解.【详解】由集合，又由集合，所以．故选：D.3.已知圆心角为2的扇形面积为2，则该扇形的半径为（）A.1 B. C.4 D.2【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，列出方程，即可求解.【详解】由题意，扇形的面积为，可得，解得．故选：B.4.下列各组函数中，是同一函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与【答案】D【解析】【分析】根据相等函数的定义，结合选项依次判断即可.【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，两个函数定义域不同，不是同一函数．故A不符合题意；对于B，两个函数的函数与的对应关系不同，不是同一函数．故B不符合题意；对于C，函数的定义域为，函数的定义域为R，两个函数的定义域不同，不是同一函数．故C不符合题意；对于D，两个函数的定义域都是，值域、对应关系相同，是同一函数．故D符合题意.故选：D5.已知函数在内的一个零点附近的函数值如下表：则该零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判定函数的单调性，然后将表中数据按照从小到大排列，根据函数零点存在性定理即可求解.【详解】因为函数和都是上的单调增函数，所以函数为单调递增函数.将表格中数据按照从小到大排列如下：由表格可得：.由函数零点存在性定理可得：函数有唯一零点，所在的区间为.故选：C.6.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系和充分不必要条件的判定即可.【详解】若，则，则．若，则．所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A.7.已知函数在上单调递增，则A的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合分段函数单调性的判定方法，以及正弦函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数在区间上单调递增，则满足，解得，即实数的取值为．故选：B.8.函数（，，）的部分图象如图所示，若，则可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图求出，,，由求出，由求出即可求解.【详解】由图可得，，则，解得，由，得，解得，因为，所以，或，，解得，或，，所以，符合题意．故选：D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.是奇函数C.的图象关于直线轴对称 D.的值域为【答案】AD【解析】【分析】根据题意，结合正弦型函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由正弦型函数的性质，可得的最小正周期为，所以A正确；对于B中，由，所以不是奇函数，所以B错误；对于C中，由不是函数的最值，所以的图象不关于轴对称，所以C错误；对于D中，由，可得，所以函数的值域为，所以D正确.故选：AD.10.下列命题是真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】综合运用不等式的性质和作差法即可做出判断.【详解】对于选项A，当时，不等式显然不成立，A错误；对于选项B，由糖水不等式可得B正确；对于选项C，因为，所以，则，C正确；对于选项D，因为，所以，所以，D正确.故选：BCD.11.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.本金为（单位：元），每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则下列命题是真命题的是（）A.本利和关于存期数的函数解析式为B.本利和关于存期数的函数解析式为C.若存入本金1000元，每期利率为，则1期后的本利和为1022.5元D.若存入本金1000元，每期利率为，则4期后的本利和为1090元【答案】AC【解析】【分析】根据题目条件求出本利和的函数解析式，并代入计算出结果即可判断正误．【详解】本利和关于存期数的函数解析式为，A正确，B错误．若存入本金1000元，每期利率为，则1期后的本利和为元，4期后的本利和为元，，C正确，D错误．故选：AC．12.已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（）A.是周期为2的周期函数B.当时，C.的图象与的图象有两个公共点D.在上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】根据已知可得，即可得出A项；根据已知求出时的解析式，进而根据周期性，得出函数在上的解析式，即可判断B项；根据A、B的结论作出函数的图象以及的图象，结合端点处的函数值，结合图象，即可判断C项；先根据解析式，判断得出函数在上单调递增，即可根据周期性，得出D项.【详解】对于A项，由已知可得，所以，是周期为2周期函数，故A正确；对于B项，，则.由已知可得，.又，所以，.又的周期为2，所以.，则，，所以，.故B错误；对于C项，由A、B可知，当时，；当时，，且的周期为2.作出函数以及的图象，显然，当时，的图象与的图象没有交点.又，，，由图象可知，的图象与的图象有两个公共点，故C项正确；对于D项，，则，.又的周期为2，所以在上单调递增.当时，，显然在上单调递增.且，所以，在上单调递增.根据函数的周期性可知，在上单调递增.故D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.___________．【答案】##0.5【解析】【分析】逆用差角的正弦公式计算即得.【详解】．故答案为：14.函数的定义域为___________．【答案】．【解析】【分析】根据指数函数定义域及根号下大于等于0且分母不等于0得到不等式，解出即可.【详解】由题意得，解得，则其定义域为.故答案为：.15.已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】根据函数单调性和偶函数的对称性可解.【详解】当时，，令，得，解得，因为是定义在上的偶函数，所以不等式的解集为．故答案为：16.已知，且，则的最小值为__________.【答案】9【解析】【分析】将所给条件式变形，结合基本不等式得关于的不等式，求解即可.【详解】由，得，即.因为，所以，当且仅当时，取等号，令，则，解得或（舍去），即，当且仅当时，取等号，故的最小值是9.故答案为：9．【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到关于的式子其积为定值，从而利用基本不等式得解.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将代入集合，先计算出，再计算的结果；（2）若，只需保证，求解即可【小问1详解】由于，解一元二次不等式得：，将代入集合，．所以或，．【小问2详解】因为，所以，解得．故实数a的取值范围是．18.已知角a的终边经过点．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数定义求出正切值；（2）先利用诱导公式化简，并化弦为切，代入，得到答案.【小问1详解】根据三角函数的定义，可得．【小问2详解】由（1）知，，．19.已知函数为偶函数.（1）求的值；（2）判断在上的单调性，并根据定义证明.【答案】（1）0（2）在上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）由偶函数的概念即可求解；（2）根据函数单调性的定义，利用定义法证明即可.【小问1详解】由题意可得，则，解得.【小问2详解】在上单调递减.证明：令，则，，即，故在上单调递减.20.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间；（3）当时，求的最大值以及取得最大值时x的集合．【答案】（1）（2）（3）最大值为1，取得最大值时x的集合为．【解析】【分析】（1）根据三角函数图象的平移伸缩变换即可求解；（2）利用整体代换法求正弦函数的单调区间，即可求解；（3）根据正弦函数的单调性即可求解.【小问1详解】由题意得，函数图象横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，再将图象向右平移个单位长度，得，即．【小问2详解】令，解得，所以的单调递增区间为．【小问3详解】因为，所以．当，即时，．所以的最大值为1，取得最大值时x的集合为．21.某企业生产的一款新产品，在市场上经过一段时间的销售后，得到销售单价x（单位：元）与销量Q（单位：万件）的数据如下：元1234万件321.51.2为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择：．（1）选择你认为最合适的一种函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知每生产一件该产品，需要的成本（单位：元）与销量Q（单位：万件）的关系为，不考虑其他因素，结合（1）中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该产品的销售单价应该高于多少元？【答案】（1）最合适，（2）元．【解析】【分析】（1）根据题意，结合给定的函数模型，代入验证，即可求解；（2）由成本与销量Q的关系为，列出不等式，结合不等式的解法，即可求解.【小问1详解】解：若选择模型，将代入可得，即，经验证，均不满足，故模型不合适．若选择模型，因为过点，所以模型不合适．若选择模型，将代入可得，即，经验证，，均满足，故模型最合适，且．【小问2详解】解：由成本与销量Q的关系为．要使生产的产品可以获得利润，则．因为，所以，即．因为，所以．故该产品