（江苏版）高考数学一轮复习 专题2.12 函数模型及其应用（练）-江苏版高三全册数学试题

专题2.12函数模型及其应用一、填空题1．给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是________(填序号).x45678910y15171921232527【答案】① 【解析】根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________(填序号)．【答案】①3．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．【答案】10【解析】设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝eq\f(1,5)，t＝150时，150k2－150k1－20＝150×eq\f(1,5)－20＝10.4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.【答案】20【解析】设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，Smax＝400.5．(2017·长春模拟)一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．【答案】166．A，B两只船分别从在东西方向上相距145km的甲乙两地开出．A从甲地自东向西行驶．B从乙地自北向南行驶，A的速度是40kmh，B的速度是16kmh，经过________h，AB间的距离最短．【答案】eq\f(25,8)【解析】设经过xh，A，B相距为ykm，则y＝eq\r(145－40x2＋16x2)＝eq\r(1856t2－11600t＋1452)(0≤x≤eq\f(29,8))，求得函数的最小值时x的值为eq\f(25,8).7．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________．【答案】10【解析】设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝eq\f(100＋0.5x＋xx＋1,x)＝x＋eq\f(100,x)＋1.5，由基本不等式得y＝x＋eq\f(100,x)＋1.5≥2eq\r(x·\f(100,x))＋1.5＝21.5，当且仅当x＝eq\f(100,x)，即x＝10时取等号．8．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2015年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是________(参考数据：lg1.12＝0.05，lg1.3＝0.11，lg2＝0.30)．【答案】2019二、解答题9．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO(1)若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1)V＝eq\f(1,3)×62×2＋62×2×4＝312(m3)．(2)设PO1＝x，则O1B1＝eq\r(62－x2)，B1C1＝eq\r(2)·eq\r(62－x2)，∴SA1B1C1D1＝2(62－x2又由题意可得下面正四棱柱的高为4x.则仓库容积V＝eq\f(1,3)x·2(62－x2)＋2(62－x2)·4x＝eq\f(26,3)x(36－x2)．由V′＝0得x＝2eq\r(3)或x＝－2eq\r(3)(舍去)．由实际意义知V在x＝2eq\r(3)(m)时取到最大值，故当PO1＝2eq\10．(2017·南通模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝eq\f(x2,5)－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？能力提升题组11．(2017·南京调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n＝ax＋5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且k≥3.问：P能否大于eq\f(1,20)，说明理由．解(1)依题意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*.(2)法一依题意x＝0.2a所以P＝eq\f(mx,y)＝eq\f(x,kax＋5)＝eq\f(0.2a,k0.2a2＋5)＝eq\f(a,ka2＋25)12．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x>0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)＝eq\f(1260,x＋1)；若x大于或等于180，则销售量为零；当20≤x≤180时，q(x)＝a－beq\r(x)(a，b为实常数)．(1)求函数q(x)的表达式；(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．解(1)当20≤x≤180时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b·\r(20)＝60，,a－b·\r(180)＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝90，,b＝3\r(5).))故q(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1260,x＋1)，0<x≤20，,90－3\r(5)\r(x)，20<x<180，,0，x≥180.))(2)设总利润f(x)＝x·q(x)，由(1)得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(126000x,x＋1)，0<x≤20，,9000x－300\r(5)·x\r(x)，20<x<180，,0，x≥180，))当0<x≤20时，f(x)＝eq\f(126000x,x＋1)＝126000－eq\f(126000,x＋1)，又f(x)在(0,20]上单调递增，所以当x＝20时，f(x)有最大值120000.当20<x<180时，f(x)＝9000x－300eq\r(5)·xeq\r(x)，f′(x)＝9000－450eq\r(5)·eq\r(x)，令f′(x)＝0，得x＝80.当20<x<80时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当80<x<180时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当x＝80时，f(x)有最大值240000.当x≥180时，f(x)＝0.综上，当x＝80元时，总利润取得最大值240000元．13．(2017·苏北四市调研)如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝