中考数学复习策略（全国通用）3 截长补短模型

第03讲截长补短模型

【应对方法与策略】

条件或结论中出现於A=C时，用截长补短.

1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证

中那一条线段相等；

2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与

线段中的另一段相等。

3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使

之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是

常用.

.1BCD

9E9F图1

9EtF图2

9A9H图3

如图1,若证明线段AByCD,砂之间存在於4班⑶,可以考虑截长补短法.

截长法：如图2,在用上截取上47,在证明汜切即可；

补短法：如图3,延长47至〃点，使叱勿再证明］履砂即可.

【多题一解】

1.（2021∙内蒙古・呼和浩特市敬业学校九年级期中）如图，在正方形ABS中，AB=2,点M为正方形

ABC。的边C。上的动点（与点C,。重合）连接8M,作MFLBM,与正方形ABe。的外角E的平

分线交点/，设CM=X,的面积为y,求y与X之间的函数关系式.

EDM

［答案］y=~^χ2+λ

【分析】根据正方形的性质和角平分线的性质得到NMZw=90。+45。=135。，在BC上截取C"=C",连

接证明AβHM二ZiMDE即可得解；

【详解】•・•四边形ABCQ是正方形，

o

：.CD=BCfZC=ZCΩA=90=ZADE,

TDb平分NA£）七，

・・・NAoF=JZADE=45。，

2

・・・ZMDF=90o+45o=135o,

在3C上截取C"=CM,连接

则aMCH是等腰直角三角形，BH=MD,

：.4cHM=NCMH=45°,

・・・NBHM=I35。,

ΛZl+ZWMB=45o,ZBHM=ZMDF,

,

∖MFLBM9

：.NFMB=90。,

：.N2+NBMH=45。,

：.Z1=Z2,

在LBHM和∕∖MDF中，

'Z1=Z2

<BH=MD,

ZBHM=ZMDF

：・Z∖BHM≡LMDF,

：.BH=MD=2-x,

.∙.y与X之间的函数关系式为y=gχ(2-X)=-gd+χ.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，动点问题的函数图像，全等三角形的判定与性质，准确分析证明

是解题的关键∙

2.(2022.江苏徐州.模拟预测)(1)如图1,在四边形ABC力中，AB=AD,NB=ND=90°,E、2分别是

边BC、C力上的点，且/£4尸=3/84。，线段EF、BE、FD之间的关系是_；(不需要证明)

(2)如图2,在四边形ABCD中，AB^AD,ZB+ZD=∖S0o,E、F分别是边8C、8上的点，且/EAF

ZBAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若不成立，请写出它们之间的数量关系，并

证明.

(3)如图3,在四边形ABC。中，AB^AD,Zβ+ZD=180o,E、尸分别是边BC、CD延长线上的点，且

NEAYNBAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若不成立，请写出它们之间的数量关

系，并证明.

acBEC%

图1图2图3

【答案】(1)EF=BE+FD;(2)(1)中的结论仍然成立，见解析：(3)结论不成立，EF=BE-FD,见解

析

【分析】(1)延长CB至G,使BG=OR连接AG,证明AABGgZVlQF,根据全等三角形的性质得到AG

=AF,/BAG=NDAF,再证明AGAEg△/¾E,根据全等三角形的性质得出EF=EG,结合图形计算，证

明结论；

(2)延长CB至M,使BM=DF,连接4M,仿照(1)的证明方法解答；

(3)在EB上截取BH=QF,连接A4,仿照(1)的证明方法解答.

【详解】解：(1)EF=BE+FD,

理由如下：如图1,延长CB至G,使BG=OF,连接4G,

D

图1

在和△4£)尸中，

AB=AD

<ZABG=N0=90°,

BG=DF

：.∕∖ABG^ΛADF(SAS),

/.AG=AFfZBAG=ZDAF9

9：AEAF=ZBAD,

：.NDAF+NBAE=ZEAFf

ZGAE=NBAG+NBAE=ZDAF+ZBAE=NEAF,

在^GAE和△胡E中，

AG=AF

<NGAE=/FAE,

AE=AE

ΛΔGAE^∆ME(SAS),

：.EF=EG,

•：EG=BG+BE=BE+DF,

:∙EF=BE+FD,

故答案为：EF=BE+FD↑

(2)(1)中的结论仍然成立，

理由如下：如图2,延长CB至M,使BM=OF,连接AM,

VZABC+ZD=180o,ZABC+Zl=180o,

ΛZl=ZD,

⅛∆ABMff∆ADFφ,

AB=AD

<Zl=ZD,

BM=DF

：.∕∖ABM^ΛADF(SAS),

：.AM=AFfZ3=Z2,

VZEAF=ɪZBAD,

/.Z2+Z4=ZEAF,

JZEAM=Z3+Z4=Z2+Z4=ZE4F,

在AMAE和2∖7¾E中，

AM=AF

<NMAE=NFAE,

AE=AE

Λ∆MAE^∆ME(SAS),

：・EF=EM,

•：EM=BM+BE=BE+DF,

：・EF=BE+FD；

(3)(1)中的结论不成立，EF=BE-FD,

理由如下：如图3,在£8上截取8"=OF,连接

D,

B（：

图3

同（2）中证法可得，Z∖AB"之ZXADR

.∖AH=AF,NBAH=NDAF,

：.ZHAE=ZFAE,

在a∕ME和aME中，

AH^AF

-NHAE=NFAE,

AE=AE

.∖ΛHAE^ΛFAE（SAS）,

..EF=EH

"JEH=BE-BH=BE-DF,

.'.EF=BE-FD.

【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键.

3.（2022・贵州遵义•一模）已知:如图所示AABC.

（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作/8AC的平分线和BC的垂直平分线，它们的交点为D（不

写作法，保留作图痕迹）

（2）若48=15,AC=9,过点。画Z）E_L48,则8E的长为___.

【答案】⑴见解析

⑵3

【分析】（1）根据角平分线、垂直平分线的尺规作图方法作图即可;

(2)在AB上取AF=AC,构造.-ADC,可得。F=OC,由垂直平分线性质可得80=CD,由此得

出.尸是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质可知BE=JB尸，即可得出结论.

(1)

解：如图，

①作NBAC的平分线AD,

②作BC的垂直平分线交AD于点D,

一

(2)

解：如图，在A8上取一点F,时使A/二AC连接08、DF.DC9

在，AQb和一AoC中，

AF=AC

<ZFAD=ZCADf

AD=AO

：・LADF'ADC(SAS),

：.DF=DC,

又・・・直线HD是线段BC的垂直平分线，

：.DB=DC,

：.DB=DF,

∖∙DELABi

：.BE=LBF,

2

又因为8尸=AB-A/=AB-AC,AB=I5,AC=9,

・・・BE=^AB-AC）=3.

故答案为3.

【点睛】此题主要考查了角平分线的作法以及垂直平分线的性质、全等三角形的判定等知识，熟练利用垂

直平分线的性质以及角平分线的性质得出3。尸是等腰三角是解题关键.

4.（2020・全国•九年级课时练习）如图，A、P、B、C是。。上四点，NAPC=NCPB=6。。.

（1）判断AABC的形状并证明你的结论；

（2）当点P位于什么位置时，四边形PBQ4是菱形？并说明理由.

（3）求证：PA+PB=PC.

【答案】（1）AABC是等边三角形，证明见解析；（2）当点P位于AB中点时，四边形PBoA是菱形，理

由见解析；（3）证明见解析.

【分析】（1）利用圆周角定理可得/BAC=NCPB,ZABC=ZAPC,而NAPC=NCPB=60。，则可得/

BAC=ZABC=60o,从而可判断AABC的形状；

（2）当点P位于AB中点时，四边形PBoA是菱形，通过证明AOAP和AOBP均为等边三角形，得到

OA=AP=OB=BP即可得证：

（3）在PC上截取PD=AP,则AAPD是等边三角形，然后证明AAPB会z^ADC,证明BP=CD即可得证结

论.

【详解】（1）AABC是等边三角形.

证明如下：在。。中，

∙.∙NBAC与NCPB是BC所对的圆周角，NABC与ZAPC是AC所对的圆周角，

ΛZBAC=ZCPB,ZABC=ZAPC,

又∙.∙/4PC=NCPB=60。，

，/A8C=NBAC=60。，

.•.△ABC为等边三角形；

(2)当点P位于Ag中点时，四边形PBOA是菱形,

如图1,连接OP.

∙.∙∕AO8=2NACB=120。，尸是AB的中点，

二NAoP=NBoP=60°

又YOA=OP=OB,

...△04P和AOBP均为等边三角形，

二OA=AP=OB=PB,

四边形PBoA是菱形；

≡1

(3)如图2,在PC上截取Pn=AP,

又：ΛAPC=Wo,

.∙.ZvlPO是等边三角形，

：.AD=AP=PD,ZADP=GOo,即NAOC=I20。.

XVZAPB=ZAPC+ZBPC=120°,

.∙.ZADC=ZAPB.

在AAPB和"OC中，

ZPB=NADC

-ZABPZACD

AP=AD

：.∆APB^∕∖ADC(AAS),

：.BP=CD,

RPD=AP,

：.CP=BP+AP.

图2

【点睛】本题考查圆内接多边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的性质，全等三角形的判定定理

和性质定理是解题关键.

5.（2021•全国•九年级专题练习）通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面

是一个案例，请补充完整.

【解决问题】

如图，点、E、F分别在正方形ABCO的边BC、CD±,ZEAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,试说明

理由.

证明：延长Cz）到G,使OG=BE,

在ZVSE与一AoG中，

AB=AD

■ZB=ZADG=90°

BE=DG

二="匡_AoG理由：（SAS）

进而证出：XAFE9___________,理由：（）

进而得瓦'=BE+OF.

【变式探究】

如图，四边形ABC。中，AB=AD,N5AZ)=90。点E、尸分别在边BC、CD±,ZEAF=45°.若E)8、

/D都不是直角，则当DB与/D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF.请证明你的猜

想.

【拓展延伸】

o

如图，若A3=AD,ZBAP≠90,ZEAF≠45°,(0ZE4F=i∠½4D,NB=ZD=哪，连接EF,请直接写出

EF、BE、。尸之间的数量关系.

B

【答案】(1)∆AFE^∆ΛFG,理由：SAS；(2)∕B+NO=180°,证明见解析；(3)BE+DF=EF.

【分析】(1)在前面已证的基础上，得出结论AE=AG,进而证明AA尸E会AAFG,从而得出结论;

(2)利用“解决问题''中的思路，同样去构造AAFE丝ZXAFG即可；

(3)利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可.

［详解】(1)ABERADG,AE=AG,Z.BAE=/DAG,BE=DG,

则NBAE+ZFAD=ZFAD+ZADG=ZFAG,

o

ZEAF=45°t.∖ZFAG=45t

在JAFG与△AZ7E中,

AE=AG

ZEAF=ZGAF

AF=AF

.'ΛAFE^ΛAFG,理由：(SAS)

.∖EF=FG=FD+DG=FD+BE；

(2)满足ZB+ZD=180。即可,证明如下：

如图，延长⑺至G,使BE=DG,

oo

ZB+ZADF=180,ZADF+ZADG=180f

AB=ZADG,

在AABE与.AOG中，

AB=AD

<ZB=ZADG

BE=DG

:.ABE空ADG(SAS),

.∙.AE=AG,ZBAE=ZDAG,BE=DG9

则ZBAE+ZFAD=ZFAD+ZADG=ZFAG,

NEAF=45。,ΛZMG=45°,

在4AFG与XNFE中，

AE=AG

./EAF=NGAF

AF=AF

.∖∆AFE^AAFG,理由：(SAS)

：.EF=FG=FD+DG=FD+BE；

(3)BE+DF=EF.证明如下：

如图，延长⑺至G,使3E=DG,

在△/山后与一AOG中，

AB=AD

NB=ZADG=90。

BE=DG

:.ABE注ADG(SAS),

AE=AG,NBAE=ZDAG,

则ZBAE+ZFAD=ZFAD+ZADG=ZFAG,

ZEAF=-ZBAD,:.ZFAG=-AEAD=ZFAE,

22

在，AFG与AAFE中，

AE=AG

■NEAF=ZGAF

AF=AF

:./\AFE^/XAFG,理由：(SAS)

【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的

关键.

6.（2021.北京•九年级专题练习）在四边形ABOE中，C是友）边的中点.

（1）如图（1）,若AC平分NBAE,ZACE=90%则线段4E、AB.OE的长度满足的数量关系为

;（直接写出答案）

（2）如图（2）,AC平分NBAE,Ee平分ZAED,若NACE=I20。，则线段AB、BD、DE、AE的长度

满足怎样的数量关系？写出结论并证明.

【答案】(1)AE=AB+DE;(2)AE=AB+DE+ʌBD,证明见解析.

【分析】(1)在AE上取一点F,使AF=AB,由三角形全等的判定可证得aACB之ZXACF,根据全等三

角形的性质可得BC=FC,ZACB=ZACF,根据三角形全等的判定证得ACEF丝Z∖CED,得至IJEF=ED,

再由线段的和差可以得出结论：

(2)在AE上取点F,使AF=AB,连结CF,在AE上取点G,使EG=ED,连结CG,根据全等三角形

的判定证得AACB丝Z∖ACF和AECD也4ECG,由全等三角形的性质证得CF=CG,进而证得aCFG是等

边三角形，就有FG=CG=TBD,从而可证得结论.

【详解】解：(1)如图(1),在AE上取一点F,使AF=AB.

图⑴

TAC平分NBAE,

ΛZBAC=ZFAC.

在aACB和AACF中，

AB=AF

</BAC=ZFAC

AC=AC

ΛΔACB∆ACF(SAS).

ΛBC=FC,ZACB=ZACF.

TC是BD边的中点，

ΛBC=CD.

ΛCF=CD.

VZACE=90o,

ΛZACB+ZDCE=90o,ZACF+ZECF=90o.

ΛZECF=ZECD.

在aCEF和aCED中,

CF=CD

-NECF=NECD

CE=CE

ΛΔCEF^ΔCED(SAS).

ΛEF=ED.

VAE=AF+EF,

ΛAE=AB+DE.

故答案为：AE=AB+DE;

(2)AE=AB+DE+∣BD.

证明：如图(2),在AE上取点F,使AF=AB,连结CF,在AE上取点G,使EG=ED,连结CG.

图⑵

：C是BD边的中点，

ΛCB=CD=ɪBD.

2

YAC平分NBAE,

・・・NBAC=NFAC.

在aACB和aACF中，

AB=AF

<NBAC=NFAC

AC=AC

ΛΔACB∆ACF(SAS).

ΛCF=CB,ZBCA=ZFCA.

同理可证：ZiECD^4ECG

ΛCD=CG,ZDCE=ZGCE.

TCB=CD,

JCG=CF.

NACE=120。，

ΛZBCA+ZDCE=180o-l20o=60o.

ΛZFCA+ZGCE=60o.

.,.ZFCG=60o.

.∙.aFGC是等边三角形.

ΛFG=FC=^BD.

VAE=AF+EG+FG,

ΛAE=AB+DE+∣BD.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问

题的关键.

7.（2020.北京市第一零一中学温泉校区三模）在AABC中，AC=BC,ZACB=90。，点E在直线BC上

（8,C除外），分别经过点E和点B作AE和AB的垂线，两条垂线交于点F,研究AE和EF的数量关系.

（1）某数学兴趣小组在探究AEEF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E是BC

的中点时，只需要取AC边的中点G（如图1）,通过推理证明就可以得到AE和EF的数量关系，请你按照

这种思路直接写出AE和EF的数量关系；

图I

（2）那么当点E是直线BC上（8,C除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E

在线段BC上”，“点E在线段BC的延长线”，“点E在线段BC的反向延长线上”三种情况中，任选一种情

况，在图2中画出图形，并证明你的结论；

图2备用图

(3)当点E在线段CB的延长线上时，若BE="3C(O<"<1),请直接写出的值.

【答案】(1)AE=EF;(2)仍然成立.证明见解析；(3)SzxAeC:S△田=1:(/+2〃+2).

【分析】(1)连接GE,根据等腰直角三角形的性质可得NCGE=NCEG=45。，NCBA=NC48=45。，然

后利用ASA即可证出AAGEdEBF,从而得出结论：

(2)在AC上截取CG=CE,连接GE,根据等腰直角三角形的性质可得NCGE=NCEG=45。，

ZCBA=ZCAB=45°,然后利用ASA即可证出A4GE∕∖EM,从而得出结论；

(3)在AC的延长线上截取CG=CE,连接GE,AF,利用ASA证出∕∖AGE丝△£»/,可得-AE尸为等

腰直角三角形，设CA=CB=a,则BE="BC=w,利用勾股定理求出AE,根据三角形的面积公式即可求

出结论.

【详解】解：(1)AE=EF,

连接GE

图1

YAC=BC,点E是BC的中点，点G为AC的中点

AAG=CG=CE=EB,

因为NACB=90°,

所以NCGE=NCEG=45°,ZCBA=ZCAB=45°.

所以ZAGE=NEBF=135°.

因为AE_LEF,ABLBF,

所以NAEF=ZABF=NAaS=90。，

所以AFEB+ZAEF=ZAEB=ZEAC+ZACB.

所以NFEB=NE4C.

在」AGE与AEBE中，

ZAGE=NEBF,

■AG=BE,

NGAE=NFEB,

所以也△£»尸(ASA).

所以AE=EF

(2)仍然成立.

在AC上截取CG=CE,连接GE.

因为NAC5=90。，

所以NCGE=NCEG=45°.

因为AE_LEF,ABLBF,

所以NAEF=ZABF=ZACB=90°,

所以AFEB+ZAEF=ZAEB=ZEAC+ZACB.

所以NFE8=NE4C.

因为C4=C8,

所以AG=BE,ZCBA=ZCAB=45°.

所以ZAGE=ZEBF=I35°.

在aAGE与AEBE中，

ZAGE=ZEBF,

■AG=BE,

ZGAE=NFEB,

所以4AGEgZ∖E3F(ASA).

所以AE=EF.

(3)如下图所示，在AC的延长线上截取CG=CE,连接GE,AF

因为NACB=90°,

所以NCGE=ZCEG=45°.

因为AE_LEF,ABLBF,

所以NAEF=NABF=NAC3=90。，

所以NFEB-ZAEF=ZAEB=ZEAC-ZACB.

所以N五EB=NE4G.

因为CA=CB,

所以AG=BE,ZCBA=ZC4B=45°

ΛZEBF=180o-ZABF-ZABC=45o.

所以ZAGE=NEBF=45°.

在,AGE与AEBF中，

ZAGE=NEBF,

■AG=BE,

NGAE=NFEB,

所以Z∖AGEgz∖E8F(ASA).

所以AE=EE

.•._4斯为等腰直角三角形

设CA=CB=a,则BE==也

CE=a÷na

由勾股定理可得AE=√CA2+CE2=yj2a2+2na2+n2a2

1

.*.SABC='S^AEF=+2tuι~÷n~crj=α~+ncι~+-n~u~

∙'∙S&ABC'.SAAEF=1：("+2〃+2).

【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握构造全

等三角形的方法是解决此题的关键.

8.(2021•全国•九年级专题练习)例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何

题化难为易的一种策略.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方

式使两条短边拼合到一起，从而解决问题.

(1)如图1,Z∖ABC是等边三角形，点。是边BC下方一点，ZBDC=∖20o,探索线段D4、DB、QC之间

的数量关系.

解题思路：将aABO绕点A逆时针旋转60。得到AACE,可得AE=A。，CE=BD,ZABD=ZACE,Z

DAE=60°,根据∕BAC+NBOC=180°,可知NA2O+/ACz)=I80°,则ZACE+ZACD=ISOo,易知AADE是

等边三角形，所以AO=DE,从而解决问题.

根据上述解题思路，三条线段力A、DB、OC之间的等量关系是；

(2)如图2,R∕Z∖ABC中，NBAC=90。，AB=AC.点。是边BC下方一点，NBz)C=90。，探索三条线段

DA.DB、OC之间的等量关系，并证明你的结论.

IH1N92

【答案】(I)DA=DB+DC;(2)后DA=DB+DC,证明见解析.

【分析】⑴由旋转60。可得AE=A£>,CE=BD,^ABD=ZACE,ZDAE=60o,根据∕BAC+C=I80。，

可知NABD+NACD=180。，则NACE+/48=180。，易知AAOE是等边三角形，所以AD=OE,从而解决

问题.

⑵延长DC到点E,使CE=BD,连接AE,由已知可得∠A8E>+ZA8=180°,根据ZAeE+ZACO=180",可得

NABZ)=ZACE,可证。ABD=ACE,进而可得AD=AE,N84O=NC4E,可得NzME=N84C=90”,由勾股定

理可得：ZM2+AE?=D炉,进行等量代换可得结论.

【详解】⑴结论：DA=DB+DC.

理由：∙.*Z∖ABD绕点A逆时针旋转60。得到AACE,

ΛAE=AD,CE=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=60O,

VZBAC+ZBDC=I80°,

ΛZABD+ZACD=180°,

.♦.NACE+NACD=I80。，

.∙.D,C,E三点共线，

VAE=AD,ZDAE=60o,

∙,∙∆ADE是等边三角形，

,AD=DE,

ΛAD=DC+CE=DB+DC;

⑵结论：√2DA=DB+DC,

证明如下:

如图所示，延长DC至U点E√^CE=BD,连接AE,

^.∙NBAC=90°,NBDC=90°,

二ZABD+ZACD=180",

,∙^ZAeE'+ZACD=180°,

.∙.ZABD=ZACE,

VAB=AC5CE=BD,

二.一ABD=ACE(SAS),

二AD=AE,ZBAD=ZCAE,

：.ZDAE^ZBAC=90°,

：.DA2+AE2=DE2,

/.2DΛ2=(DB+DC?,

：.√2DA=DB+DC.

【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关系，正确作出辅助线找到

全等三角形是解题的关键.

9.(2020.全国•九年级专题练习)如图，四边形ABC。为矩形，尸为对角线BO上一点，过点F作

FELBD交AD于点H,交BA的延长线于点E,连接AF,当尸D=FE时，求证：AH+AB=42AF.

【答案】见解析

【分析】过点尸作尸N，A尸交AB的延长线于点N,先证明AEbNgADZX(ASA),可得NN=NzM尸,

FN=AFf从而可以证明b(As4),可证得AH=BN,即可得证AH+AB=0A/.

【详解】证明：如图，过点尸作FNJ.A/交48的延长线于点N,

EF±DFfEArAD9

/.ZE÷ZABD=90o,ZADF+ZABD=90o,

..ZE=ZADF9

ZAFN=AEFD=90。,

.,AAFD=ΛEFN,

在工日W和一。E4中，

/EFN=/DFA,

VEF=DF,

NE=ZADF,

sΛEFN^ΔDE4(ΛSA),

:.ZN=ZDAF9FN=AFf

又∙ZAFN=90。,

.∙.AN=也AF，

ZAFN=/EFB=90。,

:.ZAFH=4BFN,

在/和INBF中,

ZAFH=ZNFB,

<AF=NF,

/HAF=NN,

.ΛAHFgANBF(ASA),

AH=BN,

:.AH+AB=BN+AB=AN=√2ΛF.

【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键.

10.(2020•全国•九年级专题练习)如图，在正方形438中，点E、尸均为中点，连接AF、DE交于点

P,连接PC,证明：PE+PF=丘PC.

【答案】见解析

【分析】延长DE至N,使得EN=PF,连接CN,先证明△">尸思Z∖DCE(SAS),可得

ZAFD=ZDEC,即NC尸P=NCEN,再通过证明ACEN丝ATQ(SAS),可得CN=CP,

NECN=∕PCF,即可证明二NCP是等腰直角三角形，即PN=PE+NE=6PC,从而得证

PE+PF=叵PC.

【详解】证明：如图，延长OE至N,使得EN=PF,连接CN,

在正方形ABCD中，

E、F分别是BC、C。的中点，

.∖CE=DF,

在一4。/和.OCE中，

AD=CD,

<ΛADF=ZDCE=900,

DF=CE,

.ΛADFmADCE(SAS),

.∙.ZAFD=ΛDEC,

:"CFP=ZCEN,

在，CEN和..CFP中，

CE=CF,

"NCEN=NCFP,

EN=PF,

:.ACEN冬ACFP(SAS),

.∙.CN=CP,ZECN=ZPCF,

NPCF+NBCP=骄,

.∙.ZECN+/BCP=ZNCP=90°,

.•.△NCP是等腰直角三角形，

:.PN=PE+NE=叵PC.

即PE+P尸=√5PC∙

【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题

的关键.

11.（2021•北京・清华附中九年级阶段练习）已知/MON=e（0°<a<180。），A为射线ON上一定点，B为

射线OM上动点（不与点。重合）连接48,取AB的中点C,连接OC.在射线BM上取一点。，使得

BD=OA.

(1)若α=60°,

OC

①如图1,当4A0=60。时，在图I中补全图形，并写出布的值;

OC

②如图2,当加。＜60。时，猜想行的值是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由;

OC

(2)如图3,若α=90°,OCJ_AO,直接写出K的值.

AD

【答案】(I)①②器=L(2)型=心.

2AD2AD2

【分析】(1)①由已知可判定一AOB是等边三角形，4OAQ是含30。的直角三角形，由此利用解直角三角

形用OA表示出OC、A。即可求解；

②延长OB到G,使OG=OB,构造等边三角形AOP,延长OB到G,使OG=OB,构造中位线OC和

.APG^AOD,全等三角形性质和中位线性质即可得出结论：

(2)根据直角三角形中线和已知垂直条件证明aQβ4ODA,由边长关系求出相似比即可解答.

【详解】解：(1)①补图如下，器OC=；1，

AD2

图1

求解过程：VZBAO=60°,NMoN=α=60°,

二.AOB是等边三角形,

ΛOA=OB=AB,ZOSA≈60°,

∙.∙BD=OA,

：.BD=AB,

：.NBDA=ZBAD=ɪZABO=30°,

2

：.NoAo=90°,

∙^∙tanZODA=tan30o=,

AD3

/.AD=gθA,

C=AC,..AO3是等边三角形,

.∖ZAOC=30o,ZACO=90o,

/3

.β.OC=04CoSNAoC=-OA1

2

：.OC_2=ɪ;

AD~√3OA-2

②如图，在OM上取一点P,使OP=O4,

.AoP是等边三角形，

.'.OA=OP=APfNOP4=60。,

延长。B到G,使。G=OB,

♦：PG=OG+0P,OA=BD=OP,

：・PG=OB+BD=OD,

在二APG和ZXAOQ中，

AP=OA

<ZAPG=ZAOD,

PG=OD

：.^APG=^AOD(SAS),

：.AG=AD9

VOG=OBfCA=CB9

：.OC=-AG

2t

AG

ΛOC_2=1；

~AD~AG~2

⑵型Jk1,

AD2

过程如下：如图,

βo

∖ZMON=a=90fOCA.ADf

：.ZAOC+AHOD=90o,ZOZM+ZWOD=90o,

：・ZODA=ZAOC，

o

VZMON=a=90,BC=CA1

：.BC=CA=OC=-AB

2f

：.ZOAC=ZAOCf

：.ZOAC=ZODA,

：・JJBA_ODA，

.OBOAAB

*OA-OD-AD

、几OBOAAB1

设——=——=——=—C∕n>O),OB=a,

OAODADm

.*.OA=BD—ma,OD=rrra，

・・2

•a+ma=nVa»

解得：加=上史（不合题意舍去），加=±叵，

22

.OC_AB_∖√5-l

"'~AD~2AD~2^ι~2

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质

和判定、解直角三角形、三角形的中线和中位线性质等知识，解题的关键是正确构造全等三角形解决问

题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

12.（2022•安徽合肥•一模）已知：如图1,AABC中，ZCAB=120o,AC=AB,点。是BC上一点，其中N

ADC=a（30o<α<90o）,将aABO沿AZ）所在的直线折叠得到△Α£：£）,AE交CB于F,连接CE

(1)求NCOE与NAEC的度数(用含α的代数式表示)；

(2)如图2,当α=45。时，解决以下问题:

①已知AQ=2,求CE的值；

②证明：DC-DE=gAD；

【答案】(I)NCz)E=I80。-2£，ZAEC=a

(2)04；②见解析

【分析】(1)由折叠对应角相等与“双蝴蝶型''相似可得;

(2)由α=45。求出NCAF=90。，再由“蝴蝶型'湘似求得:

(3)“截长补短”法：在BC上取一点4,使得CH=DE.

(1)

：4ABD沿AO所在的直线折叠得到ΔAED,

：.ZΛDE=ZADB=180o-ct,

ΛZCDE=180o-2a;

YNCAB=120°,AC=AB,

：./ACB=/B=NAED=30。，

,.∙NDFE=NAFC,

：.XDEFSXAFC,

：.DF：AF=EF:CF,

VZEFC=ZAFD,

：.4AFDsXCFE,

：.NAEC=NADC=a,

故答案：180°-2α;«

(2)

①∙.∙α=45°,

.∖ZDAF=ZDAB=∖5o,

：.NCAF=90°,

：.AF：CF=I:2,

,∙,ΔAFD^∆CFE,

ΛAD:CE=AF:CF=L2,

：.CE=4,故答案：4；

②在BC上取一点H,使得CH=i>E,

"：AC^AE,ZACH=ZAED,

J.ΔACH^ΔADE,

：.AD=AH,ZDAE=ZCAH,

：.ZDAH=90°,

：.DH=近AD,

：.DC-ED=DC-CH=DH=五AD

【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定以及勾股定

理等知识；熟练掌握翻折变换和相似三角形的性质与判定是解题的关键.

13.（2021・四川成都•九年级期末）如图1,在RtZkABC中,ZACB=90o,AC=BC,将点C绕点8顺时针

旋转105。得到点。，连接BQ,过点。作OELBC交CB延长线于点E,点尸为线段。E上的一点，且/

DBF=45°,作NB尸。的角平分线FG交AB于点G.

（1）求NBFz）的度数；

（2）求BF,DF,G尸三条线段之间的等量关系式；

（3）如图2,设H是直线。E上的一个动点，连接HG,HC,若AB=近,求线段HG+HC的最小值（结

果保留根号）.

【答案】(1)I200;(2)BF+DF=GF,理由见解析：(3)√3+√6

【分析】(1)由平角的性质可求NFBE=30。，再由直角三角形的性质和平角的性质可求解；

(2)由“ASA”可证aBMG丝ABFC,可得GM=DF,即可求解；

(3)作点G关于DE的对称点G',连接HG,CG',FG',作G'/_LCB交CB的延长线于/,由轴对称的

性质可得GF=G'F,HG=HG,NDFG=NDFG=60。,则HG+HC="C+"G'NCG',由等边三角形的

性质和等腰直角三角形的性质可求BG'的长，由勾股定理可求解.

【详解】解：(1)VZCBD=105°,NFBD=45°,

：.ZFBE=30o,

'CDEVBC,

,NDEB=90。,

.∙.NBFE=60°,

/.ZBFD=120°；

(2)BF+DF=GF,

理由如下：如图1,在线段FG上截取尸M=F8,连接BM,

VZBFD=120o,FG平分NDFB,

.∙.∕GFΣ>=NG∕78=60°,

∙,.∕∖FBM是等边三角形，

:∙BF=BM,ZBMF=60o,

：.NGMB=NBFD=I20。,

o

VZACB=90fAC=BC,

ΛZCBA=45o,

TNCBD=IO5。,

・・・NABD=60。=NMBF,

；・NGBM=NDBF,

.・・在ABMG与ABFD中，

/GMB=NBFD

BF=BM

NGBM=/DBF

：・ABMG沿∕∖BFD(ASA),

：・GM=DF,GB=DB,

*：MF^GM=GF9

：.BF+DF=GF；

(3)如图3,设8。与Gb交于点0,作点G关于OE的对称点G',连接"G,CG,FG,作G'ΛLC8

交CB的延长线于/,

・・・点G与点G'关于OE对称，

：.GF=GF,HG=HG,NDFG=NDFG'=60。,

：.HCh-HC=HC+HG,>CG,,

即HG+HC的最小值为CG,

∙/NBFD+/DFG'=180°,

・・・点8,点F,点G'三点共线，

•：GB=DB,NGbO=60。,

・・・ZXGDB是等边三角形,

IGD=DB=GB,

LDB=DG,

♦：NDBE=75。,NDEB=90。,

：・NBDE=15。,

：.AGDF=ISQ,

ΛZGfDF=ZGDF=75°,

ΛZBDGz=90°,

又,：DB=DG',

f

.∙.BG'=6BD=Λ∕2BC=AB=√2,

o

VZEBF=30,GILCB9

：.IG'=^BG'=—,Bl=CGl=显,

222

：.Cl=BC+BI=I+近,

2

二CG=^CI-+GI1=^(l+^)2+∣=√3+√6，

.∙.HG+HC的最小值为√3+√6.

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边

三角形的判定和性质，轴对称的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

14.(2021・四川成都•二模)如图，点C在以AB为直径的。。上，8力平分NABC交。。于点。，过。作

BC的垂线，垂足为E.

(1)求证：OE与OO相切；

(2)若A8=6,tanA=应，求BE的长；

(3)线段A8,BE,CE之间有何数量关系？写出你的结论并证明.

【答案】（1）见解析；（2）4；（3）CE=AB-BE,见解析

【分析】（1）连接。Q,根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到NoD3=NC3D根据平行线的性

质得到OOLDE,于是得到结论；

（2）根据圆周角定理得到NAOB=90。，根据相似三角形的性质即可得到结论；

（3）过。作。于“，根据角平分线的性质得到。”=02根据全等三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：（1）证明：连接。。，

•/OD=OB,

."ODB=NOBD,

TBO平分NABC

；・/0BD=/CBD,

INODB=NCBD,

：.OD//BE9

9

：BELDEf

：.ODLDEf

.∙.OE与。。相切.

（2）解：tYB是。。的直径，

・・・NADB=90。,

,

∖AB=6ficmA=亚,

LBD=6AD,

设AD=mf则BD=y∣2

ΛAH2+2∕H2=36,

.,・加=2√i或-26（舍弃），

.∖AD=2y∕3,BD=2√6,

•：BELDE,

/./ADB=NBED=90。,

TBO平分NABG

：.AOBD=ACBD,

：.AABDs∕∖DBE,

.ABBD

・・茄一茄’

.62√6

,•前F'

ΛBE=4.

(3)解:结论CE=AB-BE,

理由：过。作£W_LAB于，，

平分/ABC,DElBE,

：.DH=DE,

在RtABED与RtABHD中，

{DE=DH

[BD=BD'

LRtABEDWR小BHD(HL),

.'.BH=BE,

；NDCE=ZA,NDHA=NDEC=90。,

：.AADH注ACDE(AAS),

：.AH=CE,

•：AB=AH+BH,

.'.AB=BE+CE,

：.CE=AB-BE.

【点睛】本题属于圆的综合问题，考查了切线的判定，角平分线的性质，圆的有关性质，全等三角形的判

定，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题.

15.（2020•黑龙江哈尔滨•九年级期中）如图，.4?C中，点。在AC边上，且NBDC=90+白NA8。.

2

(1)求证：DB=AB；

(2)点E在BC边上，连接AE交8。于点F,且44FD=ZABC,BE=CD,求ZACB的度数.

(3)在(2)的条件下，若BC=16,..A8尸的周长等于30,求AF的长.

o

【答案】(1)见解析；(2)∠ΛCB=60i(3)AF=II

【分析】(1)根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出NA=NB/M,证得

DB=AB;

(2)作CH=BE,连接DH,根据角的数量关系证得NEAC=NC,再由三角形全等判定得

ABE,最后推出aDCH为等边三角形，即可得出ZAC8=60。；

(3)借助辅助线AOJ_CE,构造直角三角形，并结合平行线构造aBFEs^BDH,建立相应的等量关系

式，完成等式变形和求值，即可得出AF的值.

【详解】(1)证明：VZBDC=90°+ɪZABD,NBDC=NABD+NA,

.∙.ZA=90o-∣ZABD.

VZBDC+ZBDA=180°,

ΛZBDA=180o-ZBDC=90o-∣ZABD.

NA=NBDA=90。一义/ABD.

ΛDB=AB.

解：(2)如图1,作CH=BE,连接DH,

∙.∙∕AFD=NABC,/AFD=NABD+NBAE,ZABC=ZABD+ZDBC,

ΛZBAE=ZDBC.

•・•由(1)知，ZBAD=ZBDA,

又VZEAC=ZBAD-ZBAE,NC=ZADB-ZDBC,

：・ZCAE=ZC.

ΛAE=CE.

VBE=CH,

ΛBE+EH=CH+EH.

即BH=CE=AE.

VAB=BD,

Λ∆BDH^∆ABE.

JBE=DH.

VBE=CD,

,CH=DH=CD.

Λ∆DCH为等边三角形.

，ZACB=60°.

(3)如图2,过点A作AoJ_CE,垂足为0.

VDH√AE,

,NCAE=NCDH=60。，ZAEC=ZDHC=60o.

，∆ACE是等边三角形.

设AC=CE=AE=x,则BE=16-χ,

VDH√AE,

ΛΔBFE^ΔBDH.

.BFBEEF16-x

99~BD~~BH~~DH~X

：.M=竺H50=峋HAB,

XX

16-x(16-x)2

EF=^~~^DH=∖-----L

XX

:△ABF的周长等于30,

即AB+BF+AF=AB+^Z^ΛB+X-(16~X)=30,

x

X

解得AB=16一丁.

O

在RtAACO中，AC=-,AO=叵,

22

X

ΛBO=16--.

2

在RtZiABO中，AO2+BO2=AB2,

即:χ2+[16∖j=(16jj.

解得XLO(舍去)W=等.

ΛAF=11.

【点睛】本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应

用，解题的关键是能熟练掌握