山西省晋中市祁县中学高三上学期12月月考数学（理）试题

2020年祁县中学高三年级12月月考数学（理科）试题一、

选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1、对于非空集合定义集合间的一种运算“★”：★如果，则★=()A、B、C、 D、2、定义在上的函数为偶函数，，则（）A、B、C、D、3、一个几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为(

)A、B、C、D、在中，已知为线段上的一点，且,则的最小值为()A、 B、C、D、5、己知函数，给出下列四个命题：①的最小正周期为②的图象关于直线对称③在区间上单调递增④的值域为其中所有正确的编号是()A、②④ B、①③④ C、③④ D、②③6、函数的零点之和为()A、2B、1C、－2D、－17、我市高中数学研究会准备从会员中选拔x名男生，y名女生组成－个小组去参加数学文化知识竞赛，若x，y满足约束条件，则该小组最多选拔学生（）A、21名B、13名C、16名D、11名8、函数的大致图象为（）9、已知四棱锥PABCD的底面为矩形，平面PBC⊥平面ABCD,于E，EC=1，，BC=3，PE=2，则四棱锥PABCD外接球的表面积为（）A、B、C、D、10、已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为4，圆M:，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A,P,Q,B四点，则|AP|+4|BQ|的最小值为（）A、15 B、13 C、11 D、911、已知实数满足约束条件,则()A、B、C、D、12、已知直线y＝2x与曲线f(x)＝ln(ax＋b)相切，则ab的最大值为（）A、2eB、eC、D、二、填空题（每小题5分，共20分）13、若等比数列的首项是,且,则公比等于▲.14、某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取名学生进行调查，若一班有名学生，将每一学生编号从到，请从随机数表的第行第、列（下表为随机数表的前行）开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为▲.7816651408026314070243699728019832049234493582003623486969387481函数的图象如下图所示，则f(x)在区间[π，π]上的零点之和为_▲___．16、已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则的取值范围为▲。解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出相应的文字说明，证明过程或运算步骤）（本题10分）如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的动点（含端点），记．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）若，求△ABD的面积．18、（本题12分）已知数列的前项和为,其中,数列满足(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)令,数列的前项和为,若对一切恒成立,求实数的最小值（本题12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，平面⊥平面，点为棱的中点．(Ⅰ)在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；(Ⅱ)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．

20、（本题12分）已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关。现收集了一只该品种昆虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的7组观测数据，其散点图如下所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y和温度x可用方程y＝ebx＋a来拟合，令z＝lny，结合样本数据可知z与温度x可用线性回归方程来拟合。根据收集到的数据，计算得到如下值：表中。(1)求z和温度x的回归方程(回归系数结果精确到0.001)；(2)求产卵数y关于温度x的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26℃～36℃之间(包括26℃与36℃)，估计该品种一只昆虫的产卵数的范围。(参考数据：e3.282≈27，e3.792≈44，e5.832≈341，e6.087≈440，e6.342≈568。)附：对于一组数据(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为。21、（本题12分）已知椭圆C：，直线交椭圆C于A，B两点．(Ⅰ)若点P(1，1)满足(O为坐标原点)，求弦AB的长；(Ⅱ)若直线的斜率不为0且过点(2，0)，M为点A关于x轴的对称点，点N(n，O)满足，求n的值．（本题12分）已知函数在处取到极值为．

（1）求函数的单调区间；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

2020年祁县中学高三年级12月月考数学（理科）参考答案一、

选择题题号123456789101112答案BCDACDCCDBAB二、填空题（每小题5分，共20分）13、314、4315、16、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出相应的文字说明，证明过程或运算步骤）（本题10分）【参考答案】（Ⅰ）由△ABC是等边三角形，得β＝α+，0≤α≤，故2cosα﹣cosβ＝2cosα﹣cos（α+）=，故当α＝，即D为BC中点时，原式取最大值．……（5分）（Ⅱ）由cosβ＝，得sinβ＝，故sinα＝sin（β﹣）＝sinβcos﹣cosβsin＝，………（7分）由正弦定理＝，故AB＝BD＝，…（9分）故S△ABD＝AB•BD•sinB＝××1×＝．……………（10分）18、（本题12分）【参考答案】(Ⅰ)由有,,两式相减得:,又由可得,∴数列是首项为,公比为的等比数列,从而,于是.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,于是

,依题意对一切恒成立,令,则

由于易知时,;时,

,即有,∴只需,从而所求的最小值为（本题12分）【参考答案】(Ⅰ)在棱AB上存在点E，使得AF∥平面PCE，点E为棱AB的中点．理由如下：取PC的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，FQ∥DC且FQ＝CD，所以AE∥CD且AE＝CD，故AE∥FQ且AE＝FQ．所以，四边形AEQF为平行四边形.……………（3分）所以，AF∥EQ，又EQ⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，所以，AF∥平面PEC.………………（5分）(Ⅱ)由题意知△ABD为正三角形，所以ED⊥AB，亦即ED⊥CD，又∠ADP＝90°，所以PD⊥AD，且平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD＝AD，所以PD⊥平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，……（6分）设FD＝a，则由题意知D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0），B（，1，0），＝（0，2，﹣a），＝（），设平面FBC的法向量为则由，令，所以取，平面DFC的法向量＝（1，0，0），…………（8分）因为二面角D﹣FC﹣B的余弦值为，所以由题意：，解得.……（10分）由于PD⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，由题意知在Rt△PBD中，tan∠PBD＝，从而，所以直线PB与平面ABCD所成的角为.………………（12分）

20、（本题12分）21、（本题12分）【参考答案】（本题12分）【参考答案】

（1）由已知定义域为，，

由，又，得，

，所以， ……2分

从而又。

由得：；由得：或。

故的单调递减区间是：和；单调递增区间是：。