土木工程力学课件

绪论1.工程与力学

（1）土木工程（CivilEngineering）（2）工程力学（EngineeringMechanics）质点（masspoint）刚体（rigidbody）变形固体（deformablebody）（3）土木工程力学2.结构与构件（1）结构（structure）:承受荷载维持平衡起骨架作用（2）构件（member）:组成部件3.构件安全工作的条件（1）三个方面

a）强度（Strength）

b）刚度（rigidity）

c）稳定性（stability）（2）两种状态

a）承载力极限状态

b）正常使用极限状态4.土木工程力学的任务

研究结构几何组成规律构件的强度、刚度和稳定性条件构件机械运动一般规律5.研究方法（1）解析公式法（2）数值计算法（3）试验分析法第一章力学基本概念1.力的概念（1）力（force）:物体间相互作用（action）（2）效应（effect）

外效应——运动状态发生改变

内效应——形状发生变化（3）三要素:大小、方向、作用点F1.1力和力系的概念2.力的投影（1）沿坐标轴投影（作垂线）

X=Fcos

Y=Fsin

（2）大小和方向

FyxYX3.力系的概念（1）力系（forcesystem）

作用在物体上的一群力，称为力系。（2）等效力系两个力系在效应（外效应）上相同，它们互为等效力系。（3）合力（resultant）如果一个力与一个力系等效，则该力为力系的合力（3）平衡力系:

零效（外效应）力系称为平衡力系。1.2静力学基本公理1.二力平衡公理（1）公理内容

物体受二力作用平衡，该二力必等值、

反向、共线。（2）二力构件FF2.作用与反作用公理（1）公理内容

作用于物体间的作用力与反作用力等

值、反向、共线。（2）与二力平衡公理的区别二力公理：二力同体作用与反作用：二力异体3.加减平衡力系公理（1）公理内容

在物体上加上或去掉一个平衡力系，

不影响（物体的外效应）。（2）推理——力的可传性原理力可沿其作用线滑动到任意位置，不改变其对物体的外效应（3）适用条件：刚体4.平行四边形公理（1）共点二力合成法则

二力为邻边，作平行四边形对角线为

合力（Resultant）。F1F2R

多个共点力可依次利用平行四边形法则进行合成（2）合力投影定理

合力沿某坐标的投影，等于分力对同一坐标投影的代数和

Rx=X，

Ry=Y

合力大小和方向

（3）应用之一：力的分解

分解方法已知分解方向平行四边形法则

分解和投影的异同分解是矢量，投影是代数量直角坐标系下，分力的大小和投影的大小相同；斜角坐标系下则不相同（4）应用之二：三力平衡汇交定理

物体受三力作用平衡，三力的作

用线必汇交于一点F1F2F3o例1.1求图示力系的合力解：由合力投影定理

Rx=600.866+0-1200.707=-32.88NRy=600.5+50+1200.707=164.84N

合力为xy30

45

60N50120第二象限，所以1.3力矩和力偶1.力对点之矩（1）定义：力和力臂之乘积定义为力矩

M=

Fd

力臂——力到矩心的垂直距离转向——逆（+），顺（-）（2）效应归类力：移动效应力矩：转动效应dFo2.力偶和力偶系（1）力偶

定义：等值、反向、不共线之二力，称为力偶。引起物体转动。

度量：力偶矩m=Fd

性质：可任意移动，不影响转动效应，力偶只能由力偶平衡dFF（2）力偶系

定义：二个及二个以上的力偶，称为力偶系。

合成：代数和

M=m

平衡：

M=m=03.合力矩定理（1）定理表述

合力对某点的矩等于分力对同点之矩

的代数和。（2）公式

mA(R)=

mA(F)

例1.2计算各力对A点之矩之和解：利用合理矩定理

MA

=-(40sin30)3.2+(53.2)1.6=-64+25.6=-38.4kN.m(顺时针)30

3.2m5kN/m40kNAB4.常见分布力系的合力

大小=面积，作用点=形心

（1）均布线荷载（2）三角形荷载（3）梯形荷载qlqll/2ql/2ql/32l/35.平行移轴定理（1）定理内容一个力可在作用面内平行移动到任一点，结果为一个力（作用于新点），和一个附加力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对新点的矩。FAFABM=mB(F)ABFFF（2）适用条件刚体不考虑变形影响时的变形固体例1.3柱上压力100kN，作用点偏心

0.15m，求向中心移动的结果。解：力作用于中心：100kN附加力偶：M=100×0.15=15kN.m100kN100kN15kN.m1.4杆件变形的基本形式1.变形参量（1）线变形：长度的改变（伸长、缩短）

线应变(linearstrain)

单位长度的伸长或缩短定义为线应变，又称正应变（normalstrain）l

lPP（2）角变形：角度的变化

角应变（angularstrain）

直角的改变量（弧度）为角应变，或切应变（shearstain）。

2.杆件基本变形（1）拉伸（压缩）（tensionorcompression）（2）剪切（shear）l

l（3）扭转（torsion）（4）弯曲（bending）

TheEndCivilEngineering

CivilEngineering,theoldestoftheengineeringspecialties,istheplanning,design,construction,andmanagementofthebuiltenvironment.Thisenvironmentincludesallstructuresbuiltaccordingtoscientificprinciples,fromirrigationanddrainagesystemstorock-launchingfacilitiesCivilEngineersbuildroads,bridges,tunnels,dams,harbors,powerplants,waterandsewagesystems,hospitals,schools,masstransit,andotherpublicfacilitiesessentialtomodernsocietyandlargepopulationconcentrations.Theyalsobuildprivatelyownedfacilitiessuchasairports,railroad,pipelines,skyscrapers,andotherlargestructuresdesignedforindustrial,commercial,orresidentialuse.ThewordcivilderivesfromtheLatinforcitizen.In1872,EnglishmanJohnSmeatonusedthetermtodifferentiatehisnonmilitaryengineeringworkfromthatofthemilitaryengineerswhopredominatedatthetime.Sincethen,thetermcivilengineeringhasoftenbeenusedto

refertoengineerswhobuildpublicfacilities,althoughthefieldismuchbroader.土木行业建造分类一级建造师执业资格考试分14个专业A.房屋建筑工程B.公路工程C.铁路工程D.民航机场工程E.港口与航道工程F.水利水电工程G.电力工程H.矿山工程I.冶炼工程J.石油化工工程K.市政公用工程L.通信与广电工程M.机电安装工程N.装饰装修工程变形固体基本假定1.均匀性2.连续性3.各向同性4.小变形（另:大变形

非线性）材料性能1.弹性：完全弹性+部分弹性2.塑性力系分类1.占据位置（1）平面力系（coplanarforcesystem）（2）空间力系（spacialforcesystem）2.空间方位（1）汇交力系（concurrentforcesystem）（2）平行力系（parallelforcesystem）（3）一般力系（generalforcesystem）

结构计算简图1.作计算简图的过程（1）取脱离体（2）实际结构简化（3）画受力图2.简化内容（1）结构简化：空间

平面，构件

轴线2.1计算简图

（2）支座简化：约束与反力（3）荷载简化3.计算简图将实际受力结构用简化的杆件、支座和荷载图示表示出来的模型，称为结构的计算简图。qP2P12.2约束与约束反力1.概念（1）约束：对物体某些运动的限制，称为该物体的约束。约束是由其他物体来实现的。（2）反力：约束对物体的作用力，就是约束反力，简称反力。其方向总是和限制物体的运动方向相反。2.常见约束及其反力（1）柔绳

限制:

物体沿绳子方向离开

反力:物体受拉,沿绳的方向GGS1S2

（2）光滑接触

限制:

沿法线方向进入

反力:

方向：公法线,物体受压GR3R2R1G

（3）结构支座

a.

连杆支座限制连杆方向的位移反力沿连杆，指向待定b.可动铰支座（辊轴）限制垂直于滑动面方向的位移反力垂直于支承面类似于连杆支座RRR

c.

固定铰支座限制：水平移动+垂直移动反力：水平反力+垂直反力简化：正交二连杆（正交二力）推广：中间铰（销）RxRyRxRyYX

d.

固定支座限制：移动+转动反力：力+力矩实例：阳台挑梁qqXYM（4）连接节点

铰接节点：特点—各杆件可绕其自由转动无摩擦受力—只传力，不传力矩

刚接节点：特点—各杆件间无相对转动受力—传力，传力矩铰接节点刚接节点2.3工程结构分类1.构件尺寸类型（1）杆件（2）板件：平板薄壳（3）实体2.结构分类（1）计算方法分静定结构超静定结构（2）几何性质分杆件结构薄壁结构实体结构（3）结构性能分

平面结构空间结构3.平面结构（1）梁直线杆件受弯构件（2）拱曲线杆件（结构）推力结构受压为主（3）桁架直线构件铰接仅受轴向力作用（4）刚架杆件刚接受弯+剪+轴力（5）组合结构桁架+梁=桁梁组合拱+梁=拱梁组合拱+吊杆=提篮拱拉杆+梁=斜拉结构

……（6）悬索结构索受张，需锚固塔柱梁等配合4.空间结构（1）拱券结构（2）穹顶结构（3）网格结构（4）悬索结构（5）膜结构（6）组合结构2.4荷载分类1.依据作用时间久暂分（1）永久荷载（permanentload）在结构使用期间，其值不随时间变化，或其变化与平均值相比可以忽略不计，或其变化是单调的并能趋于限值的荷载。

结构自重，土压力，预应力基础变位影响力混凝土收缩及徐变影响力水的浮力（2）可变荷载（variableload）在结构使用期间，其值随时间变化，且其变化与平均值相比不可以忽略不计的荷载。

楼面活荷载，风荷载，雪荷载，吊车荷载汽车荷载，列车荷载（3）偶然荷载（accidentalload）在结构使用期间不一定出现，一旦出现，其值很大且持续时间很短的荷载

爆炸力地震作用船只等漂浮物的冲击力2.按作用位置是否变动分（1）固定荷载（fixedload）（2）移动荷载（movableload）3.按荷载性质分（1）静力荷载（staticload）（2）动力荷载（dynamicload）4.按作用面积分（1）分布荷载：体荷载，面荷载线荷载（2）集中荷载2.5受力分析及受力图1.概念（1）研究对象：被隔离出来的物体（2）受力图：在研究对象上画出全部主动力和约束反力，这样的图形称为受力图。（3）受力分析：作受力图的过程2.作受力图的步骤（1）选取研究对象（取脱离体）（2）画主动力（已知力）（3）根据约束类型，画出反力（4）检查是否画错？是否遗漏例2.1作图示三铰拱各杆受力图解：作法1

作法2PRAxRAyRCxRCyRBxRByPRARCRBBACP例2.2图示多跨静定梁，作整体和各构件之受力图解：先整体CBSCMARAxRAyqPDACBPq

后部件（构件）MARAxRAyqSCPRByRByRBxRBxATheEnd空间结构拱券结构

南京无梁殿

1381年修建砖石拱券

罗马竞技场径向拱+环向拱公元75–80年建造穹顶结构

罗马万神殿古罗马早期建造，跨度43.5m

巴黎陈列厅

1959建成钢筋混凝土薄壳平面呈三角形,每边长218m，矢高48m

网格结构

杆件通过铰接节点按一定几何规律连接而成的空间结构称为网格结构。平者为网架，曲者为网壳

网架结构上海师范学院球类房，平面31.5m

40.5m北京首都体育馆，99m

112.2m网壳结构1993，福岗体育馆：

直径222m，最大球面壳可开启结构

悬索结构

体育场馆1953，美国雷里体育馆，鞍形正交索网，第一座索网建筑。1961，北京工人体育馆，直径94m。1983，加拿大卡尔加里体育馆，直径135m。雷里体育馆

侯机楼

1962，华盛顿杜勒斯机场侯机楼膜结构

丹佛国际机场侯机楼——张拉膜结构

平面尺寸67mX305m17个连成一排的双支柱帐篷式单元组成

上海体育场——骨架支承膜结构

1997年竣工看台挑篷为钢骨架支承膜结构，覆盖面积36100m2

。容8万人组合结构

索穹顶结构—汉城体育馆索杆预应力张拉整体穹顶，支承于周边受压环梁

索杆膜混合体系—伦敦千年穹顶

桅杆塔柱，钢缆绳，膜面。跨度320m。汉城体育馆荷载转化1.梁板体积荷载（自重）转化为线荷载线荷载集度=重度

横截面面积

250500钢筋混凝土梁自重为例

gk=250.2500.500=3.125kN/m2.楼板面积荷载转化为线荷载线荷载集度=面积荷载集度

板宽桥梁人行道宽21.5m，人群荷载3.5kN/m2qk=3.5

21.5=10.5kN/m

几何组成分析1.体系（1）几何不变体系

不考虑材料变形，几何形状和位置保持不变的结构体系=几何不变体系。3.1引言PP（2）几何可变体系

在很小荷载作用下，结构几何形状和位置发生改变（发生机械运动）的结构体系=几何可变体系。这种体系又称为机构。土木工程上不允许将结构设计成几何可变体系机械工程中涉及机构设计与分析（3）几何瞬变体系

几何可变体系的一种。在微小干扰下，瞬时可发生微小几何变形，其后不再继续发生几何变形的体系。被动使用：返回2.几何分析（1）概念

判断结构是否几何不变的过程，称为几何组成分析或机动分析、几何构造分析。（2）刚化

刚体（rigidbody）：不考虑材料变形，构件看成刚体

刚片：对于平面体系，可把刚体简化为刚片3.2计算自由度1.相关概念（1）自由度结构体系运动时用来确定其空间位置的独立坐标数目=自由度（freedegree）

平面点=2自由度刚片=3自由度

（2）联系能减少1个自由度的装置，称为一个联系。

链杆为1个联系（3）铰

单铰连接两个刚片的的铰称为单铰，它相当于两根链杆，即两个联系。

复铰

连接两个以上刚片的铰，称为复铰。如果连接n个刚片，则相当于n-1个单铰，即2(n-1)个链系。3自由度1xy3自由度111xy

虚铰连接两刚片的两根链杆，其作用相当于在其交点处的一个单铰，称这种铰为虚铰。（4）二元体

两根不在同一直线上的链杆连接一个新节点的构造，称为二元体。二元体虚铰o2.计算自由度（1）刚架（或桁架组合）设刚片数为m，单铰数为h，支座；链杆数为r，则体系计算自由度W为

W=3m–(2h+r)

图示结构，m=8，h=10，r=4，W为

W=38–(210+4)=0（2）桁架设j为节点数，b为杆件数，r为支座链杆数，则计算自由度为

W=2j–(b+r)

图示桁架，j=6，b=9，r=3，算自由度为

W=26–(9+3)=0

3.计算自由度的作用结构体系是否几何不变的必要条件（1）W0，几何可变（缺少足够的联系）（2）W=0，具有成为几何不变所必需的最少联系数目，是否不变体系不能确定（3）W0，具有多余联系，是否是不变体系，不能确定

图示桁架，尽管有W=0，但因其一部分有多余联系（上部），而另一部分又联系不足（下部为平行四边形），故仍然是几何可变结构。

W0，只是几何不变的必要条件，而非充分条件也！3.3几何不变体系简单组成规则1.两刚片组成规则情况1：两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联，为几何不变体系。情况2：两个刚片用三根不完全平行也不交于同一点的链杆相联，为几何不变体系。2.三刚片组成规则三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相联，为几何不变体系。

若三铰共线，会形成几何瞬变体系三角形三铰拱3.二元体规则增加二元体：在一个刚片上增加一个二元体，仍为几何不变体系。

用于构造桁架（从铰结三角形开始，依次增加二元体）=简单桁架去掉二元体：去掉二元体，不影响体系的几何稳定性。

用于对桁架作几何分析……例3.1桁架结构几何分析（1）图a所示桁架几何可变。简单桁架与大地之间的连接：三根链杆交于一点图a（2）图b所示桁架

几何不变，无多余约束。图b（3）图c所示桁架

符合三刚片规则（A、B、C三铰不共线），故桁架几何不变，且无多余联系。图cIIIABCIII

依次拆除二元体，如右图所示。

支座链杆只有三根，不平行也不交于一点，大地与结构之间符合两刚片规则，去掉支座链杆，分析结构本身，右上图所示。（4）图d所示结构

从左下角开始，依次拆除二元体，结构如右下图所示，图d剩下二元体之两杆在同一线上，故几何瞬变体系。（2）下图梁桁组合结构几何不变，有一个多余约束例3.2梁几何分析（1）图示多跨梁

几何不变，有多余约束（多2个联系）例3.3刚架几何分析（1）图a结构几何瞬变结构（2）图b结构三铰刚架，增加二元体，几何不变，无多余约束图a图b3.4几何构造与静定的关系1.基本结论（1）静定结构：几何不变，无多余联系（2）超静定结构：几何不变，有多余联系（3）不定结构：几何可变，联系不够2.超静定结构次数多余联系的个数，就是超静定次数带柱支撑的阳台梁，1次无铰拱：3次负值计算自由度的绝对值，就是超静定次数例3.4确定图示结构的超静定次数解：已知刚片数m=3，单铰数h=4，支座数r=9，则体系计算自由度为

W=3m–(2h+r)=33-24+9）

=-8故结构为8次超静定3.实际工程结构（1）几何不变结构（2）静定结构（少量）简支梁（梁式桥、吊车梁）悬臂梁（挑梁）三铰拱三铰刚架简单桁架（3）超静定结构（大量）房屋结构（框架、框剪）911大楼高耸结构：电视塔冷却塔东方明珠火电厂双曲冷却塔大体积结构：水坝重力坝双曲拱坝二滩双曲拱坝桥梁结构：拱桥（上承式、中承式、下承式）连续梁桥（城市高架桥）刚构桥斜拉桥悬索桥成都城南立交桥夜景TheEnd

平面力系平衡条件1.平行移动（1）任意选择一点o（简化中心）（2）每个力向o点移动

力+力偶4.1力系简化o2.平移结果（1）共点力系（汇交力系）（2）力偶系3.合成结果（1）共点力系：主矢R

（2）力偶系：主矩MoRMo

可能的情况

R=0，Mo0：力偶系

R

0，Mo0：合力且d=M0/R，反转

90

方向量取dR

0，Mo=0：合力

R=0，Mo=0：平衡RMooRod4.2平衡方程（充要条件）1.平衡方程（1）基本方程或

三个方程可求解三个未知量。

（2）二矩式（3）三矩式

存在漏洞

存在漏洞ABCFxyABFAB连线不垂直于y

轴A、B、C三点不共线2.特殊情况（1）汇交(共点)力系（2个方程）（2）平行力系（2个方程）

（3）力偶系（1个方程）或

例4.1求图示梁的支反力解：属于平行力系

mA(F)=0：RB

3-1202=0

mB(F)=0：-RA

3+1201=0

解得

RA=40kN，RB=80kNBRA120kNA2m1mRB例4.2图示拉线，试计算张力。解：平面汇交力系以索为研究对象，受力如图所示

P

P

T1T2解得当

0时，T1=T2

，绳必断，故线绳不可能拉直。例4.3求压榨机之增力倍数解：（1）对AP

ABCDP

AF1F2解得（2）对C

受力如图P

ABCDC

F1FcFDC所以FDC的反作用力，即为作用在物体D上的力。力的放大倍数为1/(2tan

)，如下表所示。()12345678910放大倍数28.714.39.57.25.74.84.13.63.22.8什么情况下不能放大，反而减小？例4.4压路机越过台阶时过轮心的水平拉力应为多少？已知碾子重Q=20kN，半径r=40cm，台阶高h=8cm解：碾子为研究对象，受力如图

FBQFFAAByx临界状态FA=0，所以kN例4.5求图示二结构之支座反力（1）小题2kN3m3m2m2m2mABC解：ABC为研究对象，受力如图FAFBFCkN解：结构AB为研究对象，受力如图（2）小题50kN4m4m3m5mAB20kN/mXAYARB解得：XA=50kN

YA=48.75kNRB

=111.25kN4.3物体系统平衡1.物体系统（1）物系：几个物体通过一定的约束连接在一起，共同受力，称为物体系统，简称物系（2）平衡：n个物体，3n个方程2.求解方法（1）先整体，后部分拆件（2）拆件法例4.6梯子置于光滑地面上，不计自重，求绳的拉力S解：先整体，后部分拆件（1）整体为研究对象haLABC

PFBFC解得（1）（2）AB为研究对象，受力如图所示A

BhFBSXAYA

因不需要求A铰反力，所以仅对A点取矩平衡就可得到绳之张力由此得（2）将（1）式代入（2）式，得：解：利用拆件法，将梁从C铰拆开，分别研究梁ABC和梁CD例4.7多跨静定梁，求支反力已知q=10kN/m，m=40kN.mDmBC2m2m2m2mqA（1）梁CD

采用二矩式，可避免解联立方程mCD2m2mqFCRD分别解得kNkN（2）梁ABC

平行力系，仍可采用二矩式ABC2m2mqFCRBRA解得kNkN4.4有摩擦时的平衡1.滑动摩擦（1）静滑动摩擦力物体有运动趋势时，接触面有阻碍其运动的力，称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力或摩擦力。摩擦力的方向与运动趋势相反，其大小由平衡方程确定。摩擦力Ff正压力NF（2）摩擦机理机械说=凹凸说，粗糙说电子说：吸附（比如块规）（3）库伦摩擦定律最大静摩擦力与正压力N成正比，即

Ffmax=

fN

其中

f

称为静摩擦因数（系数），与接触面的材料有关。摩擦力Ff在一个范围内取值

0

Ff

Ffmax=

fN（4）动滑动摩擦物体发生运动时，所受到的摩擦阻力（与运动方向相反）称为动摩擦力，它也与正压力成正比

Fd

=

N

动滑动摩擦因素

一般小于静滑动摩擦因素，随相对滑动速度的增大而减小，当速度变化不大时，可以认为

时是常数。2.摩擦角（1）摩擦角的概念最大摩擦力时，全反力与接触面法线之间的夹角，称为摩擦角。用

表示。（2）自锁现象主动力与接触面法线间的夹角为

，若

则物体任何时候都处于平衡状态，这一现象称为自锁。FfmaxNPR

螺旋千斤顶自锁工程稳定方面砂石自然堆积角边坡稳定坡角自锁的应用测定摩擦系数斜面逐步倾斜，将滑未滑的临界状态，测斜面倾角，可算出摩擦系数（因素）

（2）滚动摩擦力矩

滚动摩擦力矩的最大值与正压力成正比

Mfmax=

N

称为滚动摩阻系数，具有长度的量纲3.滚动摩擦（1）滚动摩擦的概念

物体滚动时受到的阻碍，称为滚动摩擦。机理在于：接触面的相互变形反力作用点发生变化FfN

4.考虑摩擦时的平衡问题（1）摩擦力的方向与物体相对运动趋势的方向相反图a所示：水平力较小，有下滑趋势，摩擦力向上较小水平力图a较大水平力图b图b所示：水平力较大，有上滑趋势，摩擦力向上（2）由于摩擦力是一个不确定值，所以有摩擦时平衡问题的解也是不确定的，只能得到一个范围。（3）在临界状态下，摩擦力为定值，这时可列出补充方程

Ffmax=

f

N

得到的结果为上限或下限。是上限还是下限，可根据实际情况按经验判断，也可通过解不等式的方式作出结论。（2）以砂土为研究对象，受力如图例4.8砂土边坡的稳定条件（内摩擦角

）解：（1）关于边坡坡顶、坡面、坡脚坡高H、坡角

H

GNFyx解得稳定条件所以即：

只要坡角不超过砂土的内摩擦角，土坡就稳定，而与坡高无关。例4.9砖夹提砖问题图示砖夹，砖重Q=120N，砖夹与砖间摩擦系数0.5，问距离b多大才能把砖夹起？解：

首先以整体为研究对象，计算提砖力P解得N9.5cmABCDGb25cm3cm3cmQP其次以砖为研究对象，受力如图所示所以得NFAD25cmQNAFDNDA9.5cmBGb3cmPNAFAXGYG最后以AGB为研究对象，受力如图所示补充方程：由此得即

b

11cmTheEnd

空间力系平衡条件1.空间力矢量（1）力在空间的表示5.1空间力和力矩

z

Fxy

z

Fxy（2）力在坐标轴上的投影

一次投影法

X=Fcos

Y=Fcos

Z=Fcos

反之，如果已知三个投影，则可求力的大小和方向

z

FxyZXY二次投影法

Fxy=Fsin

X=Fxy

cos=Fsin

cos

Y=Fxy

sin=Fsin

sin

Z=Fcos

（3）空间力矢量

F=X

i+Yj+Zk

z

FxyFxyZYX2.力对轴之矩（1）基本现象

力作用线通过z

轴，则对该轴的力矩为零力作用线平行z轴，则对该轴的力矩为零odzF（2）力对轴之矩平面力对点o之矩

mo(F)=

Fd

就是对过o点的轴z之矩

空间力可以分解为平行轴的力和垂直于轴平面内的力，而前者对轴之矩为零，故

mz(F)=

Fxy

d

力对轴的矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，是个代数量，其大小等于力在垂直于轴的平面内的分力的大小（投影）和它与轴间的垂直距离的乘积，其正负号按右手规则决定。（3）合力矩定理

力系若存在合力R，则合力对某轴之矩等于诸分力对该轴之矩的代数和

mz(R)=mz(F1)+mz(F2)+……+mz(Fn)=

mz(Fi)例5.1

图示正方形边长为a，求P、Q二力分别对轴的投影和力矩解：对P

力投影QoxyzP力矩对Q力投影：利用二次投影法QoxyzP力矩5.2平衡条件1.一般情况（1）力系简化结果

主矢R：三个投影（三个分力）

主矩M：三个分量（对x、y、z轴之矩）（2）平衡方程主矩为零：主矢为零：2.特殊情况（1）空间汇交力系（2）空间平行力系

设力系平行于z轴，则xyz例5.2汇交力系平衡

P=1000N，AB、AC等长且互相垂直，B、C、D处为铰接，求各杆所受的力。解：取A点为研究对象，受力如图。SDP45

ABCDo30

xyzSBSC解得：NN5.3物体的重心和形心1.平行力系中心由合力矩定理——对y轴取矩同理xyzycCxcoRP1P2PnPi2.物体重心重心乃重力作用中心，宜属平行力系。（1）基本公式（2）积分公式设物体的重度（容重）为

，取Pi=

Vi

或Pi=dV，则有Pi

Vizxy重心和质心重合。（3）重心求法积分法：依据前述公式积分悬挂法：两次悬挂，铅垂线的交点即重心位置称重法：称总重量简支物体称一支点重量xclPBANB3.物体形心几何中心，称为形心。（1）三维物体形心匀质物体重心、质心和形心三者重合。（2）二维物体

对于厚度均匀的薄板V=At，则有（3）平面图形的形心积分法：ycoxyyxdAcxc组合法：

图形分块，已知各块面积和形心，按下式计算总面积和整体形心C(xc,yc)oxy对称法：形心具有对称性，形心一定在图形的对称线上例5.3求图示图形的形心（单位：cm）解：图形上下对称，yc=70cm图形分块求形心的x坐标：法1：三块矩形C(xc,yc)oxy402020100100100IIIIIIcm法2：二块矩形（负面积）C(xc,yc)oxy402020100100100IIIcm例5.4求图示半径为R的半圆的形心位置解：（1）对称关系知：xc=0（2）计算形心y坐标取极坐标oRxyTheEnd

拉压杆及受扭杆内力1.内力（internalforce）（1）内力定义外力引起物体内部质点之间的相互作用力，称为内力（2）求内力方法

——截面法截去代平PPPN6.1内力的概念

（3）内力分量轴力(axialforce)N

剪力(shearforce)V：Vy、Vz

扭矩(torque)T

弯矩(bendingmoment)M：My、MzxyzNVyVzMyMzTNVMx2.内力图（1）目的

1）直观判断危险截面

2）可用来求变形

3）用于求解超静定问题（2）作法横坐标——杆件轴线纵坐标——内力内力x29201876.2轴向内力1.承受轴力作用的构件（1）杆件类桁架各杆件（弦杆、腹杆）网格各杆件受压柱砌体墙（2）柔索类只能承受拉力2.轴力与轴力图（1）轴力图横坐标——杆件轴线纵坐标——轴力（拉+）（2）杆段微分关系

设杆段上有分布轴力，线荷载集度为n(x)，则dx微段平衡有xNNN+dNn(x)dx（3）任意截面上的轴力F1F2F3F4F5F1F2NNF3F4F5取左半段平衡取右半段平衡轴力=截面以左外力之和（左指为正）=截面以右外力之和（右指为正）例6.1作图示杆件轴力图（单位kN）解：分三段3131N1=3N2=3-1=2N3=-1xN-321+IIIIII例6.2作边长1.2m的正方形受压柱的轴力图（容重=25kN/m3）解：（1）先写内力函数(压力)

40kN5mxN(x)（2）作图xN40220kNN(x)=40+251.21.2x=40+36x

6.3扭矩及扭距图1.外力特点（1）外加转矩（力矩），自平衡（2）沿轴线方向（右手）2.外转矩m（1）已知力偶矩（2）已知力F，力臂h

m=Fhmmx（3）已知功率和转速设功率为P（power），转速为n

，则有d

m所以当Pk

(kW),n(r/min)N.m当Ph(horsepower马力),n(r/min)N.m3.扭矩（1）符号规则右手法则，与截面外法线一致者为正（2）扭矩T

T=m=截面以左外转矩之和（左指为正）

T=m=截面以右外转矩之和（右指为正）mmxmxT（3）扭矩图xT例6.3作图示杆件扭矩图解：1800N.m5000N.m2000N.m1200N.mT(N.m)x180032001200例6.4作扭矩图轴之转速1000r/min，B处输入功率20kW，A、C轮输出分别为12kW和8kW。解：（1）外转矩ABCN.mN.m（2）扭矩图xT(N.m)114.5976.39TheEnd

静定梁的内力（2）纵向对称面竖向对称轴的集合=纵向对称面7.1平面弯曲的概念1.纵向对称面（1）截面竖向对称轴轴线对称轴2.荷载和变形特征（1）荷载特征

横向荷载、力偶作用于纵向对称面内（2）变形特征

直的轴线变成曲线变形后的轴线位于荷载平面=平面弯曲

简支梁(simplysupportedbeam)

外伸梁(overhangingbeam)

悬臂梁(cantileverbeam)（2）多跨静定梁多根梁按几何不变组成规则连接构成3.静定梁分类（1）基本静定梁7.2剪力和弯矩1.剪力和弯矩符号（1）剪力绕脱离体顺时针转者为正

左上右下V为正（2）弯矩下部纤维受拉者为正

左顺右逆M

为正+V+M2.任意截面的V、M

截面法截断梁，分左右两段，每段都可能有向上、向下的力F右下F左上F左下F右上F左上F左下VM（1）取截面以左Y方向平衡，对截面形心取矩平衡得到（2）取截面以右F右下F左上F左下F右上F左上F左下F右下F右上MVMV解得规律总结如下

（3）任意截面的剪力和弯矩规律

V=截面以左外力的代数和，

（+）

=截面以右外力的代数和，

（+）

M=截面以左外力对截面形心的矩，（顺+）

=截面以右外力对截面形心的矩，（逆+）

例7.1求图示梁截面1-1,2-2的内力解：支座反力

R1=60kN

R2=30kN内力

V1-1=R1=60kN

M1-1=R13=180kN.m

V2-2=-R2=-30kN

M2-2=R26=180kN.m3m6m90kN1122R1R27.3剪力弯矩图1.内力函数梁的内力和截面位置x有关（1）剪力函数V=V(x)（2）弯矩函数M=M(x)2.内力图（1）V图：+值画上面（2）M图：画受拉侧—+值在下，-值在上xVMx3.V、M图基本作法（1）求支座反力（2）分段写内力函数因为内力是由外力引起的所以根据外力分段（3）作图由V(x)作剪力图由M(x)作弯矩图

图上标注关键点的值例7.2作图示梁的弯剪图解：首先求支座反力解得写内力函数xRARBlqBA作图MxVql/2ql/2xql2/8例7.3简支梁受力如图，作弯剪图解：支座反力RA=RB=P分段写内力函数共分三段PaPbRARBaaPABCDx1x2x3AC：CD：BD：分段作图xVPPxM纯弯曲横力弯曲集中力的影响CA：V=-P

M=Px2–1.5Pa

分段作图例7.4作悬臂梁的V、M图解：从自由端开始，就不需求反力梁分两段BC：V=-P

M=Px1m=1.5PaABCabPP(b-1.5a)xPxVMPa0.5Pa集中力偶对图形的影响x1例7.5求施工中梁的吊点位置解：基本要求是使吊点负弯矩与跨中正弯矩

相等一般采用双吊点起吊aalqql/2ql/2条件解得问题：单吊点起吊，吊点应该在何处？7.4内力和荷载之内在关系1.微积关系（1）微分关系微段dx平衡qdxVV+dVM+dMMBA得到（2）积分关系略去无穷小量，最后得例7.5利用微积分关系（建筑师考题）梁上无集中力偶作用，剪力如图所示，则梁上的最大弯矩为（）

A.4qa2B.-3.5qa2

C.2qa2D.-3qa2

qa2qa2qaqa2a2a3aaa问题：荷载图如何？？2.荷载对图形影响（1）梁段无荷载q=0

V

图水平线

M图斜直线（2）均布荷载q(

)

V

图直线（下斜）

M图抛物线（下凸）VMV=0M极值

（3）集中力P作用处

V

图不连续，突变P

M图转折（连续，但不光滑）PPVM

（4）集中力偶m作用处

V

图不受影响

M图不连续，突变量m。自左至右

m

顺时针，M

图向下突变

m

逆时针，M

图向上突变mmmm3.对称性（支座对称）（1）荷载对称

V

图反对称（中点V=0）

M

图对称（2）荷载反对称

V

图对称

M

图反对称（中点M=0）例7.6作图示外伸梁的V、M图解：支座反力2m1m3m10kN/mABCD20kNRARBkNkN作剪力图V10kN1020MkN作弯矩图kN.mkN.m10kN.m20例7.7单项选择题下列四个静定梁的荷载图中，（）可能产生图示弯矩图。qAmPCmqBmPDmM7.5多跨静定梁的剪力和弯矩图1.多跨静定梁内力图（1）中间铰从中间铰处断开，按单跨静定梁分析。中间铰：V

0；M=0

（2）内力图作法梁分段，计算分段交接点处剪力、弯矩剪力图连直线弯矩图连直线（q=0），或叠加抛物线或叠加三角形2.梁段上有均布荷载时的弯矩（1）弯矩函数设已知端点的弯矩值MA、MB

。q得任意截面弯矩xMBMAVAVBl

（2）梁段AB有均布荷载q时M图作法

q=0：由MA和MB作直线

MA=MB=0：由q

作抛物线叠加前面两个图得结果ABMAMBql2/8ABql2/8ql2/8-(MA+MB)/2MAMB图形依据端点弯矩的不同，有多种可能性3.梁段上有集中荷载时的弯矩与均布荷载时进行相同的分析，可得PABCDlabMBMc若集中力作用在跨中间，则例7.8作梁之V、M图qa2aCABqaqaq0.5qa2V2qaqa1.5qa2M例7.9图示梁弯矩图中，中支座的负弯矩值为（）

A.1.5qa2B.1.2qa2

C.1.6qa2

D.1.0qa2

q2a2aa解：中间铰反力qa数值为qa2，故答案为DM1例7.10作图示静定梁的V、M图解：C铰拆开，求支座反力

RD=YC=30kN

RA=25kN，RB=85kNDE60kNCRDYCAB20kN/mRBRACDE2m2m60kNAB4m2m20kN/m作图V255530kN30M60kN.mql2/8=4010极值点60极值点距A支座1.25m，大小为15.625CDE2m2m60kNAB4m2m20kN/mTheEnd

静定平面结构内力1.静定刚架分类（1）三铰刚架（2）简支刚架（3）悬臂刚架8.1刚架内力2.刚架内力（1）内力分量轴力N：拉为正剪力V：对脱离体取矩，顺时针转者+

弯矩M：内侧受拉者为正（2）内力图画法轴力画刚架的任意一侧，标明（+）（-）剪力画刚架的任意一侧，标明（+）（-）弯矩画在受拉侧（内侧+，外侧-）F1F2F1F2MNV

例8.1作图示刚架内力图解：支座反力

X=0：XA-43=0

XA=12kN

mA(F)=0：

RB2

-431.5=0

RB=9kNY=0：RB-YA=0YA=RB=9kN4kN/m3m2mABCDXAYARB内力图

节点平衡验算（1）C节点（2）D节点N图DABC+-9kN9kNABCV图-+D9kN12kNABCDM图184.518kN.m4kN/m3m2mABCD1299C991818D99例8.2作图示三铰刚架的弯矩图解：先求支座反力整体平衡ABCDE12kN246m12m12mXAYAYEXECDE平衡解得推力的概念弯矩和弯矩图杆端弯矩（铰A、C、E处为零）ABCDE12kN246m12m12m11021弯矩图1212kN.m81212例8.3改错图示结构，V图是正确的，改正N图中的错误。F+F+F/2--F/2V图N图--F2F正确N

图--1.5F3F三杆节点力平衡FF/21.5F四杆节点力平衡FF/21.5F3F改正N图FF8.2三铰拱内力1.关于拱结构（1）上下部结构组成（2）特征参数跨度(span)L

矢高(archrise)f

矢跨比f/L2.拱结构的受力特点（1）推力竖直荷载作用下水平反力称为推力H：支座承受拉杆承受（2）内力弯矩因推力而减小若处处弯矩为零，则拱轴线最合理主要承受轴向压力，故轴力以压为正剪力规定同前（3）拱结构分类支承分：三铰拱（静定）两铰拱（一次超静定）无铰拱（三次超静定）荷载位置分：上承式拱中承式拱下承式拱拱轴分：圆弧拱抛物线拱悬链线拱3.三铰拱内力（1）支座反力

垂直反力：分别对A、B取矩平衡可求得YA和YB，它等于对应简支梁的支座反力。

推力：左半拱对C取矩fLABCCABHxM0cHF1F2F1F2YAYBRARBa上式分子恰好等于对应简支梁C截面的弯矩，Mc0（2）内力先求对应简支梁剪力V0(x)

弯矩

M0(x)

后求拱内力N(x)=V0(x)sin+HcosV(x)=V0(x)cos-HsinM(x)=M0(x)-HyfLABCCABHxM0cHF1F2F1F2YAYBRARBa

y（3）合理拱轴线

一般条件

M(x)=M0(x)–Hy=0y=M0(x)/H

均布荷载

Mc0=qL2/8——抛物线例8.4求三铰拱指定截面内力欲求内力的截面为x=2、4、6、8m，拱轴线方程为ABCx1kNABC1kNxy8m8m4m解：所求截面均位于AC段内（1）相应简支梁（2）三铰拱结果列表x(m)02468y(m)0.0001.7503.0003.7504.000sin

0.7070.6000.44