人教版八年级数学下册尖子生培优必刷题 专题16.5二次根式的求值问题大题提升训练（重难点培优30题）（原卷版+解析）

专题16.5二次根式的求值问题大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．(2023春•灵宝市月考）若a=5+1，b（1）a2b+ab2；（2）a2﹣ab+b2．2．(2023秋•龙岗区期中）已知a＝2+6，b＝2−（1）填空：a+b＝，ab＝；（2）求a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）的值．3．(2023秋•宁德期中）已知：x=3+2（1）填空：|x﹣y|＝；（2）求代数式x2+y2﹣2xy的值．4．(2023秋•三水区期中）（1）计算（直接写结果）：(3+2)2=（2）把4+23写成（a+b）2的形式为（3）已知a=7−1，求代数式a2+25．(2023秋•重庆期中）（1）计算：18（2）已知：a=15+26．(2023秋•济南期中）已知x=23+1（1）对x，y进行化简；（2）求x2+xy+y2的值．7．(2023秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值x−yx+y+x−2xy8．(2023秋•锦江区校级月考）已知x＝2−3，y＝2+（1）求xy2﹣x2y的值；（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax+by的值．9．(2023秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x=2+1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根据x=2+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x请你用上述方法解决下面问题：（1）已知x=3−2，求代数式x2+4（2）已知x=5−12，求代数式x3+10．(2023秋•嘉定区月考）已知m=13+2，n=13−2，求m11．(2023秋•虹口区校级期中）已知a+b＝﹣4，ab＝1，求：aab+b12．(2023春•彭州市校级月考）已知x=17−5（1）xy；（2）x2+3xy+y2．13．(2023秋•海淀区校级期末）已知x=3+2，y=3−2，求x214．(2023秋•嘉定区校级月考）已知x=12−315．(2023秋•武侯区校级月考）已知a=2−12+1（1）a2﹣ab+b2；（2）ba16．(2023秋•安溪县校级月考）已知x=1①化简x和y．②求代数式x2y+xy2的值．17．(2023秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a=12+3．求2a2∵a=12+3=2−3∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简12（2）比较6−5（3）A题：若a=2+1，则a2﹣2a+3＝B题：若a=13−1，则4a2﹣43a18．(2023秋•榆树市月考）已知a＝4﹣23，b＝4+23．（1）求ab，a﹣b的值；（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．19．(2023秋•沈阳月考）已知：x=3+2（1）填空：|x﹣y|＝；（2）求代数式x2+y2﹣5xy的值．20．(2023秋•苏州期中）已知x=3−22，（1）x2﹣y2；（2）x2﹣2xy+y2．21．(2023春•阳新县期末）计算：（1）（2+2）2−8（2﹣3（2）化简求值：已知a=5−1，求22．(2023秋•洛宁县月考）学习了二次根式的乘除后，李老师给同学们出了这样一道题：已知a=2−1，求解：原式=(a−1)当a=2−1时，原式李老师看了之后说：小明错误地运用了二次根式的性质，请你指出小明错误地运用了二次根式的哪条性质，并写出正确的解题过程．23．(2023春•番禺区月考）已知x=3+1，y（1）x2+2xy+y2，（2）y24．(2023春•江汉区期中）（1）已知x=7+2，y①1x②x2﹣xy+y2；（2）若39−a2+5+25．(2023春•海陵区校级期中）当a=32时，化简求26．(2023秋•张家港市期末）已知：a−2（1）求14a（2）设x=b−a，y=27．(2023秋•东营区校级期中）求值：（1）已知a＝3+22，b＝3﹣22，求a2+ab+b2的值；（2）已知：y＞3x−2+2−3x+2，求28．(2023秋•灞桥区校级月考）已知a=13−2，b29．(2023春•藁城区校级期中）求代数式a+1−2a+a2（1）的解法是错误的；（2）求代数式a+2a2−6a+9的值，其中30．(2023春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如a与a，2+1与2−1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：23（1）请你写出3+11的有理化因式：（2）请仿照上面的方法化简1−b1−b（b≥0且（3）已知a=13−2，b=专题16.5二次根式的求值问题大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．(2023春•灵宝市月考）若a=5+1，b（1）a2b+ab2；（2）a2﹣ab+b2．【分析】（1）根据二次根式的加法法则、减法法则分别求出ab，a+b，再根据平方差公式计算；（2）根据完全平方公式计算．【解答】解：∵a=5+1，b∴ab＝（5+1）（5a+b＝（5+1）+（5−1）＝2（1）a2b+ab2＝ab（a+b）＝4×25＝85；（2）a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝（25）2﹣12＝20﹣12＝8．2．(2023秋•龙岗区期中）已知a＝2+6，b＝2−（1）填空：a+b＝4，ab＝﹣2；（2）求a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）的值．【分析】（1）根据二次根式的加法法则、乘法法则计算即可；（2）根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则把原式变形，代入计算，得到答案．【解答】解：（1）∵a＝2+6，b＝2−∴a+b＝（2+6）+（2−6）＝4，ab＝（2+6故答案为：4；﹣2；（2）a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）＝a2﹣3ab+b2+ab+a+b+1＝a2+2ab+b2﹣4ab+a+b+1＝（a+b）2﹣4ab+a+b+1＝42﹣4×（﹣2）+4+1＝16+8+4+1＝29．3．(2023秋•宁德期中）已知：x=3+2（1）填空：|x﹣y|＝22（2）求代数式x2+y2﹣2xy的值．【分析】（1）根据二次根式的减法运算法则计算即可．（2）将代数式转化为（x﹣y）2，再分别求出x﹣y和xy的值，进而可得答案．【解答】解：（1）|x﹣y|＝|（3+2）﹣（＝|3+=22故答案为：22（2）x2+y2﹣5xy＝（x﹣y）2，∵x﹣y＝（3+2）﹣（3−∴（x﹣y）2﹣3xy=(2即代数式x2+y2﹣2xy的值为8．4．(2023秋•三水区期中）（1）计算（直接写结果）：(3+2)2=11+62；(1−（2）把4+23写成（a+b）2的形式为（1+3）2（3）已知a=7−1，求代数式a2+2【分析】（1）用完全平方公式展开，再合并即可；（2）用完全平方公式可得答案；（3）将已知变形，可得a2+2a+1＝7，从而可得答案．【解答】解：（1）（3+2）2＝9+62+2＝11+62，（1−5）2＝1﹣25故答案为：11+62，6﹣25；（2）4+23=1+23+（3）2＝（1+3故答案为：（1+3）2（3）∵a=7∴a+1=7∴a2+2a+1＝7，∴a2+2a+3＝9．5．(2023秋•重庆期中）（1）计算：18（2）已知：a=15+2【分析】（1）先分母有理化，再相加合并同类二次根式；（2）将a的值分母有理化后代入计算即可．【解答】解：（1）原式=8−=8=2=2（2）∵a=1∴a2+5a−＝（5−2）2+5（5−＝5﹣45+4+55−10﹣（＝5﹣45+4+55−10＝﹣3．6．(2023秋•济南期中）已知x=23+1（1）对x，y进行化简；（2）求x2+xy+y2的值．【分析】（1）利用分母有理化即可；（2）先计算出x+y＝23，xy＝2，再根据完全平方公式得到x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1）x=2y=2（2）∵x=3−1，y∴x+y＝23，xy＝3﹣1＝2，∴x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝（23）2﹣2＝10．7．(2023秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值x−yx+y+x−2xy【分析】利用二次根式的相应的法则进行化简，再代入相应的值运算即可．【解答】解：x−y=(=x＝2x−2当x＝5，y=1原式＝25＝25=88．(2023秋•锦江区校级月考）已知x＝2−3，y＝2+（1）求xy2﹣x2y的值；（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax+by的值．【分析】（1）利用提公因式法，进行计算即可解答；（2）先估算出2−3与2+3的值的范围，从而求出a，【解答】解：（1）∵x＝2−3，y＝2+∴xy＝（2−3）（2+y﹣x＝2+3−（2−3）＝2+3−∴xy2﹣x2y＝xy（y﹣x）＝1×23＝23；（2）∵1＜3＜4，∴1＜3∴3＜2+3∴2+3∴b＝3，∵1＜3∴﹣2＜−3∴0＜2−3∴2−3的整数部分是0，小数部分＝2−3−∴a＝2−3∴ax+by＝（2−3）（2−3）+3（2＝7﹣43+6+3＝13−3∴ax+by的值为13−39．(2023秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x=2+1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根据x=2+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x请你用上述方法解决下面问题：（1）已知x=3−2，求代数式x2+4（2）已知x=5−12，求代数式x3+【分析】（1）仿照阅读材料解答即可；（2）把已知变形可得x2+x＝1，代入即可求出答案．【解答】解：（1）∵x=3∴x+2=3∴（x+2）2＝（3）2，∴x2+4x＝﹣1，∴x2+4x﹣5＝﹣6；（2）∵x=5∴2x+1=5∴（2x+1）2＝（5）2，变形整理得：x2+x＝1，∴x3+x2+1＝x（x2+x）+1＝x+1=5=510．(2023秋•嘉定区月考）已知m=13+2，n=13−2，求m【分析】先根据分母有理化化简m与n的值，然后利用配方法即可求出答案．【解答】解：由题意可知：m=3−23−4=2−∴m+n＝﹣23，mn＝（2−3）（−∴原式＝（m+n）2﹣3mn＝12﹣3×（﹣1）＝15．11．(2023秋•虹口区校级期中）已知a+b＝﹣4，ab＝1，求：aab+b【分析】根据题意确定a、b的符号，根据二次根式的性质、完全平方公式把原式变形，代入计算即可．【解答】解：∵a+b＝﹣4，ab＝1，∴a＜0，b＜0，则原式＝﹣a•abb−b=−ab•（a=−ab•a=−ab•(a+b＝﹣1×＝﹣14．12．(2023春•彭州市校级月考）已知x=17−5（1）xy；（2）x2+3xy+y2．【分析】（1）利用平方差公式进行运算即可；（2）利用完全平方公式及平方差公式进行运算即可．【解答】解：（1）xy=1=1=1（2）x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy＝（17−5＝（7+5+＝（7）2+＝7+＝71213．(2023秋•海淀区校级期末）已知x=3+2，y=3−2，求x2【分析】把所求的式子变形成（x+y）2+xy的形式，然后代入数值计算即可．【解答】解：原式＝（x+y）2+xy，当x=3+2原式＝（23）2+（3+2）（＝12+3﹣2＝14．14．(2023秋•嘉定区校级月考）已知x=12−3【分析】利用分母有理化把x的值化简，根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．【解答】解：x=12−3∴原式==1=1＝2−＝2−=3−15．(2023秋•武侯区校级月考）已知a=2−12+1（1）a2﹣ab+b2；（2）ba【分析】利用分母有理化把a、b化简，根据二次根式的加法法则求出a+b，根据二次根式的乘法法则求出ab；（1）根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；（2）根据分式的加法法则、完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案．【解答】解：a=2−12+1=(2−1则a+b＝3﹣22+3+22=6，ab＝（3﹣22）（3+2（1）a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝36﹣3＝33；（2）ba16．(2023秋•安溪县校级月考）已知x=1①化简x和y．②求代数式x2y+xy2的值．【分析】①利用分母有理化化简x和y；②先计算出x+y与xy的值，再利用因式分解法得到x2y+xy2＝xy（x+y），然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：①x=12+3y=12−3②∵x+y＝4，xy＝4﹣3＝1，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝1×4＝4．17．(2023秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a=12+3．求2a2∵a=12+3=2−3∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简12（2）比较6−5＞（3）A题：若a=2+1，则a2﹣2a+3＝B题：若a=13−1，则4a2﹣43a【分析】（1）根据分母有理化的方法化简即可；（2）先将16−5和17−（3）A题：由a=2+1，可得a﹣1=2，（a﹣1）2＝2，从而可得a2B题：由a=13−1，可得a=3+12【解答】解：（1）1=2=50=52（2）1617∵6+∴6−故答案为：＞；（3）A题：∵a=2∴a﹣1=2∴（a﹣1）2＝2，即a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴a2﹣2a+3＝4，故答案为：4；B题：∵a=1∴a=3∴2a−3∴(2a−3即4a∴4a∴4a2﹣43a+7＝5，故答案为：5．18．(2023秋•榆树市月考）已知a＝4﹣23，b＝4+23．（1）求ab，a﹣b的值；（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和二次根式的减法法则求出即可；（2）先分解因式得出原式＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b），代入后根据二次根式的运算法则进行计算即可．【解答】解：（1）∵a＝4﹣23，b＝4+23，∴ab＝（4﹣23）×（4+23）＝42﹣（23）2＝16﹣12＝4；a﹣b＝（4﹣23）﹣（4+23）＝4﹣23−4﹣2＝﹣43；（2）由（1）知：ab＝4，a﹣b＝﹣43，所以2a2+2b2﹣a2b+ab2＝2（a2+b2）﹣ab（a﹣b）＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b）＝2×[（﹣43）2+2×4]﹣4×（﹣43）＝2×（48+8）+163＝2×56+163＝112+163．19．(2023秋•沈阳月考）已知：x=3+2（1）填空：|x﹣y|＝22（2）求代数式x2+y2﹣5xy的值．【分析】（1）根据二次根式的减法运算法则计算即可．（2）将代数式转化为（x﹣y）2﹣3xy，再分别求出x﹣y和xy的值，进而可得答案．【解答】解：（1）|x﹣y|＝|（3+2）﹣（＝|3+=22故答案为：22（2）x2+y2﹣5xy＝（x﹣y）2﹣3xy，∵x﹣y＝（3+2）﹣（3−2）=22，xy∴（x﹣y）2﹣3xy=(2即代数式x2+y2﹣5xy的值为5．20．(2023秋•苏州期中）已知x=3−22，（1）x2﹣y2；（2）x2﹣2xy+y2．【分析】（1）将x、y的值代入到原式＝（x+y）（x﹣y）计算即可；（2）将x、y的值代入到原式＝（x﹣y）2计算即可．【解答】解：（1）当x=3−22，原式＝（x+y）（x﹣y）＝（3−22+＝2×（1−2＝2﹣22；（2）当x=3−22，原式＝（x﹣y）2＝（3−22＝（1−2）＝1﹣22+＝3﹣22．21．(2023春•阳新县期末）计算：（1）（2+2）2−8（2﹣3（2）化简求值：已知a=5−1，求【分析】（1）利用完全平方公式和二次根式的乘法法则运算；（2）先利用完全平方公式和二次根式的性质化简得到原式=a(a−1)|a−1|−（a【解答】解：（1）原式＝4+42+2﹣42＝18；（2）原式==a(a−1)|a−1|−∵a=5∴a﹣1=5∴原式=a(a−1)(a−1)＝a﹣a﹣4＝﹣4．22．(2023秋•洛宁县月考）学习了二次根式的乘除后，李老师给同学们出了这样一道题：已知a=2−1，求解：原式=(a−1)当a=2−1时，原式李老师看了之后说：小明错误地运用了二次根式的性质，请你指出小明错误地运用了二次根式的哪条性质，并写出正确的解题过程．【分析】小明错误运用了a2=|a|这条性质；利用a=2−1得到a﹣1＜0，则原式=−(a−1)【解答】解：小明错误运用了a2=|正确解法为：原式=(a−1∵a=2∴a﹣1＜0，∴原式=−=−1=−1=−223．(2023春•番禺区月考）已知x=3+1，y（1）x2+2xy+y2，（2）y【分析】（1）将所求式子因式分解得到x2+2xy+y2＝（x+y）2，再将已知代入即可；（2）化简所求式子得到yx【解答】解：（1）∵x=3+1，y∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（3+1+3−1）2＝（23（2）yx−x24．(2023春•江汉区期中）（1）已知x=7+2，y①1x②x2﹣xy+y2；（2）若39−a2+5+a2【分析】（1）①根据x=7+2，y=7−2，可以得到xy、②将所求式子变形，然后根据x=7+2，y=7−2，可以得到xy、（2）根据完全平方公式和换元法可以求得所求式子的值．【解答】解：（1）①1x∵x=7+2，y∴x+y＝27，xy＝3，当x+y＝27，xy＝3时，原式=2②x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy，∵x=7+2，y∴x+y＝27，xy＝3，当x+y＝27，xy＝3时，原式＝（27）2﹣3×3＝19；（2）设39−a2=x，5+a2=y，则39﹣a2＝x2，5+∴x2+y2＝44，∵39−a∴（x+y）2＝64，∴x2+2xy+y2＝64，∴2xy＝64﹣（x2+y2）＝64﹣44＝20，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝44﹣20＝24，∴x﹣y＝±26，∵39−a2−即39−a2−故答案为：﹣26．25．(2023春•海陵区校级期中）当a=32时，化简求【分析】根据二次根式的性质、分式的混合运算法则计算即可．【解答】解：∵a=3∴a﹣1＜0，∴原式==1−a=−1＝1．26．(2023秋•张家港市期末）已知：a−2（1）求14a（2）设x=b−a，y=【分析】（1）先利用非负数的性质得到a＝2，b＝3，则14a（2）由于x=3−2，y=【解答】解：（1）∵a−2+|b−3|=0∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，∴a＝2，b＝3，∴14a（2）∵x=b−a=∴1x+127．(2023秋•东营区校级期中）求值：（1）已知a＝3+22，b＝3﹣22，求a2+ab+b2的值；（2）已知：y＞3x−2+2−3x+2，求【分析】（1）根据a＝3+22，b＝3﹣22，代入（a+b）2﹣ab进行计算即可；（2）依据被开方数为非负数，即可得到x=23，进而得出y＞2，据此可得y2【解答】解：（1）∵a＝3+22，b＝3﹣22，∴a2+ab+b2＝a2+2ab+b2﹣ab＝（a+b）