中考数学几何模型专项复习 模型04 相交线与平行线-铅笔头模型-（原卷版+解析）

相交线与平行线模型（四）——铅笔头模型◎结论1：如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360°【证明】如图，过点O作OE//AB.∵AB∥CD,OE//AB//CD.∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°,∴∠B+∠1+∠2+∠C=360°，∴∠B＋∠BOC+∠C=360°.◎结论2：如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD.【证明】如图，过点O作EF//AB，则∠B＋∠1=180°，∵∠B+∠BOC+∠C=360°,∴∠C+∠2=180°,∴EF∥CD，又∵EF//AB，∴AB//CD.“异形”铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）拐点数：1拐点数：2拐点数：n1．(2023·全国·七年级）如图，已知，，，则的度数是（

）A．80°B．120°C．100° D．140°2．(2023·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（

）A． B． C． D．3．(2023·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为()A．55° B．60° C．65° D．70°1．(2023·湖南·新田县云梯学校七年级阶段练习）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．(2023·甘肃·北京师范大学庆阳实验学校七年级期中）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．3．(2023·全国·七年级）如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°则∠2的度数为___．4．(2023·江苏盐城·七年级期中）如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝___．1．(2023·江西赣州·七年级期中）根据下列叙述填依据．(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．解：过点F作所以∠B+∠BFE=180°（

）因为、（已知）所以（

）所以∠D+∠DFE=180°（

）所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）备用图：(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）2．如图，已知AB∥CD．（1）如图1所示，∠1+∠2＝；（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝；并写出求解过程．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝．相交线与平行线模型（四）——铅笔头模型◎结论1：如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360°【证明】如图，过点O作OE//AB.∵AB∥CD,OE//AB//CD.∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°,∴∠B+∠1+∠2+∠C=360°，∴∠B＋∠BOC+∠C=360°.◎结论2：如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD.【证明】如图，过点O作EF//AB，则∠B＋∠1=180°，∵∠B+∠BOC+∠C=360°,∴∠C+∠2=180°,∴EF∥CD，又∵EF//AB，∴AB//CD.“异形”铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）拐点数：1拐点数：2拐点数：n1．(2023·全国·七年级）如图，已知，，，则的度数是（

）A．80° B．120°C．100° D．140°答案:C分析过E作直线MN//AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠1，进而可求出∠2，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN//CD，根据平行线性质从而求出∠C．【详解】解：过E作直线MN//AB，如下图所示，∵MN//AB，∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，∵，∴∵MN//AB，AB//CD，∴MN//CD，∴∠C+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：C．【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．2．(2023·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（

）A． B． C． D．答案:C分析过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，∴=∠BCD+∠DCM=，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．3．(2023·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为()A．55° B．60° C．65° D．70°答案:C分析首先过点A作AB∥l1，由l1∥l2，即可得AB∥l1∥l2，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠4与∠5的度数，又由平角的定义，即可求得∠3的度数．【详解】解：过点A作AB∥l1，∵l1∥l2，∴AB∥l1∥l2，∴∠1+∠4=180,∠2+∠5=180，∵∠1=105,∠2=140，∴∠4=75,∠5=40，∵∠4+∠5+∠3=180，∴∠3=65.故选：C.【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.1．(2023·湖南·新田县云梯学校七年级阶段练习）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案:B分析①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可．【详解】解：①如图1，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故①错误；②如图2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正确；③如图3，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③错误；④如图4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正确；综上结论正确的个数为2，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．(2023·甘肃·北京师范大学庆阳实验学校七年级期中）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．答案:540分析过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答．【详解】过点E作，过点F作，如图，∵，，，∴，，∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案为：540．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线，是解答本题的关键．3．(2023·全国·七年级）如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°则∠2的度数为___．答案:150°##150度分析延长AB交l2于E，根据平行线的判定可得AB∥CD，根据平行线的性质先求得∠3的度数，再根据平行线的性质求得∠2的度数．【详解】解：延长AB交l2于E，∵∠α=∠β，∴AB∥CD，∴∠2+∠3=180°∵l1∥l2，∴∠3=∠1=30°，∴∠2=180°-∠3=150°．故答案为：150°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键．4．(2023·江苏盐城·七年级期中）如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝___．答案:分析过点O作，利用平移的性质得到，可得判断，根据平行线的性质得，，可得到，从而得出的度数．【详解】解：过点O作，∵直线a向下平移得到直线b，∴，∴，∴，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，过拐点作已知直线的平行线是解题的关键．1．(2023·江西赣州·七年级期中）根据下列叙述填依据．(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．解：过点F作所以∠B+∠BFE=180°（

）因为、（已知）所以（

）所以∠D+∠DFE=180°（

）所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）备用图：(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）答案:(1)两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补(2)见解析(3)分析（1）过点F作，得到∠B+∠BFE=180°，再根据、得到，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案；（2）类比问题（1）的解题方法即可得解；（3）类比问题（1）的解题方法即可得解．（1）解：过点F作，如图，∴∠B+∠BFE=180°（两直线平行，同旁内角相等），∵、（已知）∴（平行于同一直线的两直线平行），∴∠D+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°；故答案为：两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；（2）解：选图（2），∠D与∠B、∠F的数量关系为：∠BDF+∠B=∠F；理由如下：过点D作DC//AB，∴∠B=∠BDC，∵，，∴，∴∠CDF=∠F，∴∠BDF+∠BDC=∠F，即∠BDF+∠B=∠F；选图（3），∠D与∠B、∠F的数量关系：∠BDF+∠B=∠F过点D作，∴∠B=∠BDC，∵，，∴，∴∠CDF=∠F，∴∠BDF+∠BDC=∠F，即∠BDF+∠B=∠F∠BDF+∠B=∠F；（3）解：如图（4）所示，过点C作，过D作，∴，，∵，，∴，∴，∵，，∴．【点睛】本题考查根据平行线的性质探究角的关系和平行线公理推论的运用，熟练掌握平行线的性质和平行线公理推论的运用是解题的关键．2．如图，已知AB∥CD．（1）如图1所示，∠1+∠2＝；（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝；并写出求解过程．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝．答案:（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°分析（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；（4）由（2）（3）类比可得答案．【详解】解：（1