二次函数图象与性质（练习）（解析版）-中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第第页题型01判断函数类型1．（2022·北京房山·统考一模）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（

）A．正比例函数关系 B．一次函数关系C．反比例函数关系 D．二次函数关系【答案】D【分析】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，则可表示出y与x的函数关系，根据关系式即可作出选择．【详解】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，由题意得：y=16[2x这是关于一个二次函数．故选：D．【点睛】本题考查了列函数关系并判断函数形式，关键是根据题意列出函数关系式．2．（2023·北京东城·北京市广渠门中学校考模拟预测）用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与A．二次函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系C．二次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系【答案】D【分析】根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断．【详解】解：由题意可得：2x+2y=10，即：y=5−x，∴y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系，故选：D．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、矩形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．3．（2023·北京石景山·统考二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB=10．点P是CB边上一动点（不与C，B重合），过点P作PQ⊥CB交AB于点Q．设CP=x，BQ的长为y，△BPQ的面积为S，则y与x，S与x满足的函数关系分别为（

A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系【答案】A【分析】先求出∠A=∠B=45°，再求出BP=10−x，然后解Rt△BPQ得到PQ=10−x，BQ=210−x，进而得到y=−【详解】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB=10∴∠A=∠B=45°，∵CP=x，∴BP=BC−CP=10−x，∵PQ⊥CB，∴∠QPB=90°，在Rt△BPQ中，PQ=BP⋅tanB=10−x∴y=210−x=−∴y与x，S与x满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系，故选A．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等边对等角，列函数关系式，正确求出y=−2x+102题型02已知二次函数的概念求参数值1．（2023·四川南充·统考一模）点Pa,9在函数y=4x2−3的图象上，则代数式【答案】3【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出4a2=12【详解】解：∵点P(a,9)在函数y=4x∴9=4a∴4a则代数式(2a+3)(2a−3)=4a故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．2．（2020·陕西西安·西安市大明宫中学校考三模）已知二次函数y=m−1xm2−3【答案】−【分析】根据二次函数的定义及开口向下时m+1<0即可解答．【详解】根据题意得：m−1<0解得：m=−5故答案为：−5【点睛】本题考查的是二次函数的定义及性质，易错点是只考虑其次数是2，没有考虑开口向下时的性质．3．（2021·四川凉山·统考模拟预测）若y＝（m﹣1）x|m|+1+8mx﹣8是关于x的二次函数，则其图象与x轴的交点坐标为．【答案】（﹣2，0）【分析】首先根据二次函数的定义可知|m|+1＝2且m﹣1≠0，求出m的值并代入，再令y=0求出x的值，即可得出答案．【详解】∵|m|+1＝2，∴m＝±1．∵m﹣1≠0，∴m≠1，∴m＝﹣1，∴y＝﹣2x2﹣8x﹣8．当y=0时，x1=x2=-2，∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．【点睛】本题主要考查了二次函数的关系式，求抛物线与x轴的交点坐标，根据二次函数的定义求出m的值是解题的关键．题型03利用待定系数法求二次函数的解析式（一般式）1．（2021·广东广州·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c经过点−1,0、3,0，且与y轴交于点0,−5，则当x=2时，yA．−5 B．−3 C．−1 D．5【答案】A【分析】解法一：先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可．解法二：利用二次函数图象的对称性可知：x=2和x=0对应的函数值相等，从而得解．【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点−1,0、3,0，且与y∴c=−5a−b+c=0解方程组得c=−5a=∴抛物线解析式为y=5当x=2时，y=5故选择A．解法二：抛物线y=ax2+bx+c经过点−1,0∴抛物线的对称轴为：x=−1+3又∵0+22∴x=2和x=0的函数值相等，即均为−5，故选择A．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键．同时利用数形结合思想和对称性解题会起到事半功倍的效果．2．（2022·山东泰安·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标xx-2-101y0466下列结论不正确的是（

）A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x=C．抛物线与x轴的一个交点坐标为2,0 D．函数y=ax2【答案】C【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可【详解】解：由题意得4a−2b+c=0a−b+c=4解得a=−1b=1∴抛物线解析式为y=−x∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=12，该函数的最大值为令y=0，则−x解得x=3或x=−2，∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．3．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）已知函数y=−x2+bx+c（b(1)求b，c的值．(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．【答案】(1)b＝-6，c=-3(2)x＝－3时，y有最大值为6(3)m＝－2或−3−【分析】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝−x（2）先求出抛物线的顶点坐标为（-3，6），再由-4≤x≤0，可得当x＝-3时，y有最大值，即可求解；（3）由（2）得当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，然后分两种情况：当-3＜m≤0时，当m≤-3时，即可求解．【详解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝−xc=−3−36−6b+c=−3，解得：b=−6（2）解：由（1）得：该函数解析式为y＝−x2−6x−3∴抛物线的顶点坐标为（-3，6），∵-1＜0∴抛物线开口向下，

又∵-4≤x≤0，∴当x＝-3时，y有最大值为6．（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，∴当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，①当-3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为-3，当x＝m时，y有最大值为−m∴−m∴m＝-2或m＝-4（舍去）．②当m≤-3时，当x＝-3时，y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为-4，∴−(m+3)∴m＝−3−10或m＝−3+综上所述，m＝-2或−3−10【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．题型04利用待定系数法求二次函数的解析式（顶点式）1．（2023·江苏泰州·校考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为4，−3，该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点(1)求该二次函数的表达式；(2)求tan∠ABC【答案】(1)该二次函数解析式为y=1(2)tan∠ABC=【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为：y=ax−42−3，将A（2）由锐角三角函数定义解答．【详解】（1）解：由题意可设抛物线解析式为：y=ax−42−3把A1，0解得a=1故该二次函数解析式为y=1（2）解：令x=0，则y=130−4因为二次函数图象的顶点坐标为4，−3，A1，0，则点B所以B7所以OB=7．所以tan∠ABC=OCOB【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法确定函数关系式以及解直角三角形．解题时，充分利用了二次函数图象的对称性质．2．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，二次函数的图象经过点0,−1，顶点坐标为2,3．

(1)求这个二次函数的表达式；(2)当0≤x≤3时，y的取值范围为；(3)直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点0,−4，且与x轴只有一个公共点．【答案】(1)y=−(2)−1≤y≤3(3)该二次函数的图象向下平移3个单位长度或向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度恰好经过点0,−4，且与x轴只有一个公共点【分析】（1）由题意设二次函数的顶点式，代入0，（2）由函数表达式可知：二次函数y=−x−22+3的图象有最高点2，3（3）该二次函数的图象平移后的顶点在x轴上，设它的表达式为y=−x−ℎ2，再把点0，【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点0,−1，顶点坐标为2,3，设这个二次函数的表达式为：y=ax−22把0,−1代入得：−1=a0−2解得：a=−1，这个二次函数的表达式为：y=−x−22（2）解：∵a=−1<0，二次函数的表达式为y=−x−2二次函数y=−x−22+3的图象有最高点2,3，对称轴是直线当x=0时，y=−0−2当x=3时，y=−3−2∴y的取值范围为：−1≤y≤3，故答案为：−1≤y≤3；（3）解：∵该二次函数的图象经过平移后，与x轴只有一个公共点，该二次函数的图形平移后的顶点在x轴上，设它的表达式为y=−x−ℎ2∵该二次函数的图像经过怎样的平移恰好过点0，∴−4=−0−ℎ解得：ℎ=±2，即该函数的图象平移后的表达式为：y=−x−22或该二次函数的图象向下平移3个单位长度或向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度恰好经过点0,−4，且与x轴只有一个公共点．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的函数值的取值范围、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象与特征是解题的关键题型05利用待定系数法求二次函数的解析式（交点式）1．（2023·江苏扬州·统考二模）已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点−1,0、3,0和0,3，当x=2时，y【答案】3【分析】根据题意可得交点式y=ax−3x+1，然后把0,3代入求出【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点∴抛物线的解析式为y=ax−3把0,3代入得：−3a=3，解得：a=−1，∴函数的解析式为y=−x−3即y=−x∴当x=2时，y=−2故答案为：3．【点睛】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．2．（2022·山东威海·统考一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值：x…﹣10123…y…03430…则这条抛物线的解析式为．【答案】y=−【分析】根据表格可得到点（-1,0）、（0，3）、（3,0），设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，将（0，3）代入解析式即可得到a的值，再带回所设解析式化为一般式即可．【详解】根据表格可得到点（-1,0）、（0，3）、（3,0）设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)将（0，3）代入解析式得3=−3a解得a=−1∴解析式为y=−(x+1)(x−3)=−故答案为：y=−x【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式的步骤是解题的关键．题型06根据二次函数解析式判断其性质1．（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）关于二次函数y=xA．图象的对称轴在y轴的右侧B．图象与y轴的交点坐标为0C．图象与x轴的交点坐标为−2,0和4,0D．y的最小值为−9【答案】D【分析】把二次函数的解析式化成顶点式和交点式，再利用二次函数的性质就可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数y=x∴该函数的对称轴是直线x=−1，在y轴的左侧，故选项A错误；当x=0时，y=−8，即该函数与y轴交于点0，当y=0时，x=2或x=−4，即图象与x轴的交点坐标为2,0和−4,0，故选项C错误；当x=−1时，该函数取得最小值y=−9，故选项D正确．故选：D【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数解析式化为顶点式和交点式是解题的关键．2．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）对于二次函数y=−12xA．当x>0时，y随x增大而减小 B．抛物线与直线y=x+2有两个交点C．当x=2时，y有最小值3 D．与抛物线y=−1【答案】D【分析】将该抛物线表达式化为顶点式，记录判断A、C；联立y=x+2和y=−12x【详解】解：∵y=−1∴该二次函数的对称轴为直线x=2，∵a=−1∴当x>2时，y随x增大而减小，故A错误，不符合题意；B、当y=x+2时，x+2=−1整理得：0=−∴Δ=∴方程x+2=−12xC、∵y=−12x−2∴当x=2时，y有最大值3，故C错误，不符合题意；D、∵y=−12x−2∴y=−12x故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握y=x−ℎ2+k的对称轴为x=ℎ，顶点坐标为ℎ,k；a>0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a<0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y3．（2023·广东深圳·校考三模）关于二次函数y=−2(x−1)2+6A．图象的对称轴是直线x=−1 C．当x=1时，y取得最小值，且最小值为6 D．当x>2时，y的值随x值的增大而减小【答案】D【分析】对于二次函数y=a(x−ℎ)2+k(a，h，k为常数，a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是(ℎ,k)，对称轴为直线x=ℎ【详解】解：∵抛物线y=−2(x−1)∴该抛物线的图象开口向下，对称轴是直线x=1∵顶点坐标为(1,6)，∴当x=1时，函数取得最大值又∵抛物线的图象开口向下，∴图象与x轴有2个交点，故选项B错误，不符合题意；当x>2时，y随x的增大而减小，故选项D正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=a(x−ℎ)题型07将二次函数的一般式化为顶点式1．（2023·浙江·模拟预测）要得到y=−2x2−12x−19A．向左平移2个单位、向上平移2个单位 B．向左平移2个单位、向下平移2个单位C．向右平移2个单位、向上平移2个单位 D．向右平移2个单位、向下平移2个单位【答案】B【分析】将二次函数解析式化为顶点式，再根据图象平移规则“左加右减，上加下减”求解即可．【详解】解：∵y=−2x2−12x−19=−2∴将抛物线y=−2x+12+1向左平移2个单位、向下平移2个单位y=−2故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移的规则是解答的关键．2．（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线y=ax2+bx−2（a、b是常数，a≠0）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线y=12x2+x−4关于A．a=−1，b=−2 B．a=−12，b=−1 C．a=12，b=−1 【答案】C【分析】先求出抛物线y=12x2+x−4关于y轴对称的抛物线为y=12x−12【详解】解：∵y=1∴抛物线y=12x2+x−4∵抛物线y=ax2+bx−2∵y=ax2+bx−4与y=∴y=ax整理得：y=ax∴a=12，故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握将二次函数化为顶点式的方法和步骤，以及二次函数的平移规律：上加下减，左加右减．3．（2021·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−2mx+A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，再根据m的取值范围，分类讨论，即可判断顶点所在的象限．【详解】解：（1）∵y=x∴顶点坐标为m,2m+1，∴当m<−12时，m<0，当−12<m<0时，m<0当m>0时，m>0，2m+1>0，顶点在第一象限；综上所述，抛物线y=x故选：D．【点睛】本题考查了二次函数解析式的转化，坐标轴上点的性质，熟悉相关性质是解题的关键．题型08利用五点法绘二次函数图象1．（2022·安徽合肥·统考二模）在函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图形研究函数性质及其应用的过程，以下是研究三次函数y=axx…−6−5−4−3−2−101…y…025m27n507…(1)表格中m=______，n=______，并在给出的坐标系中用平滑的曲线画出该函数的大致图象；(2)结合图象，直接写出12【答案】(1)4，2(2)−6≤x≤−2或x≥2.【分析】（1）把把x=1，y=78代入y=ax3+34（2）先判断y=12x+3【详解】（1）解：把x=1，y=78代入∴a+3∴a=1∴函数解析式为：y=1当x=−4时，m=1当x=−2时，n=当x=2时，y=1画图如下：（2）解：对于y=1当x=0时，y=3,当y=0时，x=−6,当x=2时，y=4,当x=−2时，y=2,所以y=12x+3过(0,3)与(−6,0),还过(2,4),结合函数图象可得：12x+3≤ax3【点睛】本题考查的是画函数图象，利用函数图象解不等式，探究函数的性质，掌握“数形结合的方法”是解本题的关键．2．（2022·广东深圳·统考二模）小明为了探究函数M：y=−x

(1)完成函数图象的作图，并完成填空．①列出y与x的几组对应值如下表：x…-5-4-3-2-1012345…y…-8-3010-3010a-8…表格中，a=_______；②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x>0时函数M的图象；③观察图象，当x=______时，y有最大值为_______；(2)求函数M：y=−x2+4|x|−3与直线l(3)已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，当y1<【答案】(1)①-3；②见解析；③2或-2，1(2)(-6，-15)，(0，-3)，(2，1)(3)m<−2.5或−0.5<m<1.5【分析】（1）①观察表格，根据对称性直接求得a的值；②根据描点连线画出函数图象也可根据对称性画出函数图象；③根据函数图像直接求解；（2）分x≥0,x<0两种情况联立解方程求解即可；（3）根据函数图象选取函数图象中y随x增大而增大的部分的自变量取值范围即可求解【详解】（1）①根据表格数据可知y与x的几组对应值关于x=0对称，当x=4与x=−4的函数值相等，则a=−3故答案为：−3②画图如下，

③观察图象，当x=2或-2时，y有最大值为1；故答案为：2或-2，1（2）由y=−x当x≥0时，y=−y=−解得x当x<0时，y=−x综上所述，交点坐标为(-6，-15)，(0，-3)，(2，1)；（3）观察函数图像可知，当x<−2以及0<x<2时，y随x增大而增大∵P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，∴m<−2m+1<−2或0<m<2解得，m<-3或0<m<1，由对称性可知：当m=-2.5，-0.5，1.5时，y1当−3≤m<−2.5时，y1<y2；当−0.5≤m<0.5时，y1因此，当y1<y2时，m的取值范围是：【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题，根据二次函数的增减性判断取值范围，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．题型09二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1．（2021·湖北武汉·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c①若抛物线经过点−3,0，则b=2a；②若b=c，则方程cx2+bx+a=0③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；④点Ax1,y1，Bx2其中正确的是（填写序号）．【答案】①②④【分析】①将−3,0代入解析式即可判定；②由b=c，可得a=-2c，cx2+bx+a=0可得cx2+cx-2c=0，则原方程可化为x2+x-2=0，则一定有根x=-2；③当b2-4ac≤0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a，b，c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0≤0，故③错误；④若0<a<c，则有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴−b2a>1，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1<x2<1时，y1>【详解】解：∵抛物线经过点−3,0∴0=−32a−3b+c，即9a-3b∵a+b+c=0∴b=2a故①正确；∵b=c，a+b+c=0∴a=-2c，∵cx2+bx+a=0∴cx2+cx-2c=0，即x2+x-2=0∴一定有根x=-2故②正确；当b2-4ac≤0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a、b、c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0，故③错误；若0<a<c，则有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴−b2a>1，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1<x2<1时，y1>故填：①②④．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二元一次方程，灵活运用二次函数的图像与性质成为解答本题的关键．2．（2021·湖北武汉·统考二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，3）．下列四个结论：①4a+b＝0；②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0时，y1＞y2；③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a≤−3④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a≤−2其中正确的结论是（填写序号）．【答案】①③④【分析】将A、B两点坐标代入解析式可判断结论①；抛物线开口向下，由抛物线的对称性，绝对值的意义，可判断结论②；C，D为抛物线与x轴的交点，利用一元二次方程根与系数的关系，计算CD≤6，可以判断结论③；抛物线开口向下，3≤x≤4时函数值递减，由点B（4，3），得到x=3时，y的取值范围便可判断结论④；【详解】解：将A、B两点坐标代入抛物线得：3=c3=16a+4b+c解得c=34a+b=0抛物线对称轴为x=−b∵|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0，即P1（x1，y1）离对称轴更远，∴y1＜y2，故结论②错误；设C（x3，0），C（x4，0），由根与系数的关系得：x3＋x4=4，x3·x4=3a∴|x3－x4|=x3解得：a≤−3由题意知：x=4时，y=3，∵3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，函数开口向下，∴y对应的整数值为：5，4，3，∴x=3时，对应的y值：5≤y＜6，∴5≤9a+3b+c＜6，5≤9a－12a+3＜6，解得﹣1＜a≤−2故答案为：①③④；【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，绝对值的意义，一元二次方程根与系数的关系；掌握二次函数的图象和性质是解题关键．3．（2022·广东珠海·统考二模）已知抛物线的解析式为y=x2−(m+2)x+m+1（m①当m=2时，点(2,1)在抛物线上；②对于任意的实数m，x=1都是方程x2③若m>0，当x>1时，y随x的增大而增大；④已知点A(−3,0),B(1,0)，则当−4≤m<0时，抛物线与线段AB有两个交点．【答案】②【分析】①将点代入解析式中即可判断；②解方程x2③根据函数解析判断开口方向，根据对称轴及开口方向即可判断；④解方程x2−(m+2)x+m+1=0，根据题意，利用m的取值范围及【详解】解：抛物线y=x2−(m+2)x+m+1=(x−1)(x−m−1)当m=2时，抛物线y=x2−4x+3，若x=2∴点(2,1)不在抛物线上，即①说法错误，不符合题意，方程x2−(m+2)x+m+1=0即∴x−1=0或x−m−1=0，解得x1=1，∴对于任意实数m，x=1都是方程x2即②说法正确，符合题意，抛物线y=x2−(m+2)x+m+1（m对称轴是直线x=m+22，当x>m+22时，即若m>0，x=m+22>1，当x>1时，y即③说法错误，不符合题意，抛物线y=x2−(m+2)x+m+1=(x−1)(x−m−1)当y=0时，x2解得x1=1，∴抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)、(m+1,0)，当−4≤m≤0时，-3≤m+1≤1∴“④已知点A(−3,0),B(1,0)，则当−4≤m<0时，抛物线与线段AB有两个交点”的说法错误，（因为当m=1时只有一个交点），不符合题意，综上所述，说法正确的是②，故答案为：②．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查了二次函数的图象及性质，对称的性质，灵活运用二次函数的图象及性质是解题的关键．4．（2020·山东泰安·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的yx−5−4−202y60−6−46下列结论：①a>0；②当x=−2时，函数最小值为−6；③若点−8,y1，点8,y④方程ax其中，正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上）【答案】①③④【分析】先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质可判断②；把点−8,y1和点8,y2代入解析式求出y1、y【详解】解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：25a−5b+c=64a+2b+c=6c=−4，解得：∴二次函数的解析式是y=x∴a=1＞0，故①正确；当x=−32时，y有最小值若点−8,y1，点8,y2在二次函数图象上，则y1当y=﹣5时，方程x2+3x−4=−5即x2+3x+1=0，∵综上，正确的结论是：①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键．题型10二次函数平移变换问题1．（2021·江苏苏州·统考中考真题）已知抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在yA．−5或2 B．−5 C．2 D．−2【答案】B【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：函数y=x2+kx−k2再向上平移1个单位，得：y=(x−3)2∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴0=(0−3)2+k(0−3)−解得：k=−5或k=2∵抛物线y=x2+kx−∴x=−k∴k＜0∴k=−5故选：B．【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．2．（2021·贵州黔东南·统考中考真题）如图，抛物线L1:y=ax2+bx+ca≠0与xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】连接AB，OM，根据二次函数图像的对称性把阴影图形的面积转化为平行四边形ABOM面积求解即可．【详解】设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM．由题意可知，AM=OB，∵A∴OA=1，OB=AM=2，∵抛物线是轴对称图形，∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积，∵AM//OB，AM=OB，∴四边形ABOM为平行四边形，∴S四边形ABOM故选：B．【点睛】此题考查了二次函数图像的对称性和阴影面积的求法，解题的关键是根据二次函数图像的对称性转化阴影图形的面积．3．（2021·山西·统考中考真题）抛物线的函数表达式为y=3x−22+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将yA．y=3x+12+3C．y=3x−52−1【答案】C【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可．【详解】解：若将x轴向上平移2个单位长度，相当于将函数图像向下平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，相当于将函数图像向右平移3个单位长度，则平移以后的函数解析式为：y=3化简得：y=3(x−5)故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关键．4．（2022·山东聊城·统考二模）平面直角坐标系中，将抛物线y=−x2平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点A−1,0和B0,3，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则【答案】21【分析】求得抛物线C的解析式，设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），即可得出OQ+PQ，根据二次函数的性质即可求得．【详解】解：设平移后的解析式为y=-x2+bx+c，∵抛物线C经过点A（-1，0）和B（0，3），∴−1−b+c=0c=3，解得b=2∴抛物线C的解析式为y=-x2+2x+3，设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），∵点P是抛物线C上第一象限内一动点，∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3）=-x2+3x+3=−∴OQ+PQ的最大值为21故答案为：21【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移，二次函数图象与几何变换，根据题意得出OQ+PQ=-x2+3x+3是解题的关键．5．（2022·安徽宣城·统考二模）将二次函数y=−x2−4x+1的图象先向右平移a（1）若平移后的二次函数图象经过点1,−1，则a＝．（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为．【答案】3或1/1或32【分析】（1）先求出平移后的解析式y=−(x+2−a)（2）根据平移后的解析式，令x=0，求出与y轴交点的函数，配方即可．【详解】解：（1）∵二次函数y=−x2−4x+1=−(x+2)2∴y=−(x+2−a)∵平移后的二次函数图象经过点1,−1，∴−1=−(1+2−a)解得a1故答案为3或1；（2）∵平移后的二次函数图象与y轴交点，∴y=−(0+2−a)∴与y轴交点的纵坐标最大值为2．故答案为2．【点睛】本题考查二次函数的平移，待定系数法求参数，二次函数的性质，掌握二次函数的平移，待定系数法求参数，二次函数的性质是解题关键．题型11已知抛物线对称的两点求对称轴1．（2022·广东中山·校联考三模）已知抛物线y1=ax2+bx+ca≠0与x轴的两个交点的横坐标分别是－3和1，若抛物线y2=ax2+bx+c+mm>0与x轴有两个交点【答案】(-6，0)【分析】由抛物线与x轴两交点横坐标求出抛物线对称轴，进而求解．【详解】解：∵抛物线y1=ax∴抛物线对称轴为直线x=-1，∴抛物线y2=ax2+bx+c+mm>0是由抛物线y1∵A，B关于对称轴对称，A坐标为(4，0)，∴点B坐标为(-6，0)，故答案为(-6，0)．【点睛】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2022·江苏无锡·校考一模）若函数图像y=x2+bx+c与x轴的两个交点坐标为−1,0和3,0，则【答案】-2【分析】根据二次函数图象对称轴所在的直线与x轴的交点的坐标，即为它的图象与x轴两交点之间线段中点的横坐标，即可求得．【详解】解：∵函数图像y=x2+bx+c与x轴的两个交点坐标为∴由对称轴所在的直线为：−b解得b=−2故答案为：-2．【点睛】本题考查了二次函数的性质及中点坐标的求法，熟练掌握和运用二次函数的性质及中点坐标的求法是解决本题的关键．3．（2022·浙江温州·校联考模拟预测）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点Am,n，B【答案】4【分析】根据A、B的坐标易得抛物线的对称轴，再通过设顶点式，代入坐标，可得n的值．【详解】∵y＝x2+bx+c∴x=m+m−4∵抛物线y＝x2∴顶点坐标为：m−2,0∴设抛物线的解析式为：y=把Am,nn=解得：n=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的解析式，解决问题的关键在于找到顶点坐标，根据顶点坐标设解析式．4．（2022·广东揭阳·揭阳市实验中学校考模拟预测）在二次函数y=x2+4x+k的图像上有点−5,A．y1<y2<y3 B．【答案】D【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴及开口方向，再根据三点到对称轴的距离大小求解，即可．【详解】解：∵y=x∴抛物线开口向上，且对称轴为直线x=−4∵−2−−3∴y2故选：D【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的图象和性质．5．（2021·湖南益阳·统考中考真题）已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值：x…-2-101234…y…11a323611…由此判断，表中a=．【答案】6【分析】根据表格得出二次函数的对称轴为直线x=1，由此即可得．【详解】解：由表格可知，x=0和x=2时的函数值相等，则二次函数的对称轴为直线x=0+2因此，x=−1和x=3的函数值相等，即a=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．6．（2023·上海·一模）二次函数y=axx…−4−3−2−10…y…m−3−2−3−6…那么m的值为．【答案】−6【分析】根据二次函数的对称性解答即可．【详解】解：∵x=−3、x=−1∴函数图像的对称轴为直线x=∵x=−4和x=0也关于直线x=−2对称，∴当x=−4和x=0时的函数值也相等，∴m=−6，故答案为：−6．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．题型12根据二次函数的对称性求字母的取值范围1．（2023·浙江杭州·一模）点Ax1,y1，Bx2,y2在抛物线y=ax2−2ax−3A．1<m≤4 B．2<m≤4C．0<m≤1或m≥4 D．1<m≤2或m≥4【答案】C【分析】根据函数解析式求出对称轴，根据关于抛物线的轴对称性质求出y1【详解】解：由题意可得，抛物线对称轴为直线x=−−2a根据二次函数对称性可得，当−2<x当1×2−0<x2<1×2−(−2)即2<x∵存在正数m，使得−2<x1<0且m<∴m≥4或0<mm+1≤2解得：0<m≤1或m≥4，故选C．【点睛】本题考查抛物线的轴对称性及对称轴公式，解题的关键是根据抛物线的对称性，利用数形结合思想解题．2．（2023·浙江·统考一模）已知二次函数y=x2−4x+2，关于该函数在a≤x≤3的取值范围内有最大值−1，aA．−2 B．−1 C．0.5 D．1.5【答案】D【分析】根据二次函数的性质可得二次函数图象的对称轴为直线x=2，最小值为−2，从而得到点3,−1关于对称轴的对称点为1,−1，即可求解．【详解】解：∵1>0，∴二次函数的图象开口向上，y=x∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，最小值为−2，当x=3时，y=3∴点3,−1在二次函数图象上，且点3,−1关于对称轴的对称点为1,−1，∵该函数在a≤x≤3的取值范围内有最大值−1，∴1≤a≤3，∴a可能为1.5．故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．题型13根据二次函数的性质求最值1．（2022·安徽滁州·统考二模）已知实数x，y满足x+y=12，则xy−2的最大值为（

）A．10 B．22 C．34 D．142【答案】C【分析】利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：∵x+y=12，∴y=12-x，∴xy-2=x(12-x)-2=-x2+12x-2=-(x-6)2+34，∵-1＜0，∴当x=6时，xy-2有最大值，最大值为34，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，会利用二次函数的性质求最值是解答的关键．2．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）关于二次函数y=14xA．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点4,5，则a=−5B．当x=12时，y有最小值a−9C．x=2对应的函数值比最小值大7D．当a<0时，图象与x轴有两个不同的交点【答案】C【分析】求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D.【详解】解：A、将二次函数y=1表达式为：y=14x+2−12若过点（4，5），则5=1B、∵y=1∴当x=12时，y有最小值a−9，故选项正确；C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-（a-9）=25，即x=2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；D、△=−62−4×1故选C.【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系.3．（2020·浙江舟山·统考中考真题）已知二次函数y=x2，当a≤x≤b时A．当n−m=1时，b−a有最小值B．当n−m=1时，b−a有最大值C．当b−a=1时，n−m无最小值D．当b−a=1时，n−m有最大值【答案】B【分析】①当b﹣a＝1时，先判断出四边形BCDE是矩形，得出BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，进而得出AC＝n﹣m，即tan∠ABC＝n﹣m，再判断出0°≤∠ABC＜90°，即可得出n﹣m的范围；②当n﹣m＝1时，同①的方法得出NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，进而得出MH＝n﹣m＝1，而tan∠MHN＝1b−a【详解】解：①当b﹣a＝1时，如图1，过点B作BC⊥AD于C，∴∠BCD＝90°，∵∠ADE＝∠BED＝90°，∴∠ADO＝∠BCD＝∠BED＝90°，∴四边形BCDE是矩形，∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝ACBC∵点A，B在抛物线y＝x2上，∴0°≤∠ABC＜90°，∴tan∠ABC≥0，∴n﹣m≥0，即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为0，故选项C，D都错误；②当n﹣m＝1时，如图2，过点N作NH⊥MQ于H，同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，在Rt△MHQ中，tan∠MNH＝MHNH=1∵点M，N在抛物线y＝x2上，∴m≥0，当m＝0时，n＝1，∴点N（0，0），M（1，1），∴NH＝1，此时，∠MNH＝45°，∴45°≤∠MNH＜90°，∴tan∠MNH≥1，∴1b当a,b异号时，且m=0,n=1时，a,b的差距是最大的情况，此时b-a=2,∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，确定出∠MNH的范围是解本题的关键．4．（2020·江苏镇江·统考中考真题）点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（）A．154 B．4 C．﹣154 【答案】C【分析】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值．【详解】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，∴a＝0，∴n＝m2+4，∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣12）2﹣15∴当m＝12时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣15故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型14根据二次函数的最值求字母的取值范围1．（2021·山东济南·统考一模）函数y=−x2+4x−3，当0≤x≤m时，此函数的最小值为−3，最大值为1，则mA．0≤m<2 B．0≤m≤4 C．2≤m≤4 D．m>4【答案】C【分析】化函数为顶点式，可知x=2时取得最大值，所以取值范围必须包含x=2，又可知它的最小值-3是在x=0或x=4时取得的，结合0≤x≤m即可得m取值范围．【详解】解：y=−x当x=2时，函数取得最大值1，当函数值取最小值-3时，−3=−x2+4x−3得x∵0≤x≤m，∴2≤m≤4．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，根据对称轴求出顶点坐标是解题的关键．2．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）已知二次函数y=−x2+2mx−m2+3，当2m−1<x≤2m时，函数的最大值为【答案】0≤m<1/1>m≥0【分析】计算当x=m时，y=3，根据当2m−1<x≤2m时，函数的最大值为y=3，列得2m−1<mm≤2m，即可求出m【详解】解：∵y=−x∴图象开口向下，顶点坐标为m,3，∵当2m−1<x≤2m时，函数的最大值为y=3，∴2m−1<mm≤2m∴0≤m<1，故答案为：0≤m<1．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，正确理解二次函数的性质是解题的关键．3．（2021·内蒙古呼和浩特·统考二模）对于二次函数y=x2−4x+3，图象的对称轴为，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为−1≤y≤0，则a【答案】直线x=21≤a≤2【分析】根据二次函数对称轴公式代入，可得到对称轴；利用配方法求出顶点坐标，令y=0，可得到点A，B的坐标分别为(1,0),(3,0)，画出图形，观察图形，即可求解．【详解】解：∵二次函数y=x∴对称轴为直线x=−−4∵y=x∴当x=2时，函数有最小值，最小值为y=−1，当y=0时，有x2解得：x1∴如图所示，点A，B的坐标分别为(1,0),(3,0)，∴当1≤x≤3时，−1≤y≤0，∵a≤x≤3时，函数值y的取值范围为−1≤y≤0，从图象中可得到−1≤y≤0时，1≤a≤2．故答案为：直线x=2；1≤a≤2．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数与坐标轴的交点、顶点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征是解题的关键．题型15根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围1．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）已知实数m，n满足等式m2−2m+4n−27=0．若0<m<3，则A．n≤7 B．6<n<274 C．6<n≤7 【答案】C【分析】先把m2−2m+4n−27=0变形为【详解】解：∵m∴n=−1∴当m=1时，n=7，当m=3时，n=−1∴若0<m<3，则n的取值范围是6<n≤7．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，变形得到n=−12．（2022·河南南阳·统考一模）已知二次函数y=−2x2+4x+3，当−1≤x≤2时，yA．y≤5 B．y≤3 C．−3≤y≤3 D．−3≤y≤5【答案】D【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x=1，然后根据x的取值范围求出y的最大值和最小值，即可得出y的取值范围．【详解】解：∵y=−2x∴二次函数的对称轴为直线x=1，∵a=−2＜∴当x=1时，函数取最大值，且最大值为y=5，∵在−1≤x≤2的范围内，x=−1时，距离对称轴最远，∴x=−1时，函数取最小值，且最小值为：y=−2×−1−1∴y的取值范围是：−3≤y≤5，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数的性质求出函数的最大值5，最小值-3，是解题的关键．3．（2022上·辽宁抚顺·九年级统考阶段练习）已知二次函数y=x2−2x+1，当−5≤x≤3时，y【答案】0≤y≤36【分析】先把函数化成顶点式y=x−12，求出二次函数的最小值，再求出当x=−5和x=3对应的【详解】解：二次函数化为顶点式为y=x∵a=1>0，∴二次函数有最小值为0，此时x=1，当x=−5时，y=−5−1当x=3时，y=3−1∴该函数在−5≤x≤3的取值范围内，y的取值范围内是0≤y≤36，故答案为：0≤y≤36．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，能把函数化成顶点式和求出当x=−5和x=3对应的y值是解此题的关键．题型16根据二次函数的增减性求字母的取值范围1．（2023·江苏泰州·统考二模）已知抛物线y=−x2−4mx+m2−1，A−2m−4,y1A．m<−73 B．m>13 C．m<−7【答案】D【分析】先把y=−x2−4mx+m2−1化成y=−x+2m2+5m2【详解】∵y=−x当点A−2m−4,y1，B∴y1=−2m−4+2m∵y1∴−17+5m解得：−7故答案为：D．【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握函数的图象和性质．2．（2022·湖南株洲·统考二模）当函数y=(x−1)2−2的函数值y随着x的增大而减小时，x【答案】x≤1【分析】根据二次函数的性质，进行求解即可．【详解】解：∵y=(x−1)2−2，a=1>0∴在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；∴当函数y=(x−1)2−2的函数值y随着x的增大而减小时，x故答案为：x≤1．【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．3．（2023·上海崇明·统考一模）如果抛物线y=m−2x2有最高点，那么m【答案】m<2【分析】根据二次函数y=m−2x2【详解】解：∵抛物线y=m−2∴抛物线开口向下，∴m−2<0，∴m<2，故答案为：m<2．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的最值与开口方向的特点．题型17根据二次函数图象判断式子符号1．（2020·广东·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1．下列结论：①abc>0；②b2−4ac>0；③8a+c<0A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】由抛物线的性质和对称轴是x=1，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由x=−b2a=1，得b=−2a，令x=−2，求函数值，即可判断③；令x=2时，则y=4a+2b+c>0，令x=−1【详解】解：根据题意，则a<0，c>0，∵x=−b∴b=−2a>0，∴abc<0，故①错误；由抛物线与x轴有两个交点，则b2∵b=−2a，令x=−2时，y=4a−2b+c<0，∴8a+c<0，故③正确；在y=ax令x=2时，则y=4a+2b+c>0，令x=−1时，y=a−b+c>0，由两式相加，得5a+b+2c>0，故④正确；∴正确的结论有：②③④，共3个；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．2．（2022·贵州毕节·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②2a−b=0；③9a+3b+c>0；④b2>4acA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴对称轴为x＝−b∵a＜0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；②∵对称轴为x＝−b∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②错误；③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0，∴9a＋3b+c＜0，故③错误；④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；故④正确；⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c<b，故⑤正确．综上所述，正确的结论是：④⑤．故选：B．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键．3．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（）A．abc＞0 B．3a+c＞0C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣2【答案】D【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，不正确，不符合题意；B．函数的对称轴为直线x=-b2a=1，则b=-2a∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，故不正确，不符合题意；C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，∴am2+bm+c≤a+b+c∴am∵a＜0，∴a2m2故不正确，不符合题意；D．∵-b2a=1，故b=-2a∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，∴c=-3a，∵2＜c＜3，∴2＜-3a＜3，∴-1＜a＜﹣23故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．题型18二次函数图象与各项系数符号1．（2022·湖南株洲·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx−ca≠0，其中b>0、A．B．C．D．【答案】C【分析】利用排除法，由−c<0得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴x=−b2a>0【详解】解：对于二次函数y=ax令x=0，则y=−c，∴抛物线与y轴的交点坐标为0,−c∵c>0，∴−c<0，∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，∴可以排除A选项和D选项；B选项和C选项中，抛物线的对称轴x=−b∵b>0，∴a<0，∴抛物线开口向下，可以排除B选项，故选C．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．2．（2021·湖北襄阳·统考中考真题）一次函数y=ax+b的图象如图所示，则二次函数y=axA．B．C．D．【答案】D【分析】根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点可知：a<0，b＞0，由此可知二次函数开口方向，坐标轴情况，依此判断即可．【详解】解：观察一次函数图像可知a<0，b＞0，∴二次函数y=ax对称轴x=−b故选：D．【点睛】本题主要考查一次函数的图像以及二次函数的图像，根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点情况判断a、b的正负是解题的关键．3．（2022下·全国·九年级专题练习）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法错误的是（

）A．a＜0，b＞0B．b2﹣4ac＞0C．方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1D．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是0＜x＜5【答案】D【分析】根据抛物线开口向下可知a＜0，再根据其对称轴为直线x=−b2a=2>0，即可求出b＞0，可判断A；根据二次函数图象与一元二次方程的关系即可判断B；根据二次函数的对称性和其对称轴为x=2，可得出抛物线与x【详解】由图象可知，抛物线开口向下，所以a＜0．对称轴为直线x=−b2a=2>0因为抛物线与x轴有两个交点，所以Δ=由图象和对称轴公式可知，抛物线与x轴交于点(5，0)和(-1，0)，所以方程ax2+bx+c=0由C选项结合图象可知，不等式ax2+bx+c>0故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图象法确定不等式的解集．熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．题型19二次函数、一次函数综合1．（2022·安徽·校联考三模）已知函数y=(x−m)(x−n)（其中m<n）的图象如图所示，则函数y=nx+m的图象可能正确的是（

）A． B． C．D．【答案】D【分析】根据题意可得二次函数与x轴的交点为（m，0），（n，0），从而得到m<−1,0<n<1，进而得到函数y=nx+m经过第一三四象限，且与y轴的交点位于点（0，-1）的下方，即可求解．【详解】解：令y=0，则(x−m)(x−n)=0，解得：x1∴二次函数与x轴的交点为（m，0），（n，0），∵m<n，∴m<−1,0<n<1，∴函数y=nx+m经过第一、三、四象限，且与y轴的交点位于点（0，-1）的下方．故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．2．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，函数y=ax2+bx+c与y=x−1A．bc<0 B．a+b+c>0C．2a+b=1 D．当0<x<2时，a【答案】C【分析】由图象可得，a>0，c=−1，0<−b2a<1，抛物线与直线的交点坐标为0，−1，2，1，则b<0，进而可判断A的正误；根据二次函数当x=1时，y<0，可判断B的正误；将2【详解】解：由图象可得，a>0，c=−1，0<−b2a<1，抛物线与直线的交点坐标为0∴b<0，∴bc>0，A错误，故不符合要求；当x=1时，y<0，即a+b+c<0，B错误，故不符合要求；将2，1代入y=ax2+bx+c当0<x<2时，x−1>ax2+bx+c故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与不等式，二次函数与一次函数综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．3．（2019·四川·统考中考真题）在同一坐标系中，二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx−aA．B．C．D．【答案】C【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．【详解】解：由方程组y=ax2+bx∵a≠0∴x2＝−1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．故选C．【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．题型20二次函数、一次函数、反比例函数图象综合1．（2021·贵州黔东南·统考一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c与反比例函数y=A．B．C．D．【答案】D【分析】根据二次函数图象确定系数a,b,c的符号，再根据一次函数、反比例函数的图象与性质解题．【详解】∵二次函数y=ax∴a<0∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y∴c>0∵二次函数y=ax2+bx+c∴a,b同号，∴b<0∴一次函数y=ax+c图象经过第二、一、四象限，反比例函数y=b故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象与性质、一次函数图象与性质、反比例函数的图象与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．（2022·山东菏泽·统考中考真题）根据如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断反比例函数y=axA．B．C．D．【答案】A【分析】先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数y=ax与一次函数y＝bx+【详解】解：由二次函数图象可知a＞0，c＜0，由对称轴x=−b2a＞所以反比例函数y=a一次函数y＝bx+c经过二、三、四象限．故选：A．【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a、b、c的取值范围．3．（2020·山东青岛·中考真题）已知在同一直角坐标系中二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=cxA． B． C．D．【答案】B【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0，b﹥0，c﹥0，由此可得出ca【详解】由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴x=−b∴a﹤0，b﹥0，由反比例函数图象知：c﹥0，∴ca对照四个选项，只有B选项符合一次函数y=c故选：B·【点睛】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解答的关键·题型21抛物线与x轴交点问题1．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知二次函数y=x2(1)求证：c=−2b−6；(2)求证：此二次函数的图象与x轴必有两个交点；(3)若二次函数的图象与x轴交于点Ax1，0、Bx【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)b1=23【分析】（1）将点P代入二次函数化简即可证明；（2）令y=0得到一元二次方程：x2+bx+c+1=0，再利用（1）题结论求得方程的Δ即可确定二次函数与（3）由AB=4可得x2−x1=4，两边平方可得x2−x12=16，再化为x【详解】（1）证明：将点P2，−1代入y=整理得：c=−2b−6；（2）证明：令y=0可得一元二次方程：x2此方程Δ=由c=−2b−6可得c+1=−2b−5，∴Δ=∴方程有两个不等的实数根，∴此二次函数的图象与x轴必有两个交点；（3）解：∵AB=4，∴x2∴x2∴x2在一元二次方程x2x1+x∵c+1=−2b−5，∴x1代入x2+x整理得：b+42解得：b1=23【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标意义，二次函数的图象与x轴的交点，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系；掌握根的判别式和根与系数的关系是解题关键．2．（2023·云南昆明·云南师范大学实验中学校考模拟预测）已知二次函数y=m−1(1)求证：该二次函数图象与x轴有两个交点；(2)当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，求整数m的值．【答案】(1)见解析(2)m=2或3【分析】（1）根据函数表达式，求出Δ，再对Δ的值进行判断即可．（2）把二次函数问题转化为二次方程的问题即可解答．【详解】（1）解：证明：令y=0，则Δ=∴该二次函数图象与x轴有两个交点．（2）函数与x轴相交，交点的纵坐标为0，当y=0时，根据求根公式可得方程的解为：x1=m+1若该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数，则方程函数m−1x∴1+2m−1为正整数，即∴m−1=1或2，解得m=2或3，∴当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，m的值为2或3．【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点坐标及二次函数与一元二次方程的关系，学会用方程解决函数问题是关键．3．（2023·山东青岛·校考一模）已知D(s,t)是二次函数y=2x2+bx−1(1)若二次函数经过点(1,12b)(2)求证：无论b取何值，二次函数y=2x2+bx−1(3)有同学认为：t是s的二次函数，你认为正确吗？为什么？【答案】(1)b的值是−2(2)见解析(3)t是s的二次函数，正确，理由见详解【分析】（1）将点(1,12b)（2）要证明结论成立，只要计算出b2（3）先将二次函数解析式化为顶点式，表示出s、t，然后用s表示t即可．【详解】（1）解：∵二次函数y=2x2+bx−1∴12解得b=−2，即b的值是−2；（2）证明：∵二次函数y=2x∴b∴无论b取何值，二次函数y=2x2+bx−1（3）解：t是s的二次函数，正确，理由：∵二次函数y=2x2+bx−1=2(x+b∴s=−b4，∴t=−2×(−即t是s的二次函数．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．67．（2022上·吉林长春·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，将二次函数y=x+1x−3+3的图象沿y轴向下平移3个单位后，所得函数图象与xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与x轴的交点坐标，进而求解．【详解】解：将二次函数y=x+1x−3+3的图象沿y轴向下平移3个单位后所得的函数解析式为y=此抛物线与x轴的两个交点坐标为−1,0，3,0，则此抛物线与x轴的两个交点之间的距离为3−−1故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键．题型22求x轴与抛物线的截线长1．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知关于x的方程x2+2bx+3c=0的两个根分别是x1=m2,x2=6−m2，若点A是二次函数y=x【答案】3【分析】先利用一元二次方程根与系数的的关系得出x1+x2=−2b=3，x1•x2=3c=−m2【详解】解：∵x1∴x1+x2=−2b=3∴2b=−3，3c=∴y=x令x=0,y=1∴A0∵AB⊥y轴，∴AB∥∴B点的纵坐标为14把y=14(得14(m解得x1∴AB=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了抛物线的性质、抛物线与x轴的交点以及根与系数的关系，把求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与2．（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，开口向下的抛物线y=ax2−4ax−5a交x轴于A、B(A左B右)两点，交y

(1)求线段AB的长；(2)设抛物线的顶点为D，若S△BCD(3)在（2）的条件下，P、Q为线段BC上两点(P左Q右，P、Q不与B、C重合)，PQ=22，在第一象限的抛物线上是否存在这的这样的点R，使△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R【答案】(1)6(2)y=−(3)存在，R4,5或【分析】（1）把y=0代入抛物线y=ax2−4ax−5a得x2−4x−5=0，解方程可以得到A（2）根据对称轴得到顶点D2,−9a，再求出点C的坐标，过点D作DE⊥y轴于点E，根据S△BCD=S梯形（3）分三种情况：①以点P为直角顶点；②以点R为直角顶点；③以点Q为直角顶点；进行讨论可得使△PQR为等腰直角三角形时点R的坐标．【详解】（1）解：把y=0代入抛物线y=ax2−4ax−5a∵a≠0，∴两边同时除以a，得x2解得x1=5，∴A−1,0，B∴AB=6；（2）解：抛物线的对称轴为直线x=−−4a把x=2代入y=ax得：y=−9a，∴D2,−9a当x=0时，y=−5a，∴C0,−5a过点D作DE⊥y轴于点E，

S△BCD=1=−15a，∵−15a=15，∴a=−1，∴抛物线的解析式为：y=−x（3）解：分三种情况：①以点P为直角顶点

∵PQ=22∴RQ=2∵C0,5，B∴OC=OB=5，∴∠OCB=∠OBC=45°，∵∠RQP=45°，∴RQ∥∵C0,5，B∴直线BC的解析式为y=−x+5，设Rm,−m2则RQ=−解得m1=4，∵点Q在点P右侧，∴m=4，∴R4,5②以点R为直角顶点，

∵PQ=22∴RQ=2设Rm,−m2则RQ=−解得m1=5+∵点Q在点P右侧，∴m=5+∴R5+③以点Q为直角顶点，

∵PQ=22∴PR=2∵C0,5，B∴OC=OB=5，∴∠OCB=∠OBC=45°，∵∠RPQ=45°，∴PR∥设Rm,−m2把Pm−4,−m2得−m−4解得m1=4，此时点P0,5因为点P在线段BC上运动，且不与B、C重合，所以不存在以Q为直角顶点的情况．综上所述：当R(4,5)或5+17【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上的点的坐标特征，两点间的距离公式，抛物线的对称轴，面积计算，求抛物线的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，以及分类思想的应用，综合性较强，有一定的难度．题型23根据交点确定不等式的解集1．（2019·山东济宁·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式a

【答案】x<−3或x>1．【分析】由ax2+mx+c>n可变形为ax2+c>−mx+n，即比较抛物线y=ax2+c与直线y=−mx+n之间关系，而直线PQ：y=−mx+n与直线AB：y=mx+n【详解】解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A∴−m+n=p，3m+n=q，∴抛物线y=ax2+c与直线y=−mx+n交于P观察函数图象可知：当x<−3或x>1时，直线y=−mx+n在抛物线y=ax

∴不等式ax2+mx+c>n的解集为x<−3故答案为x<−3或x>1．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的