高中数学讲义微专题62 点线面位置关系

PAGE1-第62炼点线面位置关系的判定一、基础知识（一）直线与直线位置关系：1、线线平行的判定（1）平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行（2）线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该直线平行（3）面面平行性质：2、线线垂直的判定（1）两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直直线与平面位置关系：（2）线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直（二）直线与平面的位置关系1、线面平行判定定理：（1）若平面外的一条直线与平面上的一条直线平行，则（2）若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行2、线面垂直的判定：（1）若直线与平面上的两条相交直线垂直，则（2）两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直（3）如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直（三）平面与平面的位置关系1、平面与平面平行的判定：（1）如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行（2）平行于同一个平面的两个平面平行2、平面与平面垂直的判定如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直（四）利用空间向量判断线面位置关系1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量平面：法向量2、向量关系与线面关系的转化：设直线对应的法向量为，平面对应的法向量为（其中在外）（1）∥∥（2）（3）∥（4）（5）（6）3、有关向量关系的结论（1）若，则平行+平行→平行（2）若，则平行+垂直→垂直（3）若，则的位置关系不定。4、如何用向量判断位置关系命题真假（1）条件中的线面关系翻译成向量关系（2）确定由条件能否得到结论（3）将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假二、典型例题：例1：已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，现给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3思路：①为面面平行的判定，要求一个平面上两条相交直线，而①中不一定相交。所以无法判定面面平行；②为面面垂直的性质，要求一个平面上垂直交线的直线，才与另一平面垂直。而②中不一定与交线垂直。所以不成立；③可用向量判定，设对应法向量为，直线方向向量为，则条件转换为：，可推得，即，③正确；④为线面平行判定，要求在外，所以④错误；综上只有1个命题正确答案：B例2：已知是不同的直线，是不同的平面，以下命题正确的是（）A．②③B．③④C．②④D．③思路：题目中涉及平行垂直较多，所以考虑利用正方体（举反例）或向量判断各个命题①两平面各选一条直线，两直线平行不能判断出两个平面平行，例如在正方体中在平面和平面中，虽然，但两个平面不平行，所以①错误②例如：平面∥平面，，但与不垂直，所以②错误③考虑利用向量帮助解决：，所以可以推断，所以可得④考虑利用向量解决：，由垂直关系不能推出，所以④错误答案：D例3：对于直线和平面，的一个充分条件为（）A.B.C.D.思路：求的充分条件，即从A,B,C,D中选出能判定的条件，A选项：例如正方体中的平面和平面可知虽然平面，平面，但这两个平面不平行。B选项：也可利用A选项的例子说明无法推出，C选项可用向量模型进行分析：，所以可得：，即；D选项可利用A选项的例子：，可知平面，平面，但这两个平面不平行，综上所述，只有C为的一个充分条件答案：C例4：给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④思路：分别判断四个命题：①必须是一个平面内两条“相交”直线与另一个平面平行，才可判定两平面平行，所以①错误；②该命题为面面垂直的判定，正确；③空间中垂直同一条直线的两条直线不一定平行，例如正方体中交于一点的三条棱；④可用反证法确定，假设该直线与另一平面垂直，则必然垂直该平面上所有的直线，包括两平面的交线。所以与条件矛盾。假设不成立。综上所述，正确的命题是②和④答案：D例5：已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是（）A．若，，则B．若∥，∥则∥C．若，，则∥D．若∥，，则思路：A选项若直线与平面垂直，则直线与这个平面上的所有直线均垂直，所以A正确B选项可用向量判断，∥，∥，由，无法判断出的关系，所以不能推出∥；C选项并没有说明直线是否在平面上，所以结论不正确；D选项也可用向量判断，∥，，同理由无法判断的情况，所以无法推断出，综上所述：A正确答案：A例6：给出下列命题，其中正确的两个命题是（）①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行。②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线平面，直线，则；④是异面直线，则存在唯一的平面，使它与都平行且与距离相等A.①②B.②③C.③④D.②④答案：D思路：①到平面距离相等的点可能位于平面的同侧或是异侧，如果是同侧，则两点所在直线与平面平行，如果异侧，则直线与平面相交，且交点为这两点的中点。②正确，证明如下：如图，平面，且分别为的中点，过作交于，连接，设是的中点平面③命题中没有说明直线是否在上，所以不正确；④正确，设为异面直线的公垂线段，为中点，过作的平行线，从而由确定的平面与平行且与的距离相等。所以该平面即为所求。答案：D例7：下列命题正确的个数是（）①若直线上有无数个点不在平面内，则∥②若直线∥，则与平面内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线∥，则与平面内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3思路：①“无数个点”只是强调数量多，并不等同于“任意点”，即使直线与平面相交，直线上也有无数个点不在平面内。所以①不正确；②若∥，说明与没有公共点，所以与上任意一条直线都没有公共点，但即使无公共点，的位置关系不只是有平行，还有可能异面，所以②不正确；③线面平行的前提是直线在平面外，而命题③中没有说明“另一条”直线是否在平面上，所以③不正确；命题④可由②得知，与上任意一条直线都没有公共点，命题④正确，综上所述，正确的有1个答案：B例8：直线为两异面直线，下列结论正确的是（）A.过不在上的任何一点，可作一个平面与都平行B.过不在上的任何一点，可作一个直线与都相交C.过不在上的任何一点，可作一个直线与都平行D.过有且只有一个平面与平行思路：A选项中，如果点与确定的平面与平行，则此平面只和平行，在此平面上，所以这样的是无法作出符合条件的平面；B选项由A所构造出的平面可得，若过的直线与相交，则也在该平面上，所以与无公共点；若过的直线与相交，则无法与相交，综上所述对于这样的点无法作出符合条件的直线；C选项如果过的直线与均平行，则由平行公理可知，与已知条件矛盾，所以C错误；D选项，如果异面，则过只能做出一个平面与平行。在上取两点分别作的平行线，则所唯一确定的平面和平行，且在此平面上。所以D正确答案：D例9：设是两条异面直线，是空间任意一点，则下列命题正确的是（）A.过点必存在平面与两异面直线都垂直B.过点必存在平面与两异面直线都平行C.过点必存在直线与两异面直线都垂直D.过点必存在直线与两异面直线都平行思路：A选项，若平面与均垂直，则推得，与异面矛盾；B选项如果点位于某条直线上，则平面无法与该直线平行；C选项中直线的垂直包括异面垂直，所以可以讲平移至共面，过的直线只需与这个平面线面垂直，即和都垂直，所以C正确；D选项如果直线与均平行，则由平行公理可得，与异面矛盾。所以C正确答案：C例10：设是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题不正确的是（）A.若∥，∥，在外，则∥B.若，则C.若∥，则∥D.若，且，则∥思路：A选项可通过向量来判断：，由此可得：，因为在外，所以可判定∥，A正确；B选项设，则上所有点的投影落在中，上所有点的投影落在中，因为，所以上所有点的投影均在的交点上，即，所以B正确；C选项符合面面平行的性质，即两个平面平行，第三个平面与这两个平面相交，则交线平行，所以C正确；D选项中若A,C位于同侧，则命题成立；但如果位于两侧，则满足条件的与相交。故不正确答案：D三、历年好题精选1、（2016，山东胶州高三期末）设为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件为（）A.B.C.D.2、给出下面四个命题：①“直线∥直线”的充要条件是“平行于所在的平面”；②“直线⊥平面α内所有直线”的充要条件是“⊥平面”；③“直线，为异面直线”的充分不必要条件是“直线，不相交”；④“平面∥平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”．其中正确命题的序号是()A．①②B．②③C．③④D．②④3、（2016，大连二十中期中考试）已知三个互不重合的平面，且，给出下列命题（）①若，则②若，则③若，则④若，则其中正确命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个4、（江西中南五校联考）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若B.若C.若D.若5、（2016，宁波高三期末）已知平面与平面交于直线,且直线,直线,则下列命题错误的是（）A．若，且与不垂直，则B．若，，则C．若，，且与不平行，则D．若，，则6、（2016，上海闸北12月月考）已知是两条不同直线，是两个不同平面，给出下列四个命题：①若垂直于同一平面，则与平行②若平行于同一平面，则与平行③若不平行，则在内不存在与平行的直线④若不平行，则与不可能垂直于同一平面其中真命题的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．17、设为两条直线，为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是（）A.若，则B.∥∥，∥，则∥C.若∥，∥，则∥D.若∥，则8、（2015，广东文）若直线是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A.至少与中的一条相交B.与都相交C.至多与中的一条相交D.与都不相交9、（2014，辽宁）已知表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，，则习题答案：1、答案：D解析：A选项若不在上，则无法判定；B选项：若，则，所以无法判定；C选项，如果来两两垂直，则无法判定；D选项，如果，则，再由可判定2、答案：D解析：①若平行于所在的平面，则的关系为平行或异面，所以不是充要条件；②由线面垂直定义可知：直线⊥平面当且仅当直线⊥平面α内所有直线，所以②正确；③中若直线不相交，则可能平行。所以不能得到“直线，为异面直线”，③错误；④若平面∥平面，则内所有点到的距离相等，当内存在不共线三点到的距离相等，则两平面可能相交，这三点位于的两侧。所以“内存在不共线三点到的距离相等”是“平面∥平面”的必要不充分条件3、答案：C解析：当三个平面两两相交，交线平行或交于一点，所以若，则三条交线交于一点，即，若，则三条交线平行，，所以②④正确；当三条交线交于一点时，，则夹角不确定，所以①错误；若，因为均在上，所以可知，综上所述，②③④正确4、答案：C解析：A选项：垂直同一平面的两个平面可以平行，也可以相交，所以A错误B选项：在正方体中，右侧面的棱与底面上的棱平行，但是这两个面不平行，所以B错误C选项：将条件转化为向量：，可推出，即，C正确D选项：若直线上，也满足题目条件，但不平行5、答案：D解析：A选项：可知在上的投影为，若与不垂直，且与不垂直，则由三垂线定理可推得不垂直，与已知矛盾，所以A正确B选项：由，可得，所以C选项：由不平行可知，因为，由面面垂直判定定理可得D选项：两个平面上的直线与交线垂直并不能判定两个平面垂直，故D错误6、答案：D解析：①正方形的三个侧面两两垂直，所以垂直于同一平面的两平面不一定平行，①错误②正方形上底面的直线均与下底面平行，但这些直线不一定平行，②错误③正方形的下底面与侧面不平行，但是底面平行于交线的直线与侧面平行，③错误④考虑其逆否命题为“若与垂直同一平面，则平行”为真命题，所以原命题为真命题，④正确综上所述，正确的只有④7、答案：A解析：利用空间