中考数学一轮复习考点（精讲精练）复习专题22 函数与几何综合（教师版）

专题22专题22函数与几何综合知识导航知识导航题型精讲题型精讲题型一：一次函数与几何结合【例1】一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数SKIPIF1<0的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点（1）求一次函数的解析式（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求SKIPIF1<0的值【答案】（1）一次函数y=SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）利用点A(2，3)，求出反比例函数SKIPIF1<0，求出B(6，1)，利用待定系数法求一次函数解析式；（2）利用平移求出y=SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，求出P(-6,-1),Q(-2,-3),在Rt△MON中，由勾股定理MN=SKIPIF1<0,PQ=SKIPIF1<0即可．【详解】解：（1）∵反比例函数SKIPIF1<0的图象过A(2，3)，∴m=6,∴6n=6，∴n=1，∴B（6,1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数SKIPIF1<0的图象相交于A(2，3)，B(6，1)两点，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，一次函数y=SKIPIF1<0，（2）直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，得y=SKIPIF1<0，当y=0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当x=0时，y=-4，∴M（-8，0），N（0，-4），SKIPIF1<0，消去y得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴P(-6,-1),Q(-2,-3),在Rt△MON中，∴MN=SKIPIF1<0,∴PQ=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【例2】在平面直角坐标系中，点A的坐标为SKIPIF1<0，点B在直线SKIPIF1<0上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．②若SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0的面积．（2）是否存在点B，使得以SKIPIF1<0为顶点的三角形与SKIPIF1<0相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①见解析；②SKIPIF1<0；（2）存在，SKIPIF1<0，4，9，1【分析】（1）①等腰三角形等角对等边，则SKIPIF1<0，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到SKIPIF1<0，根据等角对等边，即可证明SKIPIF1<0；②添加辅助线，过点A作SKIPIF1<0于点H，根据直线l的解析式和角的关系，分别求出线段AB、BC、OB、OC的长，则SKIPIF1<0；（2）分多钟情况进行讨论：①当点C在第二象限内，SKIPIF1<0时；②当点C在第二象限内，SKIPIF1<0时；③当点C在第四象限内，SKIPIF1<0时．【详解】解：（1）①证明：如图1，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．②如图1，过点A作SKIPIF1<0于点H．由题意可知SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：∴SKIPIF1<0．（2）过点A作SKIPIF1<0于点H，则有SKIPIF1<0．①如图2，当点C在第二象限内，SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．②如图3，当点C在第二象限内，SKIPIF1<0时，延长SKIPIF1<0交于点G，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0③当点C在第四象限内，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点E，则有SKIPIF1<0．(a)如图4，点B在第三象限内．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0(b)如图5，点B在第一象限内．在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0综上所述，SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0，4，9，1．题型二：反比例函数与几何结合【例3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数（）的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．一次函数的图象经过、两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为______．【答案】（1）,；（2）【分析】（1）先求出B点的坐标，再由反比例函数过点，求出点的坐标，代入即可，由矩形的性质可得、坐标，代入即可求出解析式；（2）“将军饮马问题”，作关于轴的对称点，连接,直线与轴交点即为所求．【详解】（1）四边形是矩形，，为线段的中点将代入，得将，代入，得：，解得（2）如图：作关于轴的对称点，连接交轴于点P当三点共线时，有最小值，设直线的解析式为将，代入，得，解得令，得【例4】如图，一次函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴的正半轴交于点SKIPIF1<0，与反比例函数SKIPIF1<0的图像交于SKIPIF1<0两点．以SKIPIF1<0为边作正方形SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0轴的负半轴上，已知SKIPIF1<0的面积与SKIPIF1<0的面积之比为SKIPIF1<0．（1）求一次函数SKIPIF1<0的表达式：（2）求点SKIPIF1<0的坐标及SKIPIF1<0外接圆半径的长．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0外接圆半径的长为SKIPIF1<0【分析】(1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，证明△ABF≌△DAE，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积与SKIPIF1<0的面积之比为SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0，求出A、D两点坐标即可求解；(2)联立一次函数与反比例函数解析式即可求出P点坐标；再求出C点坐标，进而求出CP长度，Rt△CPD外接圆的半径即为CP的一半．【详解】解：(1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，如下图所示：∵SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有公共的底边BO，其面积之比为1:4，∴DH:OA=1:4，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAF+∠EAD=90°，∵∠BAF+∠FBA=90°，∴∠FBA=∠EAD，在△ABF和△DAE中：SKIPIF1<0,∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(负值舍去)，∴SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0中，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴一次函数的表达式为SKIPIF1<0；(2)联立一次函数与反比例函数解析式：SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0；D点的坐标为（4,1）∵四边形ABCD为正方形，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又△CPD为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边PC的中点处，∴△CPD外接圆的半径为SKIPIF1<0．提分训练提分训练1．如图，反比例函数SKIPIF1<0上的图象与一次函数SKIPIF1<0的图象相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）设直线SKIPIF1<0交y轴于点C，点SKIPIF1<0是正半轴上的一个动点，过点N作SKIPIF1<0轴交反比例函数SKIPIF1<0的图象于点M，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求t的取值范围．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）先根据点SKIPIF1<0的坐标，利用待定系数法可得反比例函数的解析，从而可得点SKIPIF1<0的坐标，再根据点SKIPIF1<0的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式；（2）先根据一次函数的解析式求出点SKIPIF1<0的坐标，根据反比例函数的解析式求出点SKIPIF1<0的坐标，再根据SKIPIF1<0建立不等式，解不等式即可得．【详解】解：（1）将点SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，则反比例函数的解析式为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则一次函数的解析式为SKIPIF1<0；（2）对于一次函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．2．如图所示，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，一次函数SKIPIF1<0的图像SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图像（记为SKIPIF1<0）交于点A，过点A作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上（不含端点），且SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0轴，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交图像SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值，并且用含SKIPIF1<0的式子表示点SKIPIF1<0的横坐标；（2）连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0，D点横坐标为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）先求出A点坐标，再利用待定系数法即可求出k的值，利用OC=t和D点在直线l上即可得到D点横坐标；（2）分别用含t的式子表示出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0关于t的二次函数，求函数的最大值即可．【详解】解：（1）∵SKIPIF1<0，∴A点横坐标为1,∵A点在一次函数SKIPIF1<0的图像上，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∵A点也在反比例函数图像上，∴SKIPIF1<0，∴反比例函数解析式为：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0轴，∴D点纵坐标为t，∵D点在直线l上，∴D点横坐标为SKIPIF1<0，综上可得：SKIPIF1<0，D点横坐标为SKIPIF1<0．（2）直线SKIPIF1<0轴，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交图像SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，∴E点纵坐标为t，将纵坐标t代入反比例函数解析式中得到E点坐标为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，A点到DE的距离为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴，∴当时，最大=；∴的最大值为．3．如图，点P为函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0图象的交点，点P的纵坐标为4，SKIPIF1<0轴，垂足为点B．（1）求m的值；（2）点M是函数SKIPIF1<0图象上一动点，过点M作SKIPIF1<0于点D，若SKIPIF1<0，求点M的坐标．【答案】（1）24；（2）M点的坐标为SKIPIF1<0【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可；（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.【详解】解：（1）∵点P纵坐标为4，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当M点在P点右侧，∴M点的坐标为SKIPIF1<0，∴（6+2t）（4-t）=24，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去），当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴M点的坐标为SKIPIF1<0，当M点在P点的左侧，∴M点的坐标为SKIPIF1<0，∴（6-2t）（4+t）=24，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，均舍去．综上，M点的坐标为SKIPIF1<0．4．已知在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是反比例函数SKIPIF1<0图象上的一个动点，连结SKIPIF1<0的延长线交反比例函数SKIPIF1<0的图象于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0．（1）如图1，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0．①若SKIPIF1<0，求证：四边形SKIPIF1<0是平行四边形；②连结SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．（2）如图2，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交反比例函数SKIPIF1<0的图象于点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0．试探究：对于确定的实数SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在运动过程中，SKIPIF1<0的面积是否会发生变化？请说明理由．【答案】（1）①证明见解析，②1；（2）不改变，见解析【分析】（1）①计算得出SKIPIF1<0，利用平行四边形的判定方法即可证明结论；②证明SKIPIF1<0，利用反比例函数SKIPIF1<0的几何意义求得SKIPIF1<0，即可求解；（2）点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，可知四边形SKIPIF1<0是平行四边形，由SKIPIF1<0，利用相似三角形的性质得到关于SKIPIF1<0的一元二次方程，利用三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）①证明：设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是平行四边形；②解：过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0；（2）解不改变．理由如下：过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，OH=b，由题意，可知四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴OG=AE=a，∠HPG=∠OEG=∠EOA，且∠PHG=∠OEA=90°，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0异号，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴对于确定的实数SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在运动过程中，SKIPIF1<0的面积不会发生变化．．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（4，32），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C（1）m＝，点C的坐标为；（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标；（2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△ODE=−38（x﹣1）2【解析】（1）∵反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（4，∴m=4×32=6，∵AB交x轴于点C，C为线段AB故答案为6，（2，0）；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，32），C（2，0）代入得4k+b=32∴直线AB的解析式为y=34x∵点D为线段AB上的一个动点，∴设D（x，34x−32∵DE∥y轴，∴E（x，6x∴S△ODE=12x•（6x−34x+32）=−38x2∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为2786．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2（1）求反比例函数的解析式；（2）求∠EOD的度数．【分析】（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y=kx（x＞0），求得（2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE＝BE，根据等腰三角形的性质越久三角形外角的性质即可得出∠AOE＝2∠EOD，从而求得∠EOD＝15°．【解析】（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∵OA＝22，∴OD＝AD＝2，∴A（2，2），∵顶点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB