中考数学一轮复习考点（精讲精练）复习专题24 三角形的有关概念和性质（教师版）

专题24专题24三角形的有关概念和性质知识导航知识导航知识精讲知识精讲考点1：三角形的相关概念与计算1．三角形的边角关系（1）三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.（3）三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.2．三角形分类（1）等边三角形：三边都相等的三角形.（2）等腰三角形：有两条边相等的三角形.（3）在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.【例1】一副三角板如图所示摆放，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数是（）A．80° B．95° C．100° D．110°【答案】B【分析】由三角形的外角性质得到∠3=∠4=35°，再根据三角形的外角性质求解即可．【详解】解：如图，∠A=90°-30°=60°，∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°，∴∠3=∠4=35°，∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°，故选：B．【例2】SKIPIF1<0是某三角形三边的长，则SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．10 D．4【答案】D【分析】先根据三角形三边的关系求出SKIPIF1<0的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：SKIPIF1<0是三角形的三边，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：D．方法技巧方法技巧三角形三边关系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的应用（1）在实际应用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形.（2）在实际应用中，已知两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和.（3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形.针对训练针对训练1．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】设AB与EF交于点M，根据SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再根据三角形的内角和定理求出结果．【详解】解：设AB与EF交于点M，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故选：A．2．两个直角三角板如图摆放，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AB与DF交于点M．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故选：C．3．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．【详解】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；综上所述，得到三角形的最长边长为5．故选：B．考点2：三角形的角平分线，中线，高，中位线，内心，外心（1）三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高。三角形三边的高的交点叫做三角形的垂心。（2）三角形的中线：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。三角形三边的中线的交点叫做三角形的重心。（3）三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线。三角形的三个内角的平分线的交点叫做三角形的内心。【例3】如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（）A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．【解答】解：∵AF是△ABC的中线，∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；∵AE是角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，C说法错误，符合题意；∵BF＝CF，∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；故选：C．针对训练针对训练1．如图，△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，且CF⊥AD于H，下列判断，其中正确的个数是（）①BG是△ABD中边AD上的中线；②AD既是△ABC中∠BAC的角平分线，也是△ABE中∠BAE的角平分线；③CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据三角形的高，中线，角平分线的定义可知．【解答】解：①G为AD中点，所以BG是△ABD边AD上的中线，故正确；②因为∠1＝∠2，所以AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AG是△ABE中∠BAE的角平分线，故错误；③因为CF⊥AD于H，所以CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线，故正确．故选：C．考点3：三角形的中位线定理1．三角形的中位线:连接三角形两边的中点，所得线段叫做该三角形的中位线.2．三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.【例4】如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED＝15，则S△ABC＝（）A．30 B．25 C．22.5 D．20【分析】先根据三角形中位线的性质，证得：DE∥BC，DE=12BC，进而得出△ADE∽△【解析】∵D、E分别是AB、AC边上的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，∴△ADE∽△∴S△ADES△ABC=（DEBC）2=14，∴S△ADE：S∴S△ADE＝5，∴S△ABC＝5+15＝20．故选：D．方法技巧三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半方法技巧针对训练针对训练1．如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为．【分析】依据三角形中位线定理，即可得到MN=12BC＝2，MN∥BC，依据△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD＝【解析】∵M，N分别是AB和AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN=12BC＝2，MN∥BC，∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠∵点E是CN的中点，∴NE＝CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），∴CD＝MN＝2．故答案为：2．考点4：多边形的内角和与外角和1．多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n－2)·180°.2．多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°.3．设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为SKIPIF1<0.【例5】如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．【详解】解：连接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，故选D．方法技巧（1）多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）·180°;方法技巧（2）多边形的外角和：360°.针对训练针对训练1．若一个多边形的内角和是540°,则该多边形的边数为 ()A．4

B．5

C．6

D．7【分析】根据多边形内角和公式(n-2)×180°，即可解答【解析】设这个多边形的边数为n,根据多边形内角和定理得(n-2)×180°=540°,解得n=5,故选B.故选：B．2．正五边形的外角和为（）A．180° B．360° C．540° D．720°【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．【解析】任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B．3．为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（SKIPIF1<0是正五边形的五个顶点），则图中SKIPIF1<0的度数是_______度．【答案】36【分析】根据题意，得五边形（SKIPIF1<0是正五边形的五个顶点）为正五边形，且SKIPIF1<0；根据多边形内角和性质，得正五边形SKIPIF1<0内角和，从而得SKIPIF1<0；再根据补角、等腰三角形、三角形内角和性质计算，即可得到答案．【详解】∵正五角星（SKIPIF1<0是正五边形的五个顶点）∴五边形（SKIPIF1<0是正五边形的五个顶点）为正五边形，且SKIPIF1<0∴正五边形SKIPIF1<0内角和为：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故答案为：36．专题24三角形的有关概念和性质考点1：三角形的相关概念1．若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是________．（写出一个即可）【答案】5（答案不唯一）【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可．【详解】解：由题意知：4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7，整数a可取2、3、4、5、6中的一个，故答案为：5（答案不唯一）．2．如图，在SKIPIF1<0中，点D、E分别在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________SKIPIF1<0．【答案】100【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A=80°，再根据平行线的性质，求出SKIPIF1<0，即可．【详解】解：∵SKIPIF1<0，∴∠A=180°-40°-60°=80°，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0180°-80°=100°．故答案是100．3．一副三角板如图所示摆放，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据三角板的2个三角形中的特殊角求出即可．【详解】如图，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为SKIPIF1<0．4．已知三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是（写出一个即可）．【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．【解析】根据三角形的三边关系，得第三边应大于6﹣3＝3，而小于6+3＝9，故第三边的长度3＜x＜9，这个三角形的第三边长可以，4．故答案为：4．5．如图，点D、E分别在线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小为（）A．60° B．70° C．75° D．85°【答案】B【分析】由题意易得SKIPIF1<0，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴在Rt△BEC中，由三角形内角和可得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；故选B．考点2：三角形的角平分线，中线，高，中位线，内心，外心1．下列说法中错误的是（）A．三角形三条高至少有一条在三角形的内部 B．三角形三条中线都在三角形的内部 C．三角形三条角平分线都在三角形的内部 D．三角形三条高都在三角形的内部【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、三角形三条高至少有一条在三角形的内部，故正确；B、三角形三条中线都在三角形的内部，故正确；C、三角形三条角平分线都在三角形的内部，故正确．D、直角三角形有两条高就是直角三角形的边，一条在内部，钝角三角形有两条高在外部，一条在内部，故错误．故选：D．2．下列说法错误的是（）A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条中线都在三角形内部 C．锐角三角形的三条高一定交于同一点 D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点【分析】根据三角形的角平分线，中线，线段的定义；根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上进行判断．【解答】解：A、三角形的高、中线、角平分线都是线段，故正确；B、三角形的三条中线都在三角形内部，故正确；C、锐角三角形的三条高一定交于同一点，故正确；D、三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．故选：D．3．在锐角SKIPIF1<0ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：SKIPIF1<0（其中R为SKIPIF1<0ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】方法一：先求出∠C，根据题目所给的定理，,利用圆的面积公式S圆=．方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，由三角形内角和可求∠C=60°，由圆周角定理可求∠AOB=2∠C=120°，由等腰三角形性质，∠OAB=∠OBA=，由垂径定理可求AD=BD=，利用三角函数可求OA=，利用圆的面积公式S圆=．【详解】解:方法一：∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，有题意可知，∴，∴S圆=．方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=，∵OD⊥AB，AB为弦，∴AD=BD=，∴AD=OAcos30°，∴OA=，∴S圆=．故答案为A．4．如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______．【答案】【分析】连接ED，由是的中线，得到，，由，得到，设，由面积的等量关系