2023年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学三)真题解析

2023考研数学三真题及解析

一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是

最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

/G,y)=ln(y+|xsiny)则(

1.已知函数).

（A）乳J不存在，乱D存在⑻乳）存在，乱!）不存在

（c）

aw方均存在⑴)aE(0,j均不存在

【答案】（A）

【解析】本题考查具体点偏导数的存在性，直接用定义处理，/（。/）=0

InG+sinllxl)sinllxl[sinl^->0+

lint-------------l»n_________L_Llim----LLj

,woxxx-)ox—sinlw0"

故乳》不存在

功....Iny,第

-方Qlim____y_-—1___lifY]__1，W（。】存左左在，选'4i（/AA\）

i

x<0,

2.函数/(x)=<J1+X2的一个原函数是（）

(x+l)cosx,x>0.

(A)2x)=Jn(Vr^—x),%<0,ln(Jl+x2-x)+l,x<0,

尸（%）=<

(x+l)cosx-sinx,x>().(x+l)cosx-sinx,x>().

(C)个)=啊历7)，三。，(D)/⑶=ln(Jl+%2-x)+1,&,<

(x+l)sinx+cosx,x>0.(x+l)sinx+cosx,x>0.

【答案】（D）.

【分析】本题主要考查原函数的概念，分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.

【详解】由于当工<°时，/（角1J一.ln^/l+x2+xXc

J1+X21

当x>。时，F（x）=J（x+l）cosxdx=（x+Osinx+cosx+C

由于尸(X)在x=0处可导性，故F(x)在％=0处必连续

因此，有limF(x)=limF(x)，即Q=l+J

xf0-x->0+

取q=0得网x)=[ln(而£一幻+1，解应选(D).

2[(x+l)sinx+cosx,x>0.

【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与2016年真题的完全类似，在《真题

精讲班》系统讲解过.原题为

已知函数/(X)=12(X—D，“<I'则/(x)的一个原函数是()

Inx,x>1.

/A、A/、f(l)2，X<1,e、(无一1)2,X<1,

(A)尸(x)=((B)

x(lnx-l),x>\.x(lnx+l)-l,x>1.

/口,、f(l)2,X<1,。一1)2,x<1,

(Q/(X)=〈(D)F(x)=<

x(lnx+1)4-1,x>1.x(lnx-l)+l,x>1.

3.若微分方程>"+@'+勿=0的解在(-8,+8)上有界，则()

(A)〃<0,h>0(B)〃>0,h>0

(G=)a0,b>0(由。0,b<0

【答案】(C)

一a±Ja2-4b

【解析】特征方程为〃2+〃+b=0,解得r=——三------.记上a2-4b

L22

当A>°时，方程的通解为武工)ceVA+cer2x,当「,。2不全为零时人灯在(-8,+8)上无界.

当c；了2不全为零时y(x)在(-%+8)上无界.

当△=€)时，(=「q<0,方程的通解为负x)。户产+，,猊，广，当££不全为零时?；(》)在(-00,+00)

上无界.

当A<。时，r=----------------=一^±,方程的通解为y(x)e-tx(ccospx+csinpx).

1,22212

只有当4=0,且&。2-4》<0,即b>0时，出ny(x)由ny(x)0,此时方程的解在(-8,+8)上有

XT+8XT-C0

界.故选(C)

【评注】此题关于Xf+8方向的讨论，在《基础班》习题课上讲解过，见《基础班》习题课第八讲《常微

分方程》第15题.

<b(〃=1,2,…)，若£。与均收敛.则绝对收敛是为绝对收敛的（）

4已知”n-

（A）充分必要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既非充分也非必要条件

【答案】（A）

【解析】由题设条件知-a）为收敛的正项级数，故EG-a）也是绝对收敛的

nnnn

n=\«=l

若Ea

绝对收敛,则阳=a\＜叱一，I+KJ,由比较判别法知，绝对收敛;

n

n=ln=\

若Eb绝对收敛，则则|=|a-b+b付一+阳，由比较判别法知，£a“绝对收敛;

〃I?»IIwnn

n=l〃=1

故应选(A)

【评注】本题考查正项级数的比较判别法，及基本不等式放缩.关于上述不等式《基础班》第一讲在讲解数

列极限定义时就反复强调过.

5.设A,8分别为〃阶可逆矩阵，E是〃阶单位矩阵，M*为M的伴随矩阵，则AE为（）

OB

y

A但*-B*A*IAIB*-A*B*

(A)(B)

OAB,05”

|B|A*一5*4*、\B\A-

(C)(D)

O1平）平*)

【答案】(D)

【解析】由分块矩阵求逆与行列式的公式，结合上=|川4-得

AE(AEV'A-i-AiEBC_［用4-AB-、

同网

OB,1

、°B>=、。|A邑7

选（D）

【评注】这钟类型的题在02年,09年均考过完全类似的题，《基础班》第二讲也讲过，原题为

A0\

【例1】设A*,3*分别为〃阶可逆矩阵A6对应的伴随矩阵，C*=

O

6二次型=W+xj+（y匕）-4（2-xj的规范形为().

(A)叶+”(B)y2-y2

12

(C)(D)邛+"一”

【答案】（B）

r详解】因为/(x，x，x)=2x2-3x2—3"+2xx+2xx+8xx

k吠四十/j/」123123I21323

’211、

方法1.二次型的矩阵为=A1-34,

U4-3)

X,—2—1-1

由piE_A|=-1X+3-4=入（入+7）&一3）=0,得特征值为0,-7,3,故选（B）

-1-4九+3

f(x,x,x)=2尤2-3x2-3x2+2xx+2xx+8xx

方法2.123I23121323

X(x+x>(x+x>

二2X2+X+x)+-2----3---2.-3x2-3x2+8xx

1142323

X+XX2+2xX+X2+6x2+6x2-16xX

=2X+—2--------J-——2------------2—J--------3------------3-----------3--------------2—3.

122

=2X工(…A

12223

故所求规范形为小巴'小邛飞

【评注】本题考查二次型的规范形，与考查正负惯性指数是同一类题，在《基础班》《强化班》均讲过.

《解题模板班》类似例题为

[11]设a（*,a,a）T,0（b,b,h）r,a,p线性无关，则二次型

23123

f(x,x,x)=(ax+axx)(bx+bx+bx)

I23II2233112233

的规范型为（)

(A)y;(B)y2+yz(C)—(D)+

7.也由与幺，4表示，则>=

-1、

(A)(C)k1(D)kJ

2

7

【答案】（D）

yy

【解析】由题意可设>=%产1+苧2F\*h只需求出《人即可

即解方程组5彳+x,“,-坨-次=0

’12-2-P1003、

(«,«，-夕,，)21-50010-1

1212

Q1-9-1,00117

得“七，？2>=.-3,卜口>,左为任意常数

⑵

y=xa+xa=-3ka+ka=-3%2+k\=-k

112212,故选(D)

【评注】1.此题与《强化班》讲义第三讲练习第12题完全类似，原题为

【⑵⑴设青,，%也均是三维列向量，且ap线性无关，B色线性无关，证明存在非零向量巳

使得自既可由叱巴线性表出，又可由%%线性表出.

(2)当受求所有既可由线性表出‘

又可B,B线性表出的向量。

12

2.此问题与两方程组的公共解问题是一模一样的,见《强化班》第四讲题型五例2

《解题模板班》综合练习解答题第一题第2问.

8.设随机变量X~P⑴，则耳X-EX卜().

1121

(A)-(B)-(C)-(D)1

e2e

【答案】(C)

【解析】由x~p⑴知石X=l,p(幕矽三，故

k!

E\X-EX^4X—1卜尸(x=0)|0-l|+P(X=I)|l-I|+Ep(x=QG—i)

k=2

=~+J-Fe-1-(e-1-1)1=-

eeLJe

【评注】此处用到了£]=e

k=0

【评注】本题考查了泊松分布的分布律及数学期望，同时考查了=e,题不难，有点综合性.把《基础

1=0

班》和《强化班》相应考点搞清楚，可以应对此题.

「X”是来自总体N&产）的简单随机样本，彳勺…L是来自总体N“,2c）的简单随

9.设X,X

12

机样本,且两样本相互独立,记x=lEx52_LE(x-x),5*2=----------

nmii2m-\

/=1i=l/=!

则（）

(B)丝~一1,加一1)(C)纪1~/尸(〃一加一

噂~尸（〃,机）(D)1,1)

S2S2S2

2222

【答案】（D）

【解析】由抽样分布规律，则

(〃一1)S2(W-1)52

/

02/

/n-12s2

~尸（〃一1,加—1）,整理得廿选（D）

(加一1»232

--------------2-/2

202/

/m—1

【评注】此题主要考查统计量的分布《强化班》习题课第六讲选择第6题。原题为

10.设（X,X,--,X"口廿,》，…,17）为分别来自正态总体X~N（—1,4）和y~N（2,5）的两个独立简

1281210

单随机样本，S；和S汐别为其样本方差，则下列统计量中，服从F（9,7）的是（）.

4525s24s25s2

(A)—2-(B)(C)(D)

5s245^55^w

1221

解法及思路一模一样.

io.设随机变量XjX2是来自总体NQ,02）的简单随机样本，其中b>°是未知参数，若

=oa^X一Xj为o的无偏估计，则。=（）

啊

(B)―—(C)/(D)7^

【答案】（A）

,b2),记U=X-X〜N(O,1)

XX

【解析】~2

1liL2j2crj+00_Lwe-7dM

E\X-X^=^E\U\=^\u\____e_7du

-ooo®

2al+0Oe-f2o

奉0

Jn

由题设£(a|X|-X,|)=o得忑=o,故a=》故选（A）

【评注】此题在选择题中属于难度较大的题，求两正态分布绝对值的数学期望，我在暑假强化班重点讲过,

《强化班》讲义第四讲题型二类型3,例2,原题为【例2】设二维随机变量（X,y）~2Vl1,2,1,4,41,求

EI2X-FI及DI2X-yi.

二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上。

(1

11.极限limx22-xsin-.-COS-

XT8X

2

【答案】3.

【解析】方法1原极限limX22-x

X->8I_仅

11112

limx2----+----+O

x->x6X22X23

_1

方法2令X=i

lim_l(2-lsinz-cosH、2/-sinr-rcosr

原极限lim

/->0t27/->0/3

2-cosr-cosr+rsinz2sinr4-sinz+rcosf42

limlim

r->0r->06t63

12.已知函数/G,y)满足d/(X,y)=xd)'-.vdx,则/

X2+y2

71

【答案】-

【解析】由全微分的运算法则，知/（X,），）=-y

X2+y2yX2+y2

做偏积分得/(x,y)=J------dx=-arctan—+(p(y)

X2+yiy

对)求偏导得/").)=一，［三］+中，(＞，)=^+0(),)

y.X2IV2IX2+V2

故处,)=0,eG)=c,由41)专得C4

7171JU

/(x,y)=一arctan—+—,于是_+__=_

y2623

32VX2kn—

n=0

【答案］二上

2

TX2nX2%4X2n

【解析】令5(》)=乙7T^=4一+——十・••+------+…,则

(2n)!2!4!(2〃)！

〃=0

Sr(x)=£X2n-lX3X2n-1

=x+—+…+--------+…,

(2n-l)!3!(2〃-1)

M=1

,X2Xn

S(x)+S(x)=l+x+—+…+—+•・•=□・

2!n\

解一阶线性微分方程SG)+S(x)=以得Ce-x+leA.

由S(0)=I知，则S(x)=W已

【评注】这是《强化班》讲义第九讲【题型四】幕级数求和例22原题.数字都一摸一样.

14.设某公司在/时刻的资产为了⑴，从0时刻到f时刻的平均资产等于工@-乙

t

假设连续且/(0)=0,则/。)=

【答案】一2。+1)+28

J"(x)dx

【解析】由经济学平均资产的含义及题设知〜—一-------I

t

整理得J'/G虬求导并整理得/«)—/«)=2t

0

=2te-f积分得e-,/(r)=J2re-/dr=-2(z+l)e-/+C

/(。=一2(，+1)+。已,由/(0)=0,得C=2

./(r)=-2G+l)+2e

ar+x=1,a01

13

x+ax+x=0,其中为常数，若Q1=4

15.已知线性方程组《123有解,a/1

x+2x-\-ax=0,

12312a

ax+bx=2

12

1a1

则12Q=

abQ

【答案】8

【解析】由方程组有解知/A）r（A,b）<3<4（系数矩阵只有3歹ij）于是|44=0

a011

11a011a1

1a10

=(1)必12a+2(-1a112a+8=0

故12a0

b012aab0

ab02

1a1

12a=8

ab0

【评注】此题考查了非齐方程组有解的判定，考查了行列式行列展开定理.本身难度不大，具备一定基本功

可顺利解出.

16.设随机变量X和丫相互独立，且*~8（1，2）,丫~3（2,〃）,〃€（0』），则X+Y与x-y的相关系数

为______

【答案】

【详解】由乂~8(l,p),y~3(2,p),DXp(l-p),=DY2P(l-p)

cov(x+Y,X-Y)cov(x,x)+cov(y,x)-cov(x,y)-cov(y,y)

=DX—DY=p(l-p)-2p(l-p)=-p(l-p)

D(X+Y)DX+DY3P(1-p),D(X-Y)DX+DY3P(1-p)

wcov(X+y,X-y)-p(l-/2)1

J-(X+>)“(X->)3/A1-/J3

【评注】《解题模板班》概统编综合练习【5】

【5】设随机变量x,y,y相互独立，x〜~uoi],y令上XY,V=(i-x)y

1221212

（I）求会U+V的密度函数/（z）；（H）求U与V的相关系数P“.

三、解答题：17-22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本题满分10分）

已知可导函数>=>（口满足g+y2+y-ln（l+x）cosy+b=0,且于（0）>（0）0

⑴求的值

（II）判断X=。是否为y（x）的极值点.

【解析】（I）在原方程中代为X3y0得a+b=0

原方程对X求导得g+2yy'+y'—孚l+ln（l+x）sinyy'=0（★）,代为x0?y。才。得。-1=0

1+x

综上有。=1力=-1

⑪对（★）式代入。=1两边继续对x求导得

sE）；]j8sy+[m（l+x）si”.y[=0

代“X（ky。方。得y"（o）=—2<o,故x=0是yG）的极大值点.

【评注】本题较简单，只要会求导和简单了解极值的判定方法即可顺利解出.

18.（本题满分12分）

已知平面区域。J（x,y）o<y<—J=：,x>l>

xjl+X2

⑴求。的面积

（II）求。绕X轴旋转所得旋转体的体积

1卜0兀）

=兀---arctanx=7t1-_

LxJ.I4j

【评注】本题是常规题与2020年数二第18题和数三的第12题完全类似，在《真题精讲班》重点讲过.原题

为（20数二（18））设函数/（x）的定义域为（0,+8）,且满足2/（x）+x2/1_L]==上求/（x）并求

J1+X2

曲线y-#及y轴围成的图形绕*轴旋转一周的体积.

（20数三（12））设平面区域。Ux,y）\-<y<-~,则。绕y轴旋转所成的旋转体的体积

乙1।

为.

19.（本题满分12分）

设平面区域0{x,y）|（x-l>+y2<l）计算JJjx2+y2

-1dxdy

D

【详解】由于积分域关于X轴对称，JJJx2+y2—ld煽y2JJJx2+y2-1dxdy

Dq

R为。在无轴上半部分，做X2+>2=1分？为左右两部分,左侧为2,右侧为q,

-y2-iXxdy

ffJx2+y2-1dxdy=JJ（一J尤2+y2）xdy+jj（/x2t

"2+尸)xdy+JJ§尤2+y2

%D

其中JJ(一+y2)RyJtd0j'(l-r)rdr+J^dOf2cos0(1-

)rdr

’00工0

43

=­•—+Jtf2COS20-£COS30d0=—+Jt(l+cos20)d0--J2C-sin20)dsin0

363)18式3工

333

+1山2。：一-NE

IIC/%2+y2-4XxdyJ：dO128s，(r一l>c

r

00

q

f，8AcnLn821n1671

J2—cos3U—2cos2UdU=—2o----=

o(3)33229~~2

故JI/2+),2—ldxdy=2第一"手16K__n_16+373

}+~9~2~~lS~~9+^~

U#2+yi-1dxdy=21JJx2+y2-ldxdy=兀32〜万

———---+3y/3

99、

D0,

【评注】本题考查含绝对值的分段函数的二重积分,见《强化班》第七讲【题型四】例2,原题为【例

2]计算JJ卜2+y2-2)，|db淇中O由m+户44所确定.

D

20.(本题满分12分)

设函数/(x)在上具有二阶连续导数，证明

⑴若/(0)=0,则至少存在一点S(-a,a)，使得产6)—[/(«)+/(-«)]:

。2

(II)若/(X)在(一凡。)内取得极值，则至少存在一点T|G(-«,«)，使得m)户J/⑷—/(—研.

【证明】(1)/。)=/(0)+/'(0比+与)》2=:(0口+专2应

分别令x=a和1=-。得

/(«)f'(0)a+^(ai)a2,0<a<a

2i

f(-a)=-f'(O)a+^--2-a2,-a<a<0

22

两式相加得了(a)+4(-a)噂[/"(a)+/”(a)]

2i2

又由于/"(x)在[-a,a]上连续，故/"(x)在[otjaJ上必有最大值M,最小值加

m/代)；,巴)WM,由介值定理知，存在匕e[aja」u(rz,a),

/⑹=/%)：〃%),故产化)-[/(«)+/(-«)]

2Q2

(11)设/(X)在处取得极值，由费马引理/'(\)=。

月x)/(x)+/'(x)(x-x>于(x)++/y)(x-x》

ooo2!oo2!o

分别令x=a和x=-。得

/(a)=/(x)+'，)(a—x>,0<B<a

o2o1

/(刃))+，fl(一a-x><。

o2o2

两式相减.并取绝对值，得

I现(……1+3Q+X>

2。2o2o2o

isir(n)i=max{ir(p)ur(p)i}

则I/(a)—/(-。)隆J|/"(n)|Q-Xo+a+Xo)=2a2|/"(T])]

⑷71)1

【评注】此题两问的思想与老王二模卷中证明题如出一辙，原题为

(19)设函数/(x)在［0,1］上具有二阶连续导数，且六0)户⑴0.

⑴证明至少存在一点4e(0,1),使得2/(1)=/(0)+/(1)+L^l；

@证明至少存在一点ne(0,1)，使得⑴—/(0)花月叨.

2L(本题满分12分)

x、X+x+X'

1123

设矩阵A满足对任意丁2均有“X2x-x+x

2123

X-x/

23

⑴求矩阵A

(II)求可逆矩阵尸与对、角矩阵/，使得PTAP='.

Xx+x+x、T11X

11231

【详解】⑴由)X2x-x+x二2-11X对任意X,x均成立

2123212

X-X,01-1X

37\2A；7\3

11、

箱“2-11

,01-17

X-1-1-1

(II)由I入£-41=-2X+1-1(入+2)(入一2)(入+1)=0得

0-1X+1

特征值t=-2,\=2,X=-1.

3

-3-1-1、00、