2022-2023学年福建省南平市高一年级下册期末数学模拟试题（一）（含解析）

2022-2023学年福建省南平市高一下册期末数学模拟试题(-)

(含解析)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1(5-。-(3-。一5,等于()

A.5zB.2-5zC.2+5iD,2

【正确答案】B

【分析】

根据复数的加、减运算即可求解.

【详解】(5-z)-(3-z)-5z=5-i-3+z-5z=2-5z.

故选：B

2.45c是边长为1的正三角形，那么Z6C的斜二测平面直观图⑷8'C'的面积()

A.逅B.立C.@D,在

16884

【正确答案】A

【分析】先求出原三角形的面积，再根据原图和直观图面积之间的关系即可得解.

【详解】以48所在直线为x轴，线段的垂直平分线为N轴，建立直角坐标系,

画对应的x'轴，V轴，使Nx'O»'=45。，如下图所示，

结合图形，/8C的面积为=Lx/8xOC=』xlx、3=X3,

2224

作垂足为。,

则(?7)=巫乂0>6'>=史乂,乂。。=匹。。，4B=A'B'，

2224

所以⑷6'。'的面积S/B.u=1x/Ex(ro=1x^xOCx/8=^xS，8c，

ABC2244

即原图和直观图面积之间的关系为为幽=£,

S原图4

所以，⑷8'C'的面积为s=

"叱4416

故选：A.

本题考查斜二测画法中原图和直观图面积的关系，属于基础题.

3.已知1是锐角，a=(-1,1),=(cosa,sina),且£j_A，则1为()

A.30°B.450C.60°D.30°或

60°

【正确答案】B

【分析】

由题意利用两个向量垂直的性质、数量积的坐标运算、特殊角的三角函数值可得出结论.

【详解】Va=(-1,1),B=(cosa,sina),且£_1_否，

二a.g=_cosa+sina=0，求得cosa=sina，tana=l,

由仁是锐角，所以a=45°.

故选：B.

本题考查了向量的数量积的坐标运算、已知三角函数值求角.

3

4.在Z8C中，角A、8、C所对的边分别是。、b、%若c=l,8=45。，cos/I=-,

则b等于()

3105572

A.-B.—C.-D.

57714

【正确答案】C

【分析】利用同角三角函数基本关系式可得sin/,进而可得

cosC=-(cosAcosB-sinAsinB),再利用正弦定理即可得出.

3

【详解】解：Qcos^=-,^G(0°,180°).

sin/=JF-COS2A=y,

cosC=-cos(?i+5)=-(cosAcos-sinsinB)=-(-^x~x~~~•

z.sinC=Jl-cos2c=.

10

bc

由正弦定理可得：——=-----，

sin8sinC

,csinBX?5

•h---------------=--------—————

,sinC707-

10

故选：c.

本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与

计算能力，属于中档题.

5.从1,2,3,4,5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是()

A.至少有一个是奇数和两个都是奇数B.至少有一个是奇数和两个都是偶

数

C.至少有一个奇数和至少一个偶数D.恰有一个偶数和没有偶数

【正确答案】D

【分析】根据互斥事件与对立事件的概念,依次判断选项即可.

【详解】从1,2,3,4,5中任取两个数

对于A,至少有一个是奇数和两个都是奇数，两个事件有重复，所以不是互斥事件，所以A错误;

对于B,至少有一个是奇数和两个都是偶数，两个事件互斥,且为对立事件，所以B错误；

对于C,至少有一个奇数和至少一个偶数，两个事件有重复，所以不是互斥事件，所以C错误.

对于D,恰有一个偶数和没有偶数，为互斥事件.且还有一种可能为两个都是偶数，所以两个事

件互斥且不对立，所以D正确.

综上可知,D为正确选项

故选:D

本题考查了互斥事件与对立事件的概念和判断,属于基础题.

6.已知正四棱柱（即底面是正方形的直棱柱）的底面边长为3cm,侧面的对角线长是3jScm，

则这个正四棱柱的表面积为

A.90cm2B.36垂）cm1C.72c加？D.54cm2

【正确答案】A

【分析】

求出侧棱长，再求出侧面积和两个底面积，即可得表面积.

【详解】由题意侧棱长为J（3石）2—32=6.

所以表面积为：S=4x3x6+2x3?=90（。他2）.

故选：A.

本题考查棱柱的表面积，解题关键是求出侧棱长.

7.利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（）

①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形

的直观图是平行四边形：④梯形的直观图是梯形.

A.①②B.③④C.①③D.②④

【正确答案】B

【分析】

根据斜二测画法的规则，逐项判定，即可求解，得到答案.

【详解】根据斜二测画法的规则，可得两条相交直线的直观图仍然是相交直线，所以①错；

两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，所以②错；

根据直观图的画法中，平行性保持不变，可得③，④正确.

故选：B.

本题主要考查了平面图形的直观图的画法以及应用，其中解答中熟记斜二测画法的规则，画

出平面图形的直观图是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于

基础题.

8.已知样本数据由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且样本的

中位数为10.5,若使该样本的方差最小，则。，b的值分别为（）.

A.10,ilB.10.5,9.5C.10.4,10.6D.10.5,

10.5

【正确答案】D

【分析】

利用中位数可得b=21-。，要使该样本的方差最小，只需(a-IO)：+伍-IO):最小，将

b=21-a代入，配方即可求解.

【详解】由于样本共有10个值，且中间两个数为。，b,

依题意，得竺2=10.5,即3=21—a.

2

因为平均数为(2+3+3+7+a+b+12+13.7+18.3+20)+10=10,

所以要使该样本的方差最小，只需(a-10)2+(6-10)2最小.

又(a-1+(b-1=(a-1+(21-a-1=2/-42a+221,

-42、、

所以当a=-----=10.5时，(aTO)+伍—10)最小,此时6=10.5.

2x2

故选：D

本题考查了样本数据、方差，需熟记方差的计算公式，考查了基本知识的掌握情况，属于基

础题.

二、多项选择题.(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分,

部分选对的得2分，有选错的得。分.)

9.小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有()

A.抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜

B.同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜

C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华

获胜

D.小明、小华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜

【正确答案】ACD

【分析】在四个选项中分别列出小明与小华获胜的情况，由此判断两人获胜是否为等可能事

件.

【详解】解：对于/,抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，

所以游戏公平；

对于8,恰有一枚正面向上包括(正，反),(反，正)两种情况，而两枚都正面向上仅有(正,

正)一种情况，

所以游戏不公平；

对于C,从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的,

所以游戏公平；

对于。，小明、小华两人各写一个数字6或8,一共四种情况：(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)；

两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平.

故选：ACD.

本题考查等可能事件的判断，考查运算求解能力，是基础题.

10.对于三角形Z8C,有如下判断，其中正确的判断是()

A.^sin2/4+sin2S<sin2C,则三角形Z8C是钝角三角形

B.若/>8,贝！］sin/>sin8

C.若a=8,c=10,8=60。，则符合条件的三角形/8C有两个

D.若三角形/8C为斜三角形，则tanZ+tan8+=

【正确答案】ABD

【分析】

对于A,先利用正弦定理转化为边之间的关系，再利用余弦定理可判断三角形的角的大小;

对于B,由三角形中大角对大边，再结合正弦定理判断；对于C,利用余弦定理求解即可；

对于D,利用三角函数恒等变换公式判断

【详解】对于A,因为sin2/+sin28<sin2C,所以由正弦定理得因+由<，所以

cosC=fl+Z?--r<0,所以。为钝角，所以三角形/3C是钝角三角形，所以A正确；

2ab

对于B,因为所以所以由正弦定理得sin4>sina所以B正确；

对于C,由余弦定理得，b2=a2+c2-2nccos5=64+100-2x8xl0xi=84,所以

2

b=2而,所以符合条件的三角形N8C有一个，所以C错误；

—l.、i/ctan5+tanC

对于D,因为tan(8+C)=------------,

1-tan5tanC

所以tanB+tanC=tan(5+C)(l-tanBtanC)

因为tan(5+C)=tan(乃一4)=一tanA,

所以tanB+tanC=tan(5+C)(l-tanBtanC)=tanAtanBtanC-tanA,

所以tan4+tan8+tanC=tanZtan3tanC,所以D正确，

故选：ABD

11.设，.为虚数单位，复数z=(a+i)(l+22),则下列命题正确的是()

A.若z为纯虚数，则实数〃的值为2

B.若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是(-(，2)

C.实数。=一,是z=N为z的共辄复数)的充要条件

2

D.若z+|z|=x+5i(xeR),则实数。的值为2

【正确答案】ACD

【分析】首先应用复数的乘法得z=a-2+(l+2a)i,再根据纯虚数概念、复数所在象限，

以及与共规复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误

(详解】z-(a+z)(l+2z)=a-2+(l+2a)i

a—2=0

选项A：z为纯虚数，有〈八可得a=2,故正确

1+2户0

ci—2<01

选项B：z在复平面内对应的点在第三象限，有<八解得。<一一,故错误

l+2a<02

1-51

选项C：a=---时，z=z=—；z=彳时，1+2。=0即。=—,它们互为充要条件，

222

故正确

选项D：z+|z|=x+5i(xeR)时，有1+2。=5,即a=2,故正确

故选：ACD

本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性

质、相等关系等确定参数的值或范围

12.如图，在正方形中，E,尸分别是8C,C。的中点，G是后厂的中点.现在沿/E,

ZF及£尸把这个正方形折成一个空间图形，使8,C,。三点重合，重合后的点记为“，下

列说法正确的是（）

A.NGJ-平面EFH

面4EF

【正确答案】BC

【分析】由题意可得，AHLHE,AH1.HF,HF1.HE,从而利用线面垂直的判定定理可得

4H工平面EFH,平面4HE,进而可得答案

【详解】解：由题意可得：AHLHE,AHLHF.

:.AHL平面EFH,而NG与平面EF/Z不垂直.二8正确，N不正确.

又HF上HE,；.HFL平面4HE,C正确.

HG与ZG不垂直，因此HG_L平面力E尸不正确.。不正确.

故选：BC.

此题考查线面垂直的判定，考查折叠问题，属于基础题

三、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中

随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其

它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为.

【正确答案】0.4

【分析】将买猪肉的人组成的集合设为从买其它肉的人组成的集合设为8,

由韦恩图易得只买猪肉的人数，与100作比，即得结果.

【详解】由题意，将买猪肉的人组成的集合设为4买其它肉的人组成的集合设为8,

则韦恩图如下：ACB中有30人，G；(/U8)中有10人，又不买猪肉的人有30位,

.•.BcC&j中有20人，.•.只买猪肉的人数为：100—10—20—30=40,

40

.•.这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为——=0.4,

100

故答案为：0.4

本题考查了用样本估计总体，用频率估计概率的方法，考查了韦恩图的应用，属于中档题.

14.已知向量1=(5,5),^=(2,1),若々+B与之一否的夹角是锐角，则实数4的取值范围

为；

【正确答案】(一7,1)口(1,7)

［分析］利用储+B)・日-力>o去掉同向的情形即得.

【详解】由题意0+1.0-5)>0，即/一片〉0，52+52>曲+『，.•.一7<4<7,

若a+b=k(a—b),则［>解得<

5+1=攵(5-1)

A=1

综上人的范围是(一7,1)。(1,7).

故(一7,7).

本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，2,5是两个非零向量，则2范夹角是锐角时.，

ab>Q>夹角是钝角时，ab<0>反之要注意£出可能同向也可能反向.

15.设复数z满足目=1,且使得关于x的方程2二2+2白+3=0有实根，则这样的复数z的

和为

7

【正确答案】——

4

【分析】

首先设z=a+bi(。，bwR且/+〃=1)，代入方程，化简为

(ax2+2ax+3)+Rf-2bx)i=0,再分6=0和6*0两种情况求a，x验证是否成立.

【详解】设z=a+bi,",bwR且Q2+62=I)

则原方程zx2+2zx+3=0变为+2ax+3)+(凉-2bx)i=0.

所以办之+2ax+3=0,①且6工2-2以=0，②；

(1)若6=0,则〃=1解得。=±1,当。=1时①无实数解，舍去；

从而。=一1,X?—2%—3=0此时x=—1或3,故z=—1满足条件；

3

(2)若bwO,由②知，x=0或x=2,显然x=0不满足，故x=2,代入①得。=—，

所以z=_3土空九

88

综上满足条件的所以复数的和为-1+(-W+今i3卮.7

--------------Z

884

思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数z=a+历•后代入方程，

再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0,建立方程求复数z.

16.在N8C中，仇c分别是角43,C所对的边.若2=四,6=1,的面积为且,

32

则。的值为

【正确答案】也

【分析】先根据三角形的面积公式求出边c,再利用余弦定理即可得解.

【详解】由/=乌力=1,Z6c的面积为Y3,

32

得,besin4=^-c=^~‘所以。=2,

242

则/=b2+c2-2hccosA=l+4-2xlx2x—=3,

2

所以a=.

故答案为.yfj

四、解答题.（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）

17.已知向量次=（3,-4）,05=（6,-3）,OC=（5-m,-3-m）.

（1）若点A,B,。能构成三角形，求实数加应满足的条件；

（2）若Z8C为直角三角形，且/N为直角，求实数〃?的值.

17

【正确答案】（1）m#—；（2）m——.

24

【分析】（1）点A,B,。能构成三角形，则这三点不共线，即荏与万心不共线，利用向

量共线的坐标公式计算即可.

（2）为直角三角形，且//为直角，则方，%,利用向量的数量积坐标公式计算

即可.

【详解】（1）已知向量方=（3,-4）,丽=（6,-3）,OC=[5-m,-3-m）,

若点A,B,。能构成三角形，则这三点不共线，即方与配不共线.

L1ULU_____

715=（3,1）,/C=（2—〃?,1一加）,

故知2—加，

实数机74时，满足条件.

2

（2）若/8C为直角三角形，且//为直角，则在J_就，

3（2—〃?）+—=0,

7

解得加=—.

4

本题考查平面向量共线的坐标公式和数量积的坐标运算，考查学生逻辑思维能力，属于基础

题.

18.甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8,乙投中的概率为0.9,求下列事件

的概率：

(I)两人都投中；

(II)恰好有一人投中；

(III)至少有一人投中.

【正确答案】⑴0.72：(II)0.26；(III)0.98.

【分析】(I)由相互独立事件概率的乘法公式即可得解；

(II)由相互独立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式，运算即可得解；

(III)由互斥事件概率加法公式即可得解.

【详解】设/=“甲投中"，6='‘乙投中"，则]="甲没投中”，豆="乙没投中”，

由于两个人投篮的结果互不影响，

所以A与8相互独立，A与5，A与3,)与8都相互独立，

由已知可得产(〃)=0.8,尸(3)=0.9,则P(1)=0.2,P(月)=0.1；

(I)45=”两人都投中”,则尸(ZB)=尸(Z)尸(5)=0.8x0.9=0.72；

(II)4月^)前="恰好有一人投中“，且/片与18互斥，

则P(ABuAB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P@)+P0P(B)

=0.8x0.1+0.2x0.9=0.26；

(III)48U力月Ul8="至少有一人投中''，且Z8、AB＞彳6两两互斥，

所以。(48U/豆UAB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)

=P(AB)+P[ABU嘉)=0.72+0.26=0.98.

本题考查了对立事件的概率及概率的加法公式、乘法公式的应用，考查了运算求解能力，属

于中档题.

19.某城市100户居民的月平均用水量(单位：吨)，以

[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14)分组的频率分布直方图如图.

（1）求直方图中x的值；并估计出月平均用水量的众数.

（2）求月平均用水量的中位数及平均数；

（3）在月平均用水量为[6,8）,[8,10）,[10,12）,[12,14）的四组用户中，用分层抽样的方

法抽取22户居民，则应在[10,12）这一组的用户中抽取多少户？

（4）在第（3）问抽取的样本中，从[10,12）[12,14）这两组中再随机抽取2户，深入调查，

则所抽取的两户不是来自同一个组的概率是多少？

8

【正确答案】（1）尸0.075,7；（2）6.4,5.36；（3）4；（4）—.

【分析】（1）根据频率和为1,列方程求出x的值；

（2）根据频率分布直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和

可得平均值，由最高矩形的数据组中点为众数；中位数两边的频率相等，由此求出中位数；

（3）求出抽取比例数，计算应抽取的户数；

（4）利用列举法，由古典概型概率公式可得结果.

【详解】（1）根据频率和为1,W2x（0.02+0.095+0.11+0.125+x+0.05+0.025）=l,

解得x=0.075：由图可知,最高矩形的数据组为[6,8）,所以众数为g（6+8）=7；

（2）[2,6）内的频率之和为

（0.02+0.095+0.11）x2=0.45；

设中位数为y,则0.45+66）x0.125=0.5,

解得尸6.4,.,.中位数为6.4；

平均数为2（1x0.02+3x0.095+5x0.11+7x0.125+9x0.075+11x0.025）=5.36

（3）月平均用电量为［10,12）的用户在四组用户中所占的比例为

___________0^____________2_

0.125+0.075+0.05+0.025-11'

2

月平均用电量在［10,12）的用户中应抽取22x—=4（户）.

（4）月平均用电量在［12,14）的用户中应抽取22x'=2（户），

月平均用电量在［10,12）的用户设为“、B、C、D,月平均用电量在［12,14）的用户设为e,f,

从［10,12）,［12,14）这两组中随机抽取2户共有:

AB,AC,AD,Ae,Af,BC,BD,Be,Bf,CD,Ce,Cf,De,Df,ef,15种情况，

其中，抽取的两户不是来自同一个组的有Ze,4/',84夕;Ce,。,。3/,8种情况，

Q

所以，抽取的两户不是来自同一个组的概率为百.

本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题.直方图的主要性质有：（1）直方图中各

矩形的面积之和为1;（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的

中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等

处横坐标表示中位数.

20.在A48c中,设角4民C的对边分别为"c,已知

cos2A=sin25+cos2C+sin/sin8•

（1）求角C的大小；

（2）若°=百，求A46c周长的取值范围.

【正确答案】（1）y；（2）（273,2+73］

【分析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的

正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.

【详解】（1）由题意知l-si/N=si/B+l—sidC+sin^sinB，

即sin2Z+sin26-sin2C=-sirL4sin6，

由正弦定理得.2+/—。2=—ab

cr+b2-c2_-ab

由余弦定理得cosC

lab2ab2

2兀

又•.•（）<T

.•/-a=-'-=---=―点=2,:,a=2s\nA,b=2sin5

（2）sirUsin5sinCsin2^

3

则A46C的周长

£=Q+6+C=26in/4+sin5）+G=2sinA+sin^-A\+V5=2sin4+也.

n人冗71A兀2冗y/3.（.

33332（3）

273<2sin^+y^j+V3<2+73,

ZUBC周长的取值范围是（2G,2+JJ].

本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调

性，属于中档题.

21.如图，在A/18C中，Z8=2,AC=3,NB4C=60,，DB=2AD>CE=2EB-

（1）求CO的长;

（2）求布•诙的值.

【正确答案】（1）—；（2）-

33

【分析】（1）将而用在和衣表示，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出前2的

值，即可得出C。的长；

⑵将方利用刀和就表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出万.而

的值.

【详解】（1）DB——2AD，4D——AB,CD=AD—AC——AB—AC,

—•—»——2——12——1/,,一"-\1■—1-•

・•.DE=DB+BE=—AB+—BC=—AB+-（AC—AB、=-AB+-AC,

3333、733

：.AB-7>E=AB-\-AB+-AC\=-AB2+-7B-A